Đề chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2025 – 2026 trường THPT Phú Xuyên B – Hà Nội

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT PHÚ XUYÊN B Năm học 2025 - 2026 Môn Toán - lớp 11
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi có 02 trang)
Câu I: (4,0 điểm).
1. Cho phương trình lượng giác: 2cos2x – 3sinx = 0 (1).
a. Giải phương trình (1). 3
b. Tìm các nghiệm của phương trình (1) trong đoạn [ − 2 ; ] 2
2. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình: 2cos2x – 3sinx – 2m + 3 = 0 vô nghiệm.
Câu II: (3,0 điểm).
1. Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 5𝑥 − 𝑦 , 2𝑥 − 3𝑦 , 𝑥 + 2𝑦 theo thứ tự lập thành
cấp số cộng, và các số (𝑦 + 1)2 , 𝑥𝑦 + 1 , (𝑥 − 1)2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm 𝑥, 𝑦 .
2. Học sinh Nam tới Hội chợ Xuân 2026 và tham gia trò chơi ném bóng, mỗi lần ném người
chơi phải đặt cược một số tiền sau đó mới được chơi. Lần chơi đầu tiên Nam đặt 20 000 đồng, mỗi
lần chơi tiếp theo tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cược trước. Nam chơi thua 9 lần liên tiếp và thắng ở
lần thứ 10. Hỏi Nam thắng hay thua bao nhiêu tiền?
Câu III: (5,0 điểm). 3
1. Tính giới hạn. lim (𝑥 + 1 − √𝑥3 − 𝑥) 𝑥→+∞  2x −1− x  khi x 1
2. Tìm m để hàm số f (x) =  2 x −1 liên tục trên  2 5x − mx khi x 1
3. Cho tam giác đều A1B1C1 có cạnh a. Người ta dựng tam giác đều A2B2C2 có cạnh bằng
đường cao của tam giác A1B1C1, dựng tam giác đều A3B3C3 có cạnh bằng đường cao của tam
giác A2B2C2 và cứ tiếp tục như vậy sẽ nhận được một dãy các tam giác. Tính tổng diện tích S
của tất cả các tam giác đều A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3 …
Câu IV: (7,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. G là trọng tâm của tam giác SAC. Gọi I là
điểm nằm trong tam giác SAB.
1. Xác định giao điểm E của đường thẳng IG với mặt phẳng (SCD)
2. Trên đoạn AC lấy điểm F ( F khác A và C ). Gọi (𝛼) là mặt phẳng qua F và song song với hai
đường SC , BD. Xác định giao tuyến ( nếu có) của (𝛼) với các mặt của hình chóp S.ABCD
3. Gọi M là điểm thay đổi trên cạnh SB ( M khác S và B). Đường thẳng MG cắt SD tại N. Chứng SB SD
minh rằng giá trị biểu thức T = +
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M SM SN 1
Câu V: (1,0 điểm) Cho dãy số (u 2
n) được xác định bởi: u1 = 5, và u = + (u −u +9 1 n n n ), 5 n
  N;n  1. Chứng minh rằng:
1) (un) là dãy số tăng 1 1 1 1 2) + + ...+  , n
  N;n  1 u + 2 u + 2 u + 2 2 1 2 2026
-------------------------Hết--------------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Câu 1 : 1.   a. 5 2
2(1− sin x) − 3sin x = 0  x = + k2, x =
+ k2 (k  ) 6 6         b. 3 11 7 5  x  2 − ;  x   − ;− ; ;   2   6 6 6 6  2. 2
 2(1− sin x) − 3sin x − 2m + 3 = 0 , Đặt sin x = t ,t  1 −  ;1 2
 2t + 3t − 5 = 2 − m − 
Vẽ đồ thị ta thấy hàm số 2
2t + 3t − 5 = f (t) ta thấy 49 f (t)  ;0    Để pt vô  8   2 − m  0 m  0 nghiệm thì   4 − 9  49  2 − m  m   8  16 Câu 2 : 1.
Theo bài ta có : 5x − y + x + 2y = 2(2x − 3y) và 2 2 2
( y +1) .(x −1) = (xy +1)  14 4 −   9 9 −   ( ; x y)  (0  ;0), ; , ;       9 9   4 14  2.
Số tiền Nam đặt mỗi lần lập thành 1 cấp số nhân u = 20.000,q = 2 1 9  2 −1
Số tiền Nam có sau 10 lần chơi là : 9 20000.2 − 20000. = 20000 (đồng) 0 2 −1 Nam thắng Câu 3 : 3 2 3   + + + − + 1. x 3x 3x 1 x x 3 3 lim (x + 1 −
x − x ) = lim   x→+ x→+  2 3 3 3 2  3
(x +1) + (x +1) x − x + (x + x)     3 1  3 + +  2  3 lim x x  = =1 x→+  2 1  1  1  1+1+ 1 3 3 1 + + + +1 . 1− + 1     2 2  x x  x  x  2. 2 − − − − Ta có : 2x 1 x (x 1) f (x) = = 2 x −1 x +1 − − Để (1 1)
f (x) liên tục trên thì 2
= 5.1 − m  m = 5 1 + 1
Giải : Phạm Quang Minh 3. 2 2 2 Dễ dàng nhận thấy a 3 3a 3 9a 3 S = , S = , S =
 S ,S ,S ........ lập 1 2 3 4 16 64 1 2 3 2 2 −
thành 1 cấp số nhân lùi vô hạn với a 3 3 a 3 1 u = , q = 2  S = = a 3 1 4 4 4 3 −1 4 Câu 4 :
a. E = MY  IG b.
TH1 : F OA TH2 : F OC c.
Áp dụng bổ đề SM SD SO 3 + = 2 = 2. = 3 SP SN SG 2
Giải : Phạm Quang Minh Câu 5 :
1. Dễ dàng chứng minh được * u  3 n
  N bằng pp quy nạp n Mà 1 2 u
− u = (u − 3)  u − u  0  u  u  Đây là dãy tăng n 1 + n n n 1 + n n 1 + 5 n 2.
Từ công thức truy hồi ta có : u − 3 = 0, 2.(u − 3)(u + 2) n 1 + n n 1 1 1 1 1 1  = −  = − u
− 3 (u − 3) (u + 2) (u + 2) (u − 3) u − 3 n 1 + n n n n n 1 + 1 1 1 1 1 1  +...+ = − = − u + 2 u
+ 2 u − 3 u − 3 2 u − 3 1 2026 1 n 1 + n 1 + Mà 1 1 1 1 * u  3 n   N *   0  −  n   N n u − 3 2 u − 3 2 n 1 + n 1 +
Giải : Phạm Quang Minh