Dãy số thực - Giới hạn dãy số(Toán cao cấp) | Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

H c online t i: ọ
ạ https://mapstudy.edu.vn
_____________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
LIVESTREAM BUỔI 1 – TOÁN CAO CẤP
DÃY SỐ THỰC - GIỚI HẠN DÃY SỐ I. DÃY SỐ 1. Định nghĩa
Định nghĩa: Một dãy số thực dãy số (nói ngắn gọn là
) là một ánh xạ từ N* vào R:
n N* → x R n
Người ta thường dùng ký hiệu: x  ;n = 1,2,... , hoặc x ,x ,...,x ,... để chỉ dãy số. Số i = 1, 2, …, n, n 1 2 n
… được gọi là chỉ số.
Chú thích: Trong nhiều tài liệu, dãy số cũng có thể bắt đầu từ chỉ số 0, khi đó, tập N* trong định
nghĩa nói trên được thay bằng N. Ví dụ: 1 1 1
a) x  ; x = ; x = 1; x = ;...; x = ;... n n 1 2 n n 2 n
b) x  ; x = 1; x = 1; x = 1;...; x = 1;... n n 1 2 n n n
c) x  ; x = 1 − ; x = 1
− ; x = 1;...;x = 1 − ;... n n ( ) 1 2 n ( )
d) x  2 2
; x = n ; x = 1; x = 4; ...; x = n ;... n n 1 2 n 2 2  1  9  1 
e) x  ; x = 1 + ; x = 2; x = ;...; x = 1 + ;... n n   1 2 n    n  4  n  n n
f) x  ; x = n 1 − ; x = 1
− ; x = 2; x = 3 − ;...;n 1 − ;... n n ( ) 1 2 3 ( )
● Dãy đơn điệu: • Dãy tăng: x    + x : n N * n 1 n • Dãy giảm: x    + x : n N * n 1 n
● Dãy bị chặn:
Dãy (xn) gọi là bị chặn trên ( dưới, bị chặn) nếu tập hợp x : n
  N là bị chặn trên (dưới, bị n  chặn) nghĩa là: C   R, n
  N : x  C  C,C  0 n ( )
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________
Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA 1 H c online t i: ọ
ạ https://mapstudy.edu.vn
_____________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
2. Giới hạn dãy số
Định nghĩa: Dãy {xn} gọi là hội tụ nếu  a  ε  0 (n nn  x − a  ε ε ε n )
Ta cũng nói rằng dãy {xn} hội tụ đến
a, hay a là giới hạn của dãy {x n} và viết xn a →
khi n → hay lim x = a n n →
● Nếu dãy {xn} không hội tụ, ta nói rằng nó phân kỳ
Chú ý: Ta hoàn toàn có thể sử dụng định nghĩa để chứng minh giới hạn dãy số Ví dụ 1: Chứng minh: 1 lim = 0 n 1
Ví dụ 2: Chứng minh lim = 0, k N k n
3. Các tính chất và phép toán của dãy hội tụ
a) x → a, x → a'  a' = a (tính chất duy nhất) n n
b) x → a  x − a → 0 n ( n ) c) n
 : x = c  x → c c = const n n ( )
d) x → a, z → a, x  y  z  y → a : nguyên lý kẹp n n n n n ( n )
e) x → a  c   0, n  : x  c n n
f) x → a, a  p  p  n  , n
  n : x   p n ( ) 0 0 n ( )
g) x → a, y → b  x  y → a  b n n n n
h) x → a, y → b  x . y → a.b n n n n
i) x → a, y → b,b  0, x / y → a / b n n n n
Bài tập ví dụ Tìm giới hạn của dãy số : 2
7n + 5n + 3 n cos n
1. lim 2. sinn lim 3. lim 2 5n + 3 n n + 1
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________
Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA 2 H c online t i: ọ
ạ https://mapstudy.edu.vn
_____________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________
4. Giới hạn vô hạn và các dạng vô định
a) Giới hạn vô hạn
Định nghĩa: Dãy (xn)
gọi là có giới hạn bằng dương vô cùng (âm vô cùng) nếu: M   0, n  , n
  n  M( −M ) 0 0 0
Ký hiệu: limx = + (−) hay x → + (−) n n
Các tính chất:
1. x → + − , n
 ; y  x  x  y → + − n ( ) n n ( n ) n ( )
2. x → + − , n
 : y  c  x + y → + − n ( ) n n n ( )
3. x → + − , y → + −  x + y → + − n ( ) n ( ) n n ( )
4. x → + − , y → a  0 a  0 , x y → + − − +  n ( ) n ( ) n n ( )  ( )
5. x → + − , y → + − − +   x y → + − n ( ) n ( ) ( ) n n  ( )
6. x → + −  1 / x → 0 ; x → 0 n ( ) n n
x  0  0  1 / x → + − n ( ) n ( )
Ví dụ:
1. x  ;x = n
2. x ; x = 2n +1 n n n n n + n n + 1 + 3
3. x  3 ; x =
4. x ; x = n 2 n n 2 n 2n − 3 3 n +n −n
b) Các dạng vô định 
Xét hai dãy x  và y  , các dạng vô định sẽ có d ng: ạ 0 ; ; 0. ;   −  n n 0  → Khi tìm gi i
ớ hạn, gặp các dạng này ta ph i
ả biến đổi để khử chúng đi, sau đó áp dụng các tính
chất của dãy hội tụ ta sẽ c gi tìm đượ ới hạn cụ thể.
Ví dụ: 4n 1−10n
1. x  ; x = ( 2 4 3
n − n − n + n
2. x ; x = + n 4 3 n n ) n 2 2n + 3 5n +1 ___HẾT___
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________
Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA 3