23 trang 1 lượt tải

Đề cương giữa kì 2 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường THPT Hướng Hóa – Quảng Trị

2

Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề cương ôn tập giữa học kì 2 môn Toán 12 năm học 2025 – 2026 trường THPT Hướng Hóa, tỉnh Quảng Trị.

Chủ đề: Đề cương Toán 12 68 tài liệu

Môn: Toán 12 4.7 K tài liệu

Tác giả:

Profile

jang linh

15 giờ trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/23
HỘI ĐỒNG MÔN TOÁN TỈNH QUẢNG TRỊ
TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT HƯỚNG HÓA
I. MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ 2 - NĂM HỌC 2025 - 2026
MÔN TOÁN – LỚP 12 (Thời gian: 90 phút)
TT
Chương/Chủ
đề
Nội dung
Mức độ đáng giá
Tổng Tỉ lệ
DT1 DT2 DT3 Tự tuận
Biết Hiểu Biết Hiểu VD Hiểu VD Hiểu VD Biết Hiểu VD
1
Nguyên
hàm, Tích
phân và
Ứng dụng
(15 tiết)
Nguyên hàm (5 tiết) C1 C9
C1a
C1b
C1c,d
C2c,d
C3c,d
3 7
25%
Tích phân (4 tiết)
C2
C3
C4
C5
C10
C11
C2a,b
C3a,b
C1
C2
C3
C5
8 2
4
45%
Ứng dụng của tích
ph
â
n
(
4
ti
ế
2
Phương
trình mặt
phẳng
(6 tiết)
Phương trình mặt
phẳng (6 tiết)
C6
C7
C8
C12
C4a
C4b
C4c
C4d
C4
C6
5 3 2
30%
Tổng số lệnh hỏi 8 4 8 8 6 16 12 6
Tổng điểm 2,0 1,0 2,0 2,0 3,0 4,0 3,0 3,0 10
Tỉ lệ % 30 40 30 0 70 30 100
Lưu ý: DT1 (Trắc nghiệm bốn lựa chọn): 0,25 điểm/câu; DT2 (Trắc nghiệm Đúng/Sai): 0,25 điểm/ý; DT3 (Trắc nghiệm trả lời ngắn): 0,5
điểm/câu; Tự luận: 0,5 điểm/câu.
II. BẢN ĐẶC TẢ MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ 2 MÔN TOÁN - LỚP 12
T
T
Chương/Ch
ủ đề
Nội dung Yêu cầu cần đạt
Số câu hỏi ở các mức độ đáng giá
DT1 DT2 DT3 Tự luận
Biết Hiểu Biết Hiểu VD Hiểu VD Hiểu VD
1
Nguyên
hàm, Tích
phân và
Ứng dụng
(15 tiết)
Nguyên hàm
(5 tiết)
Nhận biết :
– Nhận biết được khái niệm nguyên hàm của một
hàm số.
Thông hiểu:
– Giải thích được tính chất cơ bản của nguyên
hàm.
– Xác định được nguyên hàm của một số hàm số
sơ cấp như:
1
1 ;y x y
x
;
sin ;
y x
cos ;
y x
2
1
;
cos
y
x
2
1
sin
y
x
;
;
x x
y e y a
.
Vận dụng:
– Tính được nguyên hàm trong những trường hợp
đơn giản.
1 1 2 6
Tích phân
(4 tiết)
Nhận biết :
– Nhận biết được định nghĩa và các tính chất của
tích phân.
Thông hiểu:
– Tính được tích phân của một số hàm số sơ cấp
cơ bản.
Vận dụng:
– Tính được tích phân trong những trường hợp
đơn giản.
4 2 4
4
Ứng dụng của
tích phân
(4 tiết)
Vận dụng:
– Sử dụng được tích phân để tính diện tích của
một số hình phẳng, thể tích của một số hình khối.
Vận dụng cao :
– Vận dụng được tích phân để giải một số bài toán có
liên quan đến thực tiễn.
2
Phương
trình mặt
phẳng
(6 tiết)
Phương trình
mặt phẳng (6
tiết)
Nhận biết :
– Nhận biết được phương trình tổng quát của mặt
phẳng.
Thông hiểu:
– Thiết lập được phương trình tổng quát của mặt
phẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz theo một trong ba
cách cơ bản: qua một điểm và biết vectơ pháp
tuyến; qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương
(suy ra vectơ pháp tuyến nhờ vào việc tìm vectơ
vuông góc với cặp vectơ chỉ phương); qua ba
điểm không thẳng hàng.
– Thiết lập được điều kiện để hai mặt phẳng song
song, vuông góc với nhau.
Vận dụng:
– Tính được khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng bằng phương pháp toạ độ.
Vận dụng cao:
– Vận dụng được kiến thức về phương trình mặt
phẳng để giải một số bài toán liên quan đến thực
tiễn.
3
1
2 2
2
Tổng số lệnh hỏi 8 4 8 8 6
Tổng điểm 2,0 1,0 2,0 2,0 3,0
Tỉ lệ % 30 40 30 0
SỞ GD & ĐT QUẢNG TRỊ
TRƯỜNG THPT HƯỚNG HÓA
Họ và tên:……………...........................
ĐỀ MINH HỌA GIỮA KỲ II, NĂM HỌC 2025-2026
MÔN: TOÁN - LỚP 12
Thời gian làm bài: 90 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Lớp...................... SBD:...............…...
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi
thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hàm số
f x
xác định trên một khoảng
K
. Hàm số
F x
được gọi là một nguyên hàm của
hàm số
f x
trên
K
nếu
A.
' ( ),
F x f x x K
. B.
'' ( ),
F x f x x K
.
C.
'( ),
F x f x x K
. D.
''( ),
F x f x x K
.
Câu 2. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
;
a b
và
2
f a
,
4
f b
. Tính
d
b
a
T f x x
.
A.
6
T
. B.
2
T
. C.
6
T
. D.
2
T
.
Câu 3. Nếu
10
0
17
dttf
và
8
0
12
dyyf
thì
10
8
3
d
x
f x
bằng
A.
15
. B.
29
. C.
15
. D.
5
.
Câu 4. Cho
( )
f x
là hàm số liên tục trên
;
a b
và
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
. Khẳng định nào sau
đây là sai ?
A.
b a
a b
f x dx f t dt
. B.
0
a
a
f x dx
.
C.
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
. D.
/ / /
b
a
b
a
f x dx f x f b f a
.
Câu 5. Cho
5
1
d 2
f x x
,
5
1
d 1
g x x
. Tính
5
1
2 ( ) 3 ( ) d
f x g x x
.
A.
1
. B.
1
. C.
7
. D.
2
.
Câu 6. Trong không gian
Oxyz
, phương trình của mặt phẳng
( )
Oxy
là
A.
0
x
. B.
0
x y z
. C.
0
y
. D.
0
z
.
Câu 7. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 3 5 0
x y z
. Vectơ nào dưới đây là một
vectơ pháp tuyến của
?
A.
3
2;1;3 .
n
B.
4
2;1; 3 .
n
C.
2
2; 1;3 .
n
D.
1
2;1;3 .
n
Câu 8. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
: 3 0
P x y z
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
1; 1; 1
M
. B.
1;1;1
N
. C.
3;0;0
P
. D.
0;0; 3
Q
.
Câu 9. Hàm số
2
F x x x
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
M
Ã
ĐỀ
:
0121
A.
2
f x x
. B.
2 1
f x x
. C.
3
1
3
f x x C
. D.
3
1
3
f x x
.
Câu 10. Tính
3
0
cos d
I x x
.
A.
3
2
I
. B.
3
2
I
. C.
1
2
I
. D.
1
2
I
.
Câu 11. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
2
12 2,
f x x x
và
1 3
f
. Biết
F x
là
nguyên hàm của
f x
thỏa mãn
0 2
F
, khi đó
1
F
bằng
A.
3
. B. 1 . C. 2 . D. 7 .
Câu 12. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
0; 1;2
M
. Mặt phẳng
P
đi qua hai điểm
O
,
M
và vuông góc với mặt phẳng
3 5 0
x y z
. Mặt phẳng
P
có phương trình là
A.
5 2 0
x y z
. B.
5 2 0
x y z
. C.
5 2 0
x y z
. D.
5 2 1 0
x y z
.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi
câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số
2
( ) 3 2
f x x x
.
a) Nếu
( )
F x
là một nguyên hàm của
( )
f x
trên
thì
( ) ' ,F x f x x
.
b)
2
( ) 3 2
f x dx x dx xdx
.
c) Nếu
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
thỏa mãn
(0) 3
F
thì
3 2
( ) 3
F x x x
.
d) Nếu
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
thỏa mãn
1 3
F
thì
1 5
F
.
Câu 2: Cho hàm số
( ) 4cos 3sin 1
f x x x
liên tục trên
,
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
.
a)
3
0
d 0
3
f x x F F
.
b)
3
3
4
0 0
4
d d ( )
f x x f x x f x dx
.
c) Nếu
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
thỏa mãn
(0) 0
F
thì
( ) 4sin 3cos 3
F x x x x
.
d) Gọi
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
thỏa mãn
4
2
F
thì
14 2
4 4
F
.
Câu 3: Cho hai hàm số
( )
x
f x e
và
2
1
x
g x
x
.
a)
2
2
1
( )
f x dx e e
.
b)
3 3 3
1 1 1
( ). ( ) ( ) . ( )
f x g x dx f x dx g x dx
.
c) Nếu
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
thỏa mãn
0 2
F
thì
3
3 1
F e
.
d)
( )
G x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
g x
trên khoảng
0;

thỏa mãn
1 1
G
. Giả sử
2 ln 2
a
G c
b
với
, , ; 0;
a
a b c b
b
tối giản. Khi đó
8
a b c
.
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
1; 2; 2
A
,
2;4;1
B
và mặt phẳng
( ) : 2 2 3 0
Q x y z
.
a) Mặt phẳng
( )
Q
có một vectơ pháp tuyến là
2;2;1
n
.
b) Điểm
B
thuộc mặt phẳng
( )
Q
.
c) Mặt phẳng
)(P
đi qua hai điểm
,
A B
và song song với trục tung
Oy
có phương trình dạng
0
ax by z d
, ,a b d
. Khi đó
2
a d
.
d) Mặt phẳng
( ): 4 3 0 ( )
R x my z m
vuông góc với mặt phẳng
( )
Q
khi
3
m
.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi
( )
P x
là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu
được từ việc bán
x
tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó đạo hàm
'( )
P x
, gọi là lợi nhuận biên, cho biết
tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận biên (tính theo triệu đồng trên tấn)
của nhà máy được ước lượng bởi công thức
'( ) 16 0,02 ,0 100.
P x x x
Tính lợi nhuận nhà máy thu
được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng
sản phẩm nào trong tuần.
Câu 2. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc
v
(km/h) phụ thuộc vào thời gian
t
(h) có đồ thị là
một phần parabol với đỉnh
1
; 8
2
I
và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quảng
đường người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút kể từ khi bắt đầu chạy (đơn vị: mét).
Câu 3. Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
7
v t t
m/s
. Đi được 5
s
người lái xe
phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc
35
a
2
m/s
. Tính quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn
(đơn vị: mét).
Câu 4. Chị Minh Hiền muốn làm một cái cổng hình Parabol như hình vẽ bên dưới. Chiều cao
4
GH m
,
chiều rộng
4
AB m
,
0,9
AC BD m
. Chị Minh Hiền làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật
CDEF
tô đậm có giá là
1200000
đồng
2
/
m
, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là
900000
đồng
2
/
m
. Hỏi tổng số tiền tính bằng triệu đồng (làm tròn đến hàng phần chục) là bao nhiêu?
Câu 5. Trong một trò chơi mô phỏng bắn súng, một người chơi đặt điểm ngắm tại điểm O là giao điểm
của
AC
và
BD
trong căn phòng hình hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có kích thước
50 , 35 , 10
AB m AD m AA m
. Người chơi có nhiệm vụ từ điểm ngắm đã đặt bắn trúng một
mục tiêu di động trên mặt phẳng
CB D
Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đó đến mục tiêu
(làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
Câu 6. Hình ảnh bên minh hoạ một cánh cửa hình chữ nhật có chiều rộng 1 m và chiều cao 2 m khi đang
mở. Chọn hệ toạ độ như hình vẽ, biết cánh cửa tạo với bức tường một góc
30
, bờ tường vuông góc với
mặt sàn. Bỏ qua bề dày của cánh cửa thì phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa là
0
x by cz d
.
Tính
2 2
9 3
b c d
.
------ HẾT ------
(Thí sinh được sử dụng MTBT, không được sử dụng tài liệu)
NGÂN HÀNG ĐỀ GIỮA KÌ II TOÁN 12 - NĂM HỌC 2025-2026
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Mỗi câu hỏi
thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.1. Cho hàm số
f x
xác định trên một khoảng
K
. Hàm số
F x
được gọi là một nguyên hàm
của hàm số
f x
trên
K
nếu
A.
' ( ),
F x f x x K
. B.
'' ( ),
F x f x x K
.
C.
'( ),
F x f x x K
. D.
''( ),
F x f x x K
.
Câu 1.2. Cho hàm số
f x
có đạo hàm
f x
liên tục trên
,
mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
d
f x x f x C
. B.
d
f x x f x C
.
C.
d
f x x f x
. D.
d
f x x f x
.
Câu 1.3. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
ln .
dx
x C
x
B.
sin os .
xdx c x C
C.
1
( 1)
1
x
x dx C
D.
.
x x
e dx e C
Câu 1.4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( ) 7 .
x
f x
A.
7
( )d .
ln 7
x
f x x C
B.
1
7
( )d .
1
x
f x x C
x
C.
1
( )d 7 .
x
f x x C
D.
( )d 7 ln 7 .
x
f x x C
Câu 1.5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2sin
f x x
.
A.
2sin d sin 2
x x x C
. B.
2sin d 2cos
x x x C
.
C.
2
2sin d sin
x x x C
. D.
2sin d 2cos
x x x C
.
Câu 2.1. Cho hàm số
f x
liên tục trên
;
a b
và
F x
là một nguyên hàm của
f x
. Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A.
d
b
a
f x x F b F a
. B.
d
b
a
f x x F a F b
.
C.
d
b
a
f x x F a F b
. D.
d
b
a
f x x f b f a
.
Câu 2.2. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
;
a b
và
2
f a
,
4
f b
. Tính
d
b
a
T f x x
.
A.
6
T
. B.
2
T
. C.
6
T
. D.
2
T
.
Câu 2.3. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
1;1
thỏa mãn
1
1
d 5
f x x
và
1 4
f
. Tính
1
f
.
A.
1 9
f
. B.
1 9
f
. C.
1 1
f
. D.
1 1
f
.
Câu 2.4. Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
. Khi đó hiệu số
0 1
F F
bằng
A.
1
0
d
f x x
. B.
1
0
d
F x x
. C.
0
1
d
F x x
. D.
1
0
d
f x x
.
Câu 2.5. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
2024;2025
và
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
. Khi đó, hiệu số
2024 2025
F F
bằng
A.
2025
2024
d
f x x
. B.
2025
2024
d
F x x
. C.
2025
2024
d
F x x
. D.
2025
2024
d
f x x
.
Câu 3.1. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và
a
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
d 0
a
a
f x x
. B.
2
d
a
a
f x x a
.
C.
d 2
a
a
f x x a
. D.
d 1
a
a
f x x
.
Câu 3.2. Cho
f x
là hàm số liên tục trên đoạn
;
a b
và
;
c a b
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
d d d
c b a
a c b
f x x f x x f x x
. B.
d d d
b c b
a a c
f x x f x x f x x
.
C.
d d d
b c c
a a c
f x x f x x f x x
. D.
d d d
c b b
a c a
f x x f x x f x x
.
Câu 3.3. Cho
2
1
d 7
f x x
,
3
2
d 1
f x x
. Tính
3
1
d
f x x
.
A.
4
. B.
4
. C.
6
. D.
2
.
Câu 3.4. Nếu
10
0
17
f dtt
và
8
0
12
f dyy
thì
10
8
3
f dx
x
bằng
A.
15
. B.
29
. C.
15
. D.
5
.
Câu 3.5. Nếu
10
0
17
f dtt
và
6
0
10
f dyy
thì
6
10
3
f dx
x
bằng
A.
7
. B.
27
. C.
21
. D.
21
.
Câu 4.1. Cho hai hàm số
f x
,
g x
liên tục trên đoạn
c;d
và số thực
k
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
d d d
d d d
c c c
f x g x x f x x g x x
. B.
d d
c c
kf x dx k f x dx
.
C.
d d d
d d d
c c c
f x g x x f x x g x x
. D.
. d d . d
d d d
c c c
f x g x x f x x g x x
.
Câu 4.2. Cho
( )
f x
là hàm số liên tục trên
;
a b
và
( )
F x
là một nguyên hàm của
( )
f x
. Khẳng định nào
sau đây sai?
A.
b a
a b
f x dx f t dt
. B.
0
a
a
f x dx
.
C.
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
. D.
' ' '
b
a
b
a
f x dx f x f b f a
.
Câu 4.3. Cho
( )
f x
là hàm số liên tục trên
;
a b
và
( )
F x
là một nguyên hàm của
( )
f x
. Khẳng định nào
sau đây đúng?
A.
b a
a b
f x dx f x dx
. B.
b
b
a
a
f x dx F x F a F b
.
C.
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
. D.
' ' '
b
a
b
a
f x dx f x f b f a
.
Câu 5.1. Biết
3
1
5
f x dx
và
3
1
7
g x dx
. Giá trị của
3
1
f x g x dx
bằng
A.
2
. B.
2
. C.
12
. D.
12
.
Câu 5.2. Cho
2
1
d 3
f x x
,
2
1
d 1
g x x
. Tính
2
1
3 ( ) 4 ( ) d
f x g x x
.
A.
4
. B.
5
. C.
13
. D.
1
.
Câu 5.3. Cho
5
1
d 2
f x x
,
5
1
d 1
g x x
. Tính
5
1
2 ( ) 3 ( ) d
f x g x x
.
A.
1
. B.
1
. C.
7
. D.
2
.
Câu 5.4. Biết
6
3
2
f x dx
và
6
3
4
g x dx
. Giá trị của
6
3
f x g x dx
bằng
A.
2
. B.
2
.
C.
6
. D.
8
.
Câu 5.5. Biết
3
1
5
f x dx
. Giá trị của
3
1
2
f x dx
bằng
A.
10
.
B.
2
.
C.
7
.
D.
5
2
.
Câu 6.1. Trong không gian
Oxyz
, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát
của một mặt phẳng?
A.
3 0
xy z
. B.
2
1 0
x y z
.
C.
2 2 3 0
x y z
. D.
1 1 3
2 0
x y z
.
Câu 6.2. Trong không gian
Oxyz
, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát
của một mặt phẳng?
A.
3 0
xy
. B.
2 2 2
5 0
x y z
.
C.
3 0
z
. D.
1 3
6 0
x z
.
Câu 6.3. Trong không gian
Oxyz
, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát
của một mặt phẳng?
A.
2
3 0
x y
. B.
2 2 2
2 0
x y z
.
C.
3 0
5 2
x z
. D.
1 3
6 0
x z
.
Câu 6.4. Trong không gian
Oxyz
, phương trình của mặt phẳng
( )
Oxy
là
A.
0
x
. B.
0
x y z
. C.
0
y
. D.
0
z
.
Câu 6.5. Trong không gian
Oxyz
, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát
của một mặt phẳng?
A.
2
0
x y
. B.
2 1 0
x y xz
.
C.
2 3 5 0
x z
. D.
1
2 3 1
x y z
.
Câu 7.1. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
P
có phương trình
2 2 3 0
x y z
. Tìm một
vectơ pháp tuyến của
P
.
A.
(4; 4;2)
n
. B.
( 2;2; 3)
n
. C.
( 4;4;2)
n
. D.
(0;0; 3)
n
.
Câu 7.2. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 3 5 0
x y z
. Vectơ nào dưới đây là một
vectơ pháp tuyến của
?
A.
3
2;1;3 .
n
B.
4
2;1; 3 .
n
C.
2
2; 1;3 .
n
D.
1
2;1;3 .
n
Câu 7.3. Trong không gian
O
xyz
, cho mặt phẳng
:3 2 0
P x z
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ
pháp tuyến của
P
?
A.
2
3;0; 1
n
. B.
1
3; 1;2
n
. C.
3
3; 1;0
n
. D.
4
1;0; 1
n
.
Câu 7.4. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 3 5 0
x y z
. Vectơ nào dưới đây không là
vectơ pháp tuyến của
?
A.
3
2; 1; 3
n
. B.
4
2;1; 3
n
. C.
2
2; 1;3
n
. D.
1
4; 2;6
n
.
Câu 7.5. Trong không gian
O
xyz
, cho mặt phẳng
:3 2 0
P x z
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ
pháp tuyến của
P
?
A.
2
3;0; 1
n
. B.
1
3; 1;2
n
. C.
3
3; 1;0
n
. D.
4
3;0;1
n
.
Câu 8.1. Trong không gian
Oxyz
. Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P)
2 5 0
x y
?
A.
( 2;1;0)
. B.
( 2;1; 5)
. C.
(1;7;5)
. D.
( 2;2; 5)
.
Câu 8.2. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 5 0.
P x y z
Điểm nào dưới đây thuộc
P
?
A.
0;0; 5
P
. B.
1;1;6
M
. C.
2; 1;5
Q
. D.
5;0;0
N
.
Câu 8.3. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng nào dưới đây đi qua gốc tọa độ?
A.
20 0
x
. B.
2019 0
x
. C.
5 0
y
. D.
2 5 8 0
x y z
.
Câu 8.4. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
: 3 0
P x y z
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
1; 1; 1
M
. B.
1;1;1
N
. C.
3;0;0
P
. D.
0;0; 3
Q
.
Câu 8.5. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 5 0.
P x y z
Điểm nào dưới đây không
thuộc
P
?
A.
1; 2;1
P
. B.
1;1;6
M
. C.
2;1;5
Q
. D.
1; 1;2
N
.
Câu 9.1. Họ nguyên hàm của hàm số
e
x
f x x
là
A.
2
e
x
x C
. B.
2
1
e
2
x
x C
. C.
2
1 1
e
1 2
x
x C
x
. D.
e 1
x
C
.
Câu 9.2. Họ nguyên hàm của hàm số
2 6
f x x
là
A.
2
x C
. B.
2
6
x x C
. C.
2
2
x C
. D.
2
2 6
x x C
.
Câu 9.3. Họ nguyên hàm của hàm số
3cos 3
x
f x x
là
A.
3
3sin
ln3
x
f x dx x C
. B.
3
3sin
ln3
x
f x dx x C
.
C.
3
3sin
ln3
x
f x dx x C
. D.
3
3sin
ln3
x
f x dx x C
.
Câu 9.4. Hàm số
2
F x x x
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A.
2
f x x
. B.
2 1
f x x
. C.
3
1
3
f x x C
. D.
3
1
3
f x x
.
Câu 9.5. Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số
3
f x x
?
A.
4
2024
4
x
y
. B.
4
4
x
y
. C.
2
3
y x
. D.
4
2025
2
4
x
y
.
Câu 10.1. Kết quả phép tính
2
1
3
x
dx
bằng
.
ln
a
b
Tính
.
a b
A.
6
. B.
3
. C.
9
. D.
5
.
Câu 10.2 Tính
3
0
cos d
I x x
.
A.
3
2
I
. B.
3
2
I
. C.
1
2
I
. D.
1
2
I
.
Câu 10.3. Tính
2
1
1
e
x b
I dx a
x e
. Tính
a b
.
A.
1
I
. B.
3
I
. C.
2
I
. D.
1
I
.
Câu 10.4.Biết
2
2
1
1 . ln 2
x
x
e
e dx e a e b
x
,a b
. Khi đó giá trị của
.
a b
P
a b
là
A.
3
P
. B.
1
P
. C.
1
P
. D.
2
P
.
Câu 10.5. Biết
2
2
3
3
2sin 3cos
2
a b
x x x dx
c
, ,a b c
. Khi đó giá trị của
2 3
P a b c
là
A.
45
P
. B.
226
5
P
. C.
65
P
. D.
70
P
.
Câu 11.1. Cho
3
1
2 4 d
I x x
. Chọn khẳng định đúng.
A.
3
1
2 4 d
I x x
.
B.
2 3
1 2
2 4 d 2 4 d
I x x x x
.
C.
2 3
1 2
2 4 d 2 4 d
I x x x x
. D.
2 3
1 2
2 4 d 2 4 d
I x x x x
.
Câu 11.2. Cho
2
1
4 2 1
f x x dx
. Khi đó
2
1
f x dx
bằng
A.
1
. B.
3
. C.
3
. D.
1
.
Câu 11.3. Cho
1
0
1
f x dx
, tích phân
1
2
0
2 3
f x x dx
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Câu 11.4. Biết
( )
F x
là nguyên hàm của hàm số
1
x
và
(1) 1
F
. Khi đó
(3)
F
bằng bao nhiêu?
A.
ln3 1
. B.
1
2
. C.
3
ln
2
. D.
ln3
.
Câu 11.5. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm là
2
12 2,
f x x x
và
1 3
f
. Biết
F x
là
nguyên hàm của
f x
thỏa mãn
0 2
F
, khi đó
1
F
bằng
A.
3
. B. 1 . C. 2 . D. 7 .
Câu 12.1. Trong không gian
Oxyz
, phương trình mặt phẳng đi qua điểm
1;1; 2
A
và có vectơ pháp
tuyến
1; 2; 2
n
là
A.
2 2 1 0
x y z
. B.
2 1 0
x y z
.
C.
2 2 7 0
x y z
. D.
2 1 0
x y z
.
Câu 12.2. Trong không gian
Oxyz
, cho 2 điểm
1;0;1 , 2;1;0
A B
. Viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua điểm
A
và vuông góc với đường thẳng
AB
.
A.
:3 4 0
P x y z
. B.
:3 4 0
P x y z
.
C.
:3 0
P x y z
. D.
: 2 1 0
P x y z
.
Câu 12.3. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
3; 2; 2
A
,
3;2;0
B
,
0;2;1
C
. Lập phương trình
mặt phẳng
ABC
.
A.
2 3 6 0
x y z
. B.
4 2 3 0
y z
.
C.
3 2 1 0
x y
. D.
2 3 0
y z
.
Câu 12.4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
4;0;1
A
và
2;2;3 .
B
Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB có phương trình là
A.
3 0.
x y z
B.
3 6 0.
x y z
C.
2 6 0.
x y z
D.
6 2 2 1 0.
x y z
Câu 12.5. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
0; 1;2
M
. Biết mặt phẳng
P
đi qua hai điểm
O
,
M
và vuông góc với mặt phẳng
3 5 0
x y z
. Phương trình mặt phẳng
P
là
A.
5 2 0
x y z
. B.
5 2 0
x y z
. C.
5 2 0
x y z
. D.
5 2 1 0
x y z
.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi
câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1.1. Cho hàm số
3
( ) 4 2
f x x
.
a) Nếu
( )
F x
là một nguyên hàm của
( )
f x
trên
thì
( ) ' ,F x f x x
.
b)
( )
f x
có một nguyên hàm là
4
( ) 2 5.
F x x x
c)
3
( ) 4 2
f x dx x dx dx
d)
4
( ) 2 .
f x dx x x C
Câu 1.2. Cho
2 sin
f x x x
và
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
.
a) Cho
G x F x C
, với
C
là hằng số, thì
G x
cũng là một nguyên hàm của
f x
.
b)
2
d cos
f x x x x C
, với
C
là hằng số.
c) Nếu
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
thỏa mãn
0 1
F
thì
2
2
2 4
F
.
d)
0
3 3
F F
.
Câu 1.3. Cho hàm số
3
4 6
f x x x
. Biết
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
và
0 2.
F
.
a)
,F x f x x
.
b)
,F x f x x
.
c)
4 2
3 2
F x x x
.
d)
1 3
F
.
Câu 1.4. Cho hàm số
3
x
f x x e
. Biết
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
.
a)
,F x f x x
.
b)
4 x
F x x e C
.
c) Nếu
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
thỏa mãn
0 1
F
thì
4
1
2
4
x
F x x e
.
d) Nếu
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
thỏa mãn
0 2
F
thì
1
1 3
4
F e
.
Câu 1.5. Cho hàm số
2
2
3 1
x x
f x
x
. Biết
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên khoảng
0;

.
a)
, 0;F x f x x

.
b)
2
3 1
1f x
x x
.
c)
1
d ln
f x x x x C
x
.
d) Nếu
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
2
3 1
x x
f x
x
thỏa mãn
1 1
F
thì
1
2 ln 2
2
F
.
Câu 2.1. Cho hàm số
f x
liên tục trên
,
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
,
9
0
d 9
f x x
và hàm số
( ) 2cos sin
g x x x
.
a) Ta có
9
0
d 9 0
f x x F F
.
b)
6
0 6
9
d d 18
f x x f x x
.
c) Nếu
( )
g x
có một nguyên hàm là hàm số
( )
G x
trên
thỏa
(0) 4
G
thì
( ) 2sin cos 3
G x x x
.
d) Nếu
( )
G x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
g x
trên
thỏa mãn
4
2
G
thì
4
3
G
.
Câu 2.2. Cho hàm số
2
f x x
,
x
g x e
và
( )
H x
là một nguyên hàm của hàm số
( ) 3 ( ) 2 ( )
h x f x g x
trên
.
a)
2
2
( ) 0
f x dx
.
b)
2 1
1 2
( ) ( )
g x dx g x dx
.
c)
3
( ) 2 ,
x
H x x e C C
.
d) Nếu
0 3
H
thì
2
2 13 2
H e
Câu 2.3. Cho hàm số
1
f x x
,
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
( )
f x
trên
.
a)
1
1
( ) 0
f x dx
.
b)
2 2
1 1
( ) ( )
f x dx f x dx
.
c)
3 2
( ) , F x x x x C C
.
d) Nếu
(1) 0
F
thì
19
2
3
F
.
Câu 2.4. Cho hàm số
2
2
f x x
,
( 0)
g x x x
,
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
g x
trên
khoảng
0;

.
a)
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
I f x g x dx f x dx g x dx
.
b)
2 2 2
1 1 1
( ). ( ) ( ) . ( )
I f x g x dx f x dx g x dx
c)
2
( ) 2ln ,
2
x
F x x C C

.
d) Nếu
(1) 0
F
thì
2
5
2 2
e
F e
.
Câu 2.5. Cho hàm số
2
1
f x x
,
2
( 0)
g x x x
,
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
g x
trên
khoảng
0;

.
a)
2
1
( ) ( ) 2
I f x g x dx
.
b)
d d
kf x x k f x x
với mọi hằng số
k
.
c)
1
( ) , F x x C C
x

.
d) Nếu
(1) 2
F
thì
7
2
2
F
.
Câu 2.6. Cho hàm số
sin
2
x
f x
,
cos
2
x
g x
,
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
( )
f x
trên
.
a)
1
1
( ) 0
I f x dx
.
b)
2 2
2 2
1 1
( ) ( )
I f x g x dx dx
.
c)
( ) sin ,
2
x
F x x C C
.
d) Nếu
(0) 1
F
thì
1
2
F
.
Câu 3.1. Cho hàm số
( )
x
f x e
và
( ) 2 1
x
g x
.
a)
3 2
3
2
d
f x x e e
.
b)
3 3 3
2 2 2
+g d 2 d d
x x
f x x x e x x x
.
c) Gọi
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
thoả mãn
(0) 2
F
thì
(ln 4) 5
F
.
d) Gọi
( )
G x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
g x
trên
thỏa mãn
1 1
G
thì
3
ln 2
b
G a
với
, : 11
a b a b
.
Câu 3.2. Cho hàm số
2
2 1
f x x x
. Hàm số
F x
là một nguyên hàm của
f x
trên
.
a)
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a
.
b)
6 3 3
1 1 6
( ) ( ) ( )
f x dx f x dx f x dx
.
c) Hàm số
f x
có một nguyên hàm là hàm số
3
1
3
x
F x
.
d) Hàm số
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên
thỏa mãn
1 2
F
. Khi đó
3
2
2
3
x
F x x x
.
Câu 3.3. Cho hàm số
2
3 1
f x x
có nguyên hàm trên
là
( )
F x
.
a)
2
1
(2) (1)
f x dx F F
.
b)
2
1 1
2
0 0
(3 1) (3 1)
x dx x dx
.
c)
3 2
( ) 3 3
F x x x x C
.
d) Hàm số
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên
thỏa mãn
1 2
F
. Khi đó
0 1
F
.
Câu 3.4. Cho hàm số
y f x
xác định trên khoảng
0;

. Biết rằng,
2
1
2f x x
x
với mọi
0;x

và
1 1
f
.
a)
( ) ( ).
b
a
f x dx f b f a
b)
( ) , 0;
b b
a a
k f x dx k f x dx x

.
c)
67
4 .
4
f
d)
3
d ln .
3
x
f x x x x C
Câu 3.5. Biết
F x
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
x
f x
x
trên khoảng
0;

.
a)
, 0;F x f x x

.
b)
2026
F x
cũng là một nguyên hàm của hàm số
f x
.
c)
2
ln 2026
F x x x
.
d) Biết
3
1
2
F
, khi đó
2
2
2
e
F e
.
Câu 4.1. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
1; 2;1
A
và mặt phẳng
03:)(
zyxQ
.
a) Mặt phẳng
( )
Q
có một vectơ pháp tuyến là
1;1; 3
n
.
b) Điểm
A
không thuộc mặt phẳng
( )
Q
.
c) Mặt phẳng
)(P
chứa trục
Ox
và vuông góc với mặt phẳng
( )
Q
có cặp vectơ chỉ phương là
i
và
Q
n
.
d) Phương trình mặt phẳng
)(P
chứa trục
Ox
và vuông góc với mặt phẳng
( )
Q
là
0
y z
.
Câu 4.2. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
1;2; 2
A
và
2;4;1
B
mặt phẳng
( ) : 3 1 0
Q x y z
.
a) Mặt phẳng
( )
Q
có một vectơ pháp tuyến là
1;3;1
n
.
b) Điểm
A
thuộc mặt phẳng
( )
Q
.
c) Mặt phẳng
)(P
đi qua hai điểm
,
A B
và vuông góc với mặt phẳng
( )
Q
có vectơ pháp tuyến là
;
P Q
n AB n
.
d) Phương trình mặt phẳng
)(P
đi qua hai điểm
,
A B
và vuông góc với mặt phẳng
( )
Q
là
7 2 5 0
x y z
.
Câu 4.3. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(1; 3;2)
A
và ba mặt phẳng
( ) : 2 3 2 0
P x y z
,
( ) : 2 5 0,( ) : 4 3 2 1 0
Q x z R x y z
.
a) Điểm
A
thuộc mặt phẳng
( )
Q
.
b) Vectơ
1;0;2
n
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Q
.
c) Mặt phẳng
( )
P
vuông góc với mặt phẳng
( )
R
.
d) Mặt phẳng
( )
P
song song với mặt phẳng
( )
Q
.
Câu 4.4. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
4;0;1
A
và
2;2;3
B
.
a)
6;2; 2
AB

.
b) Mặt phẳng đi qua
A
và vuông góc với đường thẳng
AB
có phương trình là
3 11 0
x y z
.
c) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
có phương trình là
3 0
x y z
.
d) Mặt phẳng
)(P
chứa hai điểm
,
A B
và song song với trục
Oy
có phương trình là
3 7 0
x z
.
Câu 4.5. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
1; 2; 2
A
,
2;4;1
B
và mặt phẳng
( ): 2 2 3 0
Q x y z
.
a) Mặt phẳng
( )
Q
có một vectơ pháp tuyến là
2;2;1
n
.
b) Điểm
B
thuộc mặt phẳng
( )
Q
.
c) Mặt phẳng
)(P
đi qua hai điểm
,
A B
và song song với trục tung
Oy
có phương trình dạng
0
ax by z d
, ,a b d
. Khi đó
2
a d
.
d) Mặt phẳng
( ) : 4 3 0 ( )
R x my z m
vuông góc với mặt phẳng
( )
Q
khi
3
m
.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Một quần thể vi sinh vật có tốc độ tăng số lượng cá thể được ước lượng bởi
( ) 150
P t t
(cá
thể/ngày) với
0 10
t
trong đó
( )
P t
là số lượng cá thể vi sinh vật tại thời điểm
t
ngày kể từ thời điểm
ban đầu. Biết rằng ban đầu quần thể có 1000 cá thể. Ước lượng số cá thể của quần thể sau 5 ngày kể từ
thời điểm ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng trăm).
Câu 2. Giả sử anh Nam nhảy dù từ một chiếc trực thăng. Vào thời điểm 19 giây sau khi rời khỏi trực
thăng, anh Nam mở chiếc dù của mình trong 2 giây, anh Nam chạm đất sau 19 giây kể từ lúc bung dù. Tại
thời điểm
t
(giây), vị trí của anh Nam cách mặt đất một khoảng
( )
h t
mét và vận tốc rơi của anh Nam
(tính bằng
/
m s
) là một hàm số được cho bởi công thức:
80 khi 0 19
( ) '( ) 37 783 khi 19 21
6 khi 21 40.
t
v t h t t t
t
Độ cao vị trí của anh Nam khi bắt đầu nhảy ra khỏi trực thăng bằng bao nhiêu mét?
Câu 3. Một cái cổng hình parabol như hình vẽ bên dưới. Chiều cao
4
GH m
, chiều rộng
4
AB m
,
0,9
AC BD m
. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật
CDEF
tô đậm có giá là
1200000
đồng
2
/
m
, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là
900000
đồng
2
/
m
. Tính tổng số tiền để
làm hai phần nói trên ( đơn vị: triệu đồng, làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Câu 4. Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 6 m, người ta lần lượt thả dây
dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 2 m; 3
m; 4 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ
(làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Câu 5. Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá
p
của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng,
hàm cung liên quan đến giá
p
của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất.
Điểm cắt nhau
0 0
;
x p
của đồ thị hàm cầu
p D x
và đồ thị hàm cung
p S x
được gọi là điểm cân
bằng. Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang
0
p p
và
đường thẳng đứng
0
x
là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cung,
đường ngang
0
p p
và đường thẳng đứng
0
x
được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình dưới.
(Theor R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hoá bởi: Hàm cầu:
5 0,2
p x
và
hàm cung:
2
1 0,02
p x
, trong đó
x
là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng.
Câu 6. Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi
( )
P x
là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu
được từ việc bán
x
tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm
' )
P x
, gọi là lợi nhuận biên, cho biết
tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận biên (tính theo triệu đồng trên tấn)
của nhà máy được ước lượng bởi công thức
'( ) 16 0,02 ,0 100.
P x x x
Tính lợi nhuận nhà máy thu
được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần (đơn vị: triệu đồng). Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu
không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.
Câu 7. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc
v
(km/h) phụ thuộc vào thời gian
t
(h) có đồ thị là
một phần parabol với đỉnh
1
;8
2
I
và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quảng
đường người đó chạy được trong khoảng thời gian
45
phút kể từ khi bắt đầu chạy?
Câu 8. Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
7
v t t
m/s
. Đi được 5
s
người lái xe
phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc
35
a
2
m/s
. Tính quãng đường (đơn vị:mét) của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng
hẳn.
Câu 9. Tại một nhà máy, gọi
( )
C x
là tổng chi phí (tính theo triệu động) để sản xuất
x
tấn sản phẩm A
trong một tháng. Khi đó, đạo hàm
'( )
C x
, gọi là chi phí biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng
sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng
bởi công thức
' 2
( ) 5 0,06 0,00072
C x x x
với
0 150.
x
Biết rằng
(0) 30
C
triệu đồng, gọi là chi phí
cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất
100
tấn sản phẩm A trong tháng tính theo đơn vị triệu
đồng.
Câu 10. Trường THPT A muốn làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là
2,25
mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là
3
mét. Giá thuê mỗi mét vuông là
1500000
đồng. Tính số
tiền nhà trường phải trả (đơn vị nghìn đồng).
Câu 11. Chị Minh Hiền muốn làm một cái cổng hình Parabol như hình vẽ bên dưới. Chiều cao
4
GH m
, chiều rộng
4
AB m
,
0,9
AC BD m
. Chị Minh Hiền làm hai cánh cổng khi đóng lại là
hình chữ nhật
CDEF
tô đậm có giá là
1200000
đồng
2
/
m
, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là
900000
đồng
2
/
m
. Hỏi tổng số tiền tính bằng triệu đồng (làm tròn đến hàng phần chục) là bao nhiêu?
Câu 12. Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên.
Phần tô đậm được đính đá với giá thành
2
500.000
đ/m
. Phần còn lại được tô màu với giá thành
2
250.000 /
đ m
. Cho
4 ; 8 .
AB dm BC dm
Hỏi để trang trí
1000
họa tiết như vậy cần số tiền bao nhiêu
triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 13. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng
10
cm bằng
cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết
5
AB
cm,
4
OH
cm. Biết
giá trang trí hoa văn
2
1cm
là 50.000 đồng, tính số tiền theo đơn vị nghìn đồng cần bỏ ra để trang trí hoa
văn đó.
Câu 14. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh
40cm
. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có
chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô đen như hình vẽ dưới).

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

HỘI ĐỒNG MÔN TOÁN TỈNH QUẢNG TRỊ
TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT HƯỚNG HÓA
I. MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ 2 - NĂM HỌC 2025 - 2026
MÔN TOÁN – LỚP 12 (Thời gian: 90 phút) Mức độ đáng giá Chương/Chủ Tổng Tỉ lệ TT Nội dung DT1 DT2 DT3 Tự tuận đề Biết Hiểu Biết Hiểu VD Hiểu VD Hiểu VD Biết Hiểu VD C1c,d C1a Nguyên hàm (5 tiết) C1 C9 C2c,d 3 7 25% C1b Nguyên C3c,d hàm, Tích C2 1 phân và C3 C10 C2a,b Tích phân (4 tiết) C1 8 2 Ứng dụng C4 C11 C3a,b C2 4 (15 tiết) 45% C5 C3 Ứng dụng của tích C5 phân (4 tiết) Phương C6 C4 trình mặt Phương trình mặt C4a C4c 2 C7 C12 5 3 2 30% phẳng phẳng (6 tiết) C4b C4d C6 C8 (6 tiết) Tổng số lệnh hỏi 8 4 8 8 6 16 12 6 Tổng điểm 2,0 1,0 2,0 2,0 3,0 4,0 3,0 3,0 10 Tỉ lệ % 30 40 30 0 70 30 100
Lưu ý: DT1 (Trắc nghiệm bốn lựa chọn): 0,25 điểm/câu; DT2 (Trắc nghiệm Đúng/Sai): 0,25 điểm/ý; DT3 (Trắc nghiệm trả lời ngắn): 0,5
điểm/câu; Tự luận: 0,5 điểm/câu.
II. BẢN ĐẶC TẢ MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ 2 MÔN TOÁN - LỚP 12
Số câu hỏi ở các mức độ đáng giá T Chương/Ch Nội dung Yêu cầu cần đạt DT1 DT2 DT3 Tự luận T ủ đề
Biết Hiểu Biết Hiểu VD Hiểu VD Hiểu VD Nhận biết :
– Nhận biết được khái niệm nguyên hàm của một hàm số. Thông hiểu:
– Giải thích được tính chất cơ bản của nguyên hàm.
– Xác định được nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm sơ cấp như: 1 1 2 6 (5 tiết) y  x     1 1 ; y  ; y  sin x; x 1 1 y  cos x; y  ; y  ; x  ; x y e y  a . 2 cos x 2 sin x Nguyên Vận dụng: hàm, Tích 1 phân và
– Tính được nguyên hàm trong những trường hợp Ứng dụng đơn giản. (15 tiết) Nhận biết :
– Nhận biết được định nghĩa và các tính chất của tích phân. Thông hiểu: Tích phân
– Tính được tích phân của một số hàm số sơ cấp 4 2 4 (4 tiết) cơ bản. Vận dụng: 4
– Tính được tích phân trong những trường hợp đơn giản. Ứng dụng của Vận dụng: tích phân
– Sử dụng được tích phân để tính diện tích của (4 tiết)
một số hình phẳng, thể tích của một số hình khối. Vận dụng cao :
– Vận dụng được tích phân để giải một số bài toán có
liên quan đến thực tiễn. Nhận biết :
– Nhận biết được phương trình tổng quát của mặt phẳng. Thông hiểu:
– Thiết lập được phương trình tổng quát của mặt
phẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz theo một trong ba
cách cơ bản: qua một điểm và biết vectơ pháp
tuyến; qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương Phương
(suy ra vectơ pháp tuyến nhờ vào việc tìm vectơ Phương trình trình mặt
vuông góc với cặp vectơ chỉ phương); qua ba 2 mặt phẳng (6 3 1 2 2 2 phẳng điểm không thẳng hàng. tiết) (6 tiết)
– Thiết lập được điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc với nhau. Vận dụng:
– Tính được khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng bằng phương pháp toạ độ. Vận dụng cao:
– Vận dụng được kiến thức về phương trình mặt
phẳng để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn. Tổng số lệnh hỏi 8 4 8 8 6 Tổng điểm 2,0 1,0 2,0 2,0 3,0 Tỉ lệ % 30 40 30 0
SỞ GD & ĐT QUẢNG TRỊ
ĐỀ MINH HỌA GIỮA KỲ II, NĂM HỌC 2025-2026 TRƯỜNG THPT HƯỚNG HÓA MÔN: TOÁN - LỚP 12
Thời gian làm bài: 90 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Họ và tên:……………...........................
Lớp...................... SBD:...............…... MÃ ĐỀ: 0121
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi
thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hàm số f  x xác định trên một khoảng K . Hàm số F  x được gọi là một nguyên hàm của
hàm số f  x trên K nếu A. F ' x  f (x), x   K . B. F '  x  f (x), x   K . C. F  x  f '(x), x   K . D. F  x  f '(x), x   K .
Câu 2. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b và f a  2  , f b  4  . Tính b T  f   xdx. a A. T  6  . B. T  2 . C. T  6 . D. T  2 . 10 8 10
Câu 3. Nếu  f tdt 17 và  f  ydy 12 thì  3    f xdx bằng 0 0 8 A. 15 . B. 29 . C. 1  5. D. 5 .
Câu 4. Cho f (x) là hàm số liên tục trên a;b và F(x) là nguyên hàm của f (x) . Khẳng định nào sau đây là sai ? b a a A. f  xdx   f  tdt . B. f  xdx  0. a b a b b a C. f
 xdx  F xb  F b F a. D. f  x / dx  f  x /  f b /  f a . a b a a 5 5 5
Câu 5. Cho  f xdx  2 ,  d  1   g x x
. Tính 2 f (x) 3g(x)dx . 1 1 1 A. 1. B. 1 . C. 7 . D. 2 .
Câu 6. Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng (Oxy) là A. x  0 . B. x  y  z  0 . C. y  0 . D. z  0 .
Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 2x  y  3z  5  0 . Vectơ nào dưới đây là một
vectơ pháp tuyến của   ?     A. n  2;1;3 . B. n  2;1;3 . C. n  2; 1;3 . D. n  2;1;3 . 1   2   4   3  
Câu 8. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P : x  y  z  3  0 đi qua điểm nào dưới đây? A. M  1  ; 1  ;  1 . B. N 1;1;  1 . C. P 3  ;0;0 . D. Q0;0; 3  . Câu 9. Hàm số   2
F x  x  x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 1 1 A. f  x  2x. B. f  x  2x 1. C. f  x 3  x  C . D. f  x 3  x . 3 3  3 Câu 10. Tính I  cos d x x  . 0 3 3 1 1 A. I  . B. I   . C. I  . D. I   . 2 2 2 2
Câu 11. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm là f  x 2
12x  2,x  và f   1  3 . Biết F x là
nguyên hàm của f  x thỏa mãn F 0  2 , khi đó F   1 bằng A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 7 . Câu 12.
Trong không gian Oxyz , cho điểm M 0; 1
 ;2 . Mặt phẳng P đi qua hai điểm O, M
và vuông góc với mặt phẳng x  y  3z  5  0 . Mặt phẳng P có phương trình là A. 5x  2 y  z  0 . B. 5x  2 y  z  0 . C. 5x  2 y  z  0 .
D. 5x  2 y  z 1  0 .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi
câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 1. Cho hàm số 2 f (x)  3x  2x .
a) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên  thì F(x)  f ' x, x    . b) 2 f (x)dx  3x dx  2xdx    .
c) Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn F (0)  3 thì 3 2 F(x)  x  x  3 .
d) Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn F   1  3 thì F   1  5 .
Câu 2: Cho hàm số f (x)  4cos x  3sin x 1 liên tục trên  , F x là một nguyên hàm của f  x trên  .  3    a) f  xdx  F  F   0.  3  0    4 4 3 b) f  xdx  f  xdx  f (x)dx  . 0  0 3 c) Nếu F (x)
là một nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn F (0)  0 thì
F (x)  4sin x  3cos x  x  3.       14 2 
d) Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn F  4   thì F    .  2   4  4 2 x 1 Câu 3: Cho hai hàm số ( ) x f x  e và g  x  . x 2 a) 2 f (x)dx  e  e  . 1 3 3 3 b) f (x).g (x)dx  f (x)dx. g ( x)dx    . 1 1 1
c) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn F 0  2 thì F   3 3  e 1.
d) G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên khoảng 0; thỏa mãn G   1  1 . Giả sử  a a
G 2   c ln 2 với a, , b c  ;
 b  0; tối giản. Khi đó a  b  c  8 . b b
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;2;2 , B 2;4;  1 và mặt phẳng
(Q) : 2x  2y  z  3  0 . 
a) Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là n  2;2;  1 .
b) Điểm B thuộc mặt phẳng (Q) .
c) Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm ,
A B và song song với trục tung Oy có phương trình dạng
ax  by  z  d  0  , a ,
b d . Khi đó a  d  2 .
d) Mặt phẳng (R) : x  my  4z  3  0 (m ) vuông góc với mặt phẳng (Q) khi m  3  .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi ( P )
x là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu
được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó đạo hàm P '(x) , gọi là lợi nhuận biên, cho biết
tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận biên (tính theo triệu đồng trên tấn)
của nhà máy được ước lượng bởi công thức P '(x)  16  0,02x,0  x  100. Tính lợi nhuận nhà máy thu
được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng
sản phẩm nào trong tuần.
Câu 2. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là  1 
một phần parabol với đỉnh I ; 8 
 và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quảng  2 
đường người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút kể từ khi bắt đầu chạy (đơn vị: mét).
Câu 3. Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc vt  7t m/s . Đi được 5 s người lái xe
phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  35  2
m/s  . Tính quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn (đơn vị: mét).
Câu 4. Chị Minh Hiền muốn làm một cái cổng hình Parabol như hình vẽ bên dưới. Chiều cao GH  4m ,
chiều rộng AB  4m , AC  BD  0,9m . Chị Minh Hiền làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật
CDEF tô đậm có giá là 1200000 đồng 2
/m , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng 2
/m . Hỏi tổng số tiền tính bằng triệu đồng (làm tròn đến hàng phần chục) là bao nhiêu?
Câu 5. Trong một trò chơi mô phỏng bắn súng, một người chơi đặt điểm ngắm tại điểm O là giao điểm của AC và BD
trong căn phòng hình hộp chữ nhật ABC . D A B  C  D   có kích thước
AB  50m, AD  35m, AA 10m . Người chơi có nhiệm vụ từ điểm ngắm đã đặt bắn trúng một
mục tiêu di động trên mặt phẳng CB D
  Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đó đến mục tiêu
(làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
Câu 6. Hình ảnh bên minh hoạ một cánh cửa hình chữ nhật có chiều rộng 1 m và chiều cao 2 m khi đang
mở. Chọn hệ toạ độ như hình vẽ, biết cánh cửa tạo với bức tường một góc 30 , bờ tường vuông góc với
mặt sàn. Bỏ qua bề dày của cánh cửa thì phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa là x  by  cz  d  0 . Tính 2 2 9b  3c  d . ------ HẾT ------
(Thí sinh được sử dụng MTBT, không được sử dụng tài liệu)
NGÂN HÀNG ĐỀ GIỮA KÌ II TOÁN 12 - NĂM HỌC 2025-2026
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Mỗi câu hỏi
thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.1. Cho hàm số f x xác định trên một khoảng K . Hàm số F  x được gọi là một nguyên hàm
của hàm số f x trên K nếu A. F ' x  f (x), x   K . B. F '  x  f (x), x   K . C. F  x  f '(x), x   K . D. F  x  f '(x), x   K .
Câu 1.2. Cho hàm số f x có đạo hàm f  x liên tục trên , mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f 
 xdx  f xC . B. f
 xdx  f xC . C. f   xdx  f x. D. f
 xdx  f x.
Câu 1.3. Khẳng định nào sau đây sai? dx A.  ln x  C.  B. sin xdx  o c sx  C.  x  1   x C. x dx   C (  1  )  D. x x e dx  e  C.    1
Câu 1.4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( )  7x f x . 7x x 1 7  A. f (x)dx   C.  B. f (x)dx   C.  ln 7 x 1 C. 1 ( )d 7    .  x f x x C D. ( )d  7 ln 7  .  x f x x C
Câu 1.5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  2sin x . A. 2sin xdx  sin 2x  C  . B. 2sin xdx  2cos x  C  . C. 2 2sin xdx  sin x  C  . D. 2sin xdx  2  cos x  C  .
Câu 2.1. Cho hàm số f x liên tục trên  ;
a b và F  x là một nguyên hàm của f x . Mệnh đề nào sau đây đúng? b b A. f
 xdx  F b F a . B. f
 xdx  F a F b. a a b b C. f
 xdx  F a F b. D. f
 xdx  f b f a. a a
Câu 2.2. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b và f a  2  , f b  4  . Tính b T  f   xdx. a A. T  6  . B. T  2 . C. T  6 . D. T  2 . 1
Câu 2.3. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn  1  ;  1 thỏa mãn f   xdx  5 và 1 f   1  4. Tính f   1 . A. f   1  9 . B. f   1  9  . C. f   1 1. D. f   1  1  .
Câu 2.4. Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số f x . Khi đó hiệu số F 0  F   1 bằng 1 1 0 1 A. f  xdx  . B. F  xdx  . C. F  xdx  . D.  f  xdx . 0 0 1 0
Câu 2.5. Cho hàm số y  f  x liên tục trên 2024;202 
5 và F  x là một nguyên hàm của hàm số
f x . Khi đó, hiệu số F 2024  F 2025 bằng 2025 2025 2025 2025 A. f  xdx  . B.  F  xdx. C. F  xdx  . D.  f  xdx . 2024 2024 2024 2024
Câu 3.1. Cho hàm số f  x liên tục trên  và a . Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A. f  xdx  0. B. f  x 2 dx  a . a a a a C. f  xdx  2a . D. f  xdx 1. a a
Câu 3.2. Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn  ;
a b và ca;b . Mệnh đề nào sau đây đúng? c b a b c b A. f  xdx f  xdx  f  xdx . B. f  xdx f  xdx  f  xdx. a c b a a c b c c c b b C. f  xdx f  xdx  f  xdx. D. f  xdx f  xdx  f  xdx. a a c a c a 2 3 3 Câu 3.3. Cho f  xdx  7, f
 xdx  1. Tính f xdx  . 1 2 1 A. 4 . B. 4 . C. 6 . D. 2 . 10 8 10 Câu 3.4. Nếu f  tdt 17 và f  ydy 12 thì  3    f xdx bằng 0 0 8 A. 15 . B. 29 . C. 1  5. D. 5 . 10 6 10 Câu 3.5. Nếu f  tdt 17 và f
 ydy 10 thì 3f x  dx bằng 0 0 6 A. 7 . B. 27 . C. 2  1. D. 21 .
Câu 4.1. Cho hai hàm số f  x , g  x liên tục trên đoạn c;d và số thực k . Mệnh đề nào sau đây sai? d d d d d A.  f
 x gxdx  f   xdx g  xdx . B. kf  xdx  k f  xdx. c c c c c d d d d d d C.  f
 x gxdx  f   xdx g  xdx . D.  f
 x.gxdx  f   xd .x g  xdx. c c c c c c Câu 4.2. Cho f ( )
x là hàm số liên tục trên a;b và F(x) là một nguyên hàm của f ( ) x . Khẳng định nào sau đây sai? b a a A. f  xdx   f  tdt . B. f  xdx  0. a b a b b C. f
 xdx  F xb  F b F a. D. f
 xdx  f 'x a  f 'b f 'a. a b a a Câu 4.3. Cho f ( )
x là hàm số liên tục trên a;b và F(x) là một nguyên hàm của f ( ) x . Khẳng định nào sau đây đúng? b a b A. f  xdx  f  xdx . B. f
 xdx  F xb  F a F b. a a b a b b C. f
 xdx  F xb  F b F a. D. f
 xdx  f 'x a  f 'b f 'a. a b a a 3 3 3 Câu 5.1. Biết f
 xdx 5 và gxdx  7   . Giá trị của  f
 x gxdx  bằng 1 1 1 A. 2 . B. 2 . C. 12 . D. 12 . 2 2 2 Câu 5.2. Cho f
 xdx  3, gxdx  1  
. Tính 3 f (x)  4g(x)dx . 1 1 1 A. 4 . B. 5 . C. 13. D. 1 . 5 5 5 Câu 5.3. Cho f
 xdx  2, gxdx  1  
. Tính 2 f (x)3g(x)dx . 1 1 1 A. 1. B. 1 . C. 7 . D. 2 . 6 6 6 Câu 5.4. Biết f  xdx  2 và g
 xdx  4. Giá trị của  f
 x gxdx  bằng 3 3 3 A. 2 . B. 2  . C. 6 . D. 8 . 3 3 Câu 5.5. Biết f
 xdx  5. Giá trị của 2 f xdx  bằng 1 1 5 A. 10 . B. 2 . C. 7 . D. . 2
Câu 6.1. Trong không gian Oxyz , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng? A. xy  z  3  0 . B. 2 x  y  z 1  0 . 1 1 3
C. 2x  2 y  z  3  0 . D.    2  0 . x y z
Câu 6.2. Trong không gian Oxyz , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng? A. xy  3  0 . B. 2 2 2 x  y  z  5  0 . 1 3 C. z 3  0 . D.   6  0. x z
Câu 6.3. Trong không gian Oxyz , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng? A. 2 x  3y  0 . B. 2 2 2 2x  y  z  0 . x z 1 3 C.   3  0 . D.   6  0. 5 2 x z
Câu 6.4. Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng (Oxy) là A. x  0 . B. x  y  z  0 . C. y  0 . D. z  0 .
Câu 6.5. Trong không gian Oxyz , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng? A. 2 x  y  0 .
B. 2x  y  xz 1  0 . x y z C. 2x  3z  5  0 . D.   1. 2 3 1 
Câu 7.1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P có phương trình 2x  2y  z  3  0 . Tìm một
vectơ pháp tuyến của P .     A. n  (4; 4  ;2) . B. n  (2; 2; 3) . C. n  ( 4  ;4;2) . D. n  (0;0; 3  ) .
Câu 7.2. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 2x  y  3z  5  0 . Vectơ nào dưới đây là một
vectơ pháp tuyến của   ?     A. n  2;1;3 . B. n  2;1; 3 . C. n  2; 1;3 . D. n  2;1;3 . 1   2   4   3  
Câu 7.3. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 3x  z  2  0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P ?     A. n  3;0; 1  . B. n  3; 1  ;2 . C. n  3; 1  ;0 . D. n  1  ;0; 1  . 4   3   1   2  
Câu 7.4. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 2x  y  3z  5  0 . Vectơ nào dưới đây không là
vectơ pháp tuyến của   ?     A. n  2; 1  ;3 . B. n  2;1; 3 . C. n  2; 1;3 . D. n  4; 2;6 . 1   2   4   3  
Câu 7.5. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 3x  z  2  0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P ?     A. n  3;0; 1  . B. n  3; 1  ;2 . C. n  3; 1  ;0 . D. n  3;0;1 . 4   3   1   2  
Câu 8.1. Trong không gian Oxyz . Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P) 2x  y  5  0 ? A. (2;1;0) . B. (2;1; 5) . C. (1;7;5) . D. (2; 2; 5) .
Câu 8.2. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x  2y  z 5  0. Điểm nào dưới đây thuộc P ? A. P 0;0; 5   . B. M 1;1;6 . C. Q2; 1  ;5 . D. N  5  ;0;0 .
Câu 8.3. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào dưới đây đi qua gốc tọa độ? A. x  20  0. B. x  2019  0 . C. y  5  0 . D. 2x  5y  8z  0 .
Câu 8.4. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P : x  y  z 3  0 đi qua điểm nào dưới đây? A. M  1  ; 1  ;  1 . B. N 1;1;  1 . C. P 3  ;0;0 . D. Q0;0; 3  .
Câu 8.5. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x  2y  z  5  0. Điểm nào dưới đây không thuộc P ? A. P 1;2;  1 . B. M 1;1;6 . C. Q 2;1;5 . D. N 1;1;2 .
Câu 9.1. Họ nguyên hàm của hàm số    ex f x  x là 1 x 1 x 1 A. x 2 e  x  C . B. 2 e  x  C . C. 2 e  x  C . D. ex 1 C . 2 x 1 2
Câu 9.2. Họ nguyên hàm của hàm số f  x  2x  6 là A. 2 x  C . B. 2 x  6x C . C. 2 2x  C . D. 2 2x  6x  C .
Câu 9.3. Họ nguyên hàm của hàm số    3cos 3x f x x là x x A. f  x 3 dx  3sin x   C . B. f  x 3 dx  3  sin x   C . ln 3 ln 3 x x C. f  x 3 dx  3sin x   C . D. f  x 3 dx  3  sin x   C . ln 3 ln 3 Câu 9.4. Hàm số   2
F x  x  x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 1 1 A. f  x  2x . B. f  x  2x 1. C. f  x 3  x  C . D. f  x 3  x . 3 3
Câu 9.5. Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số   3 f x  x ? 4 x 4 x 4 x A. y   2024 . B. y  . C. 2 y  3x . D. 2025 y   2 . 4 4 4 2 a
Câu 10.1. Kết quả phép tính 3x dx  bằng . Tính a  b. ln b 1 A. 6 . B. 3  . C. 9 . D. 5 .  3 Câu 10.2 Tính I  cos d x x  . 0 3 3 1 1 A. I  . B. I   . C. I  . D. I   . 2 2 2 2 e 1 x b Câu 10.3. Tính I  dx  a   . Tính a  b . 2 x e 1 A. I 1. B. I  3 . C. I  2 . D. I  1  . 2  x   a  b Câu 10.4.Biết x e 2 e
 1 dx  e  .aebln2 a,b. Khi đó giá trị của P  là  x . a b 1  A. P  3 . B. P 1. C. P  1  . D. P  2  .  2 2 a  b 3 
Câu 10.5. Biết 2sin x  3cos x  x dx   
a, ,bc . Khi đó giá trị của P  a  2b  3c  2 c 3 là 226 A. P  45 . B. P  . C. P  65 . D. P  70 . 5 3 Câu 11.1. Cho I  2x  4 dx 
. Chọn khẳng định đúng. 1  3 2 3 A. I   2x 4dx .
B. I   2x  4dx 2x  4dx . 1  1  2 2 3 2 3
C. I   2x  4dx 2x  4dx .
D. I   2x  4dx 2x  4dx . 1  2 1  2 2 2 Câu 11.2. Cho 4 f  x2xdx 1  . Khi đó f  xdx  bằng 1 1 A. 1 . B. 3  . C. 3 . D. 1. 1 1 Câu 11.3. Cho f
 xdx 1, tích phân 2 f x 2  3x dx bằng 0 0 A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 1 . 1
Câu 11.4. Biết F (x) là nguyên hàm của hàm số
và F (1)  1 . Khi đó F (3) bằng bao nhiêu? x 1 3 A. ln31. B. . C. ln . D. ln 3. 2 2
Câu 11.5. Cho hàm số y  f x có đạo hàm là f  x 2
12x  2,x và f   1  3 . Biết F x là
nguyên hàm của f x thỏa mãn F 0  2 , khi đó F   1 bằng A. 3  . B. 1 . C. 2 . D. 7 .
Câu 12.1. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm A1;1;2 và có vectơ pháp  tuyến n  1; 2  ; 2   là
A. x  2y  2z 1  0 .
B. x  y  2z 1  0 .
C. x  2 y  2z  7  0 .
D.  x  y  2z  1  0 .
Câu 12.2. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 1  ;0; 
1 , B 2;1;0 . Viết phương trình mặt phẳng P
đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng AB .
A. P : 3x  y  z  4  0 .
B. P : 3x  y  z  4  0 .
C. P :3x  y  z  0.
D. P : 2x  y  z 1  0.
Câu 12.3. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A3; 2  ; 2
  , B3;2;0 , C 0;2;  1 . Lập phương trình mặt phẳng  ABC . A. 2x  3y  6z  0 . B. 4 y  2z  3  0 . C. 3x  2 y 1  0 . D. 2 y  z  3  0 .
Câu 12.4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A4;0;  1 và B  2
 ;2;3.Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB có phương trình là A. 3x  y  z  0. B. 3x  y  z  6  0.
C. x  y  2z  6  0. D. 6x  2 y  2z 1  0.
Câu 12.5. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 0; 1
 ;2 . Biết mặt phẳng P đi qua hai điểm O , M
và vuông góc với mặt phẳng x  y  3z  5  0 . Phương trình mặt phẳng P là A. 5x  2 y  z  0 . B. 5x  2 y  z  0 . C. 5x  2 y  z  0 .
D. 5x  2 y  z 1  0 .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi
câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 1.1. Cho hàm số 3 f (x)  4x  2 .
a) Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên  thì F(x)  f ' x, x   .
b) f (x) có một nguyên hàm là 4 F (x)  x  2x  5. c) 3 f (x)dx  4x dx  2dx    d) 4 f (x)dx  x  2x  . C 
Câu 1.2. Cho f  x  2x  sin x và F  x là một nguyên hàm của f  x trên  .
a) Cho G  x  F  x  C , với C là hằng số, thì G  x cũng là một nguyên hàm của f  x . b) f  x 2
dx  x  cos x  C , với C là hằng số. 2    
c) Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn F 0  1 thì F   2   .  2  4       d) F  F   0     .  3   3 
Câu 1.3. Cho hàm số f  x 3
 4x  6x . Biết F x là một nguyên hàm của f x trên  và F 0  2..
a) F  x  f  x, x  .
b) F x  f  x, x  . c) F  x 4 2  x 3x  2. d) F   1  3 . Câu 1.4. Cho hàm số   3 x
f x  x  e . Biết F  x là một nguyên hàm của f x trên  .
a) F x  f  x, x  . b)   4 x F x  x  e  C . 1
c) Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn F 0  1 thì   4 x F x  x  e  2. 4
d) Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn F 0  2 thì F   1 1   e  3. 4 2 x  3x 1
Câu 1.5. Cho hàm số f  x 
. Biết F  x là một nguyên hàm của f x trên khoảng 0;. 2 x
a) F x  f  x, x  0;. 3 1 b) f  x  1  . 2 x x c) f  x 1 dx  x  ln x   C . x 2 x  3x 1
d) Nếu F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa mãn F   1 1 thì F   1 2   ln 2 . 2 x 2
Câu 2.1. Cho hàm số f x liên tục trên  , F  x là một nguyên hàm của f x trên  , 9 f
 xdx  9 và hàm số g(x)  2cos x sinx. 0 9 a) Ta có f
 xdx  F9 F0. 0 6 9 b) f  xdx f  xdx 18. 0 6
c) Nếu g(x) có một nguyên hàm là hàm số G(x) trên  thỏa G(0)  4 thì G(x)  2sin x  cos x  3.  
d) Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên  thỏa mãn     G  4   thì G  4   .  2   3  Câu 2.2. Cho hàm số   2 f x  x ,   x g x  e và H (x)
là một nguyên hàm của hàm số
h(x)  3 f (x)  2g(x) trên  . 2 a) f ( ) x dx  0  . 2 2 1 b) g( ) x dx  g(x)dx   . 1 2 c) 3 ( )   2 x H x x e  C, C   .
d) Nếu H 0  3 thì H   2 2 13 2e
Câu 2.3. Cho hàm số f  x  x 1, F(x) là một nguyên hàm của hàm số 2 f (x) trên  . 1 a) f (x)dx  0  . 1 2 2 b) f (x)dx   f ( ) x dx   . 1 1 c) 3 2
F (x)  x  x  x  C, C   .
d) Nếu F(1)  0 thì F   19 2  . 3 f (x)
Câu 2.4. Cho hàm số f  x 2
 x  2 , g x  x (x  0), F(x) là một nguyên hàm của hàm số trên g  x khoảng 0; . 2 2 2
a) I   f (x)  g(x)dx  f (x)dx  g(x)dx   . 1 1 1 2 2 2 b) I  f ( ) x .g(x)dx  f (x)d . x g(x)dx    1 1 1 2 x c) F(x)   2ln x  C, C   . 2 2 e 5
d) Nếu F(1)  0 thì F e   . 2 2 f (x)
Câu 2.5. Cho hàm số f  x 2  x 1, g x 2
 x (x  0) , F(x) là một nguyên hàm của hàm số trên g  x khoảng 0; . 2 a) I   f ( ) x  g(x)dx  2. 1 b) kf  xdx  k f
 xdx với mọi hằng số k   . 1 c) F(x)  x   C, C  . x
d) Nếu F(1)  2 thì F   7 2  . 2 x x
Câu 2.6. Cho hàm số f  x  sin , g  x  cos , F(x) là một nguyên hàm của hàm số 2 f (x) trên  . 2 2 1 a) I  f (x)dx  0  . 1 2 2 b) 2 2 I   f (x)  g ( ) x  dx  dx    . 1 1 x c) F (x)   sin x  C, C   . 2    d) Nếu F(0)  1 thì F 1   .  2  Câu 3.1. Cho hàm số ( ) x f x  e và ( ) 2x g x  1. 3 a) f  x 3 2 dx  e  e . 2 3 3 3 b) 
  +g d    x  2x f x x x e dx xdx  . 2 2 2
c) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên  thoả mãn F(0)  2 thì F(ln 4)  5. b
d) Gọi G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên  thỏa mãn G 
1 1 thì G 3  a  với ln 2 a,b  : a  b 11.
Câu 3.2. Cho hàm số f x 2
 x  2x 1. Hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên  . b a) f (x)dx  F( ) b  F(a)  . a 6 3 3 b)
f (x)dx  f (x)dx  f (x)dx    . 1 1 6 x 
c) Hàm số f  x có một nguyên hàm là hàm số F  x  3 1  . 3
d) Hàm số F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x trên  thỏa mãn F   1  2 . Khi đó 3 F x x 2   x  x  2 . 3
Câu 3.3. Cho hàm số f  x   x  2 3
1 có nguyên hàm trên  là F( ) x . 2 a) f
 xdx  F(2)  F(1) . 1 2 1 1   b) 2 (3x 1) dx    (3x 1)dx   . 0  0  c) 3 2
F (x)  3x  3x  x  C .
d) Hàm số F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x trên  thỏa mãn F  
1  2 . Khi đó F 0 1. 1
Câu 3.4. Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng 0; . Biết rằng, f  x  2x  với mọi 2 x
x 0; và f   1 1. b a) f (  x)dx  f  b  f (a). a b b b) k f  x dx  k f (x)d , x x 0;    . a a c) f   67 4  . 4 3 x d) f
 xdx  ln x x C. 3 2 x 1
Câu 3.5. Biết F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên khoảng 0;. x
a) F  x  f  x, x  0; .
b) F  x  2026 cũng là một nguyên hàm của hàm số f  x . c) F  x 2  x  ln x  2026 . 2 e d) Biết F   3 1  , khi đó F e   2 . 2 2
Câu 4.1. Trong không gian Oxyz , cho điểm A1;2; 
1 và mặt phẳng (Q) : x  y  z  3  0 . 
a) Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là n 1;1;3 .
b) Điểm A không thuộc mặt phẳng (Q) .  
c) Mặt phẳng (P) chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q) có cặp vectơ chỉ phương là i và n . Q
d) Phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q) là y  z  0 .
Câu 4.2. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;2; 2   và B 2;4;  1 mặt phẳng
(Q) : x  3y  z 1  0 . 
a) Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là n 1;3;  1 .
b) Điểm A thuộc mặt phẳng (Q) .
c) Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm ,
A B và vuông góc với mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là    n   AB; n  . P Q  
d) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm ,
A B và vuông góc với mặt phẳng (Q) là 7x  2 y  z  5  0 .
Câu 4.3. Trong không gian Oxyz , cho điểm ( A 1; 3
 ; 2) và ba mặt phẳng (P) : x  2y  3z  2  0 ,
(Q) : x  2z  5  0,(R) : 4x  3y  2z 1  0 .
a) Điểm A thuộc mặt phẳng (Q) . 
b) Vectơ n  1;0;2 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Q .
c) Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (R) .
d) Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) .
Câu 4.4. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A4;0;  1 và B  2  ;2;3 .  a) AB 6;2;2 .
b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là 3x  y  z 11  0 .
c) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là 3x  y  z  0 .
d) Mặt phẳng (P) chứa hai điểm ,
A B và song song với trục Oy có phương trình là x  3z  7  0 .
Câu 4.5. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;2;2 , B 2;4;  1 và mặt phẳng ( )
Q : 2x  2y  z  3  0 . 
a) Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là n  2;2;  1 .
b) Điểm B thuộc mặt phẳng (Q) .
c) Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm ,
A B và song song với trục tung Oy có phương trình dạng
ax  by  z  d  0  , a ,
b d . Khi đó a  d  2 .
d) Mặt phẳng (R) : x  my  4z  3  0 (m ) vuông góc với mặt phẳng (Q) khi m  3  .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1.
Một quần thể vi sinh vật có tốc độ tăng số lượng cá thể được ước lượng bởi P(t) 150 t (cá
thể/ngày) với 0  t 10 trong đó P(t) là số lượng cá thể vi sinh vật tại thời điểm t ngày kể từ thời điểm
ban đầu. Biết rằng ban đầu quần thể có 1000 cá thể. Ước lượng số cá thể của quần thể sau 5 ngày kể từ
thời điểm ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng trăm). Câu 2.
Giả sử anh Nam nhảy dù từ một chiếc trực thăng. Vào thời điểm 19 giây sau khi rời khỏi trực
thăng, anh Nam mở chiếc dù của mình trong 2 giây, anh Nam chạm đất sau 19 giây kể từ lúc bung dù. Tại
thời điểm t (giây), vị trí của anh Nam cách mặt đất một khoảng h(t) mét và vận tốc rơi của anh Nam
(tính bằng m / s ) là một hàm số được cho bởi công thức:  8  0 khi 0  t  19  v(t)  h '(t)  3
 7t  783 khi 19  t  21  6  khi 21  t  40. 
Độ cao vị trí của anh Nam khi bắt đầu nhảy ra khỏi trực thăng bằng bao nhiêu mét? Câu 3.
Một cái cổng hình parabol như hình vẽ bên dưới. Chiều cao GH  4m , chiều rộng AB  4m ,
AC  BD  0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1200000 đồng 2
/m , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng 2
/m . Tính tổng số tiền để
làm hai phần nói trên ( đơn vị: triệu đồng, làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Câu 4.
Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 6 m, người ta lần lượt thả dây
dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 2 m; 3
m; 4 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ
(làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Câu 5. Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng,
hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất.
Điểm cắt nhau  x ; p của đồ thị hàm cầu p  D x và đồ thị hàm cung p  S  x được gọi là điểm cân 0 0 
bằng. Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang p  p và 0
đường thẳng đứng x  0 là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cung,
đường ngang p  p và đường thẳng đứng x  0 được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình dưới. 0
(Theor R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hoá bởi: Hàm cầu: p  5  0,2x và hàm cung: 2
p  1 0,02x , trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng.
Câu 6. Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi ( P )
x là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu
được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm P ' x) , gọi là lợi nhuận biên, cho biết
tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận biên (tính theo triệu đồng trên tấn)
của nhà máy được ước lượng bởi công thức P '(x)  16  0,02x,0  x  100. Tính lợi nhuận nhà máy thu
được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần (đơn vị: triệu đồng). Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu
không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.
Câu 7. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là  1 
một phần parabol với đỉnh I ;8 
 và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quảng  2 
đường người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút kể từ khi bắt đầu chạy?
Câu 8. Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t  7t m/s . Đi được 5 s người lái xe
phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  3  5  2
m/s  . Tính quãng đường (đơn vị:mét) của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
Câu 9. Tại một nhà máy, gọi C(x) là tổng chi phí (tính theo triệu động) để sản xuất x tấn sản phẩm A
trong một tháng. Khi đó, đạo hàm C '(x) , gọi là chi phí biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng
sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức ' 2
C (x)  5  0,06x  0,00072x với 0  x 150.Biết rằng C(0)  30 triệu đồng, gọi là chi phí
cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng tính theo đơn vị triệu đồng. Câu 10.
Trường THPT A muốn làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là
2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số
tiền nhà trường phải trả (đơn vị nghìn đồng). Câu 11.
Chị Minh Hiền muốn làm một cái cổng hình Parabol như hình vẽ bên dưới. Chiều cao
GH  4m , chiều rộng AB  4m , AC  BD  0,9m . Chị Minh Hiền làm hai cánh cổng khi đóng lại là
hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1200000 đồng 2
/m , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng 2
/m . Hỏi tổng số tiền tính bằng triệu đồng (làm tròn đến hàng phần chục) là bao nhiêu?
Câu 12. Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên.
Phần tô đậm được đính đá với giá thành 2
500.000đ/m . Phần còn lại được tô màu với giá thành 2
250.000đ / m . Cho AB  4d ; m BC  8d .
m Hỏi để trang trí 1000 họa tiết như vậy cần số tiền bao nhiêu
triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 13. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng
cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB  5 cm, OH  4 cm. Biết giá trang trí hoa văn 2
1cm là 50.000 đồng, tính số tiền theo đơn vị nghìn đồng cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó.
Câu 14. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm . Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có
chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô đen như hình vẽ dưới).

Tài liệu liên quan: