Cực trị địa phương - Giải tích B2 | Đại học Đồng Tháp

Cực trị địa phương - Giải tích B2 | Đại học Đồng Tháp. Tài liệu gồm 3 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!

31 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 2 (DT01)

Trường: Đại học Đồng Tháp

Thông tin:

3 trang 3 tháng trước

Tác giả:

Profile Phạm Thị Huyền
CỰC TRỊ ĐỊA PHƯƠNG
Định lí: Cho hàm số f xác định trên D R
2
, X
0
∈ D.
+ f (X
0
) là cực trị địa phương của f ∃r > 0, ∀X ∈ B (X
0
, r), f (X) – f (X
0
) giữ nguyên một dấu nhất định hay = 0.
+ f (X
0
) là cực đại địa phương của f ∃r > 0, ∀X ∈ B (X
0
, r), f (X) – f (X
0
) ≤ 0.
+ f (X
0
) là cực tiểu địa phương của f ∃r > 0, ∀X ∈ B (X
0
, r), f (X) – f (X
0
) ≥ 0.
+ f (X
0
) không là cực trị địa phương của f
∀r > 0, ∃X
1r
, X
2r
∈ B (X
0
, r), (f (X
1r
) – f (X
0
)). (f (X
2r
) – f (X
0
)) < 0.
+ f (X
0
) không là cực đại địa phương của f ∀r > 0, ∃X ∈ B (X
0
, r), f (X) – f (X
0
) > 0.
+ f (X
0
) không là cực tiểu địa phương của f ∀r > 0, ∃X ∈ B (X
0
, r), f (X) – f (X
0
) < 0.
Các bước khi làm bài tìm cực trị địa phương:
1.
Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình:
D
1
f = 0.
D
2
f = 0.
2.
Tính 3 đạo hàm riêng: A = D
2
f , C = D
2
f, B = D
1
D
2
f
1 2
rồi áp dụng cho mỗi điểm dừng => B
2
– AC = T.
+ T < 0 => là cực trị địa phương. (Nếu A > 0 là cực tiểu, A < 0 là cực đại)
+ T > 0 => không là cực trị địa phương.
+ T = 0 => xét dấu trực tiếp.
(Dài dòng hơn: Ta có f là hàm số đa thức bậc 4 theo 2 biến x, y => f có đạo hàm riêng mọi
cấp cũng là đa thức, vậy liên tục trên R
2
.
1. Tìm điểm dừng: gọi X
0
là điểm dừng, vậy X
0
là nghiệm của
hệ D
1
f = 4x
3
– 4 (x – y) = 0
D
2
f = 4y
3
+ 4 (x – y) = 0
Nhận xét: nếu thay cặp x, y = cặp y, x thì pt1 thành pt2 và ngược lại, hệ không đổi, nghĩa
là nếu cặp (x, y) là nghiệm thì (y, x) cũng là nghiệm.
Hệ D
1
f – D
2
f = 4 [(x
3
– y
3
) – 2 (x – y)] = 4 (x – y) (x
2
+ y
2
+ xy – 2) =
0 D
2
f + D
1
f = 4 (x
3
+ y
3
) = 0
x – y = y yyy x
y
+ y
y
+ xy
– y = y y
y
= yx
y
= (yxy
y
x = y hay
x
2
+ y
2
+ xy – 2 = 0
y = -x y = -x
x = 0 hay
x = √
hay
x = -√
2 2
y = 0
y = -√ y = √
2 2
1
2. D
1
2
f =12x
2
– 4
D
2
2
f = 12y
2
–
4 D
1
D
2
f = 4
a. Điểm dừng X
0
= (0, 0):
D
1
2
f (0, 0) = -4 =
A
D
2
2
f (0, 0) = -4 =
C
D
1
D
2
f (0, 0) = 4 =
B
B
2
–AC=0
Khảo sát trực tiếp f(X) – f(X
0
)
+ Xét X
n
= (
1
,
1
) (n ∈ R)
∀r > 0, ∃n đủ lớn để X
n
∈ B (X
0
, r), khi đó: f(X
n
) – f(X
0
) =
1
+
1
+0–0=
2
> 0.
n
4
n
4
n
4
đó f (X
0
) không là cực đại địa phương của f.
+ Xét X
m
= (
1
, 0) (m ∈ R)
∀r > 0, ∃m đủ lớn để X
m
∈ B (X
0
, r), khi đó: f(X
m
) – f(X
0
) =
1
2m
2
Ta chọn được m đủ lớn để < 0.
đó f (X
0
) không là cực tiểu địa phương của f.
b. Tại điểm dừng X = (±√2, ∓√2): D
1
2
f (X) = 20 =
A
D
2
2
f (X) = 20 = C
D
1
D
2
f (X) = 4 = B
B
2
–AC=-384<0 Ta
lại có A = 20 > 0
f (X
0
) là cực tiểu địa phương của f.
Vd2: f (x, y) = x
2
+ xy + y
2
– 3x – 6y
Vd3: f (x, y) = 3x
2
– x
3
+ 2y
2
+ 4y
Vd4: f (x, y) = x
2
+ 3xy + 3y
2
– 6x + 3y – 6
Vd2: f (x, y) = x
3
+ 3xy
2
- 15x – 12y
1
-
2
=
1 2m
2
m
4
m
2
m
4
Mấy ví dụ này đều tương tự, các bạn tự giải nha! Nếu bạn không giải được xin post thắc mắc lên
blog của ITSpiritClub. Tks các bạn!
2
3
| 1/3
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CỰC TRỊ ĐỊA PHƯƠNG
Định lí: Cho hàm số f xác định trên D R2, X0 ∈ D.
+ f (X0) là cực trị địa phương của f  ∃r > 0, ∀X ∈ B (X0, r), f (X) – f (X0) giữ nguyên một dấu nhất định hay = 0.
+ f (X0) là cực đại địa phương của f  ∃r > 0, ∀X ∈ B (X0, r), f (X) – f (X0) ≤ 0.
+ f (X0) là cực tiểu địa phương của f  ∃r > 0, ∀X ∈ B (X0, r), f (X) – f (X0) ≥ 0.
+ f (X0) không là cực trị địa phương của f 
∀r > 0, ∃X1r, X2r ∈ B (X0, r), (f (X1r) – f (X0)). (f (X2r) – f (X0)) < 0.
+ f (X0) không là cực đại địa phương của f  ∀r > 0, ∃X ∈ B (X0, r), f (X) – f (X0) > 0.
+ f (X0) không là cực tiểu địa phương của f  ∀r > 0, ∃X ∈ B (X0, r), f (X) – f (X0) < 0.
Các bước khi làm bài tìm cực trị địa phương:
1. Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình: D1f = 0. D2f = 0.
2. Tính 3 đạo hàm riêng: A = D2 f , C = D2 f, B = D1D2f 1 2
rồi áp dụng cho mỗi điểm dừng => B2 – AC = T.
+ T < 0 => là cực trị địa phương. (Nếu A > 0 là cực tiểu, A < 0 là cực đại)
+ T > 0 => không là cực trị địa phương.
+ T = 0 => xét dấu trực tiếp.
(Dài dòng hơn: Ta có f là hàm số đa thức bậc 4 theo 2 biến x, y => f có đạo hàm riêng mọi
cấp cũng là đa thức, vậy liên tục trên R2.
1. Tìm điểm dừng: gọi X0 là điểm dừng, vậy X0 là nghiệm của
hệ D1f = 4x3 – 4 (x – y) = 0 D2f = 4y3 + 4 (x – y) = 0
Nhận xét: nếu thay cặp x, y = cặp y, x thì pt1 thành pt2 và ngược lại, hệ không đổi, nghĩa
là nếu cặp (x, y) là nghiệm thì (y, x) cũng là nghiệm.
Hệ  D1f – D2f = 4 [(x3 – y3) – 2 (x – y)] = 4 (x – y) (x2 + y2 + xy – 2) = 0 D2f + D1f = 4 (x3 + y3) = 0  x – y = y yyy xy + yy + xy – y = y yy = yxy = (yxyy  x = y hay x2 + y2 + xy – 2 = 0 y = -x y = -x  x = 0 hay x = hay √ x = -√ 2 2 y = 0 y = -√ y = √ 2 2 1 D 2 1 f (0, 0) = -4 = A 2. D 2 1 f =12x2 – 4 D 2 2 f (0, 0) = -4 = D 2 2 f = 12y2 – C 4 D1D2f = 4 D1D2f (0, 0) = 4 = a. Điểm dừng X0 = (0, 0): B  B2–AC=0
 Khảo sát trực tiếp f(X) – f(X0) + Xét Xn = (1 , 1 ) (n ∈ R)
∀r > 0, ∃n đủ lớn để Xn ∈ B (X0, r), khi đó: f(Xn) – f(X0) = 1 + 1+0–0= 2 > 0. n4 n4 n4
đó f (X0) không là cực đại địa phương của f. + Xét Xm = ( 1 , 0) (m ∈ R)
∀r > 0, ∃m đủ lớn để Xm ∈ B (X0, r), khi đó: f(Xm) – f(X0) = 1 2m 1 2 1 2m2 2 - =
Ta chọn được m đủ lớn để < 0. m4 m2 m4
đó f (X0) không là cực tiểu địa phương của f. b.
Tại điểm dừng X = (±√2, ∓√2): D 2 1 f (X) = 20 = A D 2 2 f (X) = 20 = C D1D2f (X) = 4 = B  B2–AC=-384<0 Ta lại có A = 20 > 0
 f (X0) là cực tiểu địa phương của f.
Vd2: f (x, y) = x2 + xy + y2 – 3x – 6y
Vd3: f (x, y) = 3x2 – x3 + 2y2 + 4y
Vd4: f (x, y) = x2 + 3xy + 3y2 – 6x + 3y – 6
Vd2: f (x, y) = x3 + 3xy2 - 15x – 12y
Mấy ví dụ này đều tương tự, các bạn tự giải nha! Nếu bạn không giải được xin post thắc mắc lên
blog của ITSpiritClub. Tks các bạn! 2 3