CỰC TRỊ ĐỊA PHƯƠNG
Định lí: Cho hàm số f xác định trên D R2, X0 ∈ D.
+ f (X0) là cực trị địa phương của f  ∃r > 0, ∀X ∈ B (X0, r), f (X) – f (X0) giữ nguyên một dấu nhất định hay = 0.
+ f (X0) là cực đại địa phương của f  ∃r > 0, ∀X ∈ B (X0, r), f (X) – f (X0) ≤ 0.
+ f (X0) là cực tiểu địa phương của f  ∃r > 0, ∀X ∈ B (X0, r), f (X) – f (X0) ≥ 0.
+ f (X0) không là cực trị địa phương của f 
∀r > 0, ∃X1r, X2r ∈ B (X0, r), (f (X1r) – f (X0)). (f (X2r) – f (X0)) < 0.
+ f (X0) không là cực đại địa phương của f  ∀r > 0, ∃X ∈ B (X0, r), f (X) – f (X0) > 0.
+ f (X0) không là cực tiểu địa phương của f  ∀r > 0, ∃X ∈ B (X0, r), f (X) – f (X0) < 0.
Các bước khi làm bài tìm cực trị địa phương:
1. Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình: D1f = 0. D2f = 0.
2. Tính 3 đạo hàm riêng: A = D2 f , C = D2 f, B = D1D2f 1 2
rồi áp dụng cho mỗi điểm dừng => B2 – AC = T.
+ T < 0 => là cực trị địa phương. (Nếu A > 0 là cực tiểu, A < 0 là cực đại)
+ T > 0 => không là cực trị địa phương.
+ T = 0 => xét dấu trực tiếp.
(Dài dòng hơn: Ta có f là hàm số đa thức bậc 4 theo 2 biến x, y => f có đạo hàm riêng mọi
cấp cũng là đa thức, vậy liên tục trên R2.
1. Tìm điểm dừng: gọi X0 là điểm dừng, vậy X0 là nghiệm của
hệ D1f = 4x3 – 4 (x – y) = 0 D2f = 4y3 + 4 (x – y) = 0
Nhận xét: nếu thay cặp x, y = cặp y, x thì pt1 thành pt2 và ngược lại, hệ không đổi, nghĩa
là nếu cặp (x, y) là nghiệm thì (y, x) cũng là nghiệm.
Hệ  D1f – D2f = 4 [(x3 – y3) – 2 (x – y)] = 4 (x – y) (x2 + y2 + xy – 2) = 0 D2f + D1f = 4 (x3 + y3) = 0  x – y = y yyy xy + yy + xy – y = y yy = yxy = (yxyy  x = y hay x2 + y2 + xy – 2 = 0 y = -x y = -x  x = 0 hay x = hay √ x = -√ 2 2 y = 0 y = -√ y = √ 2 2 1 D 2 1 f (0, 0) = -4 = A 2. D 2 1 f =12x2 – 4 D 2 2 f (0, 0) = -4 = D 2 2 f = 12y2 – C 4 D1D2f = 4 D1D2f (0, 0) = 4 = a. Điểm dừng X0 = (0, 0): B  B2–AC=0
 Khảo sát trực tiếp f(X) – f(X0) + Xét Xn = (1 , 1 ) (n ∈ R)
∀r > 0, ∃n đủ lớn để Xn ∈ B (X0, r), khi đó: f(Xn) – f(X0) = 1 + 1+0–0= 2 > 0. n4 n4 n4
đó f (X0) không là cực đại địa phương của f. + Xét Xm = ( 1 , 0) (m ∈ R)
∀r > 0, ∃m đủ lớn để Xm ∈ B (X0, r), khi đó: f(Xm) – f(X0) = 1 2m 1 2 1 2m2 2 - =
Ta chọn được m đủ lớn để < 0. m4 m2 m4
đó f (X0) không là cực tiểu địa phương của f. b.
Tại điểm dừng X = (±√2, ∓√2): D 2 1 f (X) = 20 = A D 2 2 f (X) = 20 = C D1D2f (X) = 4 = B  B2–AC=-384<0 Ta lại có A = 20 > 0
 f (X0) là cực tiểu địa phương của f.
Vd2: f (x, y) = x2 + xy + y2 – 3x – 6y
Vd3: f (x, y) = 3x2 – x3 + 2y2 + 4y
Vd4: f (x, y) = x2 + 3xy + 3y2 – 6x + 3y – 6
Vd2: f (x, y) = x3 + 3xy2 - 15x – 12y
Mấy ví dụ này đều tương tự, các bạn tự giải nha! Nếu bạn không giải được xin post thắc mắc lên
blog của ITSpiritClub. Tks các bạn! 2 3