Dao động điều hòa là gì? Công thức, bài tập và đáp án chi tiết
1. Dao động điều hòa là gì?
Dao động điều hòa trước tiên là một dao động cơ, được hiểu là chuyển động qua lại của vật quanh một vị trí
cân bằng (thường là vị trí của vật khi đứng yên). Ví dụ như dao động của chiếc thuyền nhấp nhô tại chỗ
neo, chuyển động đung đưa của chiếc lá, dây đàn rung lên khi nghệ sỹ gảy đàn…
Dao động điều hòa là dao động có quỹ đạo là một đoạn thẳng và có li độ của vật là một hàm cos (hay sin) của thời gian.
Đồ thị của dao động điều hòa có dạng một đường hình sin. Vì vật người ta còn gọi dao động điều hòa là dao động hình sin.
Ví dụ về dao động điều hòa: Một điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là
hình chiếu của một điểm tương ứng chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó như hình sau:
- Giả sử tại thời điểm t = 0, điểm M ở vị trí M được xác định bằng góc φ.
Tại thời điểm t vị trí của M là (ωt + φ).
Khi đó, hình chiếu P của M có tọa độ x = OP có phương trình là: x = OM.cos(ωt + φ)
- Đặt OM = A, phương trình của tọa độ x được viết thành: x = A.cos(ωt + φ)
với A, ω, φ là các hằng số.
Vì hàm sin hay cos là một hàm điều hòa nên dao động của điểm P được gọi là dao động điều hòa.
2. Phương trình động lực học của dao động điều hòa đơn giản
2.1. Phương trình li độ
Phương trình li độ có dạng chuẩn thường dùng là: x = A.cos(ωt + φ) Trong đó:
A, ω, φ là các hằng số.
x: li độ của vật, đơn vị là m hay cm
A: biên độ của vật (giá trị lớn nhất của li độ / li độ cực đại), đơn vị là m hay cm
ω: là tần số góc của dao động, đơn vị là rad/s
φ: là pha ban đầu của dao động, đơn vị là rad
(ωt + φ): là pha dao động tại thời điểm t, gọi tắt là pha của li độ, đơn vị là rad 2.2. Chu kỳ
Chu kì của dao động điều hòa là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần (cũng chính là
khoảng thời gian ngắn nhất mà vật thực hiện được một dao động), ký hiệu là T, đơn vị là giây (s)
Công thức liên hệ giữa chu kỳ và tần số góc là T = 2π / ω 2.3. Tần số
Tần số là số dao động toàn phần mà vật thực hiện được trong một giây, bằng nghịch đảo của chu kỳ, ký
hiệu là f, đơn vị là Hz.
Công thức liên hệ giữa tần số và chu kỳ là: f = 1 / T
Công thức liên hệ giữa tần số và tần số góc là: f = ω / 2π 2.4. Vận tốc
Vận tốc trong dao động điều hòa là đạo hàm của li độ của x theo t: v = x' = -ωAsin(ωt + φ)
Vận tốc là đại lượng biến thiên điều hòa:
- Ở vị trí biên x = +A hoặc x = -A thì vận tốc bằng 0
- Ở vị trí cân bằng x = 0 thì vận tốc cực đại v = Aω
Hệ thức độc lập trong dao động điều hòa: Vì vận tốc v là li độ x của dao động điều hòa vuông pha nhau nên
giữa v và x có hệ thức độc lập (chứng minh được bằng cách bình phương tỉ số x/A rồi cộng với bình
phương của tỉ số v / vmax) (x/A)^2 + (v / vmax)^2 = 1
<=> A^2 = x^2 + (v / ω)^2 2.5. Gia tốc
Gia tốc trong dao động điều hòa là đạo hàm của vận tốc theo thời gian tức là đạo hàm bậc 2 của li độ x theo thời gian: a = x”
Dễ dàng chứng minh được rằng dù phương trình li độ có dạng sin hay dạng cos thì quan hệ giữa gia tốc và li độ là:
a = v' = - ω^2. x = -ω^2.A.cos(ωt + φ) Ta thấy:
- Tại vị trí cân bằng x = 0 => a = 0 và hợp lực F = 0
- Gia tốc trong dao động điều hòa ngược pha (đối pha) với li độ, tức là sớm pha π/2 so với vận tốc.
- Gia tốc trong dao động điều hòa có độ lớn cực đại khi vật ở một trong hai vị trí biên (x = + A hoặc x = –
A). Vì gia tốc a cũng vuông pha với vận tốc v nên giữa a và v cũng có hệ thức độc lập như sau:
(v / vmax)^2 + (a / a max)^2 = 1
2.6. Cơ năng dao động
Cơ năng dao động của một chất điểm dao động điều hòa bảo toàn (không đổi) và tỷ lệ với bình phương
biên độ dao động của vật, ký hiệu là W, đơn vị Jun (J)
W = Wt + Wđ = 1/2.k.A^2 = 1/2.m.ω^2 . A^2 Trong đó:
Wt là thế năng có giá trị Wt = 1/2.k.x2
Wđ là động năng có giá trị Wđ = 1/2.m.v2 2.7. Lực kéo về
Lực kéo về đối với một vật đang dao động điều hòa đươc tính bằng công thức: Fkv = m.a Trong đó:
a là gia tốc của vật, đơn vị m/s
m là khối lượng của vật, đơn vị kg
Fkv là một đại lượng đại số, đơn vị Jun (J)
3. Một số bài tập vận dụng về dao động điều hòa
Bài tập 1: (Bài 6 trang 8 Sách giáo khoa Vật lý 12) Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = Acos(ωt + φ).
a) Lập công thức tính vận tốc và gia tốc của vật.
b) Ở vị trí nào thì vận tốc bằng 0? Ở vị trí nào thì gia tốc bằng 0?
c) Ở vị trí nào thì vận tốc có độ dài cực đại? Ở vị trí nào thì gia tốc có độ lớn cực đại? Hướng dẫn giải:
a) Công thức vận tốc v = x'(t) = -ωAsin(ωt + φ)
Công thức gia tốc a = v'(t) = -ω^2.Acos(ωt + φ) hay a = -ω^2.x
b) Tại vị trí biên x = A hoặc x = - A thì vận tốc v = 0.
Tại vị trí cân bằng x = 0 thì gia tốc a = 0.
c) Tại vị trí cân bằng x = 0 thì vận tốc v = ωA.
Tại vị trí biên x = A hoặc x = - A thì gia tốc a = ω^2.A.
Bài tập 2: (Bài 7 trang 9 Sách giáo khoa Vật lý 12) Một vật dao động điều hòa có quỹ đạo là một đoạn thẳng
dài 12cm. Biên độ dao động của vật là bao nhiêu?
A. 12cm; B. – 12cm; C. 6cm; D. – 6cm;
Bài tập 3: (Bài 9 trang 9 Sách giáo khoa Vật Lý 12) Cho phương trình của dao động điều hòa x = -
5cos(4πt) (cm). Biên độ và pha ban đầu của dao động là bao nhiêu? A. 5cm; 0 rad; B. 5 cm; 4π rad; C. 5 cm; (4π.t) rad; D. 5cm; π rad; Hướng dẫn giải:
Chọn Đáp án: D. 5 cm; π rad;
- Ta có: x = -5cos(4πt) = 5cos(4πt + π) - Biên độ của dao động A = 5cm.
- Pha ban đầu của dao động φ = π (rad)
Bài tập 4: (Bài 10 trang 9 Sách giáo khoa Vật lý 12) Phương trình của dao động điều hòa là x = 2cos(5t -
π/6)(cm). Hãy cho biết biên độ, pha ban đầu, và pha ở thời điểm t của dao động. Hướng dẫn giải :
- Biên độ của dao động: A = 2 (cm)
- Pha ban đầu của dao động: φ = -π/6 (rad)
- Pha ở thời điểm t của dao động: 5t - π/6 (rad)
Bài tập 5: (Bài 11 trang 9 Sách giáo khoa Vật lý 12) Một vật dao động điều hòa phải mất 0,25s để đi từ điểm
có vận tốc bằng không tới điểm tiếp theo cũng như vậy. Khoảng cách giữa hai điểm là 36cm. Tính:
a) Chu kì b) Tần số c) Biên độ. Hướng dẫn giải:
a) Vận tốc của vật dao động điều hòa bằng 0 khi vật ở hai biên
=> Vật đi từ điểm có vận tốc bằng không tới thời điểm tiếp theo cũng có vận tốc bằng không, có nghĩa là vật
đi từ vị trí biên này tới vị trí biên kia mất khoảng thời gian là nửa chu kì.
- Ta có t = T/2 mà t = 0,25 (s) => T = 2.t = 2.0,25 = 0,5 (s).
b) Tần số của dao động f = 1/T = 2 Hz
c) Biên độ của dao độngL A = L/2 = 18 cm.