Đề cương Giải Tích 1 - Nhóm ngành 2 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

MI1112 GIẢI TÍCH I Phiên bản: 2023.1.0
Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về hàm số một biến số. Trên cơ sở
đó, sinh viên có thể học tiếp các học phần sau về Toán cũng như các môn học kỹ thuật khác,
góp phần tạo nên nền tảng Toán học cơ bản cho kỹ sư các ngành công nghệ và kinh tế.
Objective: This course provides the basics knowledge about functions of one variable.
Students can understand the basics of computing technology and continue to study further.
Nội dung: Giới hạn, liên tục, đạo hàm, vi phân của hàm số một biến số. Tích phân của hàm số một biến số.
Contents: Limits, continuities, derivatives, differentials of functions of one variable. Integrals
of functions of one variable.
1. THÔNG TIN CHUNG Tên h c ọ ph n ầ : Giải tích I (Analysis I) Mã s h ố ọc ph n ầ : MI1112
Khối lượng: 3(2-2-0-8) - Lý thuyết: 30 tiết
- Bài tập/BTL: 30 tiết - Thí nghiệm: 0 tiết Học ph n
ầ tiên quyết: - Học ph n ầ h c ọc trướ : - Học ph n ầ song hành: -
2. MÔ TẢ HỌC PHẦN Môn h c
ọ này nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về phép tính vi phân hàm
một biến s , phép tính tích phâ ố n hàm m t ộ biến số.
3. MỤC TIÊU VÀ CHUẨN ĐẦU RA CỦA HỌC PHẦN
Sinh viên hoàn thành học phần này có khả năng: Mục CĐR được phân bổ cho HP/ Mức tiêu/CĐR
Mô tả mục tiêu/Chuẩn đầu ra của học phần độ(I/T/U) [1] [2] [3] M1
Nắm vững các kiến thức cơ bản của giải tích 1 và vận dụng
thực hành giải được các bài tập liên quan
M1.1 Nắm vững các khái niệm cơ bản của giải tích 1 như: Giới hạn I/T
dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục, đạo hàm và vi phân
cấp cao, nguyên hàm và tích phân của hàm một biến số, tích phân suy rộng...
M1.2 Có khả năng vận dụng các kiến thức để giải được các bài tập T/U
liên quan tới nội dung môn học. M2
Đạt được thái độ làm việc nghiêm túc cùng kỹ năng cần Mục CĐR được phân
Mô tả mục tiêu/Chuẩn đầu ra của học phần bổ cho HP/ Mức tiêu/CĐR độ(I/T/U)
thiết để việc làm đạt hiệu quả cao
M2.1 Có kỹ năng: phân tích và giải quyết vấn đề bằng tư duy, logic T/U
chặt chẽ; làm việc độc lập, tập trung.
M2.2 Nhận diện một số vấn đề thực tế có thể sử dụng công cụ của đại I/T/U
số tuyến tính để giải quyết.
M2.3 Thái độ làm việc nghiêm túc, chủ động sáng tạo, thích nghi với I/T
môi trường làm việc có tính cạnh tranh cao.
4. TÀI LIỆU HỌC TẬP Giáo trình
[1] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Trần Việt Dũng, Trần Xuân Hiển, Nguyễn Xuân Thảo (2015).
Toán học cao cấp, tập 1: Giải tích, NXBGD, Hà Nội.
[2] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2000). Bài tập Toán học cao cấp tập 1, NXBGD, Hà Nội.
[3] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (1999). Bài tập Toán học co cấp tập 2, NXBGD, Hà Nội.
[4] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Trần Việt Dũng, Trần Xuân Hiển, Nguyễn Xuân Thảo (2017).
Bài tập Toán học cao cấp, tập 1: Giải tích, NXBGD, Hà Nội. Sách tham kh o ả
[1] Trần Bình (1998), Giải tích I, Phép tính vi phân và tích phân của hàm một biế . N n XB Khoa h c ọ và kỹ thuật, Hà N i ộ .
[2] Trần Bình (2005), Giải tích II và III, Phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều
biến. NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội.
[3] Trần Bình (2001), Hướng d n ẫ gi i ả bài t p ậ gi i ả tích toán h c ọ , tập . 1 NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
[4] Trần Bình (2001), Bài t p gi ậ i ả s n gi ẵ i
ả tích II. NXB Khoa học và k t ỹ huật, Hà Nội. 5. CÁCH ĐÁNH GIÁ HỌC PHẦN CĐR T
Điểm thành phần
Phương pháp đánh giá cụ thể Mô tả được ỷ đánh trọng giá [1] [2] [3] [4] [5]
A1. Điểm chuyên
Thái độ học tập và sự chuyên cần của Thái độ học tập 20% cần sinh viên trên lớp học của sinh viên
A2. Điểm kiểm tra A2.1. Kiểm tra định kỳ lần 1 (Điểm Thi trắc nghiệm M1.1, 30%
định kỳ (*) KT1, thang điểm 15 ) M1.2,
(Nội dung: Từ tuần 1 đến hết tuần 5) M2.1, A2.2. M2.2,
Kiểm tra định kỳ lần 1 (Điểm KT2, thang điể M2.3 m 15 )
(Nội dung: Từ tuần 6 đến hết tuần 10)
A3. Điểm cuối kỳ Thi cuối kỳ Thi tự luận M1.1, 50% M1.2, M2.1, M2.2, M2.3
(*) Điểm kiểm tra định kỳ (ĐKTĐK) được tính theo công thức ĐKTĐK = 1/3(KT1 + KT2),
và sẽ được điều chỉnh bằng cách cộng điểm tích cực h c ọ t p
ậ có giá trị từ –1 đến +1 theo quy
định của Viện Toán ứng ụ
d ng và Tin học cùng Quy chế Đào tạo đại học hệ chính quy của ĐH Bách khoa Hà N i ộ .
6. KẾ HOẠCH GIẢNG DẠY CĐR Bài đánh Tuần Nội dung học
Hoạt động dạy và học giá, phần BT [1] [2] [3] [4] [5] 1 M1.1 Giảng viên: A2.1,
Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến số M1.2 - Tự giới thiệu. A3 (18 LT+ 18 BT)
M2.1 - Giới thiệu đề cương môn 1.1 Mở đầu M2.3 học.
1.2 Định nghĩa hàm số, một số khái niệm cơ bản
- Giải thích cách thức dạy và
về hàm số, hàm hợp, hàm ngược
học cũng như hình thức đánh
1.3 Các hàm số sơ cấp cơ bản : Hàm lượng giác giá môn học.
ngược, hàm hyperbolic, khái niệm hàm số
- Giảng bài, trao đổi hỏi đáp sơ cấp
với sinh viên trong quá trình giảng bài. Sinh viên:
- Chuẩn bị đọc trước nội
dung bài giảng của tuần kế tiếp.
- Nắm vững các khái niệm
cơ bản và vận dụng giải các
bài tập phù hợp nội dung và tiến độ môn học. 2
1.4 Giới hạn hàm số: hai định nghĩa tương Giảng viên: A2.1,
đương, các phép toán và tính chất. Giới hạn
- Giảng bài, trao đổi hỏi đáp A3
của hàm hợp, giới hạn một phía, giới hạn ở
với sinh viên trong quá trình
vô cực và giới hạn vô cực giảng bài.
1.5 Các khái niệm vô cùng bé (VCB), vô cùng
lớn (VCL), so sánh các VCB, VCL, các Sinh viên:
tính chất và các quy tắc ngắt bỏ VCB, VCL
- Chuẩn bị đọc trước nội 3
1.6 Hàm số liên tục, liên tục một phía và các tính
dung bài giảng của tuần kế A2.1,
chất. Điểm gián đoạn của hàm số, phân loại tiếp. A3 điểm gián đoạn.
- Nắm vững các khái niệm
1.7 Đạo hàm và vi phân
cơ bản và vận dụng kiến
- Một số khái niệm cơ bản
thức thực hành giải các bài
tập môn học cũng như một
- Đạo hàm một phía, mối quan hệ giữa đạo
số bài toán thực tế có mô
hàm và đạo hàm một phía, mối quan hệ
hình gắn với nội dung môn
giữa đạo hàm và liên tục. học.
- Đạo hàm của hàm hợp, Đạo hàm của hàm số ngược 4
- Vi phân: định nghĩa, ý nghĩa hình học, ứng A2.1,
dụng vi phân để tính gần đúng. Mối liên hệ CĐR Bài đánh Tuần Nội dung học
Hoạt động dạy và học giá, phần BT [1] [2] [3] [4] [5]
giữa hàm số có đạo hàm và hàm khả vi. Vi A3
phân của hàm hợp và tính bất biến của vi phân cấp một
- Đạo hàm và vi phân cấp cao 5
1.8 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng A2.1,
- Các định lý Fermat, Rolle, Lagrange, A3 Cauchy 6
- Các công thức khai triển Taylor, A2.2, Maclaurin A3
- Các quy tắc L’Hospital để khử dạng vô
định, ứng dụng khai triển hữu hạn để tìm giới hạn 7
- Hàm số đơn điệu và các tính chất A2.2,
- Bất đẳng thức hàm lồi A3
- Cực trị của hàm số 8
1.9 Giới thiệu các dạng đường cong M1.1 A2.2,
- Hàm số y=f(x) (khảo sát) M1.2 A3 M2.1 M2.2 M2.3 9 Nghỉ giữa kỳ 10
- Đường cong cho dạng tham số M1.1 Giảng viên: A2.2,
- Đường cong cho trong toạ độ cực
M1.2 - Giảng bài, trao đổi hỏi đáp A3
M2.1 với sinh viên trong quá trình giảng bài. M2.2 M2.3 Sinh viên: 11
Chương 2. Phép tính tích phân hàm một biến M1.1 A3
- Chuẩn bị đọc trước nội
số (12 LT+ 12 BT)
M1.2 dung bài giảng của tuần kế
2.1 Tích phân bất định M2.1 tiếp.
- Một số khái niệm cơ bản
M2.3 - Nắm vững các khái niệm
- Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ
cơ bản và vận dụng kiến
thức thực hành giải các bài 12
- Tích phân các lượng giác, vô tỉ. Một số ví
M1.1 tập môn học cũng như một A3
dụ đơn giản về phép đổi biến Euler
M1.2 số bài toán thực tế có mô
2.2 Tích phân xác định
hình gắn với nội dung môn M2.1 học.
- Định nghĩa, ý nghĩa hình học, cơ học M2.2 M2.3 13
- Tiêu chuẩn khả tích. Các tính chất của M1.1 A3 tích phân xác định M1.2
- Công thức đạo hàm theo cận, công thức M2.1 Newton- Leibniz M2.3 - Các phương pháp tính CĐR Bài đánh Tuần Nội dung học
Hoạt động dạy và học giá, phần BT [1] [2] [3] [4] [5]
2.3 Tích phân suy rộng (TPSR):
- TPSR loại 1: Định nghĩa, ý nghĩa hình
học, các khái niệm hội tụ, phân kỳ, giá trị của tích phân 14
- TPSR loại 1: TPSR của hàm số không âm, A3
các định lý so sánh, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ 15
- TPSR loại 2: Định nghĩa, ý nghĩa hình A3
học, các khái niệm hội tụ, phân kỳ, giá trị
của tích phân, TPSR của hàm số không
âm, các định lý so sánh, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
2.4 Ứng dụng của tích phân xác định
- Sơ đồ tổng tích phân, vi phân 16
- Tính diện tích miền phẳng, mặt tròn xoay; M1.1 Giảng viên: A3
thể tích vật thể; độ dài cung phẳng
M1.2 - Giảng bài, trao đổi hỏi đáp
Tổng kết
M2.1 với sinh viên trong quá trình giảng bài. M2.2 Sinh viên:
M2.3 - Nắm vững các khái niệm
cơ bản và vận dụng kiến
thức thực hành giải các bài
tập môn học cũng như một
số bài toán thực tế có mô
hình gắn với nội dung môn học.
7. QUY ĐỊNH CỦA HỌC PHẦN
(Các quy định của học phần nếu có)
8. NGÀY PHÊ DUYỆT: …………………..
Viện Toán ứng dụng và Tin học
Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng và Tin học
BÀI TẬP THAM KHẢO GIẢI TÍCH I Nhóm ngành 2 Mã số: MI 1112 Chương 1
Phép tính vi phân hàm một biến số 1.1-1.4. Dãy số, hàm số
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số √ √ a) y = 2 arccot x − π x c) y = sinπx 2x b) y = arcsin d) 1 + x y = arccos (sin x)
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau a) sinh(−x) = − sinh x d) sinh 2x = 2 sinh x cosh x
b) sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y e) cosh2 x − sinh2 x = 1
c) cosh(x+y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y f) cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
Bài 3. Tìm miền giá trị của hàm số a) y = log (1 − 2 cos x) c) y = arccot(sin x)  x b)  y = arcsin log d) y = arctan(ex) 10 1
Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng và Tin học Bài 4. Tìm f(x) biết  1  1  x  a) f x + = x2 + b) f = x2 x x2 1 + x
Bài 5. Tìm hàm ngược của hàm số a) y = 2 arcsin x 1 b) − x 1 y = c) y = (ex − e−x) 1 + x 2
1.5-1.6. Giới hạn hàm số Bài 6. Tìm các giới hạn √ √  1 √ 1  m a) 1 + αx − n 1 + βx lim 1 + x − d) lim , (m, n ∈ N∗) x→0 x x x→0 x √ √ √
b) lim  3 x3 + x2 − 1 − x
e) lim x  x2 + 2x − 2 x2 + x + x x→+∞ x→+∞ √1 + 4x − 1 c) x100 − 2x + 1 lim f) lim x→1 x50 − 2x + 1 x→0 ln(1 + 3 sin x) Bài 7. Tìm các giới hạn √ √ ln(x + arccos3 x) cos x cos x a) − ln x − 3 lim c) lim x→0+ x2 x→0 sin2 x √ 1 x x b) √ − cos x cos 2 cos 3 lim sin x + 1 − sin x d) lim x→+∞ x→0 1 − cos x Bài 8. Tìm các giới hạn x−1  x   1 1 x+1 a) x2 − 1 lim d) lim sin + cos x→∞ x x x→∞ x2 + 1 b) √ lim 1 (cos x) e) lim(1 + sin πx)cot πx x x→1 x→0+ √ √ c) 1
lim n2 ( n x − n+1 x) , x > 0. f) lim [ln(e + 2x)]sinx n→∞ x→0
Bài 9. So sánh các cặp VCB sau a) √ α(x) = px +
x và β(x) = esin x − cos x, khi x → 0+ b) √ √
α(x) = 3 x − x và β(x) = cos x − 1, khi x → 0+
c) α(x) = x3 + sin2 x và β(x) = ln (1 + 2 arctan(x2)), khi x → 0 2
Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng và Tin học 1.7. Hàm số liên tục
Bài 10. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0  1 − cos x   , nếu x  ax2 + bx + 1, nếu x ≥ 0,  = 0,  a) f(x) = x2 b) g(x) =  nếu   a, x = 0.  a cos x + b sin x, nếu x < 0.
Bài 11. Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại gì của hàm số 8 a) sin 1 y = c) y = x 1 − 2cot x 1 e x + 1 1 eax b) − ebx y = arcsin x d) y = , (a = b) x x 1.8. Đạo hàm và vi phân
Bài 12. Tìm đạo hàm của hàm số    1 − x, nếu x < 1,     f (x) =
(1 − x)(2 − x), nếu 1 ≤ x ≤ 2,      x 2  − 2, nếu x > . Bài 13. d Tìm f′(x) biết [f (2017x)] = x2. dx
Bài 14. Với điều kiện nào thì hàm số  1   xn sin , nếu x = 0, f (x) = x (n ∈ Z)   0, nếu x = 0 a) Liên tục tại x = 0
c) Có đạo hàm liên tục tại x = 0. b) Khả vi tại x = 0
Bài 15. Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x − a|ϕ(x), trong đó ϕ(x) là một hàm số liên tục
và ϕ(a) = 0, không khả vi tại điểm x = a.
Bài 16. Tìm vi phân của hàm số 1   a) x 1 x y = − a arctan , (a = 0) c) y = ln   , (a = 0) a a   2a  x + a  x b) √ y = arcsin , (a = 0) d) . a y = ln x + x2 + a 3
Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng và Tin học Bài 17. Tìm d  sin x  d(sin x) d a) b) c) (x3 − 2x6 − x9) . d(x2) x d(cos x) d(x3)
Bài 18. Cho hàm số f(x), biết rằng đường tiếp tuyến với đồ thị của f(x) tại điểm (4; 3) đi
qua điểm (0; 2). Tính f(4) và f′(4).
Bài 19. Nếu C(x) là chi phí sản xuất của x đơn vị một mặt hàng nào đó. Khi đó chi phí biên
là C′(x) cho biết chi phí phải bỏ ra khi muốn tăng sản lượng thêm một đơn vị. Cho hàm
C(x) = 2000 + 3x + 0, 01x2 + 0, 0002x3.
Tìm hàm chi phí biên, xác định chi phí biên tại x = 100, giá trị đó nói lên điều gì?
Bài 20. Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số x2 a) d) y = x2 sin x, tính y(50) y = , tính y(8) 1 − x 1 + x b) e) y = √ , tính y(100) y = ex2, tính y(10)(0) 1 − x
c) y = ln(2x − x2), tính y(5)
f) y = x ln(1 + 2x), tính y(10)(0)
Bài 21. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số x x a) y = c) y = √ e) y = sin4 x + cos4 x x2 − 1 3 1 + x 1 b) y = d) f) 1 x2 − 3x + 2 y = eax sin(bx + c) y = xn−1ex
Bài 22. Tìm vi phân cấp cao của hàm số
a) y = (2x + 1) sin x. Tính d10y(0) c) y = x9 ln x. Tính d10y(1) b) y = ex cos x. Tính d20y(0) d) y = x2eax. Tính d20y(0)
Bài 23. Trong một hồ nuôi cá, cá trong hồ liên tục được sinh ra và khai thác. Số lượng cá
trong hồ P được mô tả bởi phương trình:  P (t)  P ′(t) = r0 1 − P (t) − βP (t) Pc
với r0 là tỉ lệ sinh sản, P là số lượng cá lớn nhất hồ có thể duy trì, c
β là tỉ lệ khai thác. Cho
Pc = 10000, tỉ lệ sinh sản và tỉ lệ khai thác tương ứng là 5% và 4%. Tìm số lượng cá ổn định. 4
Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng và Tin học
1.9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
Bài 24. Chứng minh rằng ∀a, b, c ∈ R, phương trình
a cos x + b cos 2x + c cos 3x = 0
có nghiệm trong khoảng (0, π).
Bài 25. Chứng minh rằng phương trình xn + px + q = 0 với n nguyên dương, n ≥ 2, không
thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn, không có quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ.
Bài 26. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng phương trình
8ax7 + 3bx2 + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0, 1). Bài 27. f (b) − f(a)
Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng f ′(c) = không áp dụng được g(b) − g(a) g′(c)
đối với các hàm số f(x) = x2, g(x) = x3, −1 ≤ x ≤ 1.
Bài 28. Chứng minh bất đẳng thức
a) |sin x − sin y| ≤ |x − y| b c) − a b − a
< arctan b − arctan a < , 1 + b2 1 + a2 a a a b) − b − b < ln < , 0 < b < a. 0 < a < b a b b
Bài 29. Tồn tại hay không hàm f sao cho f(0) = −1, f(2) = 4 và f′(x) ≤ 2 với mọi x?
Bài 30. Tìm các giới hạn q  πx a) √ √ lim x + px + x − x e) lim tan ln(2 − x) x→1 x 2 →+∞ 1  1  f) lim (1 − atan2x)xsinx b) x lim − x→0 x→1 x − 1 ln x tan π x g) 2 1 lim e x − cos 1 ln(1 − x) c) x→1− lim x x q →∞ 1 − 1 − 1 h) x2 lim (1 − cos x)tan x x→0 d) ex sin x − x(1 + x) lim i) lim (x3 + 3x)tan 1x x→0 x3 x→+∞
Bài 31. Xác định a, b sao cho biểu thức sau đây có giới hạn hữu hạn khi x → 0 1 1 a b f (x) = − − − . sin3x x3 x2 x
Bài 32. Cho f là một hàm số thực khả vi trên [a, b] và có đạo hàm f′′(x) trên (a, b). Chứng
minh rằng với mọi x ∈ (a, b) có thể tìm được ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f(a) (x − a)(x − b) f (x) − f(a) − (x − a) = f ′′(c). b − a 2 5
Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng và Tin học
Bài 33. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số a) y = x4 − 2x3 + 2x − 1
c) y = x + | sin 2x|, x ∈ [0, π]
b) y = 3 arctan x − ln(1 + x2)
Bài 34. Chứng minh bất đẳng thức
a) 2x arctan x ≥ ln (1 + x2) với mọi x ∈ R x2 b) x −
≤ ln(1 + x) ≤ x với mọi x ≥ 0 2
Bài 35. Tìm cực trị của hàm số 3x2 + 4x + 4 2 a) c) y = 3p(1 x y = − x)( − 2) x2 + x + 1 b) 2 2 y = x − ln(1 + x) d) y = x 3 + (x − 2)3
Bài 36. Cho f(x) là hàm lồi trên đoạn [a, b], chứng minh rằng ∀c ∈ (a, b) ta có f (c) − f(a) f (b) − f(a) f (b) − f(c) ≤ ≤ . c − a b − a b − c
Bài 37. Chứng minh các bất đẳng thức sau x + y  π  a) tan x + tan y tan ≤ , ∀ x, y ∈ 0, 2 2 2 x + y
b) x ln x + y ln y ≥ (x + y) ln , ∀x, y > 0 2
1.10. Khảo sát hàm số, đường cong
Bài 38. Tìm tiệm cận của các đường cong sau √ a)  y = 3 1 + x3  x = 2t − t2  d) 2016t2  y =  b) 1 y = ln(1 + e−x) − t3   x = t x3 arccot x e) c) y = 1 + x2  y = t + 2 arctan t
Bài 39. Khảo sát các hàm số, đường cong sau a) 1 y = e −x x3 x c) y = x2 + 1 √ x − 2 b) d) y = y = 3 x3 − x2 − x + 1 √x2 + 1 6 Chương 2
Phép tính tích phân hàm một biến số 2.1 Tích phân bất định
Bài 40. Tính các tích phân a) R esin2 x sin 2xdx (x2 + 2)dx dx e) R i) R x3 + 1 3 sin x − 4 cos x b) R ( (3 x + 2) ln xdx − 2x)dx dx f) j) R R √ (x + a)2(x + b)2 1 − x2 c) dx R |x2 − 3x + 2|dx g) k) R R sin 5x cos 3xdx √ 1 + 1 + x2 xdx d) (x + 1)dx R l) R √ (x + 2)(x + 5) h) R tan3 xdx x2 − 2x − 1
Bài 41. Tính các tích phân x4dx n−1 a) R d) R sin x sin(n + 1)xdx, n ∈ N∗ x10 − 1 √ b) R x −x2 + 3x − 2dx e) R e−2x cos 3xdx dx c) R (x2 + 2x + 5)2 f) R arcsin2 xdx
Bài 42. Lập công thức truy hồi tính I , n n ∈ N a) I dx n = R xnexdx b) In = R sinn xdx c) In = R cosn x 7
Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng và Tin học 2.2 Tích phân xác định
Bài 43. Tính các đạo hàm d y d y x3 a) R et2dt b) R et2dt d dt c) R dx dy √ x x dx 1 + t4 x2
Bài 44. Dùng định nghĩa và cách tính tích phân xác định, tìm các giới hạn  1 1 1  a) 1 lim + + + · · · + , (α, β > 0) n→∞ nα nα + β nα + 2β nα + (n − 1)β ! 1 r r r n b) 1 2 lim 1 + + 1 + + · · · + 1 + n→∞ n n n n
Bài 45. Tính các giới hạn sin x √ x  x 2 R R tan tdt (arctan t)2dt R et2dt a) 0 lim 0 b) lim √ c) lim 0 x x tan x →0+ √ x→+∞ x2 + 1 x→+∞ R sin tdt R e2t2dt 0 0
Bài 46. Tính các tích phân sau e 1 a) R sin2x cos x |ln x| (x + 1) dx d) R dx 1/e 0 (1 + tan2x)2 e 3 r b) x R (x ln x)2dx e) R arcsin dx 1 0 1 + x 3π/2 π/2 c) dx R
f) R cosnx cos nxdx, n ∈ N∗ 2 + cos x 0 0
Bài 47. Chứng minh rằng nếu f(x) liên tục trên [0, 1] thì π/2 π/2 π π π R R a) R f(sin x)dx = R f(cos x)dx b) xf(sin x)dx = f (sin x)dx 2 0 0 0 0
Áp dụng tính các tích phân sau π √ π/2 1. x sin xdx R sin xdx R 1 + cos2 2. x √ √ 0 0 sin x + cos x
Bài 48. Cho f(x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a, b]. Chứng minh bất đẳng thức (với a < b)  b 2  b   b  Z Z Z f (x)g(x)dx f 2(x)dx g2(x)dx   ≤     a a a
(Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz) 8
Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng và Tin học 2.3 Tích phân suy rộng
Bài 49. Xét sự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân sau 0 1 a) dx R xexdx c) R p −∞ 0 x(1 − x) +∞ +∞ b) dx dx R d) R (x2 + 1)2 x2 + 3x + 2 −∞ 0
Bài 50. Xét sự hội tụ của các tích phân sau +∞ ln (1 + x) dx 1 +∞ x a) dx − sin x R d) R h) R √ dx x2 1 0 tan x − x 0 x7 √ 1 xdx e) R √ +∞ 1 +∞ arctan xdx b) dx − x4 R √ 0 i) R √ 1 x + x3 π x3 f) dx 0 R √ 3 0 sin x +∞ +∞ ln(1 + 3x) +∞ sin 2x c) xdx R g) R √ dx j) R dx 2 ln3 x 0 x x 0 x +∞
Bài 51. Nếu R f(x)dx hội tụ thì có suy ra được f(x) → 0 khi x → +∞ không? Xét ví dụ 0 +∞ R sin (x2) dx. 0 +∞
Bài 52. Cho hàm f(x) liên tục trên [a, +∞) và lim f(x) = A = 0. Hỏi R f(x)dx có hội tụ x→+∞ a không.
2.4 Ứng dụng của tích phân xác định
Bài 53. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) Parabol y = x2 + 4 và đường thẳng x − y + 4 = 0
b) Đường cong y = x3 và các đường y = x, y = 4x, (x ≥ 0)
c) Đường tròn x2 + y2 = 2x và parabol y2 = x, (y2 ≤ x) d) Đường y2 = x2 − x4
Bài 54. Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ x2 + y2 ≤ a2 và y2 + z2 ≤ a2, (a > 0). 9
Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng và Tin học
Bài 55. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt cong z = 4−y2, các mặt phẳng tọa độ x = 0, z = 0
và mặt phẳng x = a (a = 0).
Bài 56. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đường y = 2x −x2 và y = 0 a) quanh trục 0x một vòng b) quanh trục 0y một vòng
Bài 57. Tính độ dài đường cong ex + 1 a) y = ln
khi x biến thiên từ 1 đến 2 ex − 1   t   x = a cos t + ln tan  π b) 2 khi π t biến thiên từ đến , (a > 0) 3 2   y = a sin t
Bài 58. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau π a) y = sin x, 0 ≤ x ≤ quay quanh trục 0x 2 1
b) y = (1 − x)3, 0 ≤ x ≤ 1 quay quanh trục 0x 3 10