lOMoARcPSD| 59735516
Đáp án và Thang iểm (D)
1
n
(1+ kx)
1.(2,5 ) limx 0
k 1
=
n
có dạng vô ịnh (0,25 ) n
(1+ kx)
k 1=
- Ta thấy
n
(kx +1) là a thức bậc n, tức là
n
(kx + =1)
n
a x
k
k
, nên nếu thực hiện các phép nhân
k 1= k 1= k 1=
n a
0
=1 n n
+1) thì nhận ượ
c
k 1
=
(kx
a
1
=
n
i
k 1
=
(kx + = +1) 1 x
i 1
=
i + x P
2
n 2
(x) , trong ó P
(x)
n 2
là a thức bậc
i 1
=
n
(n–2), tức là P
n 2
(x
)
=
a x
k
k 2
, hơn nữa P
n
(0) = a
2
có giá trị hữu hạn.(0,75 )
k 2=
n
n 2
n 2
n 2
1 (1+ kx) = − +1 1x i + x P
n 2
(x) =−x i x P
(x) (0,25 )
k 1= i 1= i 1=
- Ta có
n
(1+ kx) =
n
1+
n
kx = +nx
n
k(0,25 )
k 1= k 1= k 1= k 1=
n
n
n
n (1+ kx) = −n n + x k =−x k (0,25 )
k 1= k 1= k 1=
1
n
(1+ kx) x
n
i x P
2
n 2
(x)
xP (x) xP (x) xP (x)
k 1=n = i 1= n = +1 n 2n n (1+ kx) x k
k 1= k 1= k 1=
= +1 n 2= +1 2 n 2(0,5 ) n(n +1) n(n +1)
k
2
n
1 (1+ kx)
lOMoARcPSD| 59735516
2
limx0 n k 1 =n (1+ kx) = lim 1x0 + 2 xPn(nn 2+(1)x) = +1 2 0n(n.P
n
2
+
+(0)1) = + =1 0 1.(0,25 )
k 1=
1
n
(1+ kx)
Cách khác. lim
k 1
=
n
có dạng vô ịnh (0,25 )
x0
n (1+ kx)
k 1=
n
n
,
n ,
1 (1+ kx) (L') 1 (1+ kx) (1+ kx)
= =
limx 0 k 1=n= limx 0 k 1n, = limx 0 k 1n , (0,5 )
+ n k 1
=
(1 kx) n
k 1= (1+ kx) k 1= (1+ kx)
- Theo công thức ạo hàm của một tích n thừa số ta ược
n , n n n n
(1+ kx) = (1+ kx)' (1+ ix) = k (1+ ix) (0,5 )
k 1= k 1= i 1(i k)= k 1= i 1(i k)=
n ,
n n
- Theo công thức ạo hàm của một tổng n số hạng ta ược (1+ kx) = (1+ kx)' = k (0,5 )
k 1= k 1= k 1=
n (1+ kx) , n k n (1+ ix) n k n(1+ i.0) n (k.1) n k
lim
x
k 1n=
,
=
lim
x 0
k 1= i 1(i=
n
k) = k 1= i 1(i=
n
k) = k 1=
n
= k 1
n
=
= 1(0,5 )
0
k 1 (1+ kx) k 1= k k 1= k k 1= k k 1= k
=
lOMoARcPSD| 59735516
1
n
(1+ kx) limx 0
k 1
=
n
= 1.(0,25 )
n (1+
kx)
k 1=
1+ x
2
2.(2,5 ) Tập xác ịnh của hàm số f(x) =
2x
(x 2)
2
2.1. Khảo sát tính liên tục/gián oạn của f(x) trên D(f) và phân loại iểm gián oạn
1+ x
2
khi x 0
- Hàm số f(x) =
2x khi 0 x 2 liên tục trong trong các khoảng mở (– ,0), (0,2), (2,+ )
(x 2)
2
khi x 2
vì trong mỗi khoảng này, biểu thức tương ứng của f(x) là hàm sơ cấp.(0,5 )
- Tại iểm x = 0 ta có
x
lim f(x)lim f(x)
→ −
0 0
=
=
x
lim (1lim (2
→ −
0 0
+
x )
2 =
1
xlim f(x)→ −0 0
xlim f(x)→ +0 0 nên f(x) gián oạn loại 1
x
→ +
0 0 x
→ +
0 0 − =
x) 2
tại iểm này và có bước nhảy lim f(x) lim f(x) = − =2 1 1.(0,5 )
x→ +0 0 x→ −0 0
lim f(x) = lim (2− =x) 0
- Tại iểm x = 2 ta có x 2 0x 2 0lim f(x)→ −→ + = x 2 0x 2 0lim (x→ −→ + 2)2 = 0 x 2 0lim f(x)→ − = x 2 0lim
f(x)→ + = f(2)
f(2) = − =2 2 0
limf(x) = f(2) nên f(x) liên tục tại iểm này.(0,5 ) x2
1+ x
2
khi x 0
Kết luận: Hàm số f (x) =
2 x khi 0 x 2 liên tục trong miền mở (– ,0) (0,+ ), gián
(x 2)
2
khi x 2
oạn loại 1 tại iểm x = 0 và tại iểm này hàm số có bước nhảy lim f(x)lim f(x) =1.(0,25 ).
x 0 0→ + x 0 0→ −
khi
khi
khi
x 0
0 x 2 là D(f) = R.(0,25 ) x
2
lOMoARcPSD| 59735516
4
1+ x
2
khi x 0
2.2. Đồ thị của hàm số f (x) = 2 x khi 0 x 2 là
(x 2)
2
khi x 2
(0,5 )
x +1 1 R khi b 1
3.(2,5 ) Hàm số f(x) = xln
x
a
2 khikhi x
x
1
có tập xác ịnh là
D(f)
=
R \{b}
khi
b
1
.(0,5 )
x b
- Khi b 1: D(f) = R với b 1
x +1
1
+ Hàm số f(x) =
xln
x
a
2 khikhi
xx
1 khả vi trong các khoảng mở ( ,1) , (1,+ ) vì trong mỗi
x b
khoảng này, biểu thức tương ứng của f(x) là hàm sơ cấp.(0,25 )
+ Để hàm số f (x) =
x ln
x
a
2
khi x
1
khả vi tại iểm x = 1 thì f(x) phải ồng thời thỏa mãn 2
khi x
1
x b
iều kiện:
(1) f(x) liên tục tại iểm x = 1, tức là lim f(x) = lim f(x) lim xln
x
+
1
= lim
x
a
x +1
xln 2 khi
Do ó, ể f(x) =
x
a
khi
x b
iểm x = 1.
x +1
x
1
khả vi trên tập xác ịnh D(f) của thì f(x) phải khả vi tại x
1
lOMoARcPSD| 59735516
x 1 0→+ x 1 0→− x 1 0→+ 2 x 1 0→− x b
a a =1 xln x 12+ khi x
1
.(0,25 )
=0 11
1
f(x) =
x 1
khi x
1
b
b
xb
(2) f’(x) tồn tại hữu hạn tại iểm x = 1, tức là f '(1+ =0) f '(10) và là một số hữu hạn.
Theo ịnh nghĩa ạo hàm một phía của hàm số f(x) tại iểm x = 1 thì
x→+1 0 f (x)x −−1f (1) x→+1 0 x ln x 2+x1
−−11.ln1+21 = xlim→+1 0 x lnx x12+1 f '(1+ 0) = lim= lim
f (1) xx
1
b
1.ln1+
2
1
= lim
1
=
1
f '(10) = lim
f (x)
= lim
x→−1 0 x 1 x
→−
1 0 x 1 x
→−
1 0 x b 1b
Bây giờ, ta tìm lim
2
= lim
ln
x→+1 0 x 1 x→+1 0 x 1 2
t → +0 0 x → +1 0
1
xx1
ln
x 2+1 t +t 1 2t + 2t
2 t
= t +2 1
ln
Đổi biến t = −x
1
+ 2t
2 t
=
ln 1
lim x ln x +1 = lim t +1ln 1 + t 2 t = lim t +1 ln lim 1 + t 2 t
= 0 1+ lne = 1
x
→+
1 0 x 1 2 t
→ +
0 0 2 2 t
→ +
0 0 2
t 2
→ +
0 0 2
2 2
lim
x→+1 0
x +1
x ln
2
=
1
(0,25 ) x
1 1b
x +1
xln
x +1
lOMoARcPSD| 59735516
6
=
1 1
=−b 1 iều này mâu thuẫn với trường hợp ang xét là b 1 nên không tìm ược
2 1b
tham số b ể hàm số f (x) =
x ln
x
1
x
2
+1
khi
khi
x
x
1
1 với b 1, khả vi tại
iểm x = 1.(0,25 )
x b
- Khi b < 1: D(f) = R\{b} với b < 1
+ Hàm số f(x) =
xln
x
a
x
2
+1
khi
khi
x
x 1
1
khả vi trong các khoảng mở ( , b) ,(b,1) , (1,+ ) vì trong
x b
mỗi khoảng này, biểu thức tương ứng của f(x) là hàm sơ cấp.(0,25 )
+
+ Để hàm số f (x) =
x ln
x
a
2
khikhi xx 1
1
khả vi tại iểm x = 1 thì f(x) phải ồng thời thỏa mãn 2
x b
iều kiện:
(1) f(x) liên tục tại iểm x = 1, tức là lim f(x) = lim f(x) lim xln
x
+
1
= lim
x
a
x 1 0→+ x 1 0→− x 1 0→+ 2 x 1 0→− x b a a =1
xln x 12+ khi x
1
.(0,25 )
x 1
xln 2 khi
Do ó, ể f(x) =
x
a
khi
x b
iểm x = 1.
x +1
x 1
khả vi trên tập xác ịnh D(f) của thì f(x) phải khả vi tại x
1
lOMoARcPSD| 59735516
=0 11b b 1 f(x) =
x 1
khi x
1
xb
(2) f’(x) tồn tại hữu hạn tại iểm x = 1, tức là f '(1+ =0) f '(10) và là một số hữu hạn.
Theo ịnh nghĩa ạo hàm một phía của hàm số f(x) tại iểm x = 1 thì
f (x) x ln x +1 1.ln1+1 x ln x +1
f '(1+ 0) = xlim→+1 0 x 1f (1) = xlim→+1 02 x 12 = xlim→+1 0 x 12
f '(10) = lim f (x) = lim
x→−1 0 x −−1f (1) x→−1 0 x
x
−−1b
1+2
1
= xlim→−1 0 x 1b = 11b
x1.ln1
Bây giờ, ta tìm lim
2
= lim ln
x→+1 0 x 1 x→+1 0 x 1 2
t → +0 0 x → +1 0
Đổi biến
t
1
x1ln x 2+1 = t +t 1 2t ln 1 + 2t
2 t
= t +2 = −x
1
ln 1
+ 2t
2 t
x
lim x ln x +1 = lim t +1ln 1 + t 2 t = lim t +1 ln lim
1 + t 2 t = 0 1+ lne = 1 x
→+
1 0 x 1 2 t
→ +
0 0 2 2 t
→ +
0 0 2
t 2
→ +
0 0 2
2
2
=
1
1
=−b1 iều này phù hợp với trường hợp ang xét là b < 1.
2 1b
x +1
lim
x→+1 0
x +1
x ln
2
=
1
(0,25 ) x
1 1b
x +1
xln
x +1
x 1 x ln
x
2
+
1
= x 1
x 1
x +1
khi
khi
x 1
khả vi
x 1
lOMoARcPSD| 59735516
8
+ Như vậy, khi
ab =
=−
1
1
thì hàm số f (x) =
x ln
x
a 2
khi
khi
x b
trên tập xác ịnh D(f) = R\{–1} của nó.(0,25 )
x
5
sin
1
khi x 0
4.(2,5 ) Hàm số
f (x)
= x có tập xác ịnh D(f) = R.(0,25 )
x
2
sin
3
x khi x 0
- Tính f’(0): Theo ịnh nghĩa ạo hàm một phía của hàm số f(x) tại iểm x = 0 thì
5
1 2 3
+ f '(0 0) = lim f (x) f (0) = lim x sin x 0 .sin 0 = lim x 4 sin 1 = 0 vì sin 1
1(0,25 ) x→ −0 0
x
0 x→ −0 0 x x→ −0 0 x x
f (x)
f (0) x2 sin3 x 02.sin3 0 3 3
3
+ f '(0 + 0) = lim = lim = lim x sin x = 0.sin 0 = 0.0 = 0 (0,25 ) x
+0 0 x 0 x→ +0 0 x x→ +0 0
f '(0 − =0) f '(0 + =0) 0 f '(0) = 0.(0,25 )
- Tính f”(0): Để tính f”(0) chúng ta tính f’(x) khi x < 0 và f’(x) khi x > 0 theo quy tắc tính
ạo hàm, sau ó chúng ta tính f”(0) theo ịnh nghĩa, khi sử dụng f’(0) = 0 tìm ược ở trên.
x5 sin 1
x
, = 5x 4 sin 1
x
x3 cos
x
1
khi x 0
(
0,5 ) Chúng ta có f '(x) =
(x
2
sin
3
x)'= 2x sin
3
x + 3x
2
sin
2
x cosx khi x 0
Theo ịnh nghĩa, ạo hàm một phía của hàm số f’(x) tại iểm x = 0 là
5x4 sin 1 x3 cos 1 0
+ f"(0 0) = lim f '(x) f '(0) = lim x x = lim 5x3 sin 1 x2 cos 1 x
0 0→ − x 0 x 0 0→ − x x 0 0→ − x x
3
1
2
1
sin(1 x) 1
= 5x 0 0lim x sin→ − x x 0 0lim x cos→ − x = 5.0 − =0 0 vì cos(1 x) 1 (0,5 )
+
f"(0 + 0) = lim f '(x) f '(0) = lim (2x sin
3
x + 3x
2
sin
2
x cosx) 0
lOMoARcPSD| 59735516
x→ +0 0 x 0 x→ +0 0 x
= lim (2x sin
3
x + 3x
2
sin
2
x cosx) = 2 lim x sin
3
x + 3 lim x
2
sin
2
x cosx x 0 0
+ x 0 0→ + x 0 0→ +
= 2.0.sin
3
0 +3.0
2
.sin 0.cos
2
0 = 2.0 + 3.0.1= 0(0,25 )
f"(0 − =0) f"(0 + =0) 0 f"(0) = 0.(0,25 )

Preview text:

lOMoAR cPSD| 59735516
Đáp án và Thang iểm (D) 1− n (1+ kx)
1.(2,5 ) limx 0 k 1=n có dạng vô ịnh (0,25 ) → n − (1+ kx) k 1=
- Ta thấy n (kx +1) là a thức bậc n, tức là  n (kx + =1)  n a x k
k , nên nếu thực hiện các phép nhân k 1= k 1= k 1= n  a0 =1 n n
+1) thì nhận ược        k 1= (kx  a1 = n i k 1= (kx + = +1) 1 x i 1= i + x P2 n 2− (x) , trong ó P (x)n 2− là a thức bậc  i 1= n = (n–2), tức là P k 2− n 2− (x)  a xk
, hơn nữa Pn(0) = a2 có giá trị hữu hạn.(0,75 ) k 2=  n  n 2   n 2 n 2
 −1 (1+ kx) = − +1  1x i + x Pn 2− (x) =−x i − x P − (x) (0,25 ) k 1=  i 1=  i 1=
- Ta có n (1+ kx) =  n 1+ n kx = +nx n k(0,25 ) k 1= k 1= k 1= k 1= n  n  n
 −n  (1+ kx) = −n  n + x k =−x k (0,25 ) k 1=  k 1=  k 1= −
1  n (1+ kx) − x n i − x P2n 2− (x) xP (x) xP (x) xP (x) k
 k 1=n = i 1= n = +1 n 2n− n − (1+ kx) − x k  2 k 1= k 1= k 1=
= +1 n 2− = +1 2 n 2− (0,5 ) n(n +1) n(n +1) n 1− (1+ kx) lOMoAR cPSD| 59735516
 limx→0 n − k 1 =n (1+ kx) = lim 1x→0   + 2 xPn(nn 2−+(1)x)   = +1 2 0n(n.Pn 2++(0)1) = + =1 0 1.(0,25 ) k 1= 1− n (1+ kx)
Cách khác. lim
k 1=n có dạng vô ịnh (0,25 ) x→0 n − (1+ kx) k 1= n  n  ,  n  , 1− (1+ kx) (L')  1− (1+ kx)   (1+ kx)  =   =   limx 0 k 1=n= limx 0 k 1n, = limx 0 k 1n , (0,5 ) = → − + →    →    n k 1 (1 kx)  n − k 1= (1+ kx)    k 1= (1+ kx)  
- Theo công thức ạo hàm của một tích n thừa số ta ược  n  , n  n  n  n 
  (1+ kx) =  (1+ kx)'  (1+ ix) =  k  (1+ ix) (0,5 )  k 1=  k 1=  i 1(i k)=   k 1=  i 1(i k)=    n  , n n
- Theo công thức ạo hàm của một tổng n số hạng ta ược   (1+ kx) = (1+ kx)' = k (0,5 )  k 1=  k 1= k 1=
   n (1+ kx)  ,  n  k  n (1+ ix)   n   k  n(1+ i.0)   n (k.1)  n k   limx k 1n=  , = limx 0 k 1=  i 1(i= nk)
 = k 1=  i 1(i= nk) = k 1= n = k 1n= = 1(0,5 )
→0    k 1 (1+ kx)   →  k 1= k  k 1= k  k 1= k  k 1= k  = 2 lOMoAR cPSD| 59735516
1− n (1+ kx)  limx 0 k 1=n = 1.(0,25 ) → n − (1+ kx) k 1=  1+ x 2 khi x  0 khi 0 khi
  x 2 là D(f) = R.(0,25 ) x
2.(2,5 ) Tập xác ịnh của hàm số f(x) =  2− x  2  (x − 2)2
2.1. Khảo sát tính liên tục/gián oạn của f(x) trên D(f) và phân loại iểm gián oạn  1+ x 2 khi x  0
- Hàm số f(x) =  2− x khi
0   x 2 liên tục trong trong các khoảng mở (– ,0), (0,2), (2,+ )   (x − 2)2 khi x  2
vì trong mỗi khoảng này, biểu thức tương ứng của f(x) là hàm sơ cấp.(0,5 )
- Tại iểm x = 0 ta có    xlim f(x)lim f(x)→ −0 0
== xlim (1lim (2→ −0 0 + x )2 =1 xlim f(x)→ −0 0 
xlim f(x)→ +0 0 nên f(x) gián oạn loại 1   x→ +0 0 x→ +0 0 − =x) 2
tại iểm này và có bước nhảy lim f(x) − lim f(x) = − =2 1 1.(0,5 ) x→ +0 0 x→ −0 0
 lim f(x) = lim (2− =x) 0
- Tại iểm x = 2 ta có    x 2 0x 2 0lim f(x)→ −→ + = x 2 0x 2 0lim (x→ −→ + − 2)2 = 0  x 2 0lim f(x)→ − = x 2 0lim f(x)→ + = f(2)    f(2) = − =2 2 0
 limf(x) = f(2) nên f(x) liên tục tại iểm này.(0,5 ) x→2  1+ x2 khi x  0
Kết luận: Hàm số f (x) =  2 − x khi 0   x
2 liên tục trong miền mở (– ,0) (0,+ ), gián   (x − 2)2 khi x  2
oạn loại 1 tại iểm x = 0 và tại iểm này hàm số có bước nhảy lim f(x)− lim f(x) =1.(0,25 ). x 0 0→ + x 0 0→ − lOMoAR cPSD| 59735516  1+ x2 khi x  0
2.2. Đồ thị của hàm số f (x) =  2 − x khi 0   x 2 là   (x − 2)2 khi x  2 (0,5 )  x +1  1  R khi b  1
3.(2,5 ) Hàm số f(x) =   xlnx − a 2 khikhi
xx  1 có tập xác ịnh là D(f) =  R \{b} khi b  1.(0,5 )  x −b
- Khi b 1: D(f) = R với b  1  x +1  1  x +1 x  1  xln 2 khi
khả vi trên tập xác ịnh D(f) của nó thì f(x) phải khả vi tại x Do ó, ể f(x) =   x −a 1  khi  x −b iểm x = 1.  x +1 
+ Hàm số f(x) =  xlnx − a 2 khikhi
xx  1 khả vi trong các khoảng mở (− ,1) , (1,+ ) vì trong mỗi  x −b
khoảng này, biểu thức tương ứng của f(x) là hàm sơ cấp.(0,25 ) 2
+ Để hàm số f (x) =  x lnx − a khi
x  1 khả vi tại iểm x = 1 thì f(x) phải ồng thời thỏa mãn 2  khi x  1  x − b iều kiện:
(1) f(x) liên tục tại iểm x = 1, tức là lim f(x) = lim f(x)  lim xln x +1 = lim x −a 4 lOMoAR cPSD| 59735516 x 1 0→+ x 1 0→− x 1 0→+ 2 x 1 0→− x − b −a  a =1
  xln x 12+ khi x  1.(0,25 )  =0 11
   1 f(x) =  x 1− khi x  1 −b  b  x−b
(2) f’(x) tồn tại hữu hạn tại iểm x = 1, tức là f '(1+ =0)
f '(1− 0) và là một số hữu hạn.
Theo ịnh nghĩa ạo hàm một phía của hàm số f(x) tại iểm x = 1 thì     x→+1 0 f
(x)x −−1f (1) x→+1 0 x ln x 2+x1
−−11.ln1+21 = xlim→+1 0 x lnx −x12+1 f '(1+ 0) = lim= lim   − f (1)
xx−−1b −1.ln1+21 = lim 1 = 1  f '(1− 0) = lim f (x)= lim   x→−1 0 x −1 x→−1 0 x −1 x→−1 0 x − b 1− b x +1 x ln 2 = 1 (0,25 ) x  lim − x→+1 0 1 1− b Bây giờ, ta tìm lim 2 = lim x +1 ln  xln  x x +1 x→+1 0
x −1 x→+1 0 x −1 2   t → +0 0  x → +1 0 1  Đổi biến t = −x
   xx−1ln x 2+1   t +t 1 2t     + 2t    2 t = t +2 1ln
1   + 2t    2 t =  ln 1  lim 
x ln x +1  = lim t +1ln 1  + t   2 t =  lim t +1  ln  lim 1  + t   2 t   = 0 1+ lne = 1 →+ → + → +  → +  x 1 0 x −1 2  t 0 0 2  2  t 0 0 2   t 2 0 0 2  2 2 lOMoAR cPSD| 59735516  =1 1  =−b
1 iều này mâu thuẫn với trường hợp ang xét là b  1 nên không tìm ược 2 1− b
tham số b ể hàm số f (x) =  x ln    x −1x 2+1
khikhi xx  11 với b  1, khả vi tại iểm x = 1.(0,25 )  x − b
- Khi b < 1: D(f) = R\{b} với b < 1  xln + Hàm số f(x) =   x −ax2+1 khikhi
xx 11 khả vi trong các khoảng mở (−, b) ,(b,1) , (1,+) vì trong  x −b
mỗi khoảng này, biểu thức tương ứng của f(x) là hàm sơ cấp.(0,25 )  x 1 x  1  xln 2 khi
khả vi trên tập xác ịnh D(f) của nó thì f(x) phải khả vi tại x  1 Do ó, ể f(x) = x −a  khi  x −b iểm x = 1.  x +1 + 2
+ Để hàm số f (x) =   x lnx − a khikhi xx   11 khả vi tại iểm x = 1 thì f(x) phải ồng thời thỏa mãn 2  x − b iều kiện:
(1) f(x) liên tục tại iểm x = 1, tức là lim f(x) = lim f(x)  lim xln x +1 = lim x −a x 1 0→+ x 1 0→− x 1 0→+ 2
x 1 0→− x − b −a  a =1   xln x 12+ khi x  1.(0,25 ) 6 lOMoAR cPSD| 59735516
 =0 11−b   b  1 f(x) =  x 1−  khi x  1  x−b
(2) f’(x) tồn tại hữu hạn tại iểm x = 1, tức là f '(1+ =0)
f '(1− 0) và là một số hữu hạn.
Theo ịnh nghĩa ạo hàm một phía của hàm số f(x) tại iểm x = 1 thì   f (x) x ln x +1 −1.ln1+1 x ln x +1 −
  f '(1+ 0) = xlim→+1 0
x −1f (1) = xlim→+1 02 x −12 = xlim→+1 0 x −12  f '(1− 0) = lim f (x) = lim x +1     x→−1 0 x −−1f (1) x→−1 0 xx−−1b x ln −x1−.ln1 2
1+21 = xlim→−1 0 x 1− b = 1−1b = 1 (0,25 ) x  lim − x→+1 0 1 1− b x +1 xln  x x +1 Bây giờ, ta tìm lim 2 = lim ln  x→+1 0 x −1 x→+1 0 x −1 2   t → +0 0  x → +1 0 Đổi biến t 1 = −x
     x−1ln x 2+1 =   t +t 1 2t    ln 1  + 2t    2 t = t +2
1ln 1   + 2t    2 t  x 
lim  x ln x +1  = lim t +1ln 1  + t   2 t =  lim t +1  ln  lim 1     + t   →+ → + → + → + 2 t   = 0 1+ lne = 1 x 1 0 x −1 2  t 0 0 2  2  t 0 0 2   t 2 0 0 2  2 2  =1
1  =−b1 iều này phù hợp với trường hợp ang xét là b < 1. 2 1− b x  1   x ln x 2+1  x +1 x  1 khi = x −1 khả vi khi x  1  x  1  x +1 lOMoAR cPSD| 59735516  
+ Như vậy, khi   ab ==−1 1 thì hàm số f (x) =  x lnx − a 2 khikhi  x − b
trên tập xác ịnh D(f) = R\{–1} của nó.(0,25 )   x5 sin 1 khi x  0
4.(2,5 ) Hàm số f (x) = x
có tập xác ịnh D(f) = R.(0,25 )   x2 sin3 x khi x  0
- Tính f’(0): Theo ịnh nghĩa ạo hàm một phía của hàm số f(x) tại iểm x = 0 thì 5 1 2 3 + f '(0 − 0) = lim f (x) − f (0) = lim x
sin x − 0 .sin 0 = lim x 4 sin 1 = 0 vì sin 1
 1(0,25 ) x→ −0 0 x − 0 x→ −0 0 x x→ −0 0 x x f (x) − f (0) x2 sin3 x − 02.sin3 0 3 3 3 + f '(0 + 0) = lim = lim
= lim x sin x = 0.sin 0 = 0.0 = 0 (0,25 ) x→
+0 0 x − 0 x→ +0 0 x x→ +0 0
 f '(0 − =0) f '(0 + =0) 0   f '(0) = 0.(0,25 )
- Tính f”(0): Để tính f”(0) chúng ta tính f’(x) khi x < 0 và f’(x) khi x > 0 theo quy tắc tính
ạo hàm, sau ó chúng ta tính f”(0) theo ịnh nghĩa, khi sử dụng f’(0) = 0 tìm ược ở trên.  
     x5 sin 1x   , = 5x 4 sin 1x − x3 cos x1 khi x  0
(0,5 ) Chúng ta có f '(x) = 
  (x 2 sin3 x)'= 2x sin3 x + 3x 2 sin2 x cosx khi x  0
Theo ịnh nghĩa, ạo hàm một phía của hàm số f’(x) tại iểm x = 0 là
  5x4 sin 1 − x3 cos 1   − 0 + f"(0 − 0) = lim
f '(x) − f '(0) = lim  x x  = lim   5x3 sin 1 − x2 cos 1   x
0 0→ − x − 0 x 0 0→ − x x 0 0→ −  x x  1 1 3 2   sin(1 x)  1
= 5x 0 0lim x sin→ − x − x 0 0lim x cos→ −
x = 5.0 − =0 0 vì   cos(1 x)  1 (0,5 ) + f"(0 + 0) = lim
f '(x) − f '(0) = lim (2x sin3 x + 3x2 sin2 x cosx) − 0 8 lOMoAR cPSD| 59735516 x→ +0 0 x − 0 x→ +0 0 x
= lim (2x sin3 x + 3x2 sin2 x cosx) = 2 lim x sin3 x + 3 lim x2 sin2 x cosx x 0 0→ + x 0 0→ + x 0 0→ +
= 2.0.sin3 0 +3.02.sin 0.cos2 0 = 2.0 + 3.0.1= 0(0,25 )
 f"(0 − =0) f"(0 + =0) 0   f"(0) = 0.(0,25 )