Đề chọn HSG Toán 9 vòng 2 năm 2020 – 2021 phòng GD&ĐT Thường Tín – Hà Nội
Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm 2020 – 2021 phòng GD&ĐT Thường Tín – Hà Nội giúp bạn ôn tập kiến thức, chuẩn bị tốt kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem.
Preview text:
????? Newthink - Newlife ????? ∗∗∗∗ AMS∗∗∗∗ UBND HUYỆN THƯỜNG TÍN
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO II Ngày thi 01/12/2020 Năm học: 2020 − 2021
Đề thi gồm có 01 trang Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1. (4,0 điểm) √ √ √ √ 2x + x − 1 2x x − x + x x − x 1. Cho P = 1 + − √ · √ . 1 − x 1 − x x 2 x − 1 2
Rút gọn P và chứng minh P > . 3 √ √ 1 r√ 1 2
2. Tính giá trị biểu thức A = x2 + x4 + x + 1 với x = 2 + − . 2 8 8
Bài 2. (4,0 điểm)
1. Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn (x − y) (y − z) (z − x) = x + y + z.
Chứng minh rằng x + y + z chia hết cho 27.
2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2x3 + 2x2y + x2 + 2xy = x + 10.
Bài 3. (4,0 điểm)
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p, q) thỏa mãn p2 + pq + q2 là số chính phương.
2. Cho số nguyên tố p và hai số nguyên dương x, y thỏa mãn 4x2 − 3xy − y2 − p (3x + 2y) =
2p2. Chứng minh rằng 5x − 1 là số chính phương.
Bài 4. (7,0 điểm)
Cho một điểm C di động trên đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. I là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác ABC, vẽ CH vuông góc với AB tại H.
1. Vẽ CM song song với BI (M thuộc AI); lấy điểm F thuộc AB sao cho AC = AF. Tính [ CMF.
2. P thuộc tia đối của tia AC sao cho AP = AC; Q là trung điểm của HB. Chứng minh
rằng PH vuông góc với CQ.
3. K tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHC; CK cắt AB tại E. Tìm vị trí của C trên cung
AB để diện tích tam giác CEF đạt giá trị lớn nhất.
4. Chứng minh rằng MH, BI, CF đồng quy.
Bài 5. (1,0 điểm)
Tìm k ∈ Z+ thỏa mãn r r s 1 1 1 1 1 1 20202 − 1 1 + + + 1 + + + · · · + 1 + + = . 12 22 22 32 k2 (k + 1)2 2020
-------------------- HẾT -------------------- 1