Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 (có lời giải)
Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 có lời giải chi tiết bao gồm các chủ đề sau: tính giới hạn bằng định nghĩa, tính giới hạn bằng các công thức cơ bản, tính giới hạn bằng định lí kẹp, các dạng khác. Chuyên đề được viết dưới dạng PDF gồm 79 trang các bạn xem và tải về ở dưới.
Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT) 78 tài liệu
Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA. ì 1 a = a + ï 1 ï a Bài 1.
Cho dãy số (an ) xác định bởi : í
. Chứng minh rằng với mọi số thực 3 2 2a - 2a - 2 n n ïa = n 1 + 2 ï 3a - 4a -1 î n n
a ¹ 0 thì dãy (a a (an)
n ) hội tụ. Tùy theo
, hãy tìm giới hạn của dãy . Hướng dẫn giải Nếu a > 1
0 thì a + ³ 2 (do bất đẳng thức AM-GM). a 1 Nếu a < 1 0 thì -a +
³ 2 (do bất đẳng thức AM-GM) nên a + £ -2. -a a
Nếu a = 1 thì a = 2. Ta chứng minh: * a = 2, n " Î • . 1 n Hiển nhiên a = 2. 1 3 2 2.2 - 2.2 - 2
Giả sử a = 2 Þ a = = 2. k k 1 + 2 3.2 - 4.2 -1
Vậy lim a = lim 2 = 2 . n ìa > 0 . Nếu í
thì a > 2. Ta chứng minh * a > 2 n " Î • . îa ¹ 1 1 n Rõ ràng a > 2. . 1
Giả sử a > 2 . Ta chứng minh a > 2 . k k 1 + 3 2 2a - 2a - 2 a > 2 k k Û
> 2Û 2a a - 2 > 0 k 1 + 2 k ( k )2 ( đúng). 3a - 4a -1 k k
Ta chứng minh (an ) là dãy giảm, thật vậy :.
-a + 2a + a - 2 - a - a - n n n ( 2 3 2 n )1( 2 n ) " , n a - a = = < 0. n 1 + n 2 2 3a - 4a -1 3a - 4a -1 n n n n
( do tử âm, mẫu dương vì. é 2 + 7 êa > n 2 3
3a - 4a -1 > 0 Û ê . n n ê 2 - 7 êa < n ë 3 2 + 7 Mà 2 a > 2 >
Þ 3a - 4a -1 > 0). n 3 n n Trang 1 (a (a L n )
n ) giảm và bị chặn dưới Þ
có giới hạn là . 3 2 3 2 2a - 2a - 2 2L - 2L - 2 lim a = lim n n Þ n 1 + 2 2 3a - 4a -1 3L - 4L -1 . n n
Þ L = 2 (a > 2Þ L ¹ 1 - n ) Vậy lima = 2. n
. Nếu a > 0 thì a £ 2 - . Tương tự, ta có:. 1
-a + 2a + a - 2 - a - a - n n n ( 2 3 2 n )1( 2 n ) " , n a - a = = > 0. n 1 + n 2 2 3a - 4a -1 3a - 4a -1 n n n n nên (a (a 1 - n ) n ) tăng. Hơn nữa bị chặn trên bởi , thật vậy. 3 2 2a - 2a - 2 a < 1 k k - Û < 1
- Û a +1 (2a - 3)< 0 k 1 + 2 ( k )2 . 3a - 4a -1 k k Vậy (a (a L n )
n ) tăng và bị chặn trên Þ
có giới hạn là . a < 1, - n
" , a - a > 0, n " n n 1 + n 3 2 . 2L - 2L - 2 L = Þ L = 1
- a < -1Þ L ¹ 2 2 ( n ) 3L - 4L -1 Vậy lim a = 1 - . n
Tóm lại: + Nếu a = 1 thì lima = 2. n ìa > 0 + Nếu í thì lima = 2. îa ¹ 1 n
+ Nếu a < 0 thì lim a = 1 - . n ìx > 0 1 ï Bài 2. Cho dãy số (x í 1 2 3 2015
n ) được xác định bởi . Tìm giới x = x + + + +!+ n Î • n+ n ï ( * 1 2 3 2015 ) x x x x î n n n n
hạn của dãy nxa khi n ® +¥ , với a l à số thực cho trước. n Hướng dẫn giải
Dễ dàng chứng minh được x > 0, n " ³ 1 bằng qui nạp. n Ta có. 2 1 æ 1 ö 1 2 2 2 x > x + , n
" ³1 Þ x > ç x + ÷ = x + 2+ > x + 2 ; n " ³ . 1 n 1 + n n 1 + n n 2 n x x x n è n ø n Bởi vậy n " Î N, n ³ 2 thì 2 2 2 2
x > x + 2 > x
+ 4 >…> x + 2 n -1 n n 1 - n-2 1 ( ). Þ x >1, n
" ³ 2 và lim x = +¥. n n n®+¥ Trang 2 1 2 3 2015 Với *
n Î N , đặt x = x +
+ t trong đó t = + +…+ . n 1 + n n x n 2 3 2015 x x x n n n n t x > 1; n " ³ 2 Þ 0 < t <
, với t = 2 + 3 +…+ 2014 + 2015 (1), suy ra. n n 2 xn 2 æ 1 ö 1 2t 2 2 2 2
x - x = ç x +
+ t ÷ - x = +t + 2+ 2 n x t + ® 2. khi n ® +¥ . n 1 + n n n n 2 n n n x x x è n ø n n 2 ì b = x
Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy (b 1 1 í n ) vớ i . 2 2
b = x - x , n " ³ 2. î n n n 1 -
b + b +…+ b
ta có lim b = 2 suy ra 1 2 lim n = limb = 2.. n n n®+¥ n®+¥ n n®+¥ x x - x + x - x
+…+ x - x + x - - -
b + b +…+ b n 1 n ( 2 2 n n 1 ) ( 2 2 n 1 n 2 ) ( 2 2 2 1 ) 2 2 Mà 1 1 2 n = = s uy ra lim = .. n n n 2 n®+¥ x 2 n n 1
Thật vậy ta có thể chứng minh trực tiếp lim
= như sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro). 2 n®+¥ x 2 n
Xét dãy (c c = x - c = x - x - n = 2,3… n ) 2 2 2 : 2; 2 với . 1 1 n n n 1 - e lim c = 0 nên e " > 0 t ồn tại *
m Î N sao cho c < , " n ³ . m . n n n®+¥ 2
Gọi M = max{c 1 £ i £ m -1 i } vớ i . é2(m - ) 1 M ù 2(m - ) 1 M (m- )1M e
Với e ở trên tồn tại m¢ = ú +1 thì < m' hay < . ê e ë û e m¢ 2
Xét n > max{ , m m }'. ta có. e n n m 1 - (n-m c c c + ) 1 | | | | å å å - - i i i m 1 M = = = e m 1 M e e i 1 i m i 1 2 ( ) ( ) £ + < + < +
< + = e. o đó theo định n n n n n 2 m¢ 2 2 | n c | å nghĩa 1 lim i i= = 0. n®+¥ n x ( 2 2 x - x + x - x
+…+ x - x + x n n- ) ( 2 2 n- n-
c + c +…+ c n 1 n ) ( 2 2) 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 n = = + 2 . s uy ra lim = .. n n n 2 n®+¥ x 2 n a - 1 Nếu a = 2 - thì 2 . n x = .
n x ® khi n ® +¥ . n n 2 Nếu a > 2 - thì a a +2 2 . n x x . . n x- = ® +¥ khi n ® +¥ . n n n Nếu a < 2 - thì a a +2 2 . n x x . . n x- = ® 0 khi n ® +¥ . n n n Trang 3
Cho hai số a ,b với 0 < b = < .L 1 ập hai dãy số (a (b n =1, 2,.. n ) n ) , với .Theo quy tắc Bài 3. 1 1 1 a1 1
sau: giải nghĩa cái đó là:. a
= (a + b ) b = a .b lim a limb n 1 + n n , n 1 + n 1 + n Tính: n n n®¥ và n®¥ . 2 . Hướng dẫn giải p
Tính a ,b với 0 < b = a < t
1 a có thể chọn 0 < a <
sao cho: b = cosa,. 2 2 1 1 2 1 Suy ra 2 a = cos a . 1 1 1 a 2 2
a = (cos a + cos a) = cos a(cos a +1) = cos a.cos . 2 2 2 2 a a 2 b = cos . a cos .cos a = cos . a cos . 2 2 2
Bằng quy nạp, chứng minh được:. a a a a a a = cos . a cos ...cos cos (1) b = cos . a cos ...cos (2). n n 1 - n 1 2 2 2 - n n 1 2 2 - a
Nhân hai vế của (1) và (2) cho sin
và áp dụng công thức sin 2a được:. 1 2n- a sin 2 . a cos n 1- sin 2 2 a a = , b = . n n a a 2 .nsin 2 .nsin n 1 - n 1 2 2 - Tính giới hạn:. sin 2a sin 2a lim a = , lim b = . n ®¥ 2 n n n a ®¥ 2a 1 a Bài 4. Cho dãy số (a a = a = a + lim n = 2 n ) , 1 và .Chứng minh: . 1 n 1 + n a n®¥ n n Hướng dẫn giải n n 1 - n 1 1 - 1 2 2 2 2 a = a +
+ 2 Þ åa = åa + å + 2(n -1).. k 1 + k 2 i j 2 a = = = a k i 2 j 1 j 1 j n 1 - 1 2 a = 2n -1+ V
å . ậy a > 2n-1 , n " ³ 2 .. n 2 n j 1 = a j 1 1 1 1 1 æ 1 1 2 ö a > 2k -1 k " ³ 2 Þ < < = = - . k 4 2 2 ç ÷ a (2k-1) (2k-1) -1 4k(k+1) 4 è k -1 k ø k n 1 - n 1 1 1 1 1 - 1 1 5 Suyra: å < (1- ) < Þ å <1+ = . 4 4 - k =2 a 4 n 1 4 = a k j 1 4 4 j Trang 4 n 1 - n 1 1 - 1 5
Suyra: å £ (n -1)å < (n -1) (n ³ 2).. 2 4 j 1 = a = a j j 1 4 j 5(n -1) Vậy: 2 a < 2n -1+ (n ³ 2) . n 2 5(n-1) 1 a 5(n-1) Suyra: n n ³ 2; 2n-1Þ 2- < < 2n-1+ . n 2 n n 2 a Dođó: lim n 2 . n®¥ n p p Bài 5.
Cho hai số a ,b với 2 a = cos , b = s co
. Lập hai dãy số (a ), b n = 1, 2,... n ( n) với theo quy 1 1 1 8 1 8 1 tắc sau:. a
= (a + b ) , b = a .b . Tính: lim a và limb . n 1 + 2 n n n 1 + n 1 + n n n n®¥ n®¥ Hướng dẫn giải +Tính a ,b :. 2 2 1 p p 1 p p p p 2 2 a = (cos
+ cos ) = cos (cos x +1) = cos .cos . 2 2 8 8 2 8 8 8 16 p p p p p 2 b = cos cos cos = cos cos . 2 8 16 8 8 16
+ Bằng quy nạp, chứng minh được:. p p p p p p p a = cos cos ...cos cos (1) b = cos cos ...cos (2). n 2 n 2.4 2 .4 2 .4 2 .n4 n 2 n 2.4 2 .4 2 .4 p
+Nhân hai vế của (1) và (2) cho sin
và áp dụng công thức sin 2a được:. n 2 .4 p p p sin .cos sin n 4 2 .4 4 a = , b = . n n p p 2 .nsin 2 .nsin n n 2 .4 2 .4 +Tính giới hạn:. p p 4sin 4sin 4 4 lim a = , limb = . n n n®¥ n p ®¥ p Bài 6.
Cho dãy số (un ) biết:. ì u = 1 1 ï * í u , n " Î N . n u = n 1 + ï 2 1+ u î n Hãy tính lim (u n). n n ®+¥ Trang 5 Hướng dẫn giải
Ta có: u > 0 => u > 0, * n " Î N . 1 n 2 3 2
un +1- un = u / (1+ u ) - un = ( u - ) / (1+ u ) < 0 * n " Î N . n n n n Þ (u 0
n ) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi .
Þ lim u = a (aÎ , R a ³ 0) n . n®+¥ Từ 2
un +1 = u / (1+ u ), cho n ® +¥ ta được:. n n 3
a = a / (1+ a ) Û a = 0. Vậy lim u = 0. n x®+¥ Đặt 2 2
v = 1/ (u +1) -1/ (u ), * n Î N . n n n Ta có 2 2 2 2
v = ((1+ u ) / u ) -1/ (u ) = 2 + u ® 2 khi n ® +¥? Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có:. n n n n n 1 1 - 2 2
v + v +…+ v u u 1 2 n n 1 + 1 lim = 2 Û lim = 2 . n® ¥ + n n ® ¥ + n æ 1 1 ö 1 1 ç - ÷ + - 2 2 2 2 u u u u è n 1+ n ø n 1 Û lim = 2. n® ¥ + n 1 1 - 1 2 2 u u v 2 u 1 Mà n 1 + n n lim = lim = 0; 1 lim = lim = 0. n® ¥ + n n® ¥ + n n® ¥ + n n® ¥ + n 1 2 Þ u 1 1 lim n = 2 Þ lim = 2 Þ lim (u n) = . 2 ® ¥ + n n ® ¥ + n.u n n n®+¥ 2 n U ì = 2 1 ï Bài 7. Cho dãy{U í + 2009 ( * 2 n Î N U U ) n} xác định bởi: . n n U = ï n 1+ î 2010 n ì U ü Ta lập dãy{S i íS = å lim S n} với ý.Tính . n - î n x®¥ i 1 = U 1 i 1 + þ Hướng dẫn giải a Tacó 0 a = - > 0. 1 2
Giả sử a , a ,..., a > 0. 1 2 n 1 - Tacó. Trang 6 ìa a a n n 1 - 0 + +...+ = 0 ïï 1 2 n +1 æ1 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 ö í Þ a = - a + - a +...+ - a . n ç ÷ n 1- ç ÷ n-2 ç ÷ 0 a a a ï è1 2 ø è 2 3 ø è n n +1ø n 1 - n-2 0 + +...+ = 0 ïî 1 2 n a a a a Hay n 1 - n-2 1 0 a = + +...+ + . n 1.2 2.3 (n -1)n ( n n +1)
Do a , a ,..., a > 0 nên. 1 2 n 1 - æ a a a öæ 2a 3a na ö n 1 - n-2 1 n 1 - n-2 1 + +...+ + + ...+ ç ÷ç ÷ è 1.2 2.3 (n -1)n øè 1 2 n -1ø . 2 2 æ a a a ö a n 1 - n-2 1 0 ³ + + ...+ = ç ÷ 2 è 1 2 (n -1) ø n 2 æ a a a ö a n 1 - n-2 1 0 Þ + +...+ ³ . ç ÷ è 1.2 2.3 (n -1)n ø 2 æ 2a 3a na ö n 1 - n-2 1 n + +...+ ç ÷ è 1 2 n -1ø Ta lại có. 2a 3a na æ 2a 3a a ö n 1 - n-2 1 n 1 - n-2 1 + +...+ = n + + ...+ ç ÷ 1 2 n -1 è n 2n n -1ø. æ a a a ö æ a ö n 1 - n-2 1 0 £ n + +...+ = n - = -a . ç ÷ ç ÷ 0 è 1 2 n -1ø è n ø æ a a a ö a n 1 - n-2 1 0 Þ + +...+ ³ - . ç ÷ 2 è 1.2 2.3 (n -1)n ø n a a a a a a n 1 - n-2 1 0 0 0 Þ a = + +...+ + ³ - + > 0. n 2 1.2 2.3 (n -1)n ( n n +1) n n(n +1)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 2 1+ u -1 Bài 8. Cho dãy số (u u =1, n u = , n " ³1. n ) xác định bởi 1 n 1 + un a) Chứng minh:. p u = tan , n " ³1.. n n 1 2 +
b) Suy ra tính đơn điệu và bị chặn của (un ) . HƯỚNG DẪN GIẢI
a) Chứng minh bằng quy nạp toán học. p p æ p ö b) Nhận xét 0 < £ , n
" ³1 và hàm số tanx đồng biến trên 0; . n 1 ç ÷ 2 + 4 è 4 ø nên dãy số (u tan 0 = 0
n ) giảm và bị chặn dưới bởi số . Trang 7 p
và bị chặn trên bởi số tan =1. 4 . Bài 9.
Cho dãy số (xn ) xác định bởi:. 1 2 3 2014 2015 * x > 0; x = x + + + +...+ + , n " Î • .. 1 n 1 + n 2 3 2014 2015 x x x x x n n n n n n 1.Với mỗi *
n Î • ,đặt y =
.Chứng minh dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. n 2 xn
2.Tìm các số a để dãy (nxa 0
n ) có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác .
HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1 1.Từ giả thiết suy ra 2 2 2 x > x +
> 0 Þ x > x + + 2 > x + 2 n 1 + n n 1 + n 2 n x x n n . Suy ra 2 2 2 2 x
> x + 2 > x + 2 > ... > x + 2n do đó lim x = +¥ n 1 + n n 1 - 1 n . Xét æ 1 2 3 2014 2015 öæ 1 2 3 2014 2015 ö 2 2
x - x = x + x
x - x = ç2x + + + +...+ + ÷ç + + +...+ + n 1 + n
( n 1+ n )( n 1+ n ) n 2 3 2014 2015 2 3 2014 2015 ÷ x x x x x x x x x x è n n n n n øè n n n n n ø . æ 1 2 3 2014 2015 öæ 2 3 2014 2015 ö = ç2+ + + +...+ + ÷ç1+ + +...+ + 2 3 4 2015 2016 2 2013 2014 ÷ x x x x x x x x x è n n n n n øè n n n n ø. Suy ra lim( 2 2 x - x = 2 n 1 + n ) . x x - x + x - x
+ + x - x + x n ( 2 2 ... n n 1 - ) ( 2 2 n 1 - n-2 ) ( 2 2 2 1 ) 2 2 Ta có 1 = . n n
Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có. x ( 2 2 x - x + x - x
+ + x - x + x n n- ) ( 2 2 n- n n - ) ... ( 2 2 ) 2 2 1 1 2 2 1 1 lim = lim = 2 . n n n 1 Do đó lim = 2 x 2 n . a n 2.Xét a +2 z = nx = x n n 2 n xn . Từ đó:. +) Nếu a > 2 - thì lim z = +¥ n . Trang 8 +)Nếu a < 2 - thì lim z = 0 n . +) Nếu a = 2 - 1 thì lim z = n 2 . Vậy a = 2
- là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài.
Bài 10. Cho dãy số {y 3 y > 0, y
= y + y +...+ y , n " ³ 1 n} thỏa mãn . 1 n 1 + 1 2 n ì y ü Chứng minh rằng dãy số n
í ý có giới hạn bằng 0 khi n ® +¥ . î n þ Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có 3 3 y
= y + y , n
" ³ 2, do đó dãy số {yn} là dãy tăng, vì. n 1 + n n n³2 vậy 3 3 2 2 y
= y + y = y (y +1) < y (y +1). n 1 + n n n n n 1 + n 2 2
Þ y < y +1, n " ³ 2 2 2 2
Þ y < y +1< ... < y + n - . 1 n 1 + n n 1 + n 2 2 2 æ y ö y + n -1 2 y + n -1 n 1 + 2 Þ < . Mà 2 lim
= 0 nên theo định lý kẹp ta có. ç ÷ 2 è n +1ø (n +1) 2 (n +1) 2 æ y ö y y n 1 + n 1 lim
= 0 Þ lim + = 0 Þ lim n = 0. ç ÷ è n +1ø n +1 n u ì Î(0;1)
Bài 11. Tìm tất cả các hằng số c > 0 sao cho mọi dãy số dãy số (u ) thỏa mãn: n í n " ³1 n
u (1- u ) > c î n 1+ n .
đều hội tụ. Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy (u ). n Hướng dẫn giải
Ta xét các trường hợp sau. 1 c cu
+ Nếu c > , thì từ giả thiết, ta có n u > = ³ 4cu ; n " ³1. 4 n 1 + 1- u u (1- u ) n n n n
Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra 1 u (4c)n- >
u . Do 4c > 1 nên u ® +¥ khi n ® +¥ 1 . Do đó, c > n 1 n 4 không thỏa mãn. 1
æ - - c + - c ö
ìa(1- b) > c + Nếu 0 < c < 1 1 4 1 1 4
, thì tồn tại a,bÎç ;
÷, a < b sao cho í . Thật vây, lấy 4 ç 2 2 ÷ è ø b î (1- a) > c
æ1- 1- 4c 1+ 1- 4c ö a Îç ;
÷, đặt b = a + x (x > 0), thì. ç 2 2 ÷ è ø
a(1- a) - c
a(1- b) > c Û a(1- a - x) > c Û x < . a Trang 9
Chú ý là b(1- a) > a(1- a) > .
c Do đó, ta chỉ cần chọn x > 0 như trên và b = a + x, thì được 2 bất đẳng thức nêu trên.
Xét dãy số (u )xác định bởi. n ìa ê n u n = 2m u = í . n b î ê n u n = 2m +1 1
thì dãy (u ) thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ. Thành thử, 0 < c < cũng không thỏa mãn. n 4 1 1 u + Nếu c = , thì n u > =
³ u . Suy ra dãy (u )tăng và bị chặn. Do đó, (u )hội tụ. 4 n 1 + 4(1- u ) 4u (1- u ) n n n n n n Đặt x = 1 m
li u ,thì từ giả thiết ta có x(1- 1 x) ³ hay x = 1 . Vậy limu = .. n 4 2 n 2 ì 1 x = ï 1 ï
Bài 12. Cho dãy số (x 2 n) thỏa mãn: í
. Chứng minh dãy số trên có giới hạn. 2 x ï n x = x + ; n " ³1 n 1 + n 2 ïî n Hướng dẫn giải n(n + ) 1 *) Ta chứng minh 2 x + n ³ với mọi n ³ 1 (1). n 2
Thật vậy: n = 1 đúng. k (k + ) 1
Giả sử (1) đúng với n = k ³ 2 1: x + k ³ . k 2 2 x Þ x x + k +1 k = x +
+ k +1 = k x + k + k +1 2 ( k ) ( )2 2 k 1 + ( )2 k 2 ( )2 . k k æ k +1 ö k (k + ) 1 (k + )2 3 1 k (k + ) 1 ³ -1 + (k + ç ÷ )2 1 ³ - . è k 2 ø 2 2 2 k +1æ 3(k + ) 1 ö (k + ) 1 (k + 2) ³ ç - k ³ (đpcm). ÷ 2 è 2 ø 2
*) Ta chứng minh (xn ) có giới hạn. NX: (x x > 0 n n ) tăng và với mọi . n 1 1 1 2 1 1 æ 1 ö 1 Ta có - = £ Þ - £ 2 1- < 2 Þ x < với mọi n ³1. 2 ç ÷ x x x + n n n +1 x x è n ø n 2 - 2 n n 1 + n ( ) 1 n
Vậy (xn ) có giới hạn. Trang 10 4 2 u + 2013
Bài 13. Cho dãy số (u u = 2014, n * u = , n " Ε n ) xác định bởi . Đặt 1 n 1 + 3 u - u + 4026 n n n 1 * v = å , n " Ε v n 3 . Tính lim n . + k 1 = u 2013 k Hướng dẫn giải 4 2 u + 2013 3
(u - 2013)(u + 2013) + Ta có u - 2013 = n - 2013 n n = (1). n 1 + 3 u - u + 4026 3
(u + 2013) - (u - 2013) n n n n
Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được * u > 2013, n " Î • . n 1 1 1 1 1 1 + Từ (1) suy ra = - Þ = - . 3 u
- 2013 u - 2013 u + 2013 3
u + 2013 u - 2013 u - 2013 n 1 + n n n n n 1 + n æ 1 1 ö 1 1 1 Do đó v = åç - ÷ = - =1- . n - - - - u - 2013 k 1 = u 2013 u 2013 u 2013 u 2013 è k k 1 + ø 1 k 1 + k 1 +
+ Ta chứng minh limu = +¥. n 2 2 2 u - 4026u + 2013 (u - 2013) Thật vậy, ta có n n n * u - u = = > 0, n " Î • . n 1 + n 3 3 u - u + 4026 u - u + 4026 n n n n Suy ra (u
2014 = u < u < ...
n ) là dãy tăng, ta có . 1 2 4 2 a + 2013 Giả sử (u limu = a a > 2014 a =
n ) bị chặn trên và thì . Khi đó . n 3 a - a + 4026
Þ a = 2013 < 2014 ( vô lí). Suy ra (u limu = +¥
n ) không bị chặn trên, do đó . n 1 Vậy limv = lim (1- ) = 1. n u - 2013 k 1 + u ì = 2013 2 u
Bài 14. Cho dãy số (u 1 n 1 lim +
n ) xác định bởi: í . Tìm . 2 * u = u - 2, n " Î î • 2 2 2
n®+¥ u .u ...u n 1 + n 1 2 n Hướng dẫn giải 1
- Vì u = 2013 > 2 nên đặt u = a + , a > 1. 1 1 a 2 æ 1 ö 1 Ta có 2 2
u = u - 2 = a + - 2 = a + . 2 1 ç ÷ 2 è a ø a
Bằng quy nạp, ta chứng minh được. n 1 2 u = a + " Î • n+ n , n . 1 2 a - Xét. Trang 11 1 - 1 n n n - i 1 - æ 1 ö æ 1 ö éæ 1 i 1 - ö æ 1 öù æ 1 n ö æ 1 ö 2 2 2 Õu = Õ a + = - - Õ + = - + ç - a a a ÷ ç ÷ êç ÷ ç - a a i i i ÷ú ç ÷ ç n 1.0 1 1 ÷ 2 2 2 = = è a ø è a ø ëè a ø = è a øû è a i 1 i 1 i 1 ø è a ø 2 æ 1 ö æ 2n 1 ö . a - a + 2 ç ÷ ç n ÷ 2 2 u 2 2 æ 1 ö æ 1 + è a ø è a ø u ö n 1 n 1 Þ = Þ lim + = 2 a - = a + - 4 = 2013 - 4 1.0 2 2 2 2 2 2 2 ç ÷ ç ÷ u .u ... n u ®+¥ æ ö u u u è a ø è a n ø n 1 . ... 1 2 2 1 2 n a - ç ÷ 2n è a ø
Bài 15. Cho dãy số (a )thỏa mãn: lim(5a - 3a ) = 4. Tính lim a . n n 1 + n n Hướng dẫn giải
Đặt a = 2 + b . Từ giả thiết suy ra lim(5b - 3b ) = 0 . n n n 1 + n
Với số dương e bé tùy ý, tồn tại số N sao cho với n > N thì ta có:. e
5b - 3b < (1). n 1 + n 5 e
- Nếu b .b £ 0thì từ (1) dẫn đến 5b
+ 3b < Þ b < e . n 1 + n n 1 + n 5 n
- Xét trường hợp b .b > 0 hay b , b cùng dấu, chẳng hạn chúng cùng dương. n 1 + n n 1 + n e e
. Nếu 2b - b £ 0 thì kết hợp với (1): 3(2b - b ) - b < dẫn đến b < . n 1 + n n 1 + n n 1 + 5 n 1 + 5 e
Mà từ (1) ta có 3b - 5b < Þ b < e . n n 1 + 5 n 5 1 e
. Nếu 2b - b > 0 thì kết hợp với (1): (b - b ) - b < dẫn đến b < e . n 1 + n n 1 2 + n 2 n 5 n
Tóm lại luôn có b < e , hay lim(b ) = 0. n n Vậy lim(a ) = 2 . n 2015 u + 2u + 4
Bài 16. Cho dãy (u )xác định như sau: u = 3 và n n u =
, n = 1, 2,3.... Với mỗi số n 1 n 1 + 2014 u - u + 6 n n n 1
nguyên dương n , đặt v = . Tìm v . å lim n 2014 n ®+¥ = u + n i 1 4 i Hướng dẫn giải 2015 u + 2u + 4 (u - 2)(ua + 4)
Đặt a = 2014 ta có u - 2 n n = - 2 n n = , (*). n 1 + 2014 u - u + 6
(ua + 4) - (u - 2) n n n n
Bằng quy nạp ta chứng minh được u > 3, n " >1. n a 1 u + + 2u + 4 2 (u - 2) Xét n n u - = - n = > 0, u " ³ 3 + u u . n 1 n ua -u + 6 n ua -u + 6 n n n n n
Do đó (u ) là dãy tăng và 3 = u < u <!< u < . ! n 1 2 n Trang 12 a 1 a + + a + 4
Giả sử (u ) bị chặn trên, suy ra lim u = a, a > 3. Khi đó ta có a =
Þ a = 2 < 3(vô lí), suy ra n n n®+¥ aa - a + 6 (u ) lim u = +¥
n không bị chặn trên. Vậy n n®+¥ . 1 1 1 1 1 1 Từ (*) suy ra = - , hay = - . u - 2 u - 2 ua + 4
ua + 4 u - 2 u - 2 n 1 + n n n n n 1 + n 1 n æ 1 1 ö 1 v = å = åç - =! =1- . n 2014 ÷ = u + = è u - u - u - 2 i 1 4 i i 1 2 2 i i 1 + ø n 1 + 1 Vậy lim v = lim 1 ( - ) = 1. n n®+¥ n®+¥ u - 2 n 1 + u ì = 3 ï
Bài 17. Cho dãy số (u 1 (un)
n ) được xác định bởi í . Chứng minh rằng dãy 3 u ï
- 3u = 2 + u , n " ³ 1 î n 1+ n 1 + n
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải u ì = 3 ï Dãy số (u 1
n ) được xác định bởi í . 3 u ï
- 3u = 2 + u , n " ³ 1 î n 1+ n 1 + n
Ta chứng minh u > 2, n " ³1. n
Thật vậy ta có u = 3 > 2. 1
Giả sử u > 2, k " ³ , khi 1 đó 3 u
- 3u = 2 + u > 2 + 2 = 2 nên. k k 1 + k 1 + k 3 u
- 3u - 2 > 0 Û (u + - > Û u > 2 + )2 1 u 2 0 k 1 ( k 1+ ) . k 1 + k 1 + k 1 +
Do đó theo nguyên lý quy nạp thì u > 2, n " ³1. n
Xét hàm số f (t) 3
= t -3t trên khoảng (2,+ ¥). Ta có f (t) 2 '
= 3t -3 > 0, t " > 2.
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (2,+ ¥). Mặt khác ta có 3 3
u -3u =18 > 5 = u -3u Û f (u > f u Þ u > u 1 ) ( 2) . 1 1 2 2 1 2
Giả sử u > u
k ³1 Þ 2 + u > 2 + u 3 3
Û u - 3u > u - 3u k k 1 + ( ) . k k 1 + k 1 + k 1 + k +2 k +2 Þ f (u > f u Þ u > u k 1 + ) ( k+2) . k 1 + k +2
Do đó u > u , n " ³ 1 Þ Dãy (u (un)
n ) là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên dãy có giới hạn hữu n n 1 + hạn.
Giả sử limu = a (a ³ 2 3 u - 3u = 2 + u n
). Từ hệ thức truy hồi
chuyển qua giới hạn ta được:. n 1 + n 1 + n 3
a - 3a = 2 + a Û (a - a)2 3 3
= 2 + a Û (a - )( 5 4 3 2
2 a + 2a - 2a - 4a + a + ) 1 = 0. Trang 13 Û (a - )( 2 a ( 3 a - ) 3 2 4 + 2a (a - ) 1 + a + )
1 = 0 Û a = 2 (a ³ 2). Vậy limu = 2. n 2
Bài 18. Cho dãy số (x x = 2015 x = x . + " Î + ( x )1 n N n n n ( * 1 ) n ) thỏa mãn: và (*). 1 n 1 Tìm: lim . åi1= x +1 i Hướng dẫn giải * Ta có: * x > 0 n " Î N . n x Và: n 1 + = ( x + > n " Î N Þ (xn ) n )2 * 1 0 là dãy số tăng. xn
* Đặt u = x . n n Þ u xác định vì * x > 0 n
" Î N và u > 0 * n " Î N . n n n 2 Þ u = x Þ x = u . n 1 + n 1 + n 1 + n 1 +
Nên từ giả thiết (*) ta có:. u = u . u + = u u + + n ( n )2 2 2 1 . 1 n 1 ( n ( n ))2. 2
Þ u = u + u * n " Î N (1). n 1 + n n
* Xét dãy số (un ) ta có:. . 2 * u
- u = u > 0 n
" Î N Þ (un ) tăng. n 1 + n n . Giả sử (u a
n ) có giới hạn là . Từ (1) ta có:. 2
a = a + a Û a = 0 (loại). Þ (u Þ limu = +¥
n ) tăng và không bị chặn . n * Ta có:. 2 1 u u - u u - u 1 1 n n 1 + n n 1 + n = = = = - . u +1 u + u u + u u u u u u n ( n ) 2 1 n ( 2n n). . n n 1 + n n n 1 + n Þ 1 1 1 å = - . + 1 i 1 = u 1 u u i 1 n 1 + n 1 æ 1 1 ö 1 Þ limå = limç - ÷ = . + i 1 = u 1 u u i è n+ ø 2015 1 1 n 1 1 Vậy: lim å = .. i 1 = x +1 2015 i Trang 14 u ì = 5 ï
Bài 19. Cho dãy số {u 1 í . {un}
n} ; (n = 1; 2;.) được xác định bởi: Chứng minh dãy số có u ï = u +12 î n 1+ n
giới hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
Dự doán giới hạn của dãy số,bằng cách giải phương trình:. ìa ³ 0 a = a +12 Û í Þ a = 4. 2 îa = a +12 Nhận xét u = 5. 1
u = u +12 = 17 < u . 2 1 1 u = u +12 = 17 +12 < u .... 3 2 2
Ta dự đoán dãy số {u u ³ 4
n} là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 4 tức là . n
Chứng minh dãy số u bị chặn: tức là u ³ 4. n n
khi n = 1, u = 5 ³ 4 vậy n = 1 đúng. 1
Giả sử u ³ 4, ta chứng minh: u ³ 4. k k 1 + Thật vậy ta có:. u = u +12 > 0 2 2
Û u = u +12 Û u -12 = u ³ 4 2
Û u ³ 16 Þ u ³ 4. k 1 + k k 1 + k k 1 + k k 1 + k 1 +
Vậy dãy số u bị chặn dưới. n
Ta chứng minh dãy số {un} là dãy số giảm. Ta có:. 2 u - + u +12 -(u - 4)(u + 3) u - u = u +12 n n -u = n n Û u - u = £ 0 (vì u ³ 4). n 1 + n n n u +12 + u n 1 + n u +12 + u n n n n n
Vậy dãy số {un}giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn.
Đặt limu = a thì limu = . a . n n 1 + Ta có:. u
= u +12 Û limu = lim u +12 Û a = a +12 Þ a = 4. n 1 + n n 1 + n Vậy limu = 4.. n
Bài 20. Cho dãy số (xn ) được xác định bởi. ìx = 2,1 1 ï 2 í .
x - 2 + x + 8x - 4 n n n ïx = * , n = 1, 2,... n 1 + ( ) î 2 Trang 15 n 1
Với mỗi số nguyên dương n, đặt y = . Tìm y . å lim n 2 - n i 1 = x 4 i Hướng dẫn giải
Ta có kết quả sau: với số thực a > 2 bất kì, ta có. 2 2 a - 2 + a + 8a - 4 a - 2 + a + 4a + 4 a - 2 + (a + 2) > = = a . 2 2 2
Do đó 2,1 < x < x < ... Þ ( x lim x = L > 2
n ) là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn . 1 2 n
Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình. 2
x - 2 + x + 8x - 4 2 x =
Û x - 4 = (x + 3)(x - 2). 2
phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2. Suy ra dãy ( x lim x = +¥
n ) tăng và không bị chặn trên nên . n 2
x - 2 + x + 8x - 4 Ta có n n n 2 x =
Û 2x - x + 2 = x + 8x - 4 . n 1 + n 1 2 + n n n
Û (2x - x + 2 = x + x - Û x - = x + x - + n )2 2 2 8 4 4 3 2 n 1 n n n+2 ( n )( n ). 1 x + 3 x + 2 + 1 1 1 n n Û = = = + . 2 2 2 x - 2 x - 4 x - 4 x - 2 x - 4 n n+1 n+1 n+1 n+1 1 1 1 Û = - . 2 x - 4 x - 2 x - 2 n+1 n n +1 n 1 1 1 1 Suy ra y = å = - = 10 - . n 2 - - - - = x x x x i 4 2 2 2 1 i 1 n+1 n+1 Vậy lim y =10. n
Bài 21. Cho dãy số (x 2 x = 2016, x
= x - x +1,n =1,2,3,...
n ) được xác định bởi . 1 n 1 + n n
a)Chứng minh rằng (x lim x = +¥ n ) tăng và . n æ 1 1 1 ö
b)Với mỗi số nguyên dương n , đặt y = 2016ç + +...+ ÷. Tính lim y .. n x x x è n 1 2 n ø Hướng dẫn giải
x - x = x - 2x +1= x -1 ³ 0 Þ x ³ x , n " ³1. (xn) n 1 + n n n ( n )2 2 a)Ta có n 1 + n Do đó tăng.
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng x > n +1, n " ³ 1 (1). n
Thật vậy, (1) đúng với n = 1.Giả sử (1) đúng với n (n > 1) thì. x
= x x -1 +1> n n +1 +1= n + n +1> n + 2 n 1 + n ( n ) ( ) 2 . Trang 16
Vậy (1) đúng với mọi n. Từ (x
x > n +1, n " ³1 lim x = + . ¥ n ) tăng ngặt và suy ra . n n 1 1 1 1
b)Ta có x -1 = x x -1 = = - n 1 + n ( n ). Suy ra . x -1 x x -1 x -1 x n 1 + n ( n ) n n 1 1 1 Từ đó = - x x -1 x -1 n n n 1 + . æ 1 1 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 ö
Þ y = 2016ç + +...+ ÷ = 2016ç - ÷ = 2016ç - n ÷ x x x x -1 x -1 2015 x -1 è 1 2 n ø è 1 n 1 + ø è n 1 + ø. 1 Từ lim x = +¥ Þ lim = 2016 0. Vậy lim y = .. n x n 2015 n 1 1 1 æ a ¥ ö
Bài 22. Cho dãy (a ¥ 2 2 2
a = sin1+ 2 sin + 3 sin +...+ n sin n " ³1 n n ) : . Chứng minh dãy n 1 = n 2 3 n ç 2 ÷ è n øn 1= a
hội tụ và tính lim n . 2 n Hướng dẫn giải 1 Bổ đề 1: 3
x > sin x > x - x x " > 0. 6 1 1 1 1+ + + ...+ Bổ đề 2: 2 3 lim n = 0. n 1 1 1 1 1 1 Đặt 2
x = n sin . Áp dụng bổ đề 1: > sin > -
Þ k > x > k - . n n 3 k k k 6 k k 6k 1 æ 1 1 ö
Þ1+ 2 +...+ n > a >1+ 2 + ...+ n - 1+ + ...+ . n ç ÷ 6 è 2 n ø 1 1 1+ +...+ 1 a 1 Chia các vế cho 2 n : n 2 n > > - . 2 2 2 n 2 6n a 1
Cho n ® ¥ , và lấy giới hạn, suy ra lim n = . 2 n 2 . (n + )2 1 u
Bài 23. Cho dãy số u = 2,u = n
" ³1. Tính giới hạn lim n . 1 n 1 + u +1 n®+¥ n n Hướng dẫn giải 2 n Ta chứng minh quy nạp
£ u £ n +1 , n " ³ . 1 n +1 n
Rõ ràng khẳng định đã đúng với u . 1 Trang 17 2 k (k + )2 1 Giả sử đã có
£ u £ k +1, k ³ . T 1 a chứng minh £ u £ k + 2. k +1 k 1 k + 2 k + (k +1) (k + )2 2 1
Thật vậy: u £ k +1 Þ u = ³ . k k 1 + u +1 k + 2 k k (k +1) (k + )2 2 2 1 1 u ³ Þ u = £ = k + 2 - £ k + 2 .. k k 1 + 2 2 k +1 u +1 k k + k +1 k +1 k +1 2 n u Vậy ta có
£ u £ n +1, n " ³1Þ lim n =1. n +1 n n®+¥ n ìx = a ï 1
Bài 24. Cho a > 2 và dãy số (x n ) với: . í 2 n + 3 ï2x = x 3 + * n N n+1 n ( Î ) î n
a) Chứng minh: x > 1 với * n " Î N . n
b) Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
Ta chứng minh x > 1 với * n
" Î N bằng quy nạp. n Ta có: x = a nên x >1. 1 1 Giả sử: x > 1 với * k Î N . k n +1 n + 3 Ta có: x 3 2 > 3 và > 1 nên x 3 2 + > 2. Suyra: x > . 1 k n n n n 1 + Vậy x > 1 với * n " Î N . n
Ta chứng minh (x
n ) là dãy giảm bằng quy nạp. Vì a > 2 nên a 3 2 + 4 < a 2 .Ta có x < x . 2 1 n + 1 Giả sử: x < x . Ta có: 3 2 2 x < x 3 và f (n = )
là hàm nghịch biến nên:. k 1 + k k 1 + k n + + 2 k 4 2 k 3 x 3 + < x 3 + . k 1 + k +1 k k Suy ra: x < x . Vậy (x n ) là dãy giảm. k+2 k 1 + (x
n ) lả dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ. ìx =1 1 ï
Đặt limx = a.Ta có 2a = 3 2 a +1 Û a =1. (x * í
3x + 4 (n Î N ) u u = x n Î N n ( n ) n n- ( * 2 1 ) n ) . n x = n 1 + ï x +1 î n Vậy lim x = . 1 n Trang 18 ïìu = 2011 1
Bài 25. Cho dãy số (un ) được xác định: í . ï n n * î2 u = 2 u -1 , n Î n+ N 1 n
Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1 Ta có n n 2 u = 2 u . -1 Û u = u - . n 1 + n n 1 + n n 2 Chứng minh : 1–
u > 2 n (bằng quy nạp). n *với n = 1 ta có 0 u = 2011 > 2 . 1 *Giả sử 1–
u > 2 k (với k > 1 ). k *Cần chứng minh : – u > 2 k . k 1 + Ta có -k - 1 k -k -k u
= u - 2 > 2 - 2 = 2 . Suy ra điều phải chứng minh. k+1 k 1 Từ đó ta có –
u – 2 n > 0 với mọi n Þ u = u - . n n 1 + n n 2 1 1 1 1
Ta có u = u - ; u = u - ; u = u - ;...;u = u - . 2 1 3 2 2 4 3 3 n n 1 - n 1 2 2 2 2 - æ 1 1 1 1 ö Þ u = u - ... n 1 ç + + + + 2 3 n-1 ÷ . è 2 2 2 2 ø n 1 æ 1 - ö 1 - ç ÷ n 1 - Công thức tổng quát : 1 è 2 ø æ 1 ö u = 2011 - . = 2011 -1 + n ç ÷ . 2 1 è 2 ø 2 Vậy lim u = 2010. n u ì = a 1 ï
Bài 26. Cho số thực aÎ(0; )
1 , xét dãy số (un )với: í 1 2013 . 2 u = u + u , n * " Î N ï n 1+ î 2014 n 2014 n
a) Chứng minh rằng: 0 u 1, n * < < " Î N . n
b) Chứng minh rằng (un ) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
a) Chứng minh: 0 u 1, n * < < " ÎN n ( )1.
n =1: u = a Î 0;1 Þ 1 1 ( ) ( )đúng với n=1. 1 1
Giả sử 0 < u < 1với k " ³1,k Î N. Ta có: 2 2 0 < u <1Þ 0 < u < . k k 2014 k 2014 Trang 19 2013 2013 0 < u <1Þ 0 < u < . k 2014 k 2014 1 2013 2 Þ 0 < u +
u < 1 Þ 0 < u < . 1 2014 k 2014 k k 1 + Vậy: 0 u 1, n * < < " Î N . n
b) Chứng minh rằng (un ) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Ta chứng minh: (un ) là dãy tăng. * 1 2013 1 2 n " Î N ,u - u = u + u - u = é
ë(u - u )(u + u - 2013)ù > 0. n 1 + n 2014 n 2014 n n 2014 n n n n û
Þ u > u , n *
" Î N hay (un )là dãy tăng.(2). n 1 + n Từ (1),(2) suy ra (u (u ,
a (o < a £ ) 1 n )
n ) có giới hạn hữu hạn.Giả sử có giới hạn là . 1 2013 Ta có: 2 a = a +
a Û a = 1. Vậy limu = 1. 2014 2014 n ì 3 u = ï 1 ï
Bài 27. Cho dãy số(u 2 n) xác định như sau: í . 1 2 3 u ï = u - , n " Î N* n 1 + ïî 3 n 3
a) Chứng minh rằng: 1 u 2, n * - < < " Î N . n
b) Chứng minh rằng (un ) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 3
a) Với: n = 1: u = Þ 1 1 ( )đúng với n=1. 2 Giả sử: 1
- < u < 2 với k " ³1,k Î N. k 1 8 1 Ta có: 3 u - 2 = u - = u - u + u + < Þ u < k + k ( 2 k )( 2 2 4 0 2 1 k k ) . k 1 3 3 3 + 1 u +1 = u + > Þ u > - k + ( 3 1 0 1 1 k ) . k 1 3 + Þ 1
- < u < 2. Vậy: 1 u 2, n * - < < " Î N . k 1 + n * 1 b) n " Î N ,u - u = u + u -
< Þ u < u , n * " Î N (un) n+ n ( n )2 1 2 0 1 ( n ) hay là dãy giảm (2). 3 n 1 + n
Từ (1),(2) suy ra (un ) có giới hạn hữu hạn.
Gọi a là giới hạn của (u 1 - £ a < 2 n ) , . 1 2 Ta có 3
a = a - Û a =1. Vậy limu = 1 - . 3 3 n Trang 20 2 u
Bài 28. Cho dãy số (u n * u =1;u =
+ u ,nÎ N
n ) xác định bởi: . Tìm giới hạn sau: 1 n 1 + 2015 n æ u u u ö 1 2 lim ç + +... n + ÷ n®+¥ . u u u è 2 3 n 1 + ø Hướng dẫn giải 2 u u æ 1 1 ö Từ đề bài ta có: n u -u = . Suy ra: n = 2015ç - . n 1 + n ÷ 2015 u u u n 1 + è n n 1 + ø u u u æ 1 1 ö æ 1 ö Ta có: 1 2 + +... k + = 2015ç - ÷ = 2015ç1- . ÷ u u u u u u 2 3 k 1 + è 1 k 1 + ø è k 1 + ø Ta có (u u =1
n ) là dãy đơn điệu tăng và . 1 2 a
Nếu lim u = a thì a = +a Þ a = 0. n n®+¥ 2015 ( vô lí vì (u u =1
n ) là dãy đơn điệu tăng và ). 1 Suy ra: lim u = +¥. n n®+¥ æ u u u ö Kết luận: 1 2 lim ç + +... n + ÷ = 2015. n®+¥ u u u è 2 3 n 1 + ø u ì = 2013
Bài 29. Cho dãy số (u 1 í ( * n Î N 2 ) n ) xác định bởi
. Chứng minh rằng dãy (un) có u - 2u .u + 2013 = 0 î n n n 1 +
giới hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải
Từ hệ thức truy hồi suy ra 2 2u .u = u + 2013. n n 1 + n
Bằng quy nạp chứng minh được u > 0, với mọi n. n Do đó ta có:. 2 u + 2013 1 æ 2013 ö 2013 n 1 u - = = çu + ÷ ³ u . = 2013, n " ³ . 1 n n 1 2u 2 - n u u n 1 - è n 1 - ø n Mặt khác ta có :. 2 u u + 2013 1 2013 1 1 n 1 + n = = + £ + =1. 2 2 u 2u 2 2u 2 2 n n n
(un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2013, do đó (un) có giới hạn hữu hạn.
Đặt limu = a. n 2 a + 2013 Ta có : a =
Þ a = 2013. Vậy limu = 2013. 2a n Trang 21 4 x + 9
Bài 30. Cho dãy số (x n * x = 4, x = , n " Ε
n ) xác định bởi: . 1 n 1 + 3 x - x + 6 n n
a) Chứng minh rằng lim x = +¥;. n n®+¥ n 1
b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt y = . Tính y . å lim n 3 + n k 1 = x 3 k Hướng dẫn giải x + 9 (x -3 x + n )( 3 4 3 n n ) a) Xét x - 3 = = * n 1 + 3 ( ). x - x + 6 x + - x - n n ( 3 3 n ) ( 3 n )
Bằng quy nạp chứng minh được x > 3, n " ³1. n 4 2 x + 9 x - 6x + 9 Xét n n n x - x = - x = . n 1 + n 3 n 3 x - x + 6 x - x + 6 n n n n (x -3 n )2 * Þ x - x = > 0, n " Î • . n 1 + n 3 x - x + 6 n n Do đó (x
4 = x < x < x < ... n ) là dãy tăng và . 1 2 3 Giả sử (x Þ lim x = a n ) bị chặn trên . n 4 a + 9 Do đó: a =
Þ a = 3 < 4 (vô lý). Suy ra (x lim x = +¥
n ) không bị chặn trên. Vậy . 3 a - a + 6 n 1 1 1 1 1 1 b) Từ (*), suy ra: = - Þ = - . 3 3 x - 3 x - 3 x + 3 x + 3 x - 3 x - 3 n 1 + n n n n n 1 + n 1 n æ 1 1 ö 1 Suy ra: y = å = åç - ÷ =1- . n 3 + - - - k 1 = x 3 = x x x k k 1 3 3 3 è k k 1 + ø n 1 + æ 1 ö Vậy lim y = limç1- ÷ =1. n x - 3 è n 1 + ø ìx =1 1 ï 2014 2014 2014 x x x Bài 31. Cho dãy số 2015 í
. Tìm giới hạn của dãy số u với 1 2 u = + +... n + . xn x = + x n n ï x x x n 1 + î 2015 n 2 3 n 1 + Hướng dẫn giải 2015 2015 2015 x x x - x x n n n 1 + n n x =
+ x Û x - x = Û = n 1 + n n 1 2015 + n 2015 x x 2015x x n 1 + n n 1 + n . Trang 22 2014 2014 1 1 x æ 1 1 ö x n Û - = Û 2015 n ç - ÷ = x x 2015x x x x n n 1 + n 1 + è n n 1 + ø n 1 + . æ 1 ö Từ đó u = 2015ç1- . n ÷ x è n 1 + ø Dễ thấy (x
1 = x < x < x < ... n ) là dãy tăng và . 1 2 3 Giả sử (x Þ lim x = a n ) bị chặn trên . n 2015 a Do đó: a =
+ a Þ a = 0 < 1 (vô lý). Suy ra (x lim x = +¥
n ) không bị chặn trên. Vậy . 2015 n æ 1 ö Vậy limu = lim 2015ç1- ÷ = 2015. n x è n 1 + ø ìx =1 1 ï
Bài 32. Cho dãy số{x } xác định bởi 2 í
. Tìm giới hạn của dãy (S ) với n xn x = x + n ï n 1+ n î 2015 x x x 1 2 S = + +... n + . n x x x 2 3 n 1 + Hướng dẫn giải 2 x 2 x - x x x æ 1 1 ö n x = x +
Û 2015 x - x = x n 1 Û 2015 + n n n = Û = 2015ç - ÷. n 1 + n ( n 1+ n ) 2 . 2015 n x x x x x x x n 1 + n n 1 + n n 1 + è n n 1 + ø x x x æ 1 1 ö æ 1 ö Suy ra: 1 2 S = + +... n + = 2015ç - ÷ = 2015ç1- . n ÷ x x x x x x 2 3 n 1 + è 1 n 1 + ø è n 1 + ø Dễ thấy (x
1 = x < x < x < ... n ) là dãy tăng và . 1 2 3 Giả sử (x Þ lim x = a n ) bị chặn trên . n 2 a Do đó: a =
+ a Þ a = 0 < 1 (vô lý). Suy ra (x lim x = +¥
n ) không bị chặn trên. Vậy . 2015 n æ 1 ö Vậy limS = lim 2015ç1- ÷ = 2015. n x è n 1 + ø ìx =1 ï n 1
Bài 33. Cho dãy số (x ) xác định bởi 1 í . Đặt S = . å n
ïx = x (x +1)(x + 2)(x + 3) +1 n î + k = x 2 n 1 + n n n n 1 k Tìm limS . n Hướng dẫn giải 2 2 2 x
= x (x +1)(x + 2)(x + 3) +1 = (x + 3x )(x + 3x + 2) +1 = x + 3x +1 n 1 + n n n n n n n n n n . Trang 23 1 1 1 n 1 1 1 1 1 Ta có = - Þ S = å = - = - . x + 2 x +1 x +1 n + + + + k = x 2 x 1 x 1 2 x 1 n n n 1 + 1 k 1 n 1 + n 1 +
Dễ thấy: x - x = x +1 > 0, n " Î N (x
1 = x < x < x < ... n ) n 1 + n ( n )2 * suy ra là dãy tăng và . 1 2 3 Giả s ử (x Þ lim x = a n ) bị chặn trên . n Do đó: 2
a = a + 3a +1Þ a = 1
- <1 (vô lý). Suy ra (x lim x = +¥
n ) không bị chặn trên. Vậy . n æ 1 1 ö 1 Vậy limS = limç - ÷ = . n 2 x +1 2 è n 1 + ø ì 2016 u ï = 1 1 1
Bài 34. Cho dãy số (u 1 n) xác định bởi: í 2015 . Đặt S = + +. . .+ n u + 2 u + 2 u + 2 2
ï2u = u + 2u , n " Î * î • 1 2 n n 1 + n n Tính: limSn. Hướng dẫn giải u u + 1 1 1 1 1 1 2u = u u + Û u = Û = - Û = - n+ n ( 2 n ) n ( 2 n ) 1 n 1 + 2 u u u + 2 u + 2 u u n 1 + n n n n n 1 + . n 1 1 1 2015 1 Þ S = å = - = - . n + k 1 = u 2 u u 2016 u k 1 n 1 + n 1 +
Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được * u > 0, n " Î N . n 1 2016 Khi đó: 2 * u
- u = u > 0, n
" Î N suy ra (u
= u < u < u < ... n ) là dãy tăng và . n 1 + n 2 n 1 2 3 2015 Giả sử (u Þ limu = a n ) bị chặn trên . n 2016 Do đó: 2
2a = a + 2a Þ a = 0 <
(vô lý). Suy ra (un )không bị chặn trên. 2015 Vậy limu = +¥. n æ 2015 1 ö 2015 Vậy limS = limç - ÷ = . n 2016 u 2016 è n 1 + ø 4 x + 9
Bài 35. Cho dãy số (x n * x = 4, x = , n " Ε
n ) xác định bởi: . 1 n 1 + 3 x - x + 6 n n
a) Chứng minh rằng lim x = +¥;. n n®+¥ n 1
b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt y = . Tính y . å lim n 3 + n k 1 = x 3 k Hướng dẫn giải Trang 24 x + 9 (x -3 x + n )( 3 4 3 n n ) a) Xét x - 3 = = * n 1 + 3 ( ). x - x + 6 x + - x - n n ( 3 3 n ) ( 3 n )
Bằng quy nạp chứng minh được x > 3, n " ³1. n 4 2 x + 9 x - 6x + 9 Xét n n n x - x = - x = . n 1 + n 3 n 3 x - x + 6 x - x + 6 n n n n (x -3 n )2 * Þ x - x = > 0, n " Î • . n 1 + n 3 x - x + 6 n n Do đó (x
4 = x < x < x < ... n ) là dãy tăng và . 1 2 3 Giả sử (x Þ lim x = a n ) bị chặn trên . n 4 a + 9 Do đó: a =
Þ a = 3 < 4 (vô lý). Suy ra (x lim x = +¥
n ) không bị chặn trên. Vậy . 3 a - a + 6 n 1 1 1 1 1 1 b) Từ (*), suy ra: = - Þ = - . 3 3 x - 3 x - 3 x + 3 x + 3 x - 3 x - 3 n 1 + n n n n n 1 + n 1 n æ 1 1 ö 1 Suy ra: y = å = åç - ÷ =1- . n 3 + - - - k 1 = x 3 = x x x k k 1 3 3 3 è k k 1 + ø n 1 + æ 1 ö Vậy lim y = limç1- ÷ =1. n x - 3 è n 1 + ø
3.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN u ì =1 1 ï Bài 1. Cho dãy số (a í 1 a n ) thỏa mãn
. Tìm tất cả các số thực sao cho dãy số u = u + n Î • * n 1 + n ( ) ï 3 u î n a ( u x n x = n Î • * n ) xác định bởi (
) hội tụ và giới hạn của nó khác 0. n n Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có dãy số (un ) là dãy số dương và tăng(1). 1 Giả sử (u L = limu L = L +
n ) bị chặn trên suy ra nó hội tụ. Đặt , ta có ngay (vô lý). n 3 L
Vì vậy (un ) không bị chặn trên (2).
Từ (1) và (2) ta có limu = +¥. n 4 4 æ ö 1 Xét 3 3
limçu -u ÷. Đặt v =
( n Î • *), ta có limv = 0. n 1 + n n è ø 4 n 3 un Trang 25 4 3 æ ö 4 4 1 ç 1 ÷ 1 (1+ v -
v + v + v + n ) 4 3 2 3 1 4 6 4 3 3 4 n n n u - u = + v - = = . n 1 + n 3 n ç ÷ v v ç ÷ n n v (1+ v + + v + n )8 (1 n )4 4 3 3 1 è n ø 4 4 4 æ ö 4 3 u 4 Suy ra 3 3
limçu -u ÷ = . Từ đó lim n = (sử dụng trung bình Cesaro). n 1 + n 3 è ø n 3 ì 4 +¥ khi a > ï 4 3 æ ö ï a 4 3 u ç u a- ÷ ï 4 Ta có n n 3 lim = lim .u = í0 khi a < . n n ç n ÷ 3 ç ÷ ï è ø ï4 4 khi a = ïî3 3 4
Vậy a = là giá trị cần tìm. 3 ì 1 u = ;u = 3 ï 1 2 ï 2 Bài 2.
Cho dãy số (un ) xác định như sau: í u .u +1 n 1 + n * u ï = , n " Î N n+2 ï u + u î n 1 + n
a) Chứng minh rằng tồn tại vô số giá trị nguyên dương của n để u > . 1 n
b) Chứng minh rằng (un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải (u -1 u -1 1 + )( )
a) Trước hết ta luôn có u > 0, * n
" Î N . Xét u -1 n n = (1). n n+2 u + u n 1 + n
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được u , * u < 1, n " Î N và u >1, * n " Î N . 3n 3n 1 + 3n+2
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. (u +1 u +1 1 + )( ) b) Ta có u +1 n n = (2). n+2 u + u n 1 + n u -1 u -1 u +1
Chia vế của (1) cho (2) có n+2 n 1 + n * = . , n " Î N . u +1 u +1 u +1 n+2 n 1 + n u -1 Đặt n * v = n " Î N , ta có * v = v .v n " Î N . n u +1 n+2 n 1 + n n
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được n F 1 - n F -2 v = v .v
, với (Fn ) là dãy số Phibonxi: n 2 1 ìF = F =1 1 2 í . * F
= F + F , n " Î N î n+2 n 1 + n n F 1 - n F -2 æ 1 ö æ 1 ö Hay v = . -
® 0 khi n ® +¥ , dẫn đến limu =1. n ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 3 ø n Trang 26 Bài 3.
Cho dãy số (un ) được xác định như sau. u ì = 1 ï 1 í . u = u u + u + u + + n " Î ï + n ( 2 n )( 4 n )( 6 n ) * 16, n 1 î • n 1 Đặt v = , hãy tính v . å lim n + n i 1 = u 5 i Hướng dẫn giải Dễ thấy * u > 0, n " Î • . n Theo bài ra ta có. u = u + 6u u + 6u + 8 +16 =
u + 6u + 4 = u + 6u + 4 n 1 + ( n n ) ( n n ) ( n n )2 2 2 2 2 . n n 1 1 1 Suy ra u
+1 = u +1 u + 5 Û = - n 1 + ( n )( n ) . u +1 u +1 u + 5 n 1 + n n n 1 n æ 1 1 ö 1 1 1 1 Do đó v = å = åç - ÷ = - = - . n + + + + + + i 1 = u 5 = u u u u u i i 1 1 1 1 1 2 1 è i i 1 + ø 1 n 1 + n 1 + Mặt khác, từ 2 u
= u + 6u + 4 ta suy ra u > 6u . n 1 + n n n 1 + n
Kết hợp với u =1 ta có. 1 n- 1 1 * u > 6 , n
" Î • Þ limu = +¥ Þ lim = 0. n n u +1 n 1 + æ 1 1 ö 1
Từ đó ta có limv = limç - ÷ = . n 2 u +1 2 è n 1 + ø Bài 4. Cho dãy số thực (u * n Î • ( 2 +u + nu = n " Ε n ) * ln 1 1, n ) với thỏa mãn . n n(1- nu ) Tìm lim n . n®+¥ un Hướng dẫn giải Với mỗi *
n Î • , đặt f x =
+ x + nx - xÎ! n ( ) ( 2 ln 1 ) 1, . 2x x +1 Ta có f x = + n = + n - ³ n ( ) ( )2 ' 1 0 . 2 2 1+ x 1+ x ìx = 1 - ' f x = Û n ( ) 0 í . în =1 Do đó f x !
n ( ) là hàm tăng thực sự trên . ì f = - < n ( 0) 1 0 ï Ta có í . æ 1 ö æ 1 ö f = ln 1+ > 0 ï n ç ÷ ç 2 ÷ î è n ø è n ø Trang 27 Do đó !
$ u Î! sao cho f u = 1 0 < u < n ( n ) 0 và . n n n Ta thấy lim u = 0. n n®+¥ ì lim ln(1+u = ï n ) 1 2 2 un 1 Do đó: n®+¥ í . ï lim nu = lim 1 é - ln + u ù = n î ë ( 2 1 n ) 1 n®+¥ n®+¥ û n(1- nu ) nln ( 2 1+ un é ù n ) 1 Vậy lim = lim = lim nu ln + u = ê n ( 2 1 n ) 2n u 1.. ú n®+¥ n®+¥ n u u ®+¥ n n ë û ì 4 a = ï 1 Bài 5. Cho dãy số (a 3 í n " ³1,nΕ n ) thỏa mãn: . ( ï n + 2 î )2 2 a = n a - n +1 a a n n 1 + ( ) n n 1+ Tìm lim a . n Hướng dẫn giải (n + 2)2 2 n Dễ thấy * a ¹ 0, n
" Î • . Từ giả thiết ta có = - (n + ) 1 . n a a n 1 + n 1 1 Với mỗi *
n Î • , đặt y = + ta có y = 1 và. n a 4 1 n 2 ( + )2 æ 1 ö æ 1 ö n n 2 y - = n y -
- n +1 Þ n + 2 y = n y Þ y = y ç n 1+ ÷ ç n ÷ ( ) ( )2 2 2 . n 1 + n n 1 è 4 ø è 4 + ø (n + 2)2 n 2 2 2
æ n -1ö æ n - 2 ö æ 1 ö 4 4n (n + )2 2 1 Do đó y = ... y = Þ a = . n ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1
è n +1ø è n -1 ø è 3 ø (n+ )2 2 1 n n 16 - n (n + )2 2 1 Vậy lima = 4. n Bài 6. Tính các giới hạn sau: 3 x - 8 2x +1 a) lim . b) lim . 2 x®2 x - 4 x 2- ® x - 2 Hướng dẫn giải x -8 ( 2 3 x + 2x + 4) a).lim = lim = 3. 2 x®2 x®2 x - 4 (x + 2) 2x +1 b) lim = -¥. x 2- ® x - 2 2 x + x +... n + x - n Bài 7. Tính giới hạn lim . x 1 ® x -1 Hướng dẫn giải Trang 28 2 n 2
x + x +...+ x - n
(x -1) + (x -1) +...+ ( n x -1) lim = lim x 1 ® x 1 x -1 ® x -1 2 n 1
(x -1)[1+ (x +1) + (x + x +1) +...+ (x - +...+1)] lim x 1 ® . x -1 2 n 1 lim 1
é + (x +1) + (x + x +1) +...+ (x - +...+1)ù. ë û x 1 ® n(n + ) 1 =1+ 2 + 3+…+ n = 2 . n 1+ ax -1 a Bài 8.
Cho n là số nguyên dương và a ¹ 0 .Chứng minh rằng: Lim = . x®0 x n Hướng dẫn giải Đặt n
y = 1+ ax , khi đó từ x ® 0 Þ y ®1.. n 1+ ax y -1 y -1 a Vậy Lim = aLim = a Lim = ... = .. n x® y x ® y -1 y® ( y - ) 1 ( n 1- n-2 0 1 1 y + y +...+ y +) n Bài 9. Tính các giới hạn sau:. 1 3 3 3 3
1 + 5 + 9 + ...+ (4n - 3) xsin æ cos5 x x ö a/ lim b/ lim . ç ÷
n®¥ [1+ 5 + 9 +...+ (4n - 3)]2 x®0 è cos3x ø Hướng dẫn giải Câu a. n n 3 3 3 3 3 3 2
1 + 5 + 9 + ...+ (4n - 3) = å(4i -3) = å(64i -144i +108i - 27). i 1 = i 1 = n n n 3 2
= 64åi -144åi +108åi - 27n. i 1 = i 1 = i 1 = n(4n - 2) 2
1+ 5 + 9 +...+ (4n - 3) = = 2n - n. 2 n n(n +1) n
n(n +1)(2n +1) 2 n é n(n +1) ù
Mà ta có các công thức: åi = ; 2 åi = ; 3 åi = . ê ú i 1 = 2 i 1 = 6 i 1 = ë 2 û Do đó: 3 3 3 3
P(x) =1 + 5 + 9 +...+ (4n -3) là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 64 / 4 =16.
Và Q x = [ + + + + n - ]2 ( ) 1 5 9 ... (4
3) là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 4 . 3 3 3 3
1 + 5 + 9 + ...+ (4n - 3) 16 Do đó: lim = = 4.
n®¥ [1+ 5 + 9 +...+ (4n - 3)]2 4 Câu b. Trang 29 cos5x-cos3x 1 cos3x
xsin x.cos3x é ù xsin æ cos5 x x ö cos5x-cos3 æ cos5x - cos3 x x ö lim = lim ê 1+ ú . ç ÷ ç ÷ x®0 è cos3x ø x®0 êè cos3x ø ú ë û cos5x - cos3x 2 - sin 4xsin x ésin 4x sin x 8 - ù Vì lim = lim = lim . . = 8 - . ê ú x®0 x®0 x®0 x sin . x cos3x x sin . x cos3x ë 4x x cos3x û 1 cos5x - cos3x xsin æ cos5 x x ö Vì lim
= 0và áp dụng công thức lim(1+ u)1u = e , nên 8 lim = e- . ç ÷ x®0 cos3x u®0 x®0 è cos3x ø ìx = 2 1 ï Bài 10. Cho dãy số (x í
x + 2x + 3x + ...+ (n -1)x limu n ) thỏa mãn . Tìm với 1 2 3 n 1 x - =
, n ³ 1, n Î • . n n ï 2 î n(n -1) 3
u = (n +1) x .. n n Hướng dẫn giải 1 Ta có x = . 2 3 Với n ³ 3: 3
x + 2x + 3x + ...+ nx = n x 1 2 3 n n (1). 3
x + 2x + 3x + ...+ (n -1)x
= (n -1) x (2). 1 2 3 n 1 - n 1 - Từ (1) và (2) ta có 3 3
nx = n x - (n -1) x . n n n 1 - 3 (n -1) x n -1 n Suy ra n 1 - 2 x = = ( ) . .x . n 3 n 1 n - n n n +1 - n -1 n - 2 2 n n -1 3 2 2 2 Þ x = ( ) .( ) ...( ) . . ... x . n 2 n n -1 3 n +1 n 4 4 2 + Þ 4(n 1) x = suy ra limu = lim = 4. n 2 n (n +1) n 2 n 3 3x +1. 2 - x - 2 Bài 11.
Tính giới hạn hàm số : L = lim . x 1 ® x -1 Hướng dẫn giải Ta có:. 3 3 3x +1. 2 - x - 2
3x +1. 2 - x - 3x +1 + 3x +1 - 2 lim = lim . x 1 ® x 1 x -1 ® x -1 3 2 - x -1 3x +1 - 2 = lim 3x +1 + lim . x 1 ® x 1 x -1 ® x -1 3 é 3 2 3 ( 2 x 1) (2 x) 2 x 1ù - - - + - + ë û
( 3x +1 - 2)( 3x +1 + 2) = lim 3x +1 + lim . x 1 ® é 3 2 3 x 1 (x -1)
(2 - x) + 2 - x +1 ® ù
(x -1)( 3x +1 + 2) ë û Trang 30 (2 - x -1) (3x +1- 4) = lim 3x +1 + lim . x 1 ® é 3 2 3 x 1 (x -1)
(2 - x) + 2 - x +1 ® ù
(x -1)( 3x +1 + 2) ë û ( - 3x +1) 3 1 = lim + lim = . x 1 ® é 3 2 3 x 1
(2 - x) + 2 - x +1 ® ù ( 3x +1 + 2) 12 ë û 2
x + 3 - 2011x + 2009 Lim Bài 12. Tính: x 1 ® x -1 . Hướng dẫn giải 2 2
x + 3 - 2 - 2011(x -1) x + 3 - 4 lim = lim[ - 2011] x 1 ® x 1 x -1 ®
(x -1)( x + 3 + 2) . x +1 4021 = lim( - 2011) = - x 1 ® x + 3 + 2 2 ì 4 a = ï Bài 13. Cho dãy số (a 1 3 í n " ³1,nΕ lim a n ) thỏa mãn: . Tìm . n ( ï n + 2 î )2 2 a = n a - n +1 a a n n 1 + ( ) n n 1+ Hướng dẫn giải (n + 2)2 2 n Dễ thấy * a ¹ 0, n
" Î • . Từ giả thiết ta có = - (n + ) 1 . n a a n 1 + n 1 1 Với mỗi *
n Î • , đặt y = + ta có y = 1 và. n a 4 1 n 2 ( + )2 æ 1 ö æ 1 ö n n 2 y - = n y -
- n +1 Þ n + 2 y = n y Þ y = y ç n 1+ ÷ ç n ÷ ( ) ( )2 2 2 . n 1 + n n 1 è 4 ø è 4 + ø (n + 2)2 n 2 2 2
æ n -1ö æ n - 2 ö æ 1 ö 4 4n (n + )2 2 1 Do đó y = ... y = Þ a = . n ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1
è n +1ø è n -1 ø è 3 ø (n+ )2 2 1 n n 16 - n (n + )2 2 1 Vậy lima = 4. n 1 a Bài 14. Cho dãy số {x
x > 0, x = (3x + ), n = 2,3,... n} thỏa mãn . 1 n n 1 - 3 4 xn 1- Hướng dẫn giải 1 a Ta có 4
x = (x + x + x +
) ³ a với mọi n ³ 2 . n n 1 - n 1 - n 1 - 3 4 xn 1-
Do đó dãy {xn} bị chặn dưới. x 3 a 3 1
Với mọi n ³ 3 , ta có n = + £ + = 1 Þ x £ x . 4 x 4 4x 4 4 n n–1 n 1 - n 1 -
Do đó {xn} là dãy giảm. Trang 31
Từ đó suy ra dãy {x 4 lim x = a
n} có giới hạn và dễ dàng tìm được . n ìx = 3 1 ï Bài 15. Cho dãy số thực (x í 1 ( yn) n ) : . Xét dãy số cho bởi : x = 3 - , n " =1,2,3,... n 1 + ï x î n (3 + 5)n y = ; n
" = 1, 2,3,... Chứng minh dãy số ( yn )có giới hạn hữu hạn và tính giớn hạn đó. n
2 .nx .x .x ...x 1 2 3 n Hướng dẫn giải 1 § Ta có : x = 3-
Þ x .x = 3x -1 ; n " =1,2,3,.... n 1 + n n 1 + n xn
§ Đặt : z = x .x .x ...x thì ta có z
= x .x .x ...x .x .x . n 1 2 3 n n+2 1 2 3 n n 1 + n+2
= z .x .x . n n 1 + n+2 = z .(3x -1) . n n 1 + = 3z x - z . n n 1 + n = 3z - z . n 1 + n ìz = x = 3 1 1 ïï 8
Khi đó : íz = x .x = 3. = 8
. Suy ra (zn ) là dãy truy hồi tuyến tính cấp 2. 2 1 2 3 ï ïz
= 3z - z ; n " =1, 2,3,... î n+2 n 1 + n 3 ± 5
Xét phương trình đặc trưng : 2
t - 3t +1 = 0 Û t = . 2 n n æ 3- 5 ö æ 3+ 5 ö
Dãy có số hạng tổng quát dạng z = a ç ÷ + b ç ÷ . n ç 2 ÷ ç 2 ÷ è ø è ø ìæ 3- 5 ö æ 3+ 5 ö ïç ÷a + ç ÷ b = 3 ì 5 - 3 5 ç 2 ÷ ç 2 ÷ a ï = ïè ø è ø ï trong đó : 10 í Û í . æ ï 7 - 3 5 ö æ 7 + 3 5 ö ï 5 + 3 5 ç ÷a + ç ÷ b = 8 ïç b = 2 ÷ ç 2 ÷ ï è î ø è ø î 10 § Lúc này, ta có. n n æ 3+ 5 ö æ 3+ 5 ö ç ÷ ç ÷ (3 + 5)n 2 2 è ø è ø 1 y = = = = . n
2 .nx .x .x ... n n n x z 1 2 3 n n æ 3- 5 ö æ 3+ 5 ö æ 3- 5 ö a ç ÷ + b ç ÷ a ç ÷ + b 2 2 3 + 5 è ø è ø è ø Trang 32 1 1 1 3 5 - 5 Suy ra : lim y = = = = . n n æ - ö b 5 + 3 5 2 3 5 a.limç ÷ + b 10 3 + 5 è ø 3 5 - 5 § Vậy : y ® khi n ® +¥. n 2 u Bài 16. Cho dãy số (u u = 1 n u = n " Î • 3 lim n u = ?
n ) xác định bởi: , . Tìm . 0 n 1 + 2 2 n u + u +1 n n®+¥ n n Hướng dẫn giải u u 1 n Từ giả thiết n u = n " Î • ta có n * u < = n " Î • nên (v v = åu n ) xác định bởi có n 1 + 2 2 n u + u +1 n 1 + 2 2 n u n n k n n n k =0
giới hạn hữu hạn, giả sử lim v = c( c hữu hạn). n n®+¥ u 1 1 Cũng từ n u = n " Î • ta có 2 = n + u + n " Î • . n 1 + 2 2 n u + u +1 n u u n n n 1 + n 1 1 2 Û - = n + u n " Î • . n u u n 1 + n 1 1 Do đó 2 - = 0 + u . 0 u u 1 0 1 1 2 - =1 + u . 1 u u 2 1 …. 1 1 2 - = (n -1) + u . n 1 u u - n n 1 - n 1 1 1 (n -1) ( n 2n -1) -
Cộng theo vế ta được : - = + åu . u u 6 k n 0 k =0 1
(n -1)n(2n -1) v +1 n 1 - Þ = + . 3 3 3 n u 6n n n 1+ v Mà lim
n = 0 ( do lim v = c) nên. 3 n®+¥ n n n®+¥ 1
(n -1)n(2n -1) 1 Þ lim = lim = hay 3 lim n u = 3. 3 3 n®+¥ n n u ®+¥ 6n 3 n n®+¥ n 4 Bài 17. Cho dãy số (x x = 1, x =1+ , n " ³1 (xn)
n ) xác định bởi : . Chứng minh dãy có giới hạn hữu 1 n 1 + 1+ xn
hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Trang 33 4 4 4
Ta có x =1+ = 3; x =1+ = 2 > x ; x =1+ < x . 2 3 1 4 2 2 4 3 4
Hàm số f (x) = 1+
liên tục và nghịch biến trên [0,+¥), 1 < f (x) £ 5. 1+ x 4 Ta có x =1+
= f (x ), n " Þ (x ) bị chặn. n 1 + 1 n + x n n
x < x Þ f (x ) > f (x ) Þ x > x Þ f (x ) < f (x ) Þ x < x Þ .... 1 3 1 3 2 4 2 4 3 5 suy ra dãy (x
) tăng và dãy (x ) giảm suy ra (x
),(x ) là các dãy hội tụ. 2n 1 + 2n 2n 1 + 2n Giả sử lim x = ; a lim x = b ( , a b ³1) . 2n 2n 1 + Từ x
= f (x ) Þ lim x
= lim f (x ) Þ b = f (a). 2n 1 + 2n 2n 1 + 2n Từ x = f (x ) Þ lim x = lim f (x ) Þ a = f ( ) b . 2n+2 2n 1 + 2n+2 2n 1 + ì 4 b = 1+ ïï Giải hệ phương trình 1+ a í
Û a = b = 4 = 2. Vậy lim x = 2. 4 n ïa =1+ ïî 1+ b 1 x Bài 18.
Cho x = 2014, x = 2013 và x = (1- ) n x + + +
, n = 2,3,.. .Tìm lim x . 1 2 n 2 n 1 n n n n®¥ Hướng dẫn giải x - x ( 1 - )n ( 1 - )n n ( 1 - )k Ta có n 1 + n x - x = - Þ x - x = (x - x ) = - và x = x - . å n+2 n 1 + n+2 n 1 + 2 1 n n! n! n+2 1 k 1 = k! ¥ ( 1 - )k ¥ ( 1 - )k 1
Dãy này rõ ràng hội tụ và có giới hạn là x - å = x +1- å = x +1- . 1 1 1 k 1 = k! k =0 k! e 1
Từ đó suy ra lim x = 2015 - . n n®+¥ e
3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 1 Bài 1. Tìm lim . n®¥ n n! Hướng dẫn giải n
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức : n! > ( ) n (*) (" n ÎN*). 3 1
Bằng phương pháp qui nạp. Thật vậy : với n =1, ta có 1 > (đúng). 3 k
Giả sử (*) đúng với n = k tức là : k! > ( )k. Ta đi chứng minh (*) đúng với. 3 Trang 34 n = k+1. k k +1 k +1
Ta có (k+1)! = k!(k+1) >( ) k (k+1) = ( )k+1. 3 > ( )k+1. 3 3 1 (1+ )k 3 k
Bất đẳng thức cuối này đúng vì :. 1 k k(k -1) 1
k(k -1)(k - 2)....(k - k +1) 1 (1+ )k =1+ + . +.+ . =. k k 2! 2 k k! k k 1 1 k - 1 1 1 = 1+1+ (1- 1 1 2 1 )+.+ (1- )(1- )...(1- 1 )< 1+1+ +… + <1+1+ +.+ <. 2! k k! k k k 2! n! 2 1 2n- 1 1 <1+1+ +.+ +.< 1+ 1 = 3. 2 1 2n- 1 1- 2 n æ n ö n
Vậy (*) đúng với n = k +1. Do đó , n! >
từ đây ta suy ra n n! > . ç ÷ è 3 ø 3 1 3 => 0 < < . n n! n 3 Vì lim = 0. n®¥ n 1
Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: lim = 0. n®¥ n n! 1 Vậy lim(2014 + ) =2014. n n! ìx =1; x = 2 1 2 ï Cho dãy số (x 5 í x n ) thoả mãn 2 . (x + = n " Î ï • n+ ) ( n 1) * ; 2 4 î (xn )2
Tính I = lim x . n
Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương. ìy = 0; y =1
Đặt y = log x , ta có dãy 1 2 í . n 2 n * 2y
= 5y - 2y ; n " Î î • n+2 n 1 + n ì z = - , 2 z = -1 1 2 ìz = 2; - z = 1 - í2z = 5z -
Lại đặt y = z + 2, ta có dãy 1 2 z í î n+2 n+1 n . n n * 2z
= 5z - z ; n " Î î • n+2 n 1 + n 1
Tìm được số hạng tổng quát của dãy là z = 4. - . n 2n
Từ đó ta có lim y = 2 Þ lim x = 4 . n n Trang 35 2 a - 5a +10 Bài 2.
Cho dãy (a )¥ : a =1; n n a = , n " ³1. n n 1 = 1 n 1 + 5 - an
a) Chứng minh dãy (a ) hội tụ và tính lim a . n n
a + a + ...+ a 5 - 5 b) Chứng minh 1 2 n < , n " ³1.. n 2 Hướng dẫn giải 3
a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: 1 £ a £ , n " . n 2 5 - 5 2 x - 5x +10 10 Đặt A =
và xét hàm f (x) = = - , x (x ¹ 5) . 2 5 - x 5 - x 10 é 3ù é1 ù Suy ra f ( ¢ x) = -1< 0, x " Î 1;
., như vậy f (x) nghịch biến trên đoạn ;1 .. ( ê ú ê ú 5 - x)2 ë 2û ë 2 û
ìa < a < a < ... < a < ... < A ì$lim a = b £ A Dẫn đến 1 3 5 2k 1 - í 2k 1 - Þ í ..
a > a > a > ... > a > ... > A î
$lim a = c ³ A 2 4 6 2k î 2k
Kết hợp công thức xác định dãy ta được. 2 ì c - 5c +10 b = ïï 5 - c 5 - 5 í Û b = c = . 2 b ï - 5b +10 2 c = ïî 5 - b 5 - 5 Vậy lim a = .. n 2 é 5- 5 ö
b) Nhận xét: t " Î 1 ê ;
÷. thì t + f (t) < 5 - 5.. 2 ÷ ë ø Dẫn đến a + a < 5- 5, k " ³1. 2k 1 - 2k 5 - 5
Þ a + a +...+ a + a < 2k . (1). 1 2 2k 1 - 2k 2
Như vậy bất đẳng thức đúng với n = 2k . 5 - 5
Trường hợp n = 2k +1, chú ý a <
, kết hợp với (1) thu được:. 2k 1 + 2 5 - 5
a + a + ...+ a + a + a < (2k +1) . 1 2 2k 1 - 2k 2k 1 + 2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 1 un u e Bài 3. Cho dãy số thực (u u = n * u = , n " Ε n ) : ,
. Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn, 1 2 n 1 + 1 un - e tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Trang 36 Chứng minh 1
- < u < 0, n " ³ 2 n ( )1. 1 e Với n = 2, 2 u = Î -1;0 2 ( ) đúng. 1- e Giả sử ( )
1 đúng với n = k ³ 2 , ta chứng minh ( )
1 đúng với n = k +1. un u e Ta có u < 0 un
Þ e <1 Þ1 un - e > 0 n Þ < 0. n 1 un - e un u 1 u e u > 1 n - Þ e > ; n > 1 un un
- Û u e > e -1 n u Û e (u - > - n )1 (l 1 uôn đúng). n e 1 u n n - e
Vậy (1) được chứng minh. x xe x e (1 x + x - e )
Xét hàm f (x) = trên ( ;0
-¥ ). Ta có f '(x) = . 1 x - e (1 x - e )2 Hàm ( ) =1 x g x
+ x -e có '( ) =1 x g x
-e > 0 với mọi xÎ(- ;0
¥ )nên hàm này đồng biến trên ( ;0 -¥ ). x e (1 x + x - e )
Suy ra g (x) < g (0) = 0, suy ra f '(x) = < 0. (1 x - e )2
hay hàm f (x) nghịch biến trên ( ;0 -¥ ). e e 2(1- e) 1 e e e 2(1- e) Ta có 2 u = = , u = , u > u . 2 1- e 2(1- e) 3 e 4 2 2(1- e) 1- e
Suy ra f (u < f u Þ u < u < 0 < u 4 ) ( 2) . 5 3 1
Quy nạp ta được dãy (u (u2n ) 2n 1 + ) giảm và dãy tăng. Hơn nữa 1
- < u < 0, n
" ³ 2 nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn. n Giả sử limu = , a limu = b ( , a bÎ( 1
- ;0)), lấy giới hạn hai vế ta được. 2n 2n 1 + b ì be a a = ïï 1-e í Þ - e = e e - a ( ae b 1 a )2 a 1 a e . ae b ï = ïî 1 a - e æ æ öö t a 1
Đặt e = t t Î
;1 , ta được phương trình ( - )2 1 1 = . -t t t t
Û 2(1-t)ln(1-t) -(1-t)lnt -t lnt = 0. ç ç ÷ è e ÷ è øø
Hàm h(t) = 2(1-t)ln(1-t) -(1-t)lnt -t lnt nghịch biến nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, 1
nhận thấy t = là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất. 2 Trang 37 1 Suy ra a = 1
ln , thay vào được b = ln . 2 2 1 Vậy limu = ln . n 2 2n - 3 Bài 4. Cho dãy số (a n ³ a =1, a = a , n ³ 2 (b n ³ n ) , 1 n ) , 1 thỏa mãn và dãy thỏa mãn 1 n n 1 2n - n
b = åa ,n ³ . C
1 hứng minh dãy (bn ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. n i i 1 = Hướng dẫn giải
Ta có 2na = (2n - )
3 a Û a = 2é n -1 a - na ù,n >1 n n 1 - n 1 - (ë ) . n 1 - n û n
Do đó b = å2éia - i + a ù = é - n + a ù n ë i ( )1 2 1 1 i 1 + û ë ( ) . n 1 + û i 1 = 1
Ta chứng minh bằng quy nạp rằng na £ , n ³ . 1 n n Thật vậy:.
- Với n = 1, ta có a =1 nên khẳng định đúng. 1 2(n + ) 1 - 3 æ 2n -1 öæ 1 ö
- Giả sử khẳng định đúng với n (n ³ ) 1 . Ta có a = a £ , ta cần chứng n 1 + ç ÷ 2(n )1 n è 2n 2 ç ÷ + + øè n n ø æ 2n -1 öæ 1 ö 1 minh £ Û ç ÷ç ÷
(2n- )1 n+1 £ 2n n .
è 2n + 2 øè n n ø (n + ) 1 n +1 Û ( 2
n - n + )(n + ) 3 4 4 1
1 £ 4n Û1£ 3n.
Bất đẳng thức cuối đúng nên khẳng định trên đúng với n +1.
Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh. æ 1 ö Ta có 2 1- £ 2 1 é - ç ÷ ë (n + )
1 a ù = b £ 2. 1 û è n +1 n+ n ø
Theo nguyên lí kẹp thì dãy (b limb = 2
n ) có giới hạn và . n ì 1 u = ï 1 2 ï Bài 5.
Cho dãy số (bn ) được xác định bởi: í . 1 æ 1 ö 2 u ï = çu + u + n 1 + ÷ 2 n n ç 4n ÷ ïî è ø
Chứng minh dãy số hội tụ và tìm limu . n x®¥ Hướng dẫn giải 1 p Ta chứng minh u = cot ; n " Ε (*). n n n 1 2 2 + Trang 38 1 p 1
Thật vậy: n = 1 : u = cot = . 1 1 1 1 2 2 + 2
Þ (*) đúng với n =1. 1 p
Giả sử (*) đúng tới n = k , k *
Î • , nghĩa là có : u = cot . k k k +1 2 2 1 æ 1 ö
Ta chứng minh (*) cũng đúng với n= k+1. Thật vậy 2 u = çu + u + ÷. k 1 + 2 k k ç 4k ÷ è ø 1 æ 1 p 1 p 1 ö 1 æ p p ö 2 = cot + cot + ç ÷ 2 = cot + cot +1 ç ÷. k k 1 + k k 1 2 2 2 4 2 + 4k ÷ è + + + ÷ ø k 1 k 1 k 1 2 è 2 2 ø æ ö 1 ç p 1 ÷ p = çcot +
÷ ( vì khi k ® +¥ thì ® 0; sin ® 0). k 1 + k 1 2 2 + p 1 + ç sin ÷ 2k k 1 è 2 + ø p p 2 cos +1 2cos k 1 + k +2 1 1 1 2 2 p = . = = cot . k 1 + k 1 + k 1 + k +2 2 p 2 p p 2 2 sin 2sin cos k 1 + k +2 k +2 2 2 2
Þ (*) cũng đúng với n = k +1. 1 p Vậy u = cot ; n " Ε . n n n 1 2 2 + æ p ö æ p ö cos ç n 1 + ÷ ç n 1 1 p + 2 ÷ 2 2 2 lim u = lim ç . ÷ = limçcos ÷ = . n n n 1 x x p 2 x 2 + ®¥ ®¥ ®¥ p p p ç ÷ ç ÷ n 1 + n 1 è 2 ø è 2 + ø 2
Vậy dãy hội tụ và có lim u = . n x®¥ p Bài 6. Cho phương trình: n 2
x - x - x -1 = 0 với nÎN, n > 2 .
1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n > 2 , thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất x . n
2)Xét dãy số sau đây: U = n x -1 n = 2,3, 4,... limU ? n ( n ), Tìm . n Hướng dẫn giải
Xét phương trình: f (x) = 2
xn - x - x -1 = 0, với n nguyên, n > 2 (1). +) Ta có: f (x) n 1 ’ nx - =
– 2x –1. Do n > 2 , nên khi x > 1 thì f ’(x) > 0. Vậy f (x) là hàm số đồng biến trên ( + ; 1 ¥ .) Lại có: f ( ) 1 = 2 - < 0 ; (2) 2n f =
– 7 > 0 ( vì n nguyên và n > 2 Þn ³3). Ta có: f ( )
1 f (2) < 0 và f (x) liên tục, đồng biến nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất trên ( + ; 1 ¥ .) Trang 39
+) Mặt khác với 0 < x < 1 thì n 2
x < x ( do n > 2 ) suy ra f (x) < 0 với mọi 0 < x <1.
Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n > 2 .
Gọi x là nghiệm dương duy nhất của phương trình n 2
x – x – x –1 = 0. n Bây giờ xét dãy (U U = n(x - n = 3, 4,5, n )1 n ) với , . n Ta có: n 2
x - x - x -1 = 0 hay n
x = x2 + x +1. n n n n n n
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:.
x2 + x +1+1+ .... +1 n n ! $ ! # " n
x = x2 + x +1 = x2 + x +1 .... 1 . 1 . 1 n so 1 n n n n ( n n ) < (2). ! " # n n 1 - sô 1
(Chú ý rằng ở đây 1< x nên 2
x + x +1 ¹ 1, vì thế trong bất đẳng thức không có dấu bằng). n n n 6
+) Mặt khác do x < 2, nên 2
x + x < 6, nên từ (2) có: 1 < x < 1+ (3). n n n n n 6
Bất đẳng thức (3) đúng với mọi n ³ 3 và lim = 0 nên từ (3) ta có: lim x = . 1 n n ln(x2 + x +1 n n ) +) Ta có: n 2
x = x - x -1 Þ n ln x = ln x x Þ n = n ( 2 + + n n )1 . n n n ln xn x -1 Từ đó: n(x - x x n ) ( n ) 1 = ln( 2 + + n n )1 (5). ln xn
Đặt y = x -1Þ lim y = 0. n n n
Ta có: suy ra từ (5) limU = limn x - = n ( n )1 ln3. Vậy: limU = ln 3. n ln x ln y + t + n ( n )1 ln ( )1 Bài 7.
Cho số thực a, xét dãy số (x lim = lim = lim =1 n ) được xác định bởi n 1 ³ t®0 x -1 y t n n 3 x - 6x - 6 x = a, n n x = , n = 1, 2,.. .
.. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu hạn, 1 n 1 + 2 3x + 9x + 7 n n tìm giới hạn đó?. Hướng dẫn giải Với a = 1 - thì x = 1, - n " ³ nê 1 n lim x = 1 - . n n n®+¥ (x +1 x + 2 n 1 - )3 ( n 1- )3 Với a Ï 1 - thì x +1 = , x + 2 = , n " ³ 2. n 2 n 2 3x + 9x + 7 3x + 9x + 7 n 1 - n 1 - n 1 - n 1 - n 1 3 3 -
x + 2 æ x + 2 ö æ a + 2 ö Do đó n n 1 - = ç ÷ = ... , n " ³ . 1 ç ÷ x +1 x +1 è ø è a +1 ø n n 1 - Trang 40 n- n- 2(a + ) 1 3 1 - (a + 2) 1 3
Từ đó, tính được x = " ³ - - n n n n , 1,. (a + 2) 1 3 - (a + ) 1 3 1 3
Kết luận + a < - Þ a +1 > a + 2 Þ lim x = 2 - . 2 n n®+¥ 3
+ a > - Þ a +1 < a + 2 Þ lim x = - . 1 2 n n®+¥ 3 3 3
+ a = - Þ x = - , n
" ³1Þ lim x = - .. 2 n 2 n n®+¥ 2 ì 2012 u ï = Bài 8.
Cho dãy số (u ) xác định như sau: 1 í 2013
. Tìm lim u . n n n®+¥ 2 u
ï - 2u -1= 0 , n " =1,2,3,... î n n 1 + Hướng dẫn giải 2 u 1 Ta có : 2 u - 2u -1 = 0 n Û u = - . n n 1 + n 1 + 2 2 2 2 x -1 x 1 1
Xét hàm số : f (x) = = - ³ - . 2 2 2 2
f '(x) = x. . x -1 0 1 2 Ta có :. f ¢(x) - 0 + f (x) -3 0 8 -1 2 1 - 1 - 1 - 3 < u <1Þ < u < 0 Þ < u < - < 0. 1 2 3 2 2 2 8 Vậy : n " ³ 2 thì 1 - < u < 0. n 2 u -1 2 u - 2u -1 = 0 n Û u = . n n 1 + n 1 + 2 2 x -1 1 - Gọi a là nghiệm của :
= x ( x Î( ;0)) Þ a =1- 2 . 2 2
Ta có : u - a = f (u ) - f (a) . n 1 + n
Theo định lí La-grăng : f (u ) - f (a) = f '(a) . u - a . n n Trang 41 1 1
Do f '(a) £ Þ f (u ) - f (a) £ u - a . 2 n 2 n 2 1 æ 1 ö æ 1 n ö
Þ u - a £ u - a £ u - a £ ... £ u - a . n 1 + n ç ÷ n 1- ç ÷ 1 2 è 2 ø è 2 ø æ 1 n ö Mà lim
= 0 Þ lim (u - a) = 0 Þ lim u = a = 1- 2 . ç ÷ n 1 + n 1 + n®+¥ è 2 n®+¥ n®+¥ ø Vậy : lim u = 1- 2 . n n®+¥ ì 1 u = ï 0 ï 2 Bài 9. Cho dãy số {u {un}
n} xác định như sau: í 2
. Chứng minh rằng dãy số có u + 5 n u ï = , n " Î • n 1 + ï 2 î (u + 2 n )
giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
* Vì 0 < u ¹ 1 nên 0 < u ¹ 1, n " Ε . 0 n 9
* Áp dụng BĐT Cauchy ta có u + 2 +
³ 6. Dấu bằng xảy ra Û u = . 1 n u + 2 n n Þ 9 u + 2 + > 6 , n " Î • . n u + 2 n 2 u + 5 1 æ 9 ö * n u = = çu + 2+ ÷ - 2 >1, n " Ε . n 1 + 2(u + 2 u + n ) 2 n 2 è n ø 1 9
* u - u = - u -1+ . n 1 + n 2 n 2(u + 2 n ) 1 9
Xét hàm số f (x) = - x -1+ . 2 2(x + 2) f ( x) 1 9 ' = - - < 0, x
" > 1 Þ f (x) nghịch biến trên (1;+¥). 2 2(x + 2)2
* Vì u >1Þ f u < f = Þ u < u n " Ε n ( n) ( ) * 1 0 , . n 1 + n Þ {u Þ {un}
n}giảm và bị chặn dưới
có giới hạn hữu hạn. 2 u + 5
* Giả sử limu = a (1£ a < +¥). Từ n u =
chuyển qua giới hạn ta có. n n 1 + 2(u + 2 n ) 2 a + 5 éa =1 a = Û . 2(a + 2) ê ëa = 5( - loai) * Vậy limu =1. n u Bài 10.
Cho dãy số (u ) được xác định bởi: u = 4 và 2 u = u - 2, với * n Î • . Tìm n 1 lim + . n 1 n 1 + n
n®+¥ u .u ...u 1 2 n Trang 42 Hướng dẫn giải
Với mọi n = 1, 2,... ; ta có. u
- 4 = u - 2 - 4 = u - 4u = u u - 4 = u .u (u - 4) n 1 + ( n )2 2 2 4 2 2 n n n ( 2n ) 2 2 2 . n n 1 - n 1 -
= ... = u u ...u u (u - 4) =12 u .u ...u n n 1 - 2 1 1 ( n n 1- 1)2 2 2 2 2 2 (1). 2 æ u ö 4 Từ (1) ta có: n 1 + ç ÷ =12 + ; n " =1,2,...(2). u .u ...u è n ø
(u .u ...un )2 1 2 1 2
Mặt khác, vì u = 4 > 2 nên từ 2 u
= u - 2 và chứng minh bằng quy nạp ta thu được u > 2 với mọi 1 n 1 + n n n = 1, 2,.... 4 4 Do đó n *
u .u ...u > 2 ; n " Î • . Khi đó, 0 < < ; n " = 1, 2, . ... 1 2 n
(u .u ...un )2 2 2 n 1 2 4
nên theo nguyên lý kẹp giữa ta có: lim = 0.
n®+¥ (u .u ...un )2 1 2 2 æ u ö Vậy, từ (2) suy ra: n 1 lim + ç ÷ =12 . n®+¥ u .u ...u è 1 2 n ø
Mặt khác, hàm số f (x) = x liên tục trên nửa khoảng [0; + ¥) nên. 2 2 u æ u ö æ u ö n 1 + n 1 + n 1 lim = lim ç ÷ = lim + ç ÷ = 12 . n®+¥ u u ... n u ®+¥ u u ... n u ®+¥ u u ...u 1 2 n è 1 2 n ø è 1 2 n ø u Kết luận: n 1 lim + = 12 .
n®+¥ u .u ...u 1 2 n Bài 11.
a) Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực (x ) thỏa mãn. n n³0 x + x
x =1, 0 £ x £1 n " ³1và 2 2 n n 1
(1- x ) - (1- x ) - = n " ³1.. 0 n n n 1 - 2
b) Với dãy (x ) xác định như trên, xét dãy ( y ) xác định bởi y = x + x +...+ x n " ³ 0. Chứng n n n³0 n 0 1 n
minh rằng dãy ( y ) có giới hạn hữu hạn khi n ® +¥ . Hãy tìm giới hạn đó. n n³0 Hướng dẫn giải
a) Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng x xác định duy nhất với mỗi n ³ 0. Để làm được điều này ta cần dùng n
kết quả (chứng minh của nó là đơn giản) sau: Với mỗi số thực mÎ[ 1] 0; , phương trình t + m 2 2 (1- t) - (1- ) m =
có đúng một nghiệm trên [0;1]. 2 1 1 1 1 1
b) Để ý rằng y = x + (x + x ) + (x + x ) +!+ (x + x ) + x n " ³1.. n 0 0 1 1 2 n 1 2 2 2 2 - n 2 n 3
Ta có giới hạn cần tìm bằng .. 2 Trang 43 Bài 12. Giả sử (F n =
F = F =1; F = F + F n ) ( 1,2,.. ). là dãy Fibonacci (
với ). Chứng minh rằng nếu 1 2 n 1 + n n 1 - F 1 n 1 a + ¹ - (x x = a, x = n = 1, 2,3... , 1 n 1 + ( ) n )
với mọi n = 1, 2,3,...thì dãy số , trong đó là xác F 1+ x n n
định và nó có giới hạn hữu hạn khi n tăng lên vô hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
Giả sử x , x ,..., x đã được xác định. Khi đó x được xác định khi x ¹ - . 1 1 2 m m 1 + m 1 * Nếu x = 1 - thì do x = nên x = 2 - . m m 1+ x m 1 - m 1 - F F
Từ giả thiết F = F =1; F = F + F ta viết 2 x = - , 3 x = - . 1 2 n 1 + n n 1 - m F m 1 - F 1 2 F Giả sử i+2 x = -
, với i nào đó, 0 £ i £ m - 2 . m-i Fi 1+ 1 1 F F Vì x = nên i 1 + i+3 x = -1 = - -1 = - . m-i 1+ x m-i 1 - x F F m-i 1 - m-i i+2 i+2 F F Khi đó m 1 x + = -
. Mâu thuẫn với giả thiết m 1 x + ¹ -
. Như vậy (x ) là dãy số xác định. 1 F 1 F n m m 1 5 -1 - 5 -1 Phương trình 2 x =
Û x + x -1 = 0 có hai nghiệm u = ,v =
. Có hai trường hợp xảy ra:. 1+ x 2 2 - -
Trường hợp 1: x = v. Khi đó x = x , n " ³ 5 1 1. Do đó lim x = . 1 n 1 n n®+¥ 2 - v
Trường hợp 2: x ¹ 1 1 v . Chú ý = v Û x =
Û x = v. Do đó x ¹ v, n " ³ . 1 1 1 n n + x v n n x - u Đặt n z = , ta có. n x - v n 1 -u 2 x - u 1+ x (1- u) - ux u - ux u x - u u n 1 + n n n z = = - = = = . n = .z . n 1 + 2 x - v 1 (1- v) n - vx v - vx v x - v v n 1 + n n n - v 1+ xn n æ u ö u Từ đó có z =
.z nên z ® 0 khi n ® +¥ (vì < ). 1 n ç ÷ 1 è v ø n v x - u u - vz Từ n z = suy ra n x =
dần tới u khi n ® +¥ (do z ® 0). n x - v n 1- z n n n 5 -1
Tức là trong trường hợp này lim x = . n n®+¥ 2 Trang 44 ì y ü Bài 13. Cho dãy số {y 3 y > 0, y
= y + y +...+ y , n " ³ 1 n n} thỏa mãn
. Chứng minh rằng dãy số í ý 1 n 1 + 1 2 n î n þ
có giới hạn bằng 0 khi n ® +¥ . Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có 3 3 y
= y + y , n
" ³ 2, do đó dãy số {yn} là dãy tăng, vì. n 1 + n n n³2 vậy 3 3 2 2 y
= y + y = y (y +1) < y (y +1). n 1 + n n n n n 1 + n 2 2
Þ y < y +1, n " ³ 2 2 2 2
Þ y < y +1< ... < y + n - . 1 n 1 + n n 1 + n 2 2 2 æ y ö y + n -1 2 y + n -1 n 1 + 2 Þ < . Mà 2 lim
= 0 nên theo định lý kẹp ta có. ç ÷ 2 è n +1ø (n +1) 2 (n +1) 2 æ y ö y y n 1 + n 1 lim
= 0 Þ lim + = 0 Þ lim n = 0. ç ÷ è n +1ø n +1 n Bài 14. Cho (u 3 3 3
S = u + u + ...+ u n = 1, 2,...
n ) là một dãy số dương. Đặt với Giả sử n 1 2 n 1 u
£ S -1 u + u n = 2,3,.... limu n 1 + (( n ) n n 1-) với Tìm . S n n 1 + Hướng dẫn giải Ta có 3 S - S = u
> 0,n =1,2,...Þ S n 1 + n n 1 +
( n) là dãy số tăng. Nếu dãy số (S (S 3
limu = lim(S - S = 0 Þ limu = 0 n n 1 + n ) n )
n ) bị chặn trên thì là một dãy hội tụ và . n
Xét trường hợp dãy số (S lim S = +¥
n ) không bị chặn trên thì . n
Từ giả thiết ta có S u + u £ S u + u ,n = 2,3,.... n 1 + n 1 + n n n n 1 -
Từ đây ta thu được S u + u
£ S u + u ,n = 2,3,.. .. n n n 1 - 2 2 1 u S u + u S u + u Do đó n 1 - 2 2 1 2 2 1 u + £ Þ 0 < u < , n = 2,3,.... n n S S S n n n
Theo nguyên lí kẹp ta có limu = 0 . n
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có limu = 0 . n u ì =1 1 ï Bài 15.
Cho dãy số (u ) xác định bởi công thức truy hồi: í 1 . Chứng minh rằng n * u = u + - 2, n " Î • n 1 + n ï u î n
dãy (u ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. n Hướng dẫn giải Đặt 1 1 1
f (x) = x + - 2; g(x) = f ( f (x)) - x = + - 2 2 . Khi đó. x x 1 x + - 2 x Trang 45 æ 2 ö 2 - ç x - ÷( 2 x + ) 1 2 è ø 1 1 g '(x) =
£ 0 Þ g(x) < g(
) = 0 Þ f ( f (x)) < x, x " Î( ;1) (*).. 2 æ 1 ö 2 2 4 x x + - 2 ç ÷ è x ø 1
Mặt khác f '(x) < 0, x " Î( ;1) nên. 2 1 1 1 1 1
f (x) < f ( ) =
Þ f ( f (x)) > f ( ) = , x " Î( ;1) (**).. 2 2 2 2 2 1 1 Từ (*) và (**) suy ra:
< f ( f (x)) < , x x " Î( ;1) .. 2 2 1 1
Vậy: 1 = u > u >
Þ1= u > u > u > ,... Do đó (u
) là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn 1 3 1 3 5 2 2 2n 1 - 1 tại limu = .. 2n 1 - n®¥ 2 é 1 ù
Vì f (x) liên tục trên ;1 nên. ê 2 ú ë û 1 u = f (u
) Þ limu = f limu = .. 2n 2n 1 - 2n - n®¥ ( 2n 1 n®¥ ) 2
Vậy dãy (u ) được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn. Do đó dãy (u ) có giới hạn n n 1 bằng .. 2 Bài 16.
Tìm tất cả các hàm số f : ! ® ! thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:.
1. f (x + y) £ f (x) + f (y) với mọi x, y Î! . 2. ( ) x f x £ e - 1 với mỗi x Î ! . Hướng dẫn giải
f (x + 0) £ f (x) + f (0) Þ f (0) ³ 0 và bởi vì 0
f (0) £ e -1 = 0 nên f (0) = 0.
f (x + (-x)) £ f (x) + f (-x) Þ f (x) + f (-x) ³ 0 (1). x æ x ö æ x ö æ ö 2
f (x) £ f + f £ 2 ç ÷ ç ÷ çe -1 . ÷ è 2 ø è 2 ø è ø x x æ ö æ x ö æ x ö æ ö 2 4
f (x) £ 2çe -1÷ Þ f (x) £ f + f £ 4 ç ÷ ç ÷ çe -1 . ÷ è ø è 2 ø è 2 ø è ø x æ ö
Dùng quy nạp theo n =1, 2, … ta CM được 2 f (x) £ 2 n çe -1÷. ç ÷ è ø Trang 46 0 x æ ö
Cố định x Î ! ta có n 2 f (x ) £ 2 n çe -1÷. 0 0 ç ÷ è ø 0 x é ù 0 x æ ö 2n êe -1 Xét dãy n ú 2 a = 2 n
çe -1÷ ta có : lim a = lim x = x . n ç ÷ n x 0 0 ê ú è ø 0 2n ê ú ë û
Vậy f (x ) £ x , x " Î! (2). 0 0 0
Vậy f (x) + f (-x) £ x + (-x) = 0 (3).
Kết hợp ( 1) và (3) ta được f (x) + f (-x) = 0.
Từ (2) Þ f (-x) £ -x Þ f (x) ³ x (4). Kết hợp ( 2) và (4) ta được f (x) = , x x " Î! .
Thử lại f (x) = x ta thấy đúng. ìx =1, 1 ï Bài 17. Cho dãy số (x (xn)
n ) được xác định như sau 3 í . Chứng minh rằng có giới xn ïx = x + n " ³1 n 1 + n 2 î n
hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng. Hướng dẫn giải
Dễ thấy x > 0, với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự. n
Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên. Ta chứng minh * x < 8, n " Î • . n
Thật vậy, với n =1Þ x =1< 8 nên điều cần chứng minh đúng. 1
Giả sử ta có: x < 8 , với n nguyên dương. Ta cần chứng minh x < 8. n n 1 + n 3 n xk 1
Theo công thức xác định dãy số có: x = x + å
< 1+ 2å <1+ 2.2 < 8. n 1 + 1 2 2 k 1 = k k 1 = k
Do đó x < 8 với mọi n nguyên dương từ đó suy ra điều phải chứng minh. n ì 1 3 a = ; a = ï 1 2 ï 4 10 Bài 18. Cho dãy số thực (a (an)
n ) xác định bởi í
. Chứng minh rằng dãy 2 1 a a ï n n 1 a - = + + , n " Î • ,n ³ 2 n ïî 2 6 3
có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Có a ,a Î 0;1
a ,a ,...,a Î 0;1 ,k Ε ,k ³ 2 1 2 k ( ) 1 2 ( ), giả sử
. Từ công thức truy hồi ta có:. 2 1 1 a a 1 1 1 k k 1 + 0 + 0 £ a - = + +
£ + + =1, vì 0 £ a ,a £1 Þ a Î 0;1 k 1 + ( ). k 1 2 + 2 6 3 2 6 3 k 1 - k
Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được a Î n " Ε n ( ) * 0;1 , . Trang 47 ì 1 ì 3 x = x = ï y = y = 1 2 ï ï 1 2 ï 10
Xét hai dãy số mới ( x ( y n " Ε ;n ³ 2 n ) : n ) 4 : í và í với . 2 1 x x ï 2 1 y y n n 1 x - = + + ï n n 1 y - = + + n 1 + ïî 2 6 3 n 1 + ïî 2 6 3 1
Có 0 < x £ x < < x < , gi 1
ả sử ta có 0 < x £ x £ ... £ x <1,k Ε ,k ³ 3, khi đó. 1 2 3 2 1 2 k 2 2 1 x x 1 x x k 1 - k -2 k k 1 x - = + + £ + + = x . k k 1 2 6 3 2 6 3 +
Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được (xn ) là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có
giới hạn hữu hạn lim x = a . n é 3 2 1 a a a =
Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được a ê = + + Û 2 . 2 6 3 êa ë = 1 Do (x Ì a =1 n ) (0; )1 nên suy ra .
Chứng minh tương tự đối với dãy số ( y lim y = 1 n ) , ta cũng có . n Cuối cùng ta chứng minh *
x £ a £ y , n
" Î • (1) bằng phương pháp quy nạp:. n n n
Ta có x = a < y và a < x = y , với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng. Giả sử (1) đúng tới k Î • , k ³ 2, 1 1 1 2 2 2
tức là x £ a £ y , i
" =1,2,...,k . Khi đó. i i i 2 2 2 1 x x 1 a a 1 y y k k 1 - k k 1 - k k 1 x = + + £ a - = + + £ + + = y . k 1 + k 1 + k 1 2 6 3 2 6 3 2 6 3 +
Từ x £ a £ y , nÎ • ,n ³
1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lim a = . 1 n n n n Bài 19.
Cho hai dãy số (a ); b a = 3,b = 2 2 2 a = a + 2b b = 2a b n
( n) xác định bởi , và với n = 1, 2, 1 1 n 1 + n n n 1 + n n 3,…. Tìm 2 lim n b và 2
lim n a a ...a . n n®+¥ 1 2 n n®+¥ Hướng dẫn giải
Với mọi n = 1,2,3,… ta có. a + b
2 = a + 2b + 2 2a b = a + b 2 n 1 + n 1 + n n n n ( n n )2 2 2 . Do đó:. n- n- n
a + b 2 = a + b = a + b = = a + b = + = + n n ( 2 2 ... 2 3 2 2 2 1 n 1 - n 1 - ) ( n-2 n-2 ) 2 ( 1 1 ) 1 ( ) 1 2 2 2 2 ( )2 . n
Tương tự ta có: a - b = - n n ( )2 2 2 1 . 2n 2 1 n æ ö 2n 2 1 n æ ö Từ đó: a = + + - b = + - - n ç( 2 )1 ( 2 )1 n ç( 2 )1 ( 2 )1 ; . ÷ ÷ 2 è ø 2 2 è ø Trang 48 n n 2 +1 2 +1 2n ( )2 2n ( )2 Chú ý: 2n 2n
< b < a < 2 + 1 và lim = 2 + ,
1 nên theo nguyên lí kẹp ta có: 4 2 n n n®¥ 4 2 2n 2
lim b = lim n a = 2 + n n n®¥ n®¥ . 1 b b b b b
Mặt khác: b = 2a b hay n 1 a + = ( n " ³1). Suy ra: 2 3 n 1 + n 1 a a ...a . ... + = = . Do đó n 1 + n n n 2b 1 2 n 2b 2b 2b 2n n 1 2 n n 1 2
lim n a a ...a = lim n b = 2 +1 = 3 + 2 2 2 lim =1 n 1 + n®¥ ( )2 2 (vì ). 1 2 n n®+¥ 2n n®¥ ì 1 3 a = ; a = ï 1 2 ï 4 10 Bài 20. Cho dãy số thực (a (an)
n ) xác định bởi í . Chứng minh rằng dãy 2 1 a a ï n n 1 a - = + + , n " Î • ,n ³ 2 n ïî 2 6 3
có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
+ Ta Có a ,a Î 0;1
a ,a ,...,a Î 0;1 ,k Ε ,k ³ 2 1 2 k ( ) 1 2 ( ), giả sử
. Từ công thức truy hồi ta có:. 2 1 1 a a 1 1 1 k k 1 + 0 + 0 £ a - = + +
£ + + =1, vì 0 £ a ,a £1 Þ a Î 0;1 k 1 + ( ). k 1 2 + 2 6 3 2 6 3 k 1 - k
Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được a Î n " Ε n ( ) * 0;1 , . ì 1 x = x = ï 1 2 ï
+ Xét hai dãy số mới (xn ) 4 : í . 2 1 x x ï n n 1 x - = + + , n " Ε ,n ³ 2 n 1 + ïî 2 6 3 ì 3 y = y = ï 1 2 ï và ( yn ) 10 : í . 2 1 y y ï n n 1 y - = + + , n " Î • ,n ³ 2 n 1 + ïî 2 6 3 1
- Có 0 < x £ x < < x < , gi 1
ả sử ta có 0 < x £ x £ ... £ x <1,k Ε ,k ³ 3, khi đó. 1 2 3 2 1 2 k 2 2 1 x x 1 x x k 1 - k -2 k k 1 x - = + + £ + + = x . k k 1 2 6 3 2 6 3 +
Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được (xn ) là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có
giới hạn hữu hạn lim x = a . Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được n é 3 2 1 a a a = a ê = + + Û 2 . Do ( x Ì a =1 n ) (0; )1 nên suy ra . 2 6 3 êa ë = 1
- Chứng minh tương tự đối với dãy số ( y lim y = 1 n ) , ta cũng có . n
- Cuối cùng ta chứng minh *
x £ a £ y , n
" Î • (1) bằng phương pháp quy nạp:. n n n Trang 49
Ta có x = a < y và a < x = y , với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng. Giả sử (1) đúng tới k Î • , k ³ 2, 1 1 1 2 2 2
tức là x £ a £ y , i " =1,2,...,k i i i . Khi đó. 2 2 2 1 x x 1 a a 1 y y k k 1 - k k 1 - k k 1 x = + + £ a - = + + £ + + = y . k 1 + k 1 + k 1 2 6 3 2 6 3 2 6 3 +
+ Từ x £ a £ y ,nΕ ,n ³
1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lim a = . 1 n n n n 1 Bài 21. Tìm giới hạn: lim(2014 + ) . n n! Hướng dẫn giải n æ n ö
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: n! > (*) * n " Î N ). ç ÷ è 3 ø 1
Bằng phương pháp qui nạp. Thật vậy: với n = 1, ta có 1 > (đúng). 3 k æ k ö
Giả sử (*) đúng với n = k tức là: k ! >
. Ta đi chứng minh (*) đúng với. ç ÷ è 3 ø n = k +1. k æ k ö k +1 k +1 Ta có (k + ) 1 != k ( ! k + ) 1 > (k + )1 = ( 1 )k+ 3 . > ( 1 )k+ . ç ÷ è 3 ø 3 1 (1+ )k 3 k
Bất đẳng thức cuối này đúng vì:. æ 1 k ö k k(k -1) 1
k(k -1)(k - 2)....(k - k +1) 1 1+ = 1+ + . + ...+ . ç ÷ 2 2 è k ø k 2! k k ! k 1 1 1 1 2 k -1
=1+1+ (1- ) +...+ (1- )(1- )...(1- ) 2! k k! k k k 1 1 1 1 1 1 <1+1+ + ...+ < 1+1+ + ...+ < 1+1+ + ...+ + .. n 1 - n 1 2! n! 2 2 2 2 - 1 . <1+ = 3 1 1- 2 n æ n ö n
Vậy (*) đúng với n = k +1. Do đó n! >
, từ đây ta suy ra n n!> . ç ÷ è 3 ø 3 1 3 3 => 0 < < . Vì lim = 0. n n! n n®¥ n 1
Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: lim = 0. n®¥ n n! 1 Vậy lim(2014 + ) n =2014. n! Trang 50 3.4. CÁC DẠNG KHÁC ìx = 2016 1 ï Bài 1.
Tìm các giá trị thực của tham số m để dãy số (xn ) : í m
có giới hạn hữu hạn. * x = n " Î N ï n 1+ 2 1+ x î n Hướng dẫn giải
*) m > 0 Þ 0 < x < m n " >1. n m 2 - mx
Xét hàm số: f (x) = ta có f '(x) =
Þ f (x) nghịch biến trên (0;m). 2 x +1 2 2 (x +1) Suy ra (x ),(x
)đơn điệu và bị chặn. 2n 2n 1 + 2017
ìx > x > x > ... > + 1 3 5 0 < m <
Þ x > x , x Þ í . 1 2 3 2016
x < x < x < ... < î 2 4 6 4m m * f ( f (1)) = £1, x =
<1Þ x <1 n " Î N . 2 2 2 m + 4 2017 n 2
ìïa(1+b ) = m
Giả sử lim x = a,lim x
= b Þ a <1,í (I ). 2n 2n 1 + 2 b ïî (1+ a ) = m éìa = b êí (II ) 3
êîa + a = m ê Û ì 1 (I ) . ê b = ï êï a í (III ) ê 1 ï ê a + = m ëïî a
Khi o < m £ 2 hệ (I) có nghiệm duy nhất Þ (xn ) có giới hạn hữu hạn. 2017 Khi 2 < m <
hệ (II) có nghiệm duy nhất lớn hơn 1 và hệ (III) có nghiệm thỏa mãn a ¹ b . Do đó 2016
Þ lim x ¹ lim x
Þ (x ) không có giới hạn. 2n 2n 1 + n 2017
ìx £ x £ x £ ... 1 3 5 +
£ m < 2017 2016 Þ x > x , x £ x Þ í . 1 2 1 3 2016
x ³ x ³ x ³ ... î 2 4 6
Þ lim x < lim x
Þ (x ) không có giới hạn. 2n 2n 1 + n + *
m = 2017 2016 Þ x = 2016 n
" Î N Þ limx = 2016 . n n
ìx > x < x < ... + 1 3 5
m > 2017 2016 Þ x < x , x > x Þ í . 1 2 1 3
x < x < x < ... î 2 4 6
Þ lim x > lim x
Þ (x ) không có giới hạn. 2n 2n 1 + n
*) m < 0 tượng tự ta có 0 < m £ 2 và m = 2017 - 2016 . Trang 51 3 x - 6x - 6 Bài 2.
Cho số thực a, xét dãy số (x x = a, n n x = , n = 1, 2,.... n ) được xác định bởi . n 1 ³ 1 n 1 + 2 3x + 9x + 7 n n
Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?. Hướng dẫn giải Với a = 1 - thì x = 1, - n " ³ nê 1 n lim x = 1 - . n n n®+¥ (x +1 x + 2 n 1 - )3 ( n 1- )3 Với a ¹ 1 - thì x +1 = , x + 2 = , n " ³ 2. n 2 n 2 3x + 9x + 7 3x + 9x + 7 n 1 - n 1 - n 1 - n 1 - n 1 3 3 -
x + 2 æ x + 2 ö æ a + 2 ö Do đó n n 1 - = ç ÷ = ... , n " ³ . 1 ç ÷ x +1 x +1 è ø è a +1 ø n n 1 - n- n- 2(a + ) 1 3 1 - (a + 2) 1 3
Từ đó, tính được x = " ³ - - n n n n , 1,. (a + 2) 1 3 - (a + ) 1 3 1 3
Kết luận + a < - Þ a +1 > a + 2 Þ lim x = 2 - . 2 n n®+¥ 3
+ a > - Þ a +1 < a + 2 Þ lim x = - . 1 2 n n®+¥ 3 3 3
+ a = - Þ x = - , n " ³1Þ lim x = - .. 2 n 2 n n®+¥ 2 ì 1+ an 1 a + b + = ï Bài 3.
Cho hai dãy số dương (a ) , b a = 3,b = 2 n n 1- a n ( í n³ n ) xác định bởi: và n 1 + . 0 n³0 0 0 ï 2 2 a +1 = b î n n
Với mọi n = 0,1, 2,.... Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. Hướng dẫn giải p
Ta chứng minh bằng quy nạp 1 a = tan ,b =
, n = 0,1, 2,... (*) . Thật vậy. n 3.2n n p cos 3.2n p p Với n = 0 , ta có 1 a = 3 = tan = tan ,b = 2 = , vậy ( ) * đúng. 0 0 0 3 3.2 p cos 0 3.2 p p Với n = 1, ta có 1 2 1 a = = tan = tan ,b = = , vậy ( ) * đúng. 1 1 1 3 6 3.2 3 p cos 1 3.2 p 1
Giả sử khẳng định đúng đến n = k, k ³1, tức là a = tan ,b = . n 3.2n n p cos 3.2n p 1 Ta chứng minh a = tan ,b = . Thật vậy. Từ ( ) 1 ta có. n 1 + n 1 + n 1 3.2 + p cos n 1 3.2 + Trang 52 p p p p p 2 2 sin +1 2sin cos + sin + cos n n 1 + n 1 + n 1 + n 1 1+ a + n 1 + 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 = = = 1- a p p p 2 2 n 1 + cos cos - sin n n 1 + n 1 3.2 3.2 3.2 + 2 æ p p ö sin + cos ç n 1 + n 1 ÷ è 3.2 3.2 + ø = æ p p öæ p p ö cos - sin cos + sin ç n 1 + n 1 + ÷ ç n 1 + n 1 ÷ è 3.2 3.2 øè 3.2 3.2 + ø p p p sin + cos tan +1 n 1 3.2 + n 1 + n 1 + p = 3.2 3.2 = Þ a = tan n 1 + n 1 p p p 3.2 + cos - sin 1- tan n 1 + n 1 + n 1 3.2 3.2 3.2 + p Khi đó từ ( 1 1 2), suy ra 2 2 2 b = a +1 = tan +1 = Þ b = . n 1 + n 1 + n 1 + n 1 3.2 p + p 2 cos cos n 1 + n 1 3.2 3.2 + p
Như vậy theo nguyên lý quy nạp thì 1 a = tan ,b = , n = 0,1, 2,... . n 3.2n n p cos 3.2n p Do đó 1 1 lim a = lim tan
= tan 0 = 0; lim b = lim = =1. n n®+¥ n®+¥ 3.2n n n®+¥ ®+¥ p n cos 0 cos 3.2n
Kết luận: lim a = 0; lim b = 1.■. n n n®+¥ n®+¥ u ì = 2014 Bài 4.
Cho dãy số (u ) xác định như sau : 1 í . Tìm điều kiện của n 2 2 u
= u + (1- 2a)u + a ; n " =1,2,... î n 1+ n n
a để dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn khi n ® +¥ và tính giới hạn đó. n Hướng dẫn giải Ta có: 2 u
- u = (u - a) ³ 0 Þ u ³ u ; n " =1,2,3, . ... n 1 + n n n 1 + n
* Suy ra dãy số (u ) tăng knn ; từ đó dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên. n n
Giả sử lim u = L (LÎ! ), thì chuyển qua giới hạn hệ thức 2 2 u
= u + (1- 2a)u + a ta có: n n 1 + n n n®+¥ 2 2
L = L + (1- 2a)L + a Û L = a. - Nếu có chỉ số *
k Î • mà u > a thì u > ; a n
" ³ k trái với kết quả lim u = L = a. k n n n®+¥
Do đó: u £ a với mọi k = 1, 2,... hay 2 2
u - (1- 2a)u + a £ a, n " =1,2,3,.... k n n
Û a -1£ u £ a Û a -1£ 2014 £ a. 1
* Đảo lại: Nếu a -1£ 2014 £ a Þ a -1£ u £ a. 1 2 2
Þ (u - a +1)(u - a) £ 0 Þ u + (1- 2a)u + a - a £ 0 Þ u £ a . 1 1 1 1 2
và u £ u Þ a -1£ u £ a . 1 2 2 Trang 53
Bằng quy nạp ta chứng minh được a -1£ u £ , a n
" =1,2,3,... (H/s trình bày ra). n
Như vậy dãy (u ) tăng knn, bị chặn trên bới a , do đó dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn. n n
Kết luận: Với điều kiện a -1 £ 2014 £ a thì dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn khi n ® +¥ và lim u = a. n n n®+¥ ìx = a 1 ï Bài 5. Cho dãy số (x 3 n ) thỏa mãn í 2x
. Tìm a sao cho dãy số xác định và có n x = , n =1, 2,3,... ï n 1+ 2 3x -1 î n giới hạn hữu hạn. Hướng dẫn giải 3 2x 3 Đặt f ( x) = , x ¹ ± . Ta có x = , a x = f x 1 n 1 + ( n). Ta có. 2 3x -1 3 2 6x - 6x 6x ( 2 4 2 x - ) f '(x) 1 = = . (3x - )2 1 (3x - )2 2 2 1 Bảng biến thiên. 3
Ta xây dựng dãy số như sau a =
, a = f a , a = f a , a = f a ,... 0 0 ( 1) 1 ( 2) 2 ( 3) . 3
Nhận thấy a ,a ,...,a
,... < 0; a , a ,..., a ,... > 0 . 1 3 2k 1 + 0 2 2k æ 3 ö æ ö - 3
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 1 a Îç- ;0÷,a = f a Îç0; 1 2 ( 1) ÷. ç 3 ÷ ç 3 ÷ è ø è ø
Þ a < a Þ f a < f a Þ a > a Þ f a > f a Þ a < a 2 0 ( 3) ( 1) 3 1 ( 4) ( 2) . 4 2 3
Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy (a (a2k 1+)
2k ) đơn điệu giảm, bị chặn bởi 0 và , dãy đơn điệu 3 3 tăng và bị chặn bởi -
và 0. Từ đó tồn tại lim (a , lim a 2k ) ( 2k 1+). 3 k®+¥ k®+¥
Ta có a = f (a = f f a
Þ lima = f f lima Þ l = f f l n n 1 + ) ( ( n+2)) n ( ( n+2 )) ( ( )). 3 3 æ 2l ö 2ç 2 ÷ è 3l -1ø æ 1 2 ö Û l = Û l l - ç ÷( 2 l - ) 1 ( 4 2 20l -15l + 5 = 0 2 ) (*). 3 æ ö è 5 2l ø 3 -1 ç 2 ÷ è 3l -1ø 3 2x 3 æ 3 ö æ 3 ö (do f ( x) = , x ¹ ± liên tục trên ç - ;0÷, ç0;
÷ và l = lim a ). 2 3x -1 3 ç 3 ÷ ç ÷ n è ø 3 è ø n®+¥ 3 Xét 0 < l <
. Ta có f ( f (a - a = a - a < ( ) 1 3 * Û < a < 5 l = n )) 0 nên . Vậy . 3 n n+2 n 5 n 3 5 Trang 54 5
Tương tự ta chứng minh được dãy (a - 2k 1
+ ) đơn điệu tăng, hội tụ về . 5 ì 5 n’ u n chΩn 5 ïï +) Nếu a =
thì x = -x , x = -x nên ta có dãy 5 x = í . 5 2 1 3 2 n ï 5 - n’ n ï u lŒ î 5 Dãy này không hội tụ. ì 5 ï- n’ u n chΩn 5 ï +) Nếu a = - ta có dãy 5 x = í . 5 n ï 5 n’ n ï u lŒ î 5 Dãy này không hội tụ.
+) Nếu tồn tại n sao cho a = a thì ta có. n 3
x = a Þ f x = f a Û x = a Þ f x = f a
Þ x = a ,..., x = a = 1 n ( 1) ( n ) 2 n 1 - ( 2) ( n 1-) . 3 n-2 n 1 + 0 3
Khi đó không tồn tại x . n+2
Vậy nếu a = a thì dãy không xác định. n 5 +) Nếu 0 < a <
thì hai dãy con (x , x 2k ) ( 2k 1
+ ) cùng hội tụ về 0 nên giới hạn của dãy là 0. 5
Nếu a > 1 thì x = f a < a = x 2 ( )
và hàm số đồng biến nên dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1. Khi đó 1 dãy hội tụ về 1. 3 +) Nếu
< a < 1 thì x = f a >1 x 2
( ) . Khi đó ta có thể khảo sát dãy từ . Trường hợp này dãy đơn điệu 3 2
giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ về1.
+) Nếu a = 1 thì x =1 n
" nên dãy hội tụ về 1. n 5 3 5 3 +) Nếu < a < ta có = lim a và a =
nên tồn tại a ,a sao cho a
< a < a (Thật 5 3 2 5 n + + n®+¥ 0 3 2k 2k 2 2k 2 2k 3
vậy, các số hạng của (a a =
2k ) không thể cùng nằm bên trái a do
, chúng cũng không thể cùng nằm 0 3 3 5
bên phải a do nếu thế thì a < a < Þ lim a ¹ ). 2n 2 3 n n®+¥ 5 3 Vậy a Î(a ;a
Þ x Î a ;a
,..., x Î a ;a , x Î a ;+¥ Þ x > 2k +2 2k ) 2 ( 2k 2k-2 ) 2k ( 2 0 ) 2k+2 ( 0 ) . Khi đó ta lại có 2k +2 3
dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ về 1. 5 3
Vì f(x) là hàm lẻ nên trường hợp -
< a < 0, -1< a < - , a < 1 - , a = 1
- ta khảo sát tương tự. 5 3 Trang 55
Kết luận: Điều kiện để dãy xác định và có giới hạn hữu hạn là. 3 5 a ¹ ± ; a ¹ ±
; a ¹ a , n " =1,2,3,.... 3 5 n n Bài 6. Cho dãy số {a 0 < a ¹ 1 a = a + , n " ³1 n} xác định bởi và . Chứng minh rằng 1 n 1 + n an lim(a - n = n ) 0. n®¥ Hướng dẫn giải 1
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a = a + > 2 (do a ¹ ). 1 2 1 a 1 1 Nhận xét: a > , n n " ³ 2. n
Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap. Thật vậy.
Với n = 2 ta có a > 2 (đúng). 2
Giả sử a > k . k k Ta có 2 a = a +
> k +1 Û a + k > k +1 a k 1 + k k ( ) . k ak 2
Û a - k + a + k > k ( )1 0. k Û (a - ) 1 a - k > k ( k ) 0 (đúng). Suy ra a > k + . 1 k 1 + Như vậy a > , n n
" ³ 2 (điều phải chứng minh). n n n
Mặt khác, a - n +1 = a +
- n +1 = a - n + -1 n 1 + ( ) n ( ) . n a a n n 2 a - (n + ) 1 a + n
(a - n)(a - )1 n n n n = = (1). a a n n Áp dụng (1) ta có. ì (a - 2 a -1 2 )( 2 ) a ï - 3 = 3 a2 ï ï (a -3 a -1 3 )( 3 ) ïa - 4 = 4 í a . 3 ï ... ï ï a - n a -1 ïa - n +1 n n = n 1 + ( ) ( )( ) a î n Trang 56
a - 2 a -1 a - 3 a -1 ... a - n a -1
Suy ra (a - 3 a - 4 ... a - n +1 n n = 3 )( 4 ) ( n 1+ ( )) ( 2 )( 2 )( 3 )( 3 ) ( )( ). a a ...a 2 3 n
a - 2 a -1 a -1 ... a -1 Û a - n +1 n = n 1 + ( ) ( 2 )( 2 )( 3 ) ( ) . a a ...a 2 3 n æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö
Û a - n +1 = a - 2 ç1- ÷ç1- ÷...ç1- n 1 + ( ) ( 2 ) . ÷ a a a è 2 ø è 3 ø è n ø n æ 1 ö
Û a - n +1 = a - 2 Õç1- n 1 + ( ) ( 2 ) (2). ÷ = a i 2 è i ø n a + -1 1 a -1 n a a n Ta lại có n 1 1 + n n - = = < (do a > n Þ <1). a a a a n a n 1 + n 1 + n 1 + n 1 + n n æ 1 ö a a a a Suy ra 1 2 n 1 - 1 Õç1- ÷ < . ... = . = a a a a a i 2 è i ø 2 3 n n a a
Từ (2) Þ a - n +1 < a - 2 . < a - 2 . a > n n 1 + ( ) ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 (vì ). a n n n a
Þ 0 < a - n +1 < a - 2 . n 1 + ( ) ( 2 ) 1 . n a a Mà 1 lim = 0 Þ lim(a - 2 = 0 2 ) 1 . n®¥ n n ®¥ n
Do đó lim(a - n +1 = 0 lim(a - n = n ) 0 n 1 + ( )) hay . n®¥ n®¥ 1 é a ù Bài 7. Cho *
p Ε , a > 0 và a > 0. Xét dãy số (a ) được xác định bởi: a = ( p -1)a + , 1 n n 1 + ê n p 1 ú p a - ë n û
với mọi n ³ 1. Chứng minh dãy số (a ) có giới hạn hữu hạn khi n ® + .
¥ Hãy tìm giới hạn đó. n Hướng dẫn giải
* Theo bất đẳng thức Côsi ta có:. 1 æ a ö 1 - a p 1 a
= ç a + a +...+ a + ÷ ³ . p p a . p
= a , với " n ³ . (1). 1 n 1 + n n n p 1 - n p 1 p ç !""#""$ a ÷ p a - è 1 n n p- ø 1 é a ù a - a = ( p -1)a + - a n 1 + n ê n p 1 - ú n p a Do đó: ë n û . p a a a - a n n = - + = - £ 0; " n ³ 2 (2) p 1 - p 1 p . p a . p a - n n
Từ (1) và (2) ta có dãy số (a ) giảm và bị chặn dưới bởi p a ;. n
suy ra dãy số (a ) có giới hạn hữu hạn khi n ® + . ¥ . n Trang 57
Giả sử lim a = L; ( p L ³ a ). n n®+¥ 1 é a ù
Chuyển qua giới hạn hệ thức a = ( p -1)a + . n 1 + ê n p 1 ú p a - ë n û 1 é a ù
ta có phương trình L = ( p -1) p L +
Û pL = ( p -1) p L + a. ê p 1 p L - ú ë û p p
Û L = a Û L = a (thỏa mãn điều kiện). Vậy lim p a = a . n n®+¥ a 1 a Bài 8.
Cho trước số thực dương a và xét dãy số dương (x x + < +1 a a a - + n 1 + ( ) 1 n ) thỏa mãn với xn mọi *
n Î • . Chứng minh rằng dãy (xn ) hội tụ và tìm giới hạn của nó. Hướng dẫn giải a 1
Xét hàm số f (x) = x + , x > 0. x a 1 + 1 a - 1 a x -1 Ta có 1
f '(x) = a x - = ; 1 f '(x) 0 x x a a- + = Û = = . 2 2 x x 0
Ta có bảng biến thiên của hàm f(x):. x x 0 0 +∞ f'(x) 0 + +∞ +∞ f(x) f(x0) . a 1 a - - Suy ra f (x) f (x a + a + ( 1) a a a a a + ³ = + = + 0 ) 1 1 1 . 1 a a a a 1 Do đó x + < a +1 a - + £ x + n 1 + ( ) 1 . n 1 x + x n n 1 + Suy ra x < x hay (x x > 0 (xn)
n ) là dãy giảm. Kết hợp với
với mọi n ta suy ra dãy hội tụ. n 1 + n n a 1 a -
Đặt lim x = b > 0. Chuyển qua giới hạn ta được a 1 b (a 1)a + + £ + Þ b = x . n 0 b 1 Vậy 1 lim x a a- + = . n Trang 58 u ì Î(0;1) Bài 9.
Tìm tất cả các hằng số c > 0 sao cho mọi dãy số dãy số (u ) thỏa mãn n í n " ³1 n
u (1- u ) > c î n 1+ n
đều hội tụ. Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy (u ) n . Hướng dẫn giải
Ta xét các trường hợp sau. 1 c cu
+ Nếu c > , thì từ giả thiết, ta có n u > = ³ 4cu ; n " ³1. 4 n 1 + 1- u u (1- u ) n n n n
Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra 1 u (4c)n- >
u . Do 4c > 1 nên u ® +¥ khi n ® +¥ 1 . Do đó, c > n 1 n 4 không thỏa mãn. 1
æ - - c + - c ö
ìa(1- b) > c + Nếu 0 < c < 1 1 4 1 1 4
, thì tồn tại a,bÎç ;
÷, a < b sao cho í . Thật vây, lấy 4 ç 2 2 ÷ è ø b î (1- a) > c
æ1- 1- 4c 1+ 1- 4c ö a Îç ;
÷, đặt b = a + x (x > 0), thì. ç 2 2 ÷ è ø
a(1- a) - c
a(1- b) > c Û a(1- a - x) > c Û x < . a
Chú ý là b(1- a) > a(1- a) > .
c Do đó, ta chỉ cần chọn x > 0 như trên và b = a + x, thì được 2 bất đẳng thức nêu trên.
Xét dãy số (u )xác định bởi. n ìa khi n = 2m u = í . n b î khi n = 2m +1 1
thì dãy (u ) thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ. Thành thử, 0 < c < cũng không thỏa mãn. n 4 1 1 u + Nếu c = , thì n u > =
³ u . Suy ra dãy (u )tăng và bị chặn. Do đó, (u )hội tụ. 4 n 1 + 4(1- u ) 4u (1- u ) n n n n n n Đặt x = 1 m
li u ,thì từ giả thiết ta có x(1- 1 x) ³ hay x = 1 . Vậy limu = .. n 4 2 n 2
Bài 10. Cho dãy số (u u = 2 2 u = u - u +1 * n Î •
n ) xác định như sau: , ,
. Tìm giới hạn của dãy 1 n 1 + n n ( 1 1 1 s * s = + +...+ , n Î • n ) với . n u u u 1 2 n Hướng dẫn giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u ³ 2. n
Xét tính đơn điệu của dãy (u 2 u = u - u +1 n ) . Từ hệ thức ta suy ra được n 1 + n n n
" Ε ,u -u = u -1 > 0 (un) n 1 + n ( n )2 * , vậy dãy số tăng. Trang 59
Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được u -1 = u u -1 n 1 + n ( n ). 1 1 1 1 Þ = = - 1 1 1 Þ = - ( ) * với * n Î • . u -1 u u -1 u -1 u u u -1 u -1 n 1 + n ( n ) n n n n n 1 +
Thay n bởi 1, 2, 3,., n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra :. 1 1 1 1 + +...+ =1- . u u u u -1 1 2 n n 1 +
Do dãy (un ) là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:. 1) Dãy (u (un)
n ) bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, nên
tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử
lim u = a Þ a ³ 2 . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n ® +¥ ta có: n n®+¥ 2 2
a = a - a +1 Û a - 2a +1 = 0 Û a = , vô l 1 ý. 2) Dãy không bị chặn trên, do
(un) tăng và không bị chặn trên nên u = +¥ Þ u - = +¥ Þ = n ( n ) 1 lim lim 1 lim 0. n®+¥ n®+¥ n®+¥ un æ 1 1 1 ö æ 1 ö
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim ç + +...+ ÷ = lim ç1- ÷ = . 1 n®+¥ n u u u ®+¥ u è 1 2 n ø è n ø 1 3 u
Bài 11. Cho dãy số (un) thỏa mãn : u = 2016;u = u + . Tính lim n . 0 n 1 + n 2 u n®+¥ n n Hướng dẫn giải 3 æ 1 ö 3 1 3 3 (u ) = çu + ÷ = u + 3+ + . n 1 + n 2 n 3 6 u u u è n ø n n 3 1 Do u > 0 n " => 3 3 3 (u ) = u + 3 + + > u + 3 , n " . n n 1 + n 3 6 n u u n n suy ra 3 3 3
(u ) > u + 3n = 2016 + 3 , n n " Î • (1). n 0 Lại có. 3 æ 1 ö 3 1 3 3 (u ) = çu + ÷ = u + 3+ + n 1 + n 2 n 3 6 u u u è n ø n n . 3 1 1 1 3 3 < u + 3+ + < u + 3+ + n 3 2016 + 3n ( n 3 2016 + 3n)2 n (3n)2 1 1 => 3 3
(u ) < u + 3 + + n " Î • . n 1 + n n (3n)2 Suy ra. n 1 - n 1 1 - 1 n 1 n 1 3 3 3
(u ) < u + 3(n -1) + å + å
< u + 3n + å + . å n 1 2 1 2 k 1 = k k 1 = 9k k 1 = k k 1 = 9k Trang 60 n 1 1 1 1 1 Do å <1+ + +...+ = 2 - < 2. 2 - k 1 = k 1.2 2.3 (n 1)n n 2 n æ 1 n ö 1 và å
£ nå < 2n (Bất đẳng thức Bunhiacopxki). ç ÷ 2 è k 1= k ø k 1 = k 2 suy ra 3 3
(u ) < u + 3n + + 2n (2). n 1 9 Từ (1) và (2) suy ra. 2 3 3 3
2016 + 3n < (u ) < u + 3n + + 2n , n " Î • n 1 9 . 3 3 3 2016 (u ) u 2 2 n 1 Þ + 3 < < + 3+ + , n " Î • n n n 9n n 3 u Do đó lim n = 3. n®+¥ n Bài 12. Cho số thực a, xét dãy số (xn)xác định bởi: x = , a x
= ln 3+ cos x +sin x + 2014, n =1,2... 1 n 1 + ( n n )
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn
hữu hạn khi n ® + . ¥ . Hướng dẫn giải
Đặt f (x) = ln(3+sin x + cos x) + 2014, x " Î! . ( - Þ x) cos x sin x f ' = .
3 + sin x + cos x æ p ö æ p ö
Þ 3 f '(x) = 2 cos x +
- 2 f '(x)sin x + ç ÷ ç ÷ è 4 ø è 4 ø .
Þ ( f (x))2 £ + ( f (x))2 Þ f (x) 2 9 ' 2 2 ' ' £ = q, x " Î ! 7
Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số f (x)liên tục và có đạo hàm trên ! , thì với mọi số thực x,y tồn tại z Î ! sao cho:.
f (x) - f ( y) £ f '(z) x - y £ q x - y Þ f (x) - f ( y) £ q x - y , x " , y Î! . Với m > n( * ,
m nΕ ), ta có: x - x = f (x - f x £ q x - x £ ... m-n £ q - x - x m n m 1 - ) ( n 1-) 1 . m 1 - n 1 - m-n 1 + 1 Mặt khác: *
2014 < x < 2014 + ln5, n " Ε Þ x n ( n)bị chặn. Do đó: * m-n 1 e " > 0, N $ Ε : q - x - x < e, m " > n ³ N.. m-n 1 + 1
Vậy (xn ) là dãy Cauchy, nên dãy số đã cho hội tụ. u + v
Bài 13. Cho hai dãy số {u {v u =1,v = 2, n 1 - n 1 u - = ,v = u v n} n} và xác định như sau: và khi 1 1 n n n n 1 2 -
n ³ 2 . Chứng minh rằng hai dãy {u {vn} n} và
có giới hạn và tìm giới hạn đó. Trang 61 Hướng dẫn giải p 1 p a + b Ta có cos
= suy ra u = cos v mà n 1 - n 1 a - =
,b = a b khi n ³ 2 . 3 2 1 1 3 n n n n 1 2 - p p u + v Suy ra 1 1 2 3 3 u = = 2cos ,v = u v = 2cos . 2 2 2 1 2 2 2 p p p u + v p 2 2 3 2 3 3 u = = 2cos cos ,v = u v = 2cos cos . 3 3 3 2 2 2 4 2 3
bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được. p p p p u + v n 1 - n 1 - 3 3 3 2 3 u = = 2cos cos cos ....cos . n 2 3 n 1 2 2 2 2 2 - p p p p 3 3 3 3 v = u v = 2cos cos cos ....cos . n n n 1 - 2 3 n 1 2 2 2 2 - sin 2a Mặt khác cosa = nên ta có. 2sina p p p 3 p 2 3 sin sin sin n-2 1 3 2 2 p 3 u = 2 . .... = sin cot . n n-2 n 1 p p p 2 3 2 - 3 3 2 2 3 2sin 2sin 2 sin 2 n 1 2 2 2 - p p p 3 3 p sin sin sin sin n-2 1 3 2 2 3 v = 2 . ....... = . n n-2 p p p 2 p 3 3 3 3 2sin 2sin 2sin sin 2 n 1 - n 1 2 2 2 2 - Do đó. æ p ö æ p ö ç 3 ÷ ç ÷ ç cot n 1 1 p ÷ 3 p 2 - lim u = lim ç sin cot ÷ = 2sin lim ç ÷ n n-2 n 1 - n 1 n n 2 3 2 3 n ç ÷ ç 2 - ®¥ ®¥ ®¥ ÷ è ø ç ÷ ç ÷ è ø. p p 3 p 2sin 2sin n 1 - 3 3 3 2 3 = lim p = = n®¥ p p p 3 3 3 tan n 1 2 - Trang 62 n Bài 14. Với mỗi *
n Î • , đặt Q x = Õ x -i n ( ) ( 2). i=0
a) Chứng minh đa thức Q ¢ x x (0 ) ;1 n (
) có duy nhất 1 nghiệm thực thuộc . n
b) Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy {xn}. Hướng dẫn giải a) Ta có Q = Q = Q = = Q n = n ( ) n ( ) n ( 2 ) n ( 2 0 1 2 ... ) 0. nên trong mỗi khoảng (0 ) ;1 , ( ) ( n- )2 2 1;4 ,...,
1 ;n ) có 1 nghiệm của phương trình Q ¢ x = n ( ) 0.
Mặt khác, ta có det Q ¢ x = n Q ¢ x x (0 ) ;1 . n ( ) n ( ) nên đa thức
có duy nhất 1 nghiệm thuộc khoảng . n æ 1 1 1 ö
b) Ta có Q ¢ x = Q x + + + n ( ) n ( ) ... . ç 2 2 ÷ è x x -1 x - n ø Do Q ¢ x Q x Q ¢ x = n ( ) 0 n ( ) n (
) có nghiệm không là nghiệm của
nên nghiệm của phương trình là nghiệm của phương trình:. f x = + + + = n ( ) 1 1 1 ... 0. 2 2 x x -1 x - n 1 1 1
Ta có: f ¢ x = - - + + < n ( ) ... 0. 2 x (x - )2 1 ( 2 x - n )2 Nên f x (0 ) ;1
n ( ) nghịch biến trên . 1 1 1 Lại có: f x = + + + = n ( n ) ... 0. 2 2 x x -1 x - n n n n Þ 1 1 1 1 1 = + + ...+ + < 0. x - (n + )2 2 2 1 x x -1 x - n - + n n n x n n n ( )2 1 Þ f
x < 0 = f x = f x Þ x > x n 1 + ( n ) n ( n ) n 1 + ( n 1 + ) . n n 1 +
Do đó dãy {xn} là dãy giảm. Lại có x Î {xn} n (0; )1. Vậy dãy có giới hạn.
Bài 15. Cho x = , a x = b , a bÎ! . n x
- (n -1).x - x = 0 n =1,2,... lim x 1 2 ( ) và , Tìm . n+2 n 1 + n n n®¥ Hướng dẫn giải x - x Ta có n 1 + n x - x = - . n+2 n 1 + n ( 1 - )n ( 1 - )n Þ x - x = (x - x ) = - . b - a n+2 n 1 + 2 1 ( ). n! n! n ( 1 - )k n ( 1 - )k Þ x = x - å
. b - a = x + a - b - å . b - a n+2 1 ( ) 1 ( ) ( ). k 1 = k! k =0 k! 1 1
Þ lim x = x + a - b - = 2a - b - . n 1 e e Trang 63
Bài 16. Cho dãy (u 2 * u = 2;u
= u - u +1, n " Î • M
n ) axác định bởi: . Tìm nhỏ nhất thỏa mãn 1 n 1 + n n 1 1 1 * + +...+ < M , n " Î • . u u u 1 2 n Hướng dẫn giải Ta có u = 2 >1 và 2 u
= (u -1) + u . Chứng minh bằng quy nạp ta được u > 2, n " Ε ,n ³ 2 (*). 1 n 1 + n n n Ta lại có: 2
u = u - u +1Þ u -1 = u (u -1) . i 1 + i i i 1 + i i 1 1 1 1 1 1 Þ = - Þ = - .
u -1 u -1 u u u -1 u -1 i 1 + i i i i i 1 + n (*) 1 1 1 1 Do đó: * å = - =1- <1, n " Ε . - - - i 1 = u u 1 u 1 u 1 i 1 n 1 + n 1 + Suy ra M £ 1.
Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy (u ) tăng. Do đó nếu dãy có giới hạn hữu hạn L thì n
L > 2 . Vì phương trình 2
L = L - L +
1 có duy nhất nghiệm là L = 1, bởi vậy dãy (u ) không có giới hạn n n æ 1 ö
hữu hạn. Suy ra lim u = +¥ Þ limçå ÷ = 1(**). n è i 1= ui ø n æ 1 ö 0 n 1
Với mọi a < 1 thì từ limçå ÷ =
1 suy ra tồn tại n sao cho å > a. Do đó M ³1Þ M =1. 0 è i 1= u = u i ø i 1 i
Bài 17. Cho 4028 số thực: a ,a ,..., a
, b ,b ,...,b
. Xét dãy số (xn ) xác định như sau:. 1 2 2014 1 2 2014 2014
x = å[a .n + b ],(n =1,2,3,... n i i ). i 1 = 2014
Biết dãy số lập thành một cấp số cộng, chứng minh rằng å a là số nguyên (với [a] là phần nguyên của i i 1 =
số thực a – số nguyên lớn nhất không vượt quá a ). Hướng dẫn giải 2014 Đặt A = å 2014
a , B = å b . Gọi d là công sai của cấp số cộng (x .
n d = x - x n ) , thì: . i i n 1 + 1 i 1 = i 1 = Với mọi *
n Î • ta luôn có: a .n + b -1< a n + b £ a n + b i = i i [ .i i ] . , 1,2,...,2014. i i
Cộng vế với vế của 2014 bất đẳng thức cùng chiều, ta được:. .
A n + B - 2014 < x £ . A n + B. n
Thay n bởi n +1 và thay n bởi 1, có:. A(n + )
1 + B - 2014 < x £ A n +1 + B n 1 + ( ) .
A + B - 2014 < x £ A + B Þ -A- B £ -x < -A- B + 2014. 1 1
Cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều nói trên thu được:. Trang 64 .
A n - 2014 < x - x < . A n + 2014. n 1 + 1 Û . A n - 2014 < . n d < . A n + 2014 . Û d.n - . A n < 2014. 2014 Û d - A < . n 2014 Vì lim
= 0 nên suy ra d = A. Mặt khác dãy (x d
n ) gồm toàn số nguyên nên công sai cũng là số n
nguyên. Vậy A nguyên. (đpcm). ì 1 x = ï 1 ï
Bài 18. Cho dãy số (x 2 n ) thỏa mãn: í
. Chứng minh dãy số trên có giới hạn. 2 x ï n x = x + ; n " ³1 n 1 + n 2 ïî n Hướng dẫn giải n(n + ) 1 *) Ta chứng minh 2 x + n ³ với mọi n ³ 1 (1). n 2
Thật vậy: n = 1 đúng. k (k + ) 1
Giả sử (1) đúng với n = k ³ 1 : 2 x + k ³ . k 2 2 x Þ x + k +1 k = x + + k +1 k 1 + ( )2 k 2 ( )2. k x
= k x + k + k +1 2 ( k ) ( )2 2 . k æ k +1 ö k (k + ) 1 ³ -1 + (k + ç ÷ )2 1 . è k 2 ø 2 (k + )2 3 1 k (k + ) 1 ³ - . 2 2 k +1æ 3(k + ) 1 ö (k + ) 1 (k + 2) ³ ç - k ÷ ³ (đpcm). 2 è 2 ø 2
*) Ta chứng minh (xn ) có giới hạn. NX: (x x > 0 n n ) tăng và với mọi . n 1 1 1 2 Ta có - = £ . 2 x x x + n n n +1 n n 1 + n ( ) 1 1 æ 1 ö Þ - £ 2 1- < 2 . ç ÷ x x è n ø 1 n Trang 65 1 Þ x < với mọi n ³ 1. n 2 - 2
Vậy (xn ) có giới hạn.
Bài 19. Cho dãy số (a a > 0 n " =1,2,3,.... a > 0 (xn) n ) tăng, và . Xét dãy số xác định bởi n n a - a i 1 + i x =
. Chứng minh rằng tồn tại x . å lim n n n®+¥ i 1 = a aa i 1 + i Hướng dẫn giải
Dễ dàng thấy rằng dãy (xn ) tăng ngặt.
Trường hợp 1. Nếu a > 1. a - a 1 1 1 1 1 i 1 + i = - < - Þ x < . a a a 1 a a a a a - aa aa n aa i 1 + i i i 1 + i i i 1 + 1 vậy dãy (x lim x
n ) bị chặn trên do đó tồn tại n n®+¥ .
Trường hợp 2. Nếu 0 < a < 1. a - a 1 æ 1 1 ö i 1 + i < ç - ( ) * a 1 Û a
a - a < aa - aa a - i 1 + ( i 1 + i ) a a a ÷ ( ) * thật vậy . a a a a a i 1 + i i 1 + i è i i 1 + ø aa - aa a 1 i 1 i Û > aa - + ** i 1 + ( ). a - a i 1 + i Ta chứng minh (**).
Xét hàm số f (x) xa
= Trên đoạn [a ;a i i 1 + ].
Hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn tại số c Î(a ;a i i 1 + ) thoả mãn a a a a a a - - - f ¢(c) a a + a - a a + a - a a i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 + i = Û ac = Þ aa < (đpcm). i 1 a - a a - a + a - a i 1 + i i 1 + i i 1 + i 1
Từ đó ta có Þ x < Þdãy (x lim x
n ) bị chặn trên do đó tồn tại n aa a n n®+¥ . 1 a a ...a n 1
Bài 20. Cho dãy số xác định bởi 1 2 a =1;a >1; n a = +1 n
" =1,2,3,.... Đặt S = . å 0 1 n 1 + a n = a a énù k 1 k 1 + ék ù ê2ú ë û ê 2ú ë û
Chứng minh tồn tại lim S ( trong đó [x] là phần nguyên của x ). n n®+¥ Hướng dẫn giải 1 1 a -1 1 1 Ta có k 1 + = = = - . a a a a ...a 1 2 k a a ...a a a ...a a a ...a k 1 + ék ù 1 2 k 1 + 1 2 k 1 2 k 1 a + ê ú k 1 + ë 2û a -1 k 1 + Trang 66 n æ 1 1 ö 1 1 Suy ra S = åç - ÷ = - . n k 1 = a a ...a a a ...a a a a ..a è 1 2 k 1 2 k 1 + ø 1 1 2 n 1 +
Chứng minh lim (a a ...a = +¥ 1 2 n 1 + ) . n®+¥ Ta có : a >1 n " ³ 2. n
én ù ¹ n Þ a > a +1 suy ra dãy đã cho là tăng. ê ú 1 ë 2 n+ n û
Như vậy a > a +1 > ... > a + n - . 1 n n 1 - 1 1
Vậy lim (a a ...a = +¥ lim S = 1 2 n 1 + ) , suy ra . n n®+¥ n®+¥ a1 u ì = 3, v = 2 1 1 ï
Bài 21. Cho dãy số (u ); v 2 2 u í = u + 2v n " Î N n 1 + n n ( ) n
( n) được xác định như sau ïv = 2u v î n 1+ n n . Tìm các giới hạn sau: 2 lim n v và 2
lim n u .u ...u n x®¥ 1 2 n x®¥ . Hướng dẫn giải Ta có: n
" Î N : u + 2.v = u + 2v + 2 2.u v = u + 2.v n 1 + n 1 + n n n n ( n n )2 2 2 (1).
Áp dụng (1) ta suy ra: u + 2.v = (u + 2.v n n n 1 - n 1 - )2. n 1 - n 1 2 2 - 2n
Theo quy nạp ta có: u + 2.v = u + v = + = + n n ( 2. 3 2 2 2 1 1 1 ) ( ) ( ) (2). n
Lập luận tương tự ta cũng có: u - v = - n n ( )2 2. 2 1 (3). ì 1 é ù u = + + - ï n ê( n n 2 )2 1 ( 2 )2 1 2 ú ï ë û Từ (2) và (3) ta suy ra: í . 1 ï é ù v = + - - n ï ê( n n 2 )2 1 ( 2 )2 1 î 2 2 ú ë û 2n 2n 2 1 n é ù Lại có: u = + + - < + 2n u < 2 +1 n ê( 2
)1 ( 2 )1 ú ( 2 )1 , từ đó suy ra: . 2 ë û n n n + n 2 1 n 2 ( )2 n n + é ù
Tương tự ta có : v = + - - > 2 Þ v > n (ê ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 . 2 2 ú ë û 8 n 8
Mặt khác ta có: v < u . Do đó ta có dãy bất đẳng thức sau:. n n n ( n + n æ ö 2 + ) ( 2 )2 1 1 1 2 2 2n 2 1 n =
< v < u < 2 +1. ç ÷ è 8 ø 8 n n Trang 67
Như vậy theo định lí kẹp ta suy ra 2n 2
lim u = lim n v = 2 + . 1 n n n®¥ n®¥ v
Hơn nữa theo đề bài ta có: n 1 v = 2u v Þ u + = . n 1 + n n n 2vn v v v v v Suy ra: 2 3 n 1 + n 1 + n 1
u .u ...u = . ... + = = . 1 2 n n n 1 2v 2v 2v 2 v 2 + 1 2 n 1 v n n n n+ n 1 Vậy 1 2 2 2 2
lim u .u ...u = lim = lim v .lim . 1 2 n n 1 + n 1 + n 1 n n 2 n n 2 + ®¥ ®¥ ®¥ ®¥ n 1 n n n n n 1 2 2 2 2 2 2 = lim 2u v .lim
= lim 2.lim u .lim v .lim . n n n 1 + n n n 1 n n 2 n n n n 2 + ®¥ ®¥ ®¥ ®¥ ®¥ ®¥ =1.( 2 + ) 1 .( 2 + ) 1 .1 = 3 + 2 2 . Tóm lại ta có: 2 lim n v = 2 +1 và 2
lim n u .u ...u = 3 + 2 2 . n n®¥ 1 2 n n®¥ n
Bài 22. Cho dãy số (a 0 < a ¹ 1 a = a + , n " ³1 n ) xác định bởi và . Chứng minh rằng 1 n 1 + n an lim(a - n = n ) 0. n®¥ Hướng dẫn giải 1
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a = a + > 2 (do a ¹ ). 1 2 1 a 1 1 Nhận xét: a > , n n " ³ 2. n
Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap. Thật vậy.
Với n = 2 ta có a > 2 (đúng). 2
Giả sử a > k . k k Ta có 2 a = a +
> k +1 Û a + k > k +1 a k 1 + k k ( ) . k ak 2
Û a - k + a + k > k ( )1 0. k Û (a - ) 1 a - k > k ( k ) 0 (đúng). Suy ra a > k + . 1 k 1 + Như vậy a > , n n
" ³ 2 (điều phải chứng minh). n n n
Mặt khác, a - n +1 = a +
- n +1 = a - n + -1 n 1 + ( ) n ( ) . n a a n n Trang 68 2 a - (n + ) 1 a + n
(a - n)(a - )1 n n n n = = (1). a a n n Áp dụng (1) ta có. ì (a - 2 a -1 2 )( 2 ) a ï - 3 = 3 a2 ï ï (a -3 a -1 3 )( 3 ) ïa - 4 = 4 í a . 3 ï ... ï ï a - n a -1 ïa - n +1 n n = n 1 + ( ) ( )( ) a î n
a - 2 a -1 a - 3 a -1 ... a - n a -1
Suy ra (a -3 a - 4 ... a - n +1 n n = 3 )( 4 ) ( n 1+ ( )) ( 2 )( 2 )( 3 )( 3 ) ( )( ). a a ...a 2 3 n
a - 2 a -1 a -1 ... a -1 Û a - n +1 n = n 1 + ( ) ( 2 )( 2 )( 3 ) ( ) . a a ...a 2 3 n æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö
Û a - n +1 = a - 2 ç1- ÷ç1- ÷...ç1- n 1 + ( ) ( 2 ) . ÷ a a a è 2 ø è 3 ø è n ø n æ 1 ö
Û a - n +1 = a - 2 Õç1- n 1 + ( ) ( 2 ) (2). ÷ = a i 2 è i ø n a + -1 1 a -1 n a a n Ta lại có n 1 1 + n n - = = < (do a > n Þ <1). a a a a n a n 1 + n 1 + n 1 + n 1 + n n æ 1 ö a a a a Suy ra 1 2 n 1 - 1 Õç1- ÷ < . ... = . = a a a a a i 2 è i ø 2 3 n n a a
Từ (2) Þ a - n +1 < a - 2 . < a - 2 . a > n n 1 + ( ) ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 (vì ). a n n n a
Þ 0 < a - n +1 < a - 2 . n 1 + ( ) ( 2 ) 1 . n a a Mà 1 lim = 0 Þ lim(a - 2 = 0 2 ) 1 . n®¥ n n ®¥ n
Do đó lim(a - n +1 = 0 lim(a - n = n ) 0 n 1 + ( )) hay . n®¥ n®¥ 1 a a
Bài 23. Cho trước số thực dương a và xét dãy số dương ( x x + < +1 a a a - + n 1 + ( ) 1 n ) thỏa mãn với xn mọi *
n Î • . Chứng minh rằng dãy (xn ) hội tụ và tìm giới hạn của nó. Hướng dẫn giải Trang 69 a 1
Xét hàm số f (x) = x + , x > 0. x a 1 + 1 a - 1 a x -1 Ta có 1 f ( ¢ x) = ax - = ; 1 f (x) 0 x x a a- + ¢ = Û = = . 2 2 x x 0
Ta có bảng biến thiên của hàm f (x) :. x x 0 0 +∞ f'(x) 0 + +∞ +∞ f(x) f(x0) . a 1 a - - Suy ra f (x) f (x a + a + ( 1) a a a a a + ³ = + = + 0 ) 1 1 1 . 1 a a a a 1 Do đó x + < a +1 a - + £ x + n 1 + ( ) 1 . n 1 x + x n n 1 + Suy ra x < x hay (x x > 0 (xn)
n ) là dãy giảm. Kết hợp với
với mọi n ta suy ra dãy hội tụ. n 1 + n n a 1 a -
Đặt lim x = b > 0. Chuyển qua giới hạn ta được a 1 b (a 1)a + + £ + Þ b = x . n 0 b 1 Vậy 1 lim x a a- + = . n u ì ,u Î(0;1) 1 2 ï
Bài 24. Cho dãy số thực (u (u ) n ) thỏa mãn í 1 4 . Chứng minh rằng dãy có 3 3 u = u + u , n " ³1 n ï n+2 n 1 î 5 + 5 n
giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
ìx = min u ,u 1 { 1 2} ï Xét dãy (x ) : í . n 1 4 3 3 ïx = x + x n 1 + î 5 n 5 n Ta thấy x Î(0;1). n 3 13 3 3 3 3 1 4
x + x + x + x + x Ta có 3 n n n n n 5 3 3 x = x + x = ³ x > x . n 1 + 5 n 5 n 5 n n Vậy dãy (x
lim x = a (0 < a £1)
n ) tăng, bị chặn trên nên hội tụ, . n 1 4
Chuyển qua giới hạn ta được: 3 3 a = a + a Þ a = . 1 3 5
Ta sẽ chứng minh x £ u ; u <
1 (*) bằng quy nạp theo n. n 2n 1 - 2n Trang 70
Ta có x £ u ;u <1. Giả sử x £ u ;u < . 1 1 1 2 n 2n 1 - 2n 1 4 1 4 Suy ra 3 3 3 3 x = x + x £ u + u = u <1. n 1 + n n 2n 2n 1 - 2n 1 5 5 5 5 + 1 4 1 4 1 4 3 3 3 3 3 3 x = x + x £ x + x £ u + u = u <1. n 1 + n n n 1 + n 2n 1 + 2n 2n+2 5 5 5 5 5 5
Vậy (*) đúng với mọi n nguyên dương. Từ đó suy ra limu =1. n ìx = 2007 1 ï
Bài 25. Cho dãy số thực (x í x ( ) n ) xác định bởi: n . Chứng minh dãy số có x = 3 + n " ³1 n x n 1 + ï 2 x -1 î n
giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
Dễ dàng quy nạp x > 3 . n x 1 Ta có: x = 3 n + = 3 + 1+ < 3 + 2 n " ³1. n 1 + 2 x -1 2 x -1 n n
Vậy x £ 2007 với mọi n nên dãy bị chặn. n x 1 1 Xét f (x) = 3 + Þ f ¢(x) = - Þ f ¢(x) < khi x > 3. 2 x -1 (x - )3 2 2 2 1 Ta có:. 2 f ( x) x x 2 = x Û x = 3 + Û (x - 3) = 2 2 x -1 x -1. 2 2 2
Û (x - 3x) - 2(x - 3x) - 3 = 0 2 éx - 3x = 1 - (L) Û ê 2 êëx - 3x = 3 . 3 + 15 x = = a 2
Áp dụng định lý Lagrang có:. 1 æ 1 n ö
x - a = f (x ) - f (a) = f '(q ) x - a <
x - a < ... < x - a ¾¾¾ ®0 Do đó n 1 + n n n n ç ÷ 1 2 2 è 2 2 n®¥ ø 3 + 15 lim x = a = . n 2 u ì = e 2 u
Bài 26. Cho dãy số (u 1 n 1 lim +
n ) xác định bởi: í . Tìm . 2 * u = u - 2, n " Î î • 2 2 2
n®+¥ u .u ...u n 1 + n 1 2 n Hướng dẫn giải Trang 71 1
Vì u = e > 2 nên đặt u = a + , a > 1. 1 1 a 2 æ 1 ö 1 Ta có 2 2
u = u - 2 = a + - 2 = a + . 2 1 ç ÷ 2 è a ø a n 1
Bằng quy nạp, ta có thể chứng minh được 2 u = a + " Î • n+ n , n . 1 2 a Xét. 1 - 1 n n n - i 1 - æ 1 ö æ 1 ö éæ 1 i 1 - ö æ 1 öù æ 1 n ö æ 1 ö 2 2 2 Õu = Õ a + = - - Õ + = - + ç - a a a ÷ ç ÷ êç ÷ ç - a a i i 1 i 1 ÷ú ç ÷ ç ÷ 2 2 2n = = è a ø è a ø ëè a ø = è a øû è a i 1 i 1 i 1 ø è a ø 2 æ 1 ö æ 2n 1 ö . a - a + 2 ç ÷ ç n ÷ 2 2 u 2 2 æ ö æ 1 + è a ø è a ø u 1 ö n 1 n 1 Þ = Þ lim + = a - 2 = a + - 4 = e - 4 2 2 2 2 2 2 2 ç ÷ ç ÷ u .u ... n u ®+¥ æ ö u u u è a ø è a n ø n 1 . ... 1 2 2 1 2 n a - ç ÷ 2n è a ø
Bài 1. Cho dãy số (xn ) xác định bởi. ìx = a 1 ï 2 í x + 7 . n x = , n =1, 2,3,... n 1 + ï 2 î (x +3 n )
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải Theo Côsy thì. 1 æ 16 ö (x - x + n )1( 7 n ) x = ç x + 3+
- 6÷ ³1; x - x = - £ 0. n 2 n x + 3 n 1 + n è 2( x + 3 n ) n ø
dãy giảm, bị chặn bởi 1, vậy dãy có giới hạn.
Từ lim x = aÞ a = . 1 n ìx =1 1 ï
Bài 27. Cho dãy số {x í 2014 {xn}
n} , xác định bởi:
. Chứng minh rằng dãy số có x =1+ , n = 1, 2,3... n 1 + ï 1+ x î n
giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 2014
Xét hàm số f (x) = 1+
trên [0;+¥). Ta thấy f (x) liên tục và nghịch biến trên [0;+¥) (Vì 1+ x 2014 - f '(x) =
< 0). Do đó 1< f (x) £ 2015. (1+ x)2 2014 Ta có x =1+
= f (x ) với mọi n Þ dãy (xn ) bị chặn. n 1 + 1 n + xn Trang 72
Mặt khác, ta có x < x Þ f (x ) > f (x ) Þ x > x Þ f (x ) < f (x ) Þ x < x Þ ... .Suy ra dãy (x2n 1+) 1 3 1 3 2 4 2 4 3 5 (x (x2n 1+) 2n )
là dãy đơn điệu tăng và bị chặn, còn dãy
là dãy đơn điệu giảm và bị chặn, nên các dãy ,
(x2n ) có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim x
= a và lim x = b, ( a,b ³1). 2n 1 + 2n Từ x
= f (x ) Þ lim x
= lim f (x ) Û b = f (a). 2n 1 + 2n 2n 1 + 2n x = f (x ) Þ lim x = lim f (x
) Û a = f (b). 2n+2 2n 1 + 2n+2 2n 1 + ì 2014 b = 1+ ïï Vậy ta có hệ 1+ a í
Û a = b = 2015 . 2014 ïa =1+ ïî 1+ b Vậy lim x = 2015 . n ìx = 2,1 1 ï
Bài 28. Cho dãy số (x 2
n ) được xác định bởi í với mỗi số
x - 2 + x + 8x - 4 n n n ïx = * , n = 1, 2,... n 1 + ( ) î 2 n 1
nguyên dương n, đặt y = . Tìm y . å lim n 2 - n i 1 = x 4 i Hướng dẫn giải
Ta có kết quả sau: với số thực a > 2 bất kì, ta có. 2 2
a - 2 + a + 8a - 4
a - 2 + a + 4a + 4 a - 2 + (a + 2) > = = a. 2 2 2
Do đó 2,1 < x < x < ... Suy ra dãy (x lim x = L > 2
n ) là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn . 1 2 n
Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình. 2
x - 2 + x + 8x - 4 2 x =
Û x - 4 = (x + 3)(x - 2). 2
phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2. Suy ra dãy (x lim x = +¥
n ) tăng và không bị chặn trên nên . n 2
x - 2 + x + 8x - 4 Ta có n n n 2 x =
Û 2x - x + 2 = x + 8x - 4. n 1 + n 1 2 + n n n
Û (2x - x + 2 = x + x - Û x - = x + x - + n )2 2 2 8 4 4 3 2 n 1 n n n+2 ( n )( n ). 1 x + 3 x + 2 +1 1 1 n n Û = = = + . 2 2 2 x - 2 x - 4 x - 4 x - 2 x - 4 n n 1 + n 1 + n 1 + n 1 + 1 1 1 Û = - . 2 x - 4 x - 2 x - 2 n 1 + n n 1 + Trang 73 n 1 1 1 1 Suy ra y = å = - =10 - . n 2 - - - - i 1 = x 4 x 2 x 2 x 2 i 1 n 1 + n 1 + Vậy lim y =10. n ìx = a ï
Bài 29. Dãy số thực (x nΕ 0 í ( n " Ε ) n ) (
) được xác định bởi:
. Tìm tất cả các giá trị 2 ïx = 2x -1 î n 1+ n
của a để x < 0 với mọi số tự nhiên n. n Hướng dẫn giải
Giả sử x < 0 với n " Î • . n 2 Từ 2 x = 2x -1< 0 có - < x < 0. n+2 n 1 + 1 2 n+ 2 - - Lại từ 2 - < 2x -1< 2 2 2 1 0 có - < x < Þ 1
- < x < - , n " Î • . 2 n 2 n 2 n 4 1 3 Suy ra x - > 1 và x + <1, n " Î • . n 2 4 n 2 1 1 1 1 1 3 1 Từ đó 2 2 x +
= 2x -1+ = 2 x - = 2 x - . x + > x + , n " Î • . n 1 + 2 n 2 n 4 n 2 n 2 2 n 2
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có:. 2 1 1 2 1 æ 2 ö 1 æ 2 n ö 1 æ 2 n ö a +
= x + < x + < x + < ... < x + < , n " Î • . 0 1 ç ÷ 2 ç ÷ ç ÷ 2 2 3 2 è 3 ø 2 è 3 n ø 2 è 3 ø æ 2 n ö 1 1 Mà lim
= 0 nên phải có a + = 0 Þ a = - . ç ÷ n®+¥ è 3 ø 2 2 1 Thử lại với a = - 1
thì x = - < 0, n " . 2 n 2 1
Vậy a = - là giá trị duy nhất cần tìm. 2 ìx = 2014 ï 1
Bài 30. Cho dãy số thực (xn) xác định bởi: í . * 3 ïx
= 6x -6sin x ,n î Ε n 1 + n n Hướng dẫn giải 3 x
Sử dụng bất đẳng thức x - £ sin x £ , x x " ³ 0. 6
Xét hàm số f (x) 3
= 6x -6sin x, x > 0. Trang 74 6 1- cos x Ta có: f '(x) ( ) = > 0, x
" > 0 Þ f(x) luôn đồng biến với mọi x > 0. 3 (6x -6sin x)2 3
Do đó: f (x) > f (0) = 0x > 0. mà x = f x > 0 x = 2014 > 0. 2 ( 1) vì . 1
Vậy ta có x = f x > 0, n " Î N n 1 + ( n) * . 3
6x - 6sin x - x Mặt khác: 3 x - x = 6x - 6sin n n n x - x = . n 1 + n n n n 3 (6x -6sin + - + n n x )2 2 3 x 6x 6sin n n n x n x 3 x Vì x - £ sin x £ , x x " ³ 0 Û 3
6x - x – 6sinx < 0, x " > 0. 6
Þ 6x – 6sinx - 3
x < 0 do x > 0 Þ x – x < 0. n n n n n 1 + n
Þ (xn ) là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn.
Giả sử limx = x(x ³ 0), ta có phương trình:. n 3 3
x = 6x - 6sin x Û x - 6x + 6sin x = 0.
Xét hàm số g (x) = 3
x -6x +6sin x. g (x) 2 '
= 3x – 6 + 6cosx. ’’
g (x) = 6x – 6sinx ³ 0 x " ³ 0. Þ ’ g (x) ³ ’
g (0) = 0. Do đó g (x) luôn đồng biến và liên tục với mọi x ³ 0 .
Þ phương trình g (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 . Vậy limx = 0. n ì 1+ an 1 a + b + = ï
Bài 31. Cho hai dãy số dương (a ) , b a = 3,b = 2 n n 1- a n ( í n³ n ) xác định bởi: và n 1 + . 0 n³0 0 0 ï 2 2 a +1 = b î n n
Với mọi n = 0,1, 2,.... Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. Hướng dẫn giải p 1
Ta chứng minh bằng quy nạp a = tan ,b =
, n = 0,1, 2,... (*) . Thật vậy. n 3.2n n p cos 3.2n p p 1
Với n = 0 , ta có a = 3 = tan = tan ,b = 2 = , vậy ( ) * đúng. 0 0 0 3 3.2 p cos 0 3.2 Trang 75 1 p p 2 1
Với n = 1, ta có a = = tan = tan ,b = = , vậy ( ) * đúng. 1 1 1 3 6 3.2 3 p cos 1 3.2 p 1
Giả sử khẳng định đúng đến n = k, k ³1, tức là a = tan ,b = . n 3.2n n p cos 3.2n p 1 Ta chứng minh a = tan ,b = . Thật vậy. Từ ( ) 1 ta có. n 1 + n 1 + n 1 3.2 + p cos n 1 3.2 + p p p p p 2 2 sin +1 2sin cos + sin + cos n n 1 + n 1 + n 1 + n 1 1+ a + n 1 + 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 = = = 1- a p p p 2 2 n 1 + cos cos - sin n n 1 + n 1 3.2 3.2 3.2 + 2 æ p p ö sin + cos p p p ç ÷ + + n 1 + n 1 + sin cos tan 1 n 1 è 3.2 3.2 ø 3.2 + 3 n 1 + n 1 + = .2 3.2 = Khi đó từ (2), æ p p öæ p p ö p p p cos - sin cos + sin ç cos - sin 1- tan n 1 + n 1 + ÷ ç n 1 + n 1 ÷ è 3.2 3.2 øè 3.2 3.2 + ø n 1 + n 1 + n 1 3.2 3.2 3.2 + p Þ a = tan n 1 + n 1 3.2 + p 1 1 suy ra 2 2 2 b = a +1 = tan +1 = Þ b = . n 1 + n 1 + n 1 + n 1 3.2 p + p 2 cos cos n 1 + n 1 3.2 3.2 + p 1
Như vậy theo nguyên lý quy nạp thì a = tan ,b = , n = 0,1, 2,... . n 3.2n n p cos 3.2n p 1 1 Do đó lim a = lim tan
= tan 0 = 0; lim b = lim = =1. n n®+¥ n®+¥ 3.2n n n®+¥ ®+¥ p n cos 0 cos 3.2n
Kết luận: lim a = 0; lim b = 1.■. n n n®+¥ n®+¥ u ì = 2014
Bài 32. Cho dãy số (u ) xác định như sau:. 1 í . Tìm điều kiện của n 2 2 u
= u + (1- 2a)u + a ; n " =1,2,... î n 1+ n n
a để dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn khi n ® +¥ và tính giới hạn đó. n Hướng dẫn giải Ta có: 2 u
- u = (u - a) ³ 0 Þ u ³ u ; n " =1,2,3, . ... n 1 + n n n 1 + n
* Suy ra dãy số (u ) tăng knn; từ đó dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên. n n
Giả sử lim u = L (LÎ! ), thì chuyển qua giới hạn hệ thức 2 2 u
= u + (1- 2a)u + a ta có: n n 1 + n n n®+¥ 2 2
L = L + (1- 2a)L + a Û L = a. - Nếu có chỉ số *
k Î • mà u > a thì u > ; a n
" ³ k trái với kết quả lim u = L = a. k n n n®+¥ Trang 76
Do đó: u £ a với mọi k = 1, 2,... hay 2 2
u - (1- 2a)u + a £ a, n " =1,2,3,.... k n n
Û a -1£ u £ a Û a -1£ 2014 £ a. 1
* Đảo lại: Nếu a -1£ 2014 £ a Þ a -1£ u £ a. 1 2 2
Þ (u - a +1)(u - a) £ 0 Þ u + (1- 2a)u + a - a £ 0 Þ u £ a . 1 1 1 1 2
và u £ u Þ a -1£ u £ a . 1 2 2
Bằng quy nạp ta chứng minh được a -1£ u £ , a n " =1,2,3,.... n
Như vậy dãy (u ) tăng knn, bị chặn trên bới a , do đó dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn. n n
Kết luận: Với điều kiện a -1 £ 2014 £ a thì dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn khi n ® +¥ và lim u = a. n n n®+¥ u ì =1 1 ï
Bài 33. Cho dãy số (u ) xác định bởi công thức truy hồi í 1 . Chứng minh n * u = u + - 2, n " Î • n 1 + n ï u î n
rằng dãy (u ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. n Hướng dẫn giải 1 1 1
Đặt f (x) = x + - 2; g(x) = f ( f (x)) - x = + - 2 2 . Khi đó. x x 1 x + - 2 x æ 2 ö 2 - ç x - ÷( 2 x + ) 1 2 è ø 1 1 g '(x) =
£ 0 Þ g(x) < g(
) = 0 Þ f ( f (x)) < x, x " Î( ;1) (*).. 2 æ 1 ö 2 2 4 x x + - 2 ç ÷ è x ø 1
Mặt khác f '(x) < 0, x " Î( ;1) nên. 2 1 1 1 1 1
f (x) < f ( ) =
Þ f ( f (x)) > f ( ) = , x " Î( ;1) (**).. 2 2 2 2 2 1 1 Từ (*) và (**) suy ra:
< f ( f (x)) < , x x " Î( ;1) .. 2 2 1 1
Vậy: 1 = u > u >
Þ1= u > u > u > ,... Do đó (u
) là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn 1 3 1 3 5 2 2 2n 1 - 1 tại limu = .. 2n 1 - n®¥ 2 é 1 ù 1
Vì f (x) liên tục trên
;1 nên u = f (u
) Þ limu = f limu = . ê 2n 2n 1 - 2n - n®¥ ( 2n 1 n®¥ ) 2 ú ë û 2 Trang 77
Vậy dãy (u ) được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn. Do đó dãy (u ) có giới hạn n n 1 bằng .. 2 u ì = 2 1 ï n u
Bài 34. Cho dãy số (u lim k å n ) xác định í 1 . Tính . u - u = u - u n " ³ ï n®¥ - k = u 1 n+ n ( 2 , 1 1 n n ) î 2014 1 k 1 + Hướng dẫn giải u u - n ( n )1
Theo giả thiết ta có: u =
+ u mà u = 2 suy ra. n 1 + 2014 n 1
2 = u < u < u < ....... do đó dãy (un )là dãy tăng. 1 2 3 Giả sử dãy (u limu = L (L > 2)
n ) bị chặn trên suy ra với khi đó. n n®¥ 2 2 u + 2013u L + 2012L éL = 0 limu = lim n n Û L = Û . n 1 + ê n®¥ 2014 2014 ëL =1
Vô lý do L > 2 . Suy ra dãy (un )không bị chặn trên do đó. 1 lim u = ¥ Þ lim = 0. n n®¥ n®¥ un Ta có. 2 u + 2013u n n u =
Û u u -1 = 2014 u - u n 1 + n ( n ) ( n 1+ n ) 2014 . u æ 1 1 ö n Û = 2014ç - ÷ u -1 u -1 u -1 n 1 + è n n 1 + ø æ 1 1 ö Þ S = 2014ç - ÷ Þ lim S = 2014. n u -1 u -1 n x®¥ è 1 n 1 + ø ìx = 2014 ï 1
Bài 35. Cho dãy số thực (x í lim x ?
n ) xác định bởi: . Tính . * 3 n ïx
= 6x -6sin x ,n î Ε n 1 + n n Hướng dẫn giải 3 x
Sử dụng bất đẳng thức x - £ sin x £ , x x " ³ 0. 6
Xét hàm số f (x) 3
= 6x -6sin x, x > 0. 6 1- cos x Ta có: f '(x) ( ) = > 0, x
" > 0 Þ f(x) luôn đồng biến với mọi x > 0. 3 (6x -6sin x)2 3
Do đó: f (x) > f (0) = 0 x
" > 0. mà x = f x > 0 x = 2014 > 0. 2 ( 1) vì . 1 Trang 78 Vậy ta có x = f x > 0, n " Î N n 1 + ( n) *. . 3
6x - 6sin x - x Mặt khác: 3 x - x = 6x - 6sin n n n x - x = . n 1 + n n n n 3 (6x -6sin + - + n n x )2 2 3 x 6x 6sin n n n x n x 3 x Vì x - £ sin x £ , x x " ³ 0 3
Û 6x - x – 6sinx < 0. x " > 0. 6
Þ 6x – 6sinx - 3
x < 0 do x > 0 Þ x – x < 0. n n n n n 1 + n Þ (x 0
n ) là dãy giảm và bị chặn dưới bởi
nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử im
l x = x(x ³ 0), ta có phương trình:. n 3 3
x = 6x - 6sin x Û x - 6x + 6sin x = 0.
Xét hàm số g (x) = 3
x -6x +6sin x. g (x) 2 '
= 3x – 6 + 6cosx.
g¢ (x) = 6x – 6sinx ³ 0,"x ³ 0.
Þ g¢(x) ³ g¢(0) = 0. Do đó g (x) luôn đồng biến và liên tục với mọi x ³ 0 Þ phương trình g (x) = 0
có nghiệm duy nhất x = 0 . Vậy limx = 0. n Trang 79