Đại cương môn phái | Gợi ý giải bài tập Giải tích 3 | Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh

FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III]
2 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III]
Lời giải – Hướng dẫn được thực hiện bởi Team GT3 nhóm BK-ĐCMP I Chuỗi
1 Xét sự hội tụ và tính tổng nếu có: a)  1 1   1 1   1 1 ...               ... 2 2  2 3   2 3   2n 3n    1 n   1 n   1   1       =  1 1 1   1 1 1 ... ... 1   2  1  3    ... ...           = .  .  = 1 3 1  2 n 2 2 2 2 3 3 3n  lim     n  2 1 3 1 1 1    2 2  2 3   
Vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng S = 3 2 b) 1 1 1    ... 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1  1 1 1 1 1 1      ... lim     n 2  1.2 2.3 2.3 3.4
(n 1).n n(n 1)   1
(n 1)  (n 1) 1  1 1     
 (n 1)n(n 1) 2(n 1)n(n 1) 2  (n 1)n n(n 1)   1  1 1  1  lim     n 2  1.2 n(n 1)  4
Vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng S = 1 4 c) 1 2  ... n  ... 2 2 9 225
(2n 1) (2n 1) Hội tụ và tổng S = 1 8 2 2   Gợi ý: n
(2n 1)  (2n 1) 1 1 1      2 2 2 2
(2n 1) (2n 1)
8.(2n 1) (2n 1) 8  2n  2 1 2n   2 1 
2 Các chuỗi sau hội tụ hay phân kì? Tại sao?  a)  n 3  ( 1)     n  n 1   5      n 3     n          n  3 ( 1) ( 1)  n  n 1   5  n 1 n 1   5 
7 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III]    3 ) (1)n   là chuỗi PK
)   là chuỗi HT n 1  1   5n n  Do đó chuỗi đã cho PK  1 n  n  b)    n 1  4  n  1  n  Ta có: 1  n    
là chuỗi dương và ta lại có: n 1  4  n  1  n   1     1 1  n  1  nln 1    1 . n       1 1 lim                    n 1 lim       n 1   0 lima   e e  e n lim n n n n 4 n 1 4 4 4 Nên chuỗi đã cho PK
3 Sử dụng các tiêu chuẩn: So sánh; Cauchy; D’Alambert; Tích phân, xét sự hội tụ:  a) n  2 n 1  10n  1  Ta có: n  2 là chuỗi dương n 1  10n  1 n 1  khi n  . 2 10n 1 10n  1 Mà 
phân kì nên theo tiêu chuẩn so sánh chuỗi đã cho phân kì. n 1  10n  n b)  n2
(n 1)(n  2)  n Ta có  là chuỗi dương n2
(n 1)(n  2) Ta lại có: n  1  0 lima nên chuỗi đã cho PK n lim n n
(n 1)(n  2) 2   1 n  c)  2 
n2  n 1 
8 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] 2 Ta có:  1 n  1   2  2  n 1 (n 1)  Mà 1  HT nên chuỗi đã cho HT 2 n2 (n 1)     d) n 1 n 1  3/4 n 1  n 
n 1  n 1 Ta có:  là chuỗi dương 3/4 n 1  n aa
n 1  n 1 2 1 Và:   khi n   3/4 3/4 5/4 n
n ( n 1  n 1) n  1
Hơn nữa:  5/4 HT nên chuỗi đã cho HT n2 n  1 1 n  n  e)  2   n2 n  n  n n  Ta có 1 1 n  1  1  1  1 e     
.e khi n   mà  HT nên => HT 2 2 2 n  n  n  n  n 2 n2 n  1 f)  n2 ln n  1  Là chuỗi dương n2 ln n 
Ta có ln n  n với mọi n ≥2 nên 1 1  Mà 1
 PK => Chuỗi đã cho PK ln n n n2 n  ln n g)  n2 n
9 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III]  ln n Ta có:  là chuỗi dương n2 n ln n ln 2  Ta lại có: n n với mọi n ≥2  Mà ln 2  PK => Chuỗi đã cho PK n2 n  1 1 n  h)  ln   n2 n  n 1 Chuỗi đã cho là dương.
Ta có 1 1 n  1  2  1 2 2 ln  ln 1      .  khi n   3/2 n  n 1 n  n 1 n n 1 n  Mà 2  HT => chuỗi đã cho HT 3/2 n2 n    i) 1 1  ln n     n 1   n n  (Dùng khai triển Mac) Chuỗi đã cho là dương. Ta có: 1 1 n  1  1  1  1 1 1  1  ln   ln 1          o( )  khi n   2 2  2 n  n  n 
n  n  n 2n n  2n Do đó chuỗi đã cho HT  2    j) n n 1 ln  tan  2  2 n2 n  n n   Chuỗi đã cho là dương Ta có: 2  n  n  1  n  n  1 n  n 1 1 ln   tan  ln 1  tan  .   2  2  2  2 2 2 3 khi n   n  n n n  n n n  n n n     Do đó chuỗi đã cho HT
10 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III]  (3n 1)! k)  2 1  n .8n n
(Sử dụng Tiêu chuẩn D’Alambert với những chuỗi có “!”) 2 n 2 a      n n n n n n n (3 4)! .8 (3 2)(3 3)(3 4). 1  .     1 lim lim 2 n 1   lim 2 n n a   n (n 1) .8 (3n 1)! n 8.(n 1) Do đó chuỗi đã cho PK  1.3.5. .(2n 1) l)  2n 1 n2 2 (n 1)! Chuỗi đã cho là dương. 2n 1 a       n  n n n 1.3.5...(2 1) 2 .( 1)! 2 1 1 1  .      1 lim lim =>chuỗi đã cho HT 2n 1  n n a n  2 .n! 1.3.5...(2n 1)! lim  n 4n 2 4 Xét sự HT 2  1  1 n a)  1   n  n 1  5  n 
Chuỗi đã cho dương nên ta áp dụng tiêu chuẩn Cauchy 2 1  1 n  1  1 n n  n n a  1  1 lim lim      n n 5n lim  n  n 5  n    1    1   nln 1     n. lim      n  lim 1           n n 1 n  1  e   e   1 5 5 5e Do đó chuỗi đã cho HT  n 2 3 (n!) b)  n 1  (2n)! Chuỗi dương nên ta xét: n 1  2 2 a      n n n n 3 (( 1)!) (2 )! 3( 1) 3 1  .      1 lim lim =>chuỗi đã cho HT n 2 n n a n  (2n  2)! 3 (n!) lim 
n (2n  1)(2n  2) 4
11 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III]  2 n  5 c) 1 2n n Chuỗi dương nên ta xét: 2 n 2 a        n n n n ( 1) 5 2 2 6 1 1  .      1 lim lim nên chuỗi đã cho HT n 1 2   lim 2 n n a   n 2
n 5 n 2(n  5) 2 (n 1  )   n 1 n d)    n 1   n  1  (n 1  )n n 1   n 1  n 1  n 1   (n 1  )ln  n  n lim     n 1 lim a   n lim       n n  n 1 lim 
n  n  e 1 n   2  2(n 1  ) (n 1  )ln1 lim    n    lim 2  1  n 1    n n e 1 e e Nên chuỗi đã cho HT  n 2 7 (n!) e)  2n n 1  n Chuỗi dương. n 1  2 2n 2 2n a      n n n n n 7 (( 1)!) 7( 1) . 1  . lim lim   2n2 n 2    lim 2 2  a  n n   n  n  n ( 1) 7 ( !) ( 1) .( 1) n n n n 2 2 n n n  1  7   1  ...     1 7lim 2n  7lim 2 n (n 1) n  n 1 e Do đó chuỗi đã cho HT 2n  )  n f  n    n 1   4n  3  Chuỗi dương. 2n 2 1 1  n   n  1 n  n 2n 2 a n      n  n n . lim lim n n n  4n  3 lim 
n  4n  3 lim  n 16
12 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] 1   12n n  1 0 1  ...  
 1 => Chuỗi đã cho HT 16 lim e n 16 16 1  ln ) n g  2 n 1  n 1 Ta có  ln n  ln n       a 2 2 n n 1 n n 1 n n1 1   1  Chọn b  )  b   n là chuỗi HT 3/2 n n 3/2   n n 1 n 1 3/2 (L') a n n n n ln ln 2 Ta có:    . .   0 lim lim 2 lim 1/2 lim 1/2 n b  n  n  n n n n n 
=>  a HT. Suy ra chuỗi đã cho HT n n  1  h) sin   (2  3)n    n 1 
Bạn đọc có thể cập nhật trên nhóm “BK – Đại Cương Môn Phái” trên Facebook.  1 i)  2
n3 n ln n(ln ln n)
Chuỗi đã cho dương và giảm nên ta xét 1 f (x)  , x  3 2
xln x(ln ln x)   dx  d(ln x)  d(ln ln x) 1 
f (x)dx       ln ln3     2  2  2
x ln x(ln ln x) ln x(ln ln x) (ln ln x) ln ln x 3 3 3 3 3
Tích phân này hội tụ nên chuỗi đã cho cũng HT  n e .n ! k )  n n  1 n Chuỗi PK
13 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] n
Gợi ý: Sử dụng công thức Stirling: ! 2 n n n    e   
5 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau 2  1   a) n
ne 1 n 1    2 1 2    1  1 n
ne 1  n  
khi n   => Chuỗi đã cho PK   n    n  (1)n 1 b)  n 1  n  ln n  n  2k  2k 1 (1) 1 (1) 1 ( 1  )  1  2        n 1  n  ln n k 1  2k  ln(2 k) n 1
 2k 1  ln(2 k1) k 1  2k  ln(2 k) 2 2 1 Lại có:  
2k  ln(2k) 2k k  1
Mà  PK nên chuỗi đã cho PK k 1  k  c) arcsin( n e ) n 1  Chuỗi dương. n 1 1
arcsin(e )  arcsin( )  (n  ) n n e e  1
 HT (vì 1 <1) nên Chuỗi đã cho HT n n 1  e e  d) 2 2
sin( n  a ),a n 1 
Bạn đọc có thể cập nhật trên nhóm “BK – Đại Cương Môn Phái” trên Facebook.
14 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III]  1.3.5.. (2n 1)  n e) n 1 3 .n! Chuỗi dương. a      1.3.5...(2n 1) 3n n n n . ! 2 1 2 1  .      1 lim lim n 1 n a   n  n    n n n 3 .( 1)! 1.3.5...(2 1) lim n 3 3 Do đó chuỗi đã cho HT 3 n   a  f)  cos ,a    n 1   n  +a = 0 3   0 n   :  cos    1 PK n 1   n  n 1 
+a ≠ 0: Chuỗi dương và ta có: 3 2 n n  2  a   a  n ln cos  n n lim a   n a   cos    cos lim lim lim  n  n  e   n n  n  n  n  2 2  2  a   2  a   2    ln1cos 1    . cos 1    . lim     n  lim  n  lim a a n n n 2    n n n  2n  2    1 e e e e Nên chuỗi đã cho HT 2  n n .2n g)  2 n n 1  (n 1) Chuỗi dương và ta có: 2 n n .2n 2 n n  1 n n a   n n   1 2 lim lim n lim n   2lim  n n (n 1) n (n 1) n  n 1   1  ln 1                       n  lim n n 1 2 lim    n   e n 1 n 1 2. 1 2.e 2.e e nên chuỗi đã cho HT
15 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III]  1 h)  ,(,   0)   n 1  n (ln n)
Bạn đọc có thể cập nhật trên nhóm “BK – Đại Cương Môn Phái” trên Facebook.
 (1)n  2cos n i)  , a   3 n3 2 n(ln n) n Ta có: ( 1  )  2cos n 3  , n   3 3/2 3/2 n(ln n) n(ln n) Dãy  3  
dương và giảm về 0 nên ta xét: 3/2 n(ln n)    1 f (x)  , x  3 3/2 x(ln x)   dx  d(ln x)  
f (x)dx    2 
ln x1/2  2ln3     => 3 3/2 3/2 x  HT (ln x) (ln x) 3 3/2
n n(ln n) 3 3 3 3 Do đó chuỗi đã cho HT  na j) 
,(a ,0  a 1) 2 1  (1  a )n n  Xét na  na a  2 , n 2 n   a (1 a ) 1 (1 )n n 2 n n a 1
(n 1)a (1 a ) n 1 1 ) lim  . lim   2 n 1  lim 2 2 n a  n (1 a ) na n    n(1 a ) a n 1 1 
1  a  2 Khi đó chuỗi na  HT nên chuỗi đã cho HT 2 1 a 2 1  (1  a )n n 1 
1  0  a  2 Khi đó chuỗi na 
PK nên chuỗi đã cho PK (Theo 2 1 a 2 1  (1  a )n n D’Alambert)
16 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] 1 
1  a  2 Khi đó chuỗi đã cho có dạng: ( 1
 )n.( 2).n PK 2 1 a n 1
Vậy chuỗi đã cho HT với a  2 và PK với 0  a  2
6 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau  1 a)  1  1 n n  x  Ta có 1 1 1 
khi n  . Mà  HT khi x 1 1 n n  x x n n 1  x  MHT: x \ 1  ,  1  n ) x b  2n n 1  1  x n n x x 1   2n 2 1 n n  x x
x khi n  
Do đó ta có MHT: x \1, 1  n 1 c)  x n 1  xn n 1 n 1 1 1      . 1 1 1 1    x x x     1  x 1 xn xn xn x n  Mà x x x 1  x 1  HT khi 1 1 2 n 1  x n x n 1 n
 MHT: x(2,)  cos ) nx d  1  2nx n cos nx 1 1  1 Ta có   Mà 
HT khi 2x 1  x  0 2nx 2nx (2x)n x n n 1  (2 )
 MHT: x(0,)
17 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III]  n 1 ( 1  )  e)  2 n 1  1  n x n 1   Ta có: (1) 1 1  1  Mà 
HT với mọi x  0 2 2 2 1 n x 1 n x n x 2 n 1  n x
 MHT: x   \{0} n  1 ln  x     )  n f   n 1  x  e n  1   1 ln x ln x        n  n   n  ln n x n a   
 ln x  1,(x  e) lim lim lim 1/2n   lim 1/2   x e  ( x e)
 ( x  e) n n n n n Chuỗi đã cho PK x  ( , e )  n  3x  2 n g)  .    ,    n 1  (n  1)  x  n 1/n 1/ n 3x2 3x2  n  3x2 n  n  n a  n   n .  . lim lim        n n (n 1  ) lim  x  n x (n 1  ) lim  x n  (n 1  )   1
 ln n  ln( n 1)   3 x  2 lim n    3x  2  . n e    k x x 3x  2 1 ) k 1 1  x 1 x 2 3x  2 1  ) k 1 
1  x 1 x  n  x 2 Chuỗi trở thành
 không hội tụ với mọi α n 1  (n  1) Do đó ta có MHT: 1 x  ,1  2   
18 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III]   n 1 h)  x    n n  n 1   2 x 
Bạn đọc có thể cập nhật trên nhóm “BK – Đại Cương Môn Phái” trên Facebook.  n ) x i  nn n 1  x n x x 1 limn      k n a
limn nn lim n lim n 1 n n x n x n x
+ x 1: k = 0 => Chuỗi HT  n x  + x 1    : Phân kì n 1 n n 1  x n 1 
+ x 1: k   Chuỗi PK
 MHT: x (,1)  (1,)  2n 1 k) 
.x  212n 5 n 1  (n 1) 1  2  n 5 a     n x n n (2 3).( 2) ( 1) 1 1 k   . . . lim lim  5 1 2  n 2 n a  n n x x n n ( 2) (2 1)( 2) ( 2) 1 ) k 1 1 x  1   x  3  2 (x  2) 1  2n   )  k 1 1 x  1   x  3  1 2 (x 2) Chuỗi trở thành  là chuỗi HT 5 n 1  (n 1) Do đó ta có MHT: x (   ,  3  ] [  1  , ) 
7 Dùng tiêu chuẩn Weiertrass, chứng minh các chuỗi sau hội tụ đều trên tập tương ứng  n x  1  2x 1 n  a)  b)  . trên  1  ;  1 2 n trên R n 1    n 2  x  2  n 1  (1  x ) 1 x 2 1
1 x  2 x   2x 1 x 1 2 1 x 2  1  1 x   1   ;1 x  2 x  2
19 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |
FB/ BK – Đại cương môn phái [GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH III] n n x  x  n  1 n  1 1  2x 1 1        .    2 n 2 (1 x ) n 1  n 1  1 x   2      2n 2  x  2  2   Mà 1  HT nên ta có đpcm. Mà 1  HT nên ta có đpcm. 1  n 2n 1  2n n 1  2 2 c) 1  trên  n x [0;) d) e n  trên R 1  2 n 1  2 1 nx n 1  n
Ta có: 1 nx 1 x   0 2 2 n x e 1 1 2 2 n x 1 1   ,(e  1) 2 2 2 2 n x 2  n n .e n  n 1 n 1 2 1 nx 2   1  HT nên ta có đpcm   n Mà 1  HT nên ta có đpcm. 2 n 1 1  1  2n n
8 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số  (x  2)n a)  2 n 1  n Đặt y = x – 2  n y  n 1
Chuỗi đã cho trở thành   a y a  n , 2 n 2 n 1  n n 1  n a   n 1 1
Ta có Bán kính hội tụ R   :    1 lim lim 2 2    a   n n n n n ( 1) 1 
Do đó chuỗi HT với y 1 và PK với y 1  1
+ Tại y = 1, Chuỗi trở thành  2 HT n 1  n  ( 1  )n 
+ Tại y = -1, Chuỗi trở thành 2 n 1  n HT
20 Sưu tầm: Trí Trí | Hải Nam | Nguyễn Phú | Minh Nguyễn |