20 trang 1 lượt tải

Đề cương giữa kỳ 2 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường THPT Hoàng Văn Thụ – Hà Nội

2

Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề cương ôn tập giữa học kỳ 2 môn Toán 12 năm học 2025 – 2026 trường THPT Hoàng Văn Thụ, thành phố Hà Nội.

Chủ đề: Đề cương Toán 12 68 tài liệu

Môn: Toán 12 4.7 K tài liệu

Tác giả:

Profile

jang linh

15 giờ trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/20
TRƯỜNG THPT HOÀNG VĂN THỤ
TỔ TOÁN
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II
MÔN TOÁN – KHỐI 12
NĂM HỌC 2025– 2026
1. MỤC TIÊU
1.1. Kiến thức: Học sinh ôn tập các kiến thức về:
- Nguyên hàm: khái niệm nguyên hàm của một hàm số, một số tính chất của nguyên hàm, nguyên
hàm của một số hàm số thường gặp.
- Tích phân: định nghĩa, tính chất của tích phân, tính tích phân trong những trường hợp đơn giản,
vận dụng tích phân giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn.
- Ứng dụng hình học của tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích của một số vật thể.
- Phương trình mặt phẳng: Véc tơ pháp tuyến, cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng, viết phương
trình mặt phẳng, điều kiện hai mặt phẳng vuông góc, hai mặt phẳng song song, tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng, vận dụng giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn.
1.2.Kĩ năng: Học sinh rèn được các kĩ năng
- Trình bày bài, kĩ năng tư duy, tính toán và lập luận toán học,
- Năng lực mô hình hoá toán học và năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua một số bài toán
liên quan đến thực tiễn.
2. NỘI DUNG
2.1.MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II
MÔN: TOÁN, LỚP 12 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 phút
STT
NỘI DUNG
HNH THC
TN
4 lựa chọn
(mức độ 1, 2)
TN
Đúng – Sai
(mức độ 1,
2, 3)
1
Nguyên hàm
3
1
2
Tích phân
3
1
3
Ứng dụng hình học của tích phân
2
1
4
Phương trình mặt phẳng
4
1
Tổng số câu
12
4
Tổng số điểm
3
4
Tỉ lệ %
30
40
2.2.Câu hỏi và bài tập minh họa
NGUYÊN HÀM
PHẦN I. Trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn
Câu 1. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A.
( ) ( ) ( ) ( )
d d df x g x x f x x g x x

− = −

. B.
( ) ( ) ( ) ( )
d d df x g x x f x x g x x

+ = +

.
C.
( ) ( )
df x x f x C = +
. D.
( ) ( )
ddkf x x k f x x=

,
k
.
Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
1
d lnx x C
x
=+
. B.
1
cos2 d sin 2
2
x x x C=+
.
C.
1
d
1
x
x
e
e x C
x
+
=+
+
. D.
1
d
1
e
e
x
x x C
e
+
=+
+
.
Câu 3. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
=+
dsin cos .x x x C
B.
= − +
dcos sin .x x x C
C.
d
2
1
cot .
sin
x x C
x
=+
D.
d
2
1
tan .
cos
x x C
x
=+
Câu 4. Khẳng định nào dưới đây sai?
A.
d
1
, 1.
1
n
n
x
x x C n
n
+
= + −
+
B.
=+
d .
xx
e x e C
C.
d
1
7
7.
1
x
x
xC
x
+
=+
+
D.
=+
dcos sin .x x x C
Câu 5. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số
( )
2
3?f x x=
A.
3
.yx=
B.
3
1.yx=+
C.
3
1.yx=−
D.
6.yx=
Câu 6. Hàm số
= sin 2yx
là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A.
= cos2 .yx
B.
cos2
.
2
x
y =−
C.
cos2
.
2
x
y =
D.
= 2cos2 .yx
Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
2f x x=+
là
A.
( )
2.F x x=
B.
( )
3
2.F x x x C= + +
C.
( )
3
2.
3
x
F x x C= + +
D.
( )
3
2.
3
x
F x C= + +
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
42f x x x=+
là
A.
( )
23
4
2.
23
xx
F x x C

= + +


B.
( )
42
2.F x x x C= + +
C.
( )
42
4.F x x x C= + +
D.
( )
42
.F x x x C= + +
Câu 9. Cho hàm số
( )
2
sin3
x
f x e x=+
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
2
1
d cos3
3
x
f x x e x C= − +
. B.
( )
2
d cos3
x
f x x e x C= − +
.
C.
( )
2
sin3
d
23
x
ex
f x x C= + +
. D.
( )
2
cos3
d
23
x
ex
f x x C= − +
.
Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
5
x
fx=
là
A.
( )
d
1
5
.
1
x
f x x C
x
+
=+
+
B.
( )
=+
d 5.
x
f x x C
C.
( )
d
5
.
ln 5
x
f x x C=+
D.
( )
=+
d 5 ln 5 .
x
f x x C
Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
23
xx
f x e e=−
là
A.
( )
d
3
2
3.
3
x
x
e
f x x e C= − +
B.
( )
d
3
2
3.
3
x
x
e
f x x e C= + +
C.
( )
( )
d
2
3.
xx
f x x e e C= − +
D.
( )
d
3
3.
3
x
x
e
f x x e C= + +
Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
4sinf x x=
là
A.
( )
d
3
4sin
.
3
x
f x x C=+
B.
( )
d 2 sin 2 .f x x x x C= − +
C.
( )
d
cos2
.
2
x
f x x C=+
D.
( )
d 2 2sin2 .f x x x x C= − +
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
22
cos sinf x x x=−
là
A.
( )
d
sin2
.
2
x
f x x C=+
B.
( )
d
sin2
.
2
x
f x x C= − +
C.
( )
d
cos2
.
2
x
f x x C=+
D.
( )
d
cos2
.
2
x
f x x C= − +
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
4sin cos3f x x x=
là
A.
( )
d
cos4
cos2 .
2
x
f x x x C= − + +
B.
( )
d
cos4
cos2 .
2
x
f x x x C= − − +
C.
( )
d
cos4
cos2 .
2
x
f x x x C= − +
D.
( )
d
cos4
cos2 .
2
x
f x x x C= + +
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
32
3 2 5
,0
xx
f x x
x
++
=
là
A.
( )
32
2 5ln .F x x x x C= + + +
B.
( )
32
5ln .F x x x x C= + + +
C.
( )
32
5ln .F x x x x C= + + +
D.
32
2 5ln .x x x C+ + +
Câu 16. Họ các nguyên hàm
( )
2
1
d
21
x
x −
là
A.
1
42
C
x
−
+
−
. B.
1
21
C
x
+
−
. C.
1
21
C
x
−
+
−
. D.
1
42
C
x
+
−
.
Câu 17. Biết
2
1
d
32
+
− + −
x
x
xx
.ln 1 .ln 2a x b x C= − + − +
. Tính
ab+
.
A.
1ab+=
. B.
5ab+=
. C.
5ab+ = −
. D.
1ab+ = −
.
Câu 18. Biết
( ) ( )
= + +
2
1, ;F x ax bx a b
là nguyên hàm của hàm số
( )
2 1.f x x=+
Tổng
ab+
bằng
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Câu 19. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2x
f x e=
và
( )
00F =
. Giá trị của
( )
ln3F
bằng
A.
2.
B.
6
. C.
8
. D.
4
.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1: Cho hàm số
( )
3
46f x x x=−
. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
và
( )
02F =
.
a)
( ) ( )
,.
= F x f x x
b)
( )
3
4 d 6 d .=−

F x x x x x
c)
( )
42
32F x x x= − +
.
d)
( )
13F =
.
Câu 2: Cho hàm số
( )
=y f x
có đạo hàm là
( )
3
8
= + sin ,f x x x x
.
a) Hàm số
( )
=y f x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
.
b) Biết
( )
03=f
. Khi đó,
( )
4
23= − +cosf x x x
.
c)
( )
5
2
3
5
d sinf x x x x x C= − + +
, với
C
là hằng số.
d) Biết
( )
Fx
là nguyên hàm của
( )
fx
thoả mãn
( )
02=F
. Khi đó,
( )
02=F
.
Câu 3: Cho hàm số và .
a)
b)
c) .
d)
()
2
( ) 1
fx
dx x C
gx
=+
−
(biết thoả mãn )
Câu 4: Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu
diễn bằng hàm số , trong đó t tính bằng giờ ( ) , tính bằng khách/giờ (
Nguồn: R.Larson and B.Eawads, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.
a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số .
b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người.
c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1296 người.
d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1: Cho với . Tính giá trị
Câu 2: Cho hàm số có . Tính .
Câu 3: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Biết hàm số đồng biến
trên khoảng giá trị nhỏ nhất của bằng bao nhiêu?
Câu 4: Cho hàm số . Giả sử là nguyên hàm của trên thỏa mãn
. Tính giá trị của
Câu 5: Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc
15 /ms
thì nhìn thấy chướng ngại vật trên đường cách đó
50m
, người lái xe hãm phanh khẩn cấp. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với
vận tốc
( ) ( )
3 15 /v t t m s= − +
, trong đó
t
(giây). Gọi
( )
st
là quãng đường xe ô tô đi được trong
thời gian
t
(giây) kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển
được bao nhiêu mét?
Câu 6: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi
( )
ht
là thể tích nước bơm được sau
t
phút.
Biết
( ) ( )
2
3 , ;
= + h t at bt a b
và ban đầu bể không có nước. Sau
5
phút thì thể tích nước trong
bể là
3
150 ,dm
sau
10
phút thì thể tích nước trong bể là
3
1100dm
. Thể tích của nước trong bể sau
khi bơm được
15
phút là bao nhiêu
3
?dm
TÍCH PHÂN
PHẦN I. Trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn
Câu 1: Xét là một hàm số tùy ý, là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
( )
2cosf x x=
( )
2
2sin
2
x
gx=
( )
d 2sin .f x x x C=+
( )
d cos .g x x x C= − +
( ) ( )
d sin .f x g x x x x C

+ = + +

x
( )
1gx
( )
32
4 72 288Q t t t t
= − +
0 13t
( )
Qt
( )
4 3 2
24 144Q t t t t= − +
6t =
21
d
2
+
−
x
x
x
=
ln 2ax b x C+ − +
,ab
.+ab
( )
y f x=
( )
d sinf x x x x C=+
2
f



( )
Fx
( )
( )
3
12 4 2
4
−
=−
xx
f x e x x
( )
Fx
( )
;,a +
a
( )
2
2 5 khi 1
3 4 khi 1
+
=
+
xx
fx
xx
F
f
( )
02F =
( ) ( )
1 2 2 .−+FF
( )
fx
( )
Fx
( )
fx
;.ab


( ) ( ) ( )
d .
b
a
f x x F b F a=−
( ) ( ) ( )
d .
b
a
f x x F a F b=−
( ) ( ) ( )
d .
b
a
f x x F a F b=+
( ) ( ) ( )
d .
b
a
f x x F a F b= − −
Câu 1: Biết và Khi đó, bằng
A. B. C. D.
Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm trên đoạn , và Giá trị bằng
A. B. C. D.
Câu 3: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là một nguyên hàm của hàm số trên thỏa
mãn . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 4: Biết là một nguyên hàm của hàm số trên . Giá trị của bằng
A. 20. B. 22. C. 26. D. 28.
Câu 5: Cho và , khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 6: Cho hàm số liên tục trên . Nếu thì bằng
A. B. 3. C. . D. .
Câu 7: Cho hàm số liên tục trên và có một nguyên hàm là . Biết , giá trị
được tính bằng công thức nào dưới đây?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 8: Biết , với . Tổng bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 9: Có bao nhiêu số thực thuộc khoảng sao cho ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 10: Biết Tính
A. B. C. D.
Câu 11: Gọi là các số nguyên sao cho Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 12: Biết với , , là các số hữu tỷ. Tính .
A. . B. . C. . D. .
( )
d
2
1
2f x x =
( )
d
2
1
6.g x x =
( ) ( )
d
2
1
f x g x x

−

4.−
8.
4.
8.−
( )
fx
1; 2


( )
11f =
( )
d
2
1
5.f x x
=
( )
2f
6.
4.
3.
7.
( )
fx
( )
Fx
( )
fx
( ) ( )
2 0 10FF−=
( )
2
0
3 df x x
6
9
5
30
3
()F x x=
()fx
3
1
(1 ( ) d)x xf+
2
0
( )d 5f x x =
5
0
( )d 3f x x =−
5
2
( )df x x
8
15
8−
15−
( )
fx
0;3
3
0
( )d 2f x x =
3
0
3 ( ) dx f x x−
3.−
3
2
3
2
−
( )
fx
( )
Fx
( )
18F =
( )
9F
( ) ( )
99Ff
=
( ) ( )
9 8 1Ff
=+
( ) ( )
9
1
9 8 dF f x x=+


( ) ( )
9
1
9 8 dF f x x=+
3
1
2
d 2lnx x a b
x

+ = +


,ab
ab+
3
5
7
6
b
( )
;3

4cos 2 d 1
b
xx
=
4
6
8
2
( )
d
6
2
0
4sin 3, ; .x x a b a b
= +
.ab
1
.
3
2
.
7
3
.
4
1
.
6
−
( )
2
22
0
2d , ; .
x
e x ae be a b
+
= +
22
ab+
3
8
4
5
3
1
d
32
1
= + +
+−
x
a b c
xx
a
b
c
P a b c= + +
5P =
2
3
P =
13
2
P =
16
3
P =
Câu 13: Biết Tính
A. B. C. D.
Câu 14: Biết Tính
A. B. C. D.
Câu 15: Cho với là các số hữu tỷ. Giá trị của bằng
A. . B. 3. C. . D. 2.
Câu 16: Cho hàm số có đạo hàm trên là và . Tính tích phân
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 17: Cho hàm số . Biết và Khi đó, bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 18: Cho hàm số có và đạo hàm . Tích phân bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 19: Cho hàm đa thức bậc ba có đồ thị hàm số được cho bởi hình vẽ sau:
Giá trị biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
,
( )
Fx
là nguyên hàm của
( )
fx
và
( )
9
0
d9f x x =
.
( )
d
1
0
63
ln2 ln5, ; ; .
35
x
x a b c a b c
x
+
= + +
+
2 3 .a b c++
3.
5.−
0.
1.
( )
d
1
2
0
21
ln2 ln 3, ; .
4
x
x a b a b
x
+
= +
−
.ab
3
.
5
3
.
8
3
.
7
3
.
2
−
( )
d
5
2
4
ln 2 ln3
1
x
x a b c
x
= + +
−
,,a b c
abc
1
6
−
2
3
( )
fx
( )
sin cosf x x x=
( )
01f =
( )
4
0
d
=
I f x x
4
2
I
−
=
34
8
I
−
=
32
16
I
+
=
52
16
I
−
=
( )
fx
( )
04f =
( )
2
2sin 1, .f x x x
= +
( )
d
4
0
f x x
2
15
16

+
2
16 16
16

+−
2
16 4
16

+−
2
4
16
−
( )
fx
( )
02f =−
( )
1
,1
1
f x x
x
= −
+
( )
3
0
df x x
64
3
10
3
13
3
−
8
3
−
()y f x=
()y f x
=
( ) ( )
32ff−
20
51
64
45
a)
( ) ( ) ( )
9
0
d 9 0 .=−
f x x F F
b) Nếu
( )
03F =
và
( )
9
0
d9f x x =
thì
( )
9 12F =−
.
c)
( )
9
0
3 d 27=
f u u
d)
( ) ( )
6
06
9
d d 18f x x f x x+=

Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm .
a) b)
c)
d)
Câu 3: Cho hàm số .
a)
b)
c)
d)
Câu 4: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc , trong đó thời gian
tính bằng giây. Sau khi chuyển động được 12 giây thì ô tô gặp chướng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô
tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc và gia tốc là cho đến khi dừng hẳn.
a) Quãng đường ô tô chuyển động nhanh dần đều là .
b) Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp
c) Thời gian từ lúc ô tô giảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn là giây.
d) Tổng quãng đường ô tô chuyển động từ lúc xuất phát đến khi dừng hẳn là .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1: Cho Tính
Câu 2: Cho hàm số . Biết và Biết
tính
Câu 3: Đường gấp khúc trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số trên đoạn .
( )
2
3 2 1f x x x= − −
( )
fx
( )
2
1
d 3.
−
=
f x x
( )
1
0
d 7.=
f x x
( )
3
0
3 d 42.=
f x x
( )
1
0
31
d.
12
=
xf x x
2
khi 2
()
2 khi
2
2
xx
xx
x
fx
−
−
=
( )
22
11
( )d 2 d .=−

f x x x x
( )
33
2
22
( )d 2 d .=−

f x x x x x
( )
23
3
22
1
12
d 2 2 .
22
= − + −
xx
f x x x x
( )
3
1
5
d.
6
=
f x x
( ) ( )
1
2 m / sv t t=
t
( )
2
vt
( )
2
8 m / sa =−
144m
3
168m
( )
1
0
11
d ln 2 ln 3 , ; ; .
12
x a b c a b c
xx

− = + +

++

.a b c++
( )
fx
( )
04f =
( )
2
' 2sin 1, .= + f x x x
( ) ( )
2
4
0
d ; ; ,
16

++
=
ab
f x x a b
.ab+
ABC
( )
y f x=
2;3−
Tính
Câu 4: Biết với Tính
Câu 5: Một vật chuyển động trong giờ với vận tốc phụ thuộc thời gian có đồ thị là một
phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên dưới:
Tính gần đúng đến hàng phần chục quãng đường mà vật di chuyển được trong giờ đó.
Câu 6: Một chất điểm
A
xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy
luật
( ) ( )
2
1 58
/
120 45
v t t t m s=+
, trong đó
t
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc
A
bắt đầu chuyển động. Từ
trạng thái nghỉ, một chất điểm
B
cũng xuất phát từ
O
, chuyển động thẳng cùng hướng với
A
nhưng chậm
hơn
3
giây so với
A
và có gia tốc bằng
( )
2
/a m s
(
a
là hằng số). Sau khi
B
xuất phát được
15
giây thì
đuổi kịp
A
. Tính vận tốc của
B
tại thời điểm đuổi kịp
.A
NG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
PHẦN I. Trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn
Câu 1. Cho hàm số
( )
y f x=
thoả mãn hàm
( )
y f x
=
liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Giá trị
của biểu thức
( ) ( )
44ff−−
bằng
( )
3
2
d.
−
f x x
( )
1
2
0
d
ln 2 ln3
2
= + +
+
xx
a b c
x
, , .abc
3.++abc
3
( )
km/hv
( )
ht
( )
2;9I
s
3
A.
12
. B.
3
. C.
24
. D.
6
.
Câu 2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
yx=
và đường thẳng
23yx=+
có diện tích là
A.
49
3
. B.
29
3
. C.
22
3
. D.
32
3
.
Câu 3. Hình vẽ bên biểu diễn trục hoành cắt đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại ba điểm có hoành độ
1 2 3
,,x x x
( )
1 2 3
x x x
. Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
y f x=
và trục hoành là
A.
( ) ( )
21
12
dd
xx
xx
f x x f x x+

. B.
( ) ( )
22
12
dd
xx
xx
f x x f x x−

.
C.
( ) ( )
22
12
dd
xx
xx
f x x f x x+

. D.
( )
2
1
d
x
x
f x x
.
Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
,2y x y x= = −
và trục
Ox
được tính bởi công thức
A.
( )
2
0
2dx x x−+
. B.
( )
2
0
2dx x x−−
.
C.
( )
12
01
d 2 dx x x x+−

. D.
( )
00
2 2
d 2 dx x x x+−

.
Câu 5. Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên có đồ thị cắt trục
Ox
tại đúng 4 điểm phân biệt (hình bên).
Biết rằng
( )
1
1
d 21f x x
−
=
,
( ) ( )
23
12
d 2, d 3f x x f x x= − =

. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của hàm số
( )
y f x=
và trục
Ox
bằng
A.
22
. B.
20
. C.
16
. D.
26
.
Câu 6. Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
( )
; , , ,a b a b a b
. Gọi
D
là hình phẳng giới hạn bởi các
đường
( )
,,y f x x a x b= = =
và trục hoành. Quay hình phẳng
D
quanh trục
Ox
ta được một khối tròn
xoay có thể tích được tính bởi công thức
A.
( )
( )
2
Vd
b
a
f x x=
. B.
( )
( )
2
d
a
b
V f x x
=
.
C.
( )
( )
2
1
d
3
b
a
V f x x
=
. D.
( )
( )
2
d
b
a
V f x x
=
.
Câu 7. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bời các đường
,2y x y x= = −
và
trục hoành quay xung quanh
Ox
được tính bời công thức
A.
( )
2
2
0
2dx x x
−+
. B.
( )
12
2
01
d 2 dx x x x+−

.
C.
( )
12
2
01
d 2 dx x x x

+−

. D.
( )
12
2
00
d 2 dx x x x

+−

Câu 8. Một vật chuyĉ
n động với vận tốc thay đổi theo thời gian
( )
v f t=
(với
( )
0f t t
) Quãng đường
vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm
a
đến thời điếm
b
là:
A.
( ) ( )
f b f a

−
. B.
( )
d
b
a
f t t
. C.
( )
d
a
b
f t t
. D.
( ) ( )
f a f b

−
.
Câu 9. Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc
0
15 /v m s=
thì tăng vận tốc với gia tốc
( )
( )
22
4/a t t t m s=+
. Quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu
tăng vận tốc là
A.
67,25 m
. B.
68,25 m
. C.
69,75 m
. D.
70,25 m
.
Câu 10. Cho phần vật thể
()T
giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình
0x =
và
2x =
. Cắt phần vật
thể
()T
bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
(0 2)xx
, ta được thiết diện là một
tam giác đều có độ dài cạnh bằng
2xx−
. Tính thể tích
V
của phần vật thể
()T
.
A.
4
3
V =
. B.
3
3
V =
. C.
43V =
. D.
3V =
.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ
,Oxy
xét parabol
2
( ) : 4P y x=−
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hoành độ giao điểm của
()P
và
Ox
là
2−
và 2
b)
( )
3
2
44
3
x
x dx x C− = + +
c)
22
4 4, [ 2;2]x x x− = − −
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
()P
và
Ox
bằng
32
3
Câu 2. Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị hàm số
( )
y f x
=
cắt trục
Ox
tại ba điểm có hoành độ
abc
như hình vẽ:
a)
( ) ( ) ( )
f c f a f b
b)
( ) ( ) ( )
f c f b f a
c)
( ) ( ) ( )
f a f b f c
d)
( ) ( )
f a f b
Câu 3. Cho các hàm số
( ), ( )y f x y g x==
liên tục trên đoạn
[0;1]
và có đồ thị như hình bên. Hình
phẳng
()H
giới hạn bởi đồ thị các hàm số
( ), ( )y f x y g x==
và hai đường thẳng
0, 1xx==
.
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
()y f x=
, trục hoành và hai đường thẳng
0, 1xx==
là
1
0
()S f x dx=
b) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
()y f x=
, trục hoành và hai đường thẳng
0, 1xx==
quanh trục hoành là
1
2
0
()V f x dx=
c) Diện tích hình phẳng
()H
là
( ) ( )
1
0
S f x g x dx

=−

d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay
()H
quanh trục
Ox
là
1
22
0
( ) ( ) .V f x g x dx

=−

Câu 4. Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
, , 0, 4
8
x
y x y x x= = = =
.
a) Diện tích hình phẳng là
8
3
b) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, 0, 0, 4y x y x x= = = =
quanh trục
Ox
là
1
8V
=
c) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
, 0, 0, 2
8
x
y y x x= = = =
quanh trục
Ox
là
2
16
5
V
=
d) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục
Ox
là
24
5
V
=
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1. Mặt cắt ngang của lòng máng dẫn nước là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng
nằm ngang như Hình (phần được tô màu xám). Tính diện tích của mặt cắt ngang đó.
Câu 2. Cho
D
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
yx=
, trục hoành và đường thẳng
4x =
.
Đường thẳng
(0 4)x a a=
chia
D
thành hai phần có diện tích bằng nhau (hình)
Tính giá trị của
a
.
Câu 3. Một khối bê tông cao 2 m được đặt trên mặt đất phẳng. Nếu cắt khối bê tông này bằng mặt phẳng
nằm ngang, cách mặt đất
( )(0 2)x m x
thì được mặt cắt là hình chữ nhật có chiều dài 5 m,
chiều rộng
(0,5) ( )
x
m
(Hình).
Tính thể tích của khối bê tông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối).
Câu 4. Khi sử dụng phần mềm mô phỏng để thiết kế một chậu cây, người ta quay hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số
2yx=+
, trục hoành và hai đường thẳng
0, 4xx==
quanh trục hoành. Biết
đơn vị trên các trục toạ độ là
dm
. Thể tích của chậu cây (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
bằng bao nhiêu
3
dm
?
Câu 5. Cho hàm số
()fx
có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn các điều kiện
(0) 2f =−
,
( )
2
1 ) ( ) ,x f x xf x x x+ + = − ΄
. Gọi
()H
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
()
1 ( )
gx
fx
=
+
, hai trục toạ độ và đường thẳng
3=x
. Quay
()H
quanh trục
Ox
ta được khối
tròn xoay có thể tích bằng
V
(đơn vị thể tích). Tính
V
. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHẦN I. Trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn
Câu 1: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng nào dưới đây nhận
( )
3;1; 7n =−
là một vectơ pháp tuyến?
A.
3 7 0xz+ + =
. B.
3 7 1 0x y z− − + =
.
C.
3 7 0xy+ − =
. D.
3 7 3 0x y z+ − − =
.
Câu 2: Trong không gian
Oxyz
, khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )
: 2 3 1 0P x y z+ + − =
và
( )
: 2 3 6 0Q x y z+ + + =
là
A.
7
14
. B.
8
14
. C.
14
. D.
5
14
.
Câu 3: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:3 2 2 0P x z− + =
đi qua điểm nào sau đây?
A.
( )
4;2;1B
. B.
( )
1;2;4A
. C.
( )
2;1;4D
. D.
( )
2;4; 1C −
.
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2;3A
. Mặt phẳng chứa điểm
A
và trục
Oz
có phương
trình là
A.
20xy−=
. B.
0x y z+ − =
. C.
3 2 0yz−=
. D.
30xz−=
Câu 5: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
2; 1; 3A −−
và mặt phẳng
( )
:3 2 4 5 0P x y z− + − =
. Gọi
( )
Q
là mặt phẳng đi qua
A
và song song với mặt phẳng
( )
P
. Mặt phẳng
( )
Q
có phương trình là:
A.
3 2 4 4 0x y z− + − =
B.
3 2 4 4 0x y z− + + =
.
C.
3 2 4 5 0x y z− + + =
. D.
3 2 4 8 0x y z+ + + =
.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
4;0;1A
và
( )
2;2;3B −
. Phương trình nào
dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
?
A.
3 6 0x y z+ + − =
. B.
6 2 2 1 0x y z− − − =
.C.
3 1 0x y z− − + =
. D.
30x y z− − =
.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;1;1A
và hai mặt phẳng
( )
: 2 3 1 0P x y z− + − =
,
( )
:0Qy=
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
R
chứa
A
, vuông góc với
cả hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
.
A.
3 2 4 0x y z− + − =
. B.
3 2 2 0x y z+ − − =
. C.
3 2 0xz−=
. D.
3 2 1 0xz− − =
.
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, mặt phẳng đi qua ba điểm
( )
2;3;5A
,
( )
3;2;4B
và
( )
4;1;2C
có phương trình là
A.
3 2 4 0x y z− + − =
. B.
50xy+ − =
. C.
20yz− + =
. D.
2 7 0xy+ − =
.
Câu 9: Trong không gian
Oxyz
mặt phẳng
( ) : 2 2 0P x y z+ + − =
song song với mặt phẳng nào dưới
đây?
A.
11
10
22
x y z+ − − =
. B.
20x y z− − − =
.C.
4 2 2 4 0x y z+ + + =
. D.
2 2 0x y z+ + − =
.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình:
( 1) 10 0mx m y z+ − + − =
và mặt phẳng
( ): 2 2 3 0Q x y z+ − + =
. Với giá trị nào của dưới đây của
m
thì
( )
P
và
( )
Q
vuông góc với nhau
A.
2m =−
. B.
2m =
. C.
1m =
. D.
1m =−
.
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình:
3 4 2 4 0x y z+ + + =
và điểm
( )
1; 2;3A −
. Tính khoảng cách
d
từ
A
đến
( )
P
.
A.
5
9
d =
. B.
5
29
d =
. C.
5
29
d =
. D.
5
3
d =
.
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2;3M
. Gọi
,,A B C
lần lượt là hình
chiếu vuông góc của
M
trên các trục
,,Ox Oy Oz
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
ABC
.
A.
1
1 2 3
+ + =
x y z
. B.
1
1 2 3
− + =
x y z
. C.
0
1 2 3
+ + =
x y z
. D.
1
1 2 3
− + + =
x y z
.
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua
( )
1;1;1A
và
( )
0;2;2B
đồng thời cắt các tia
Ox
,
Oy
lần lượt tại hai điểm
,MN
( không trùng với gốc tọa độ
O
) sao
cho
2OM ON=
A.
( )
:3 2 6 0P x y z+ + − =
B.
( )
: 2 3 4 0P x y z+ − − =
C.
( )
: 2 4 0P x y z+ + − =
D.
( )
: 2 2 0P x y z+ − − =
Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho bốn điểm
( )
1;6;2S −
,
( )
0;0;6A
,
( )
0;3;0B
,
( )
2;0;0C −
. Gọi
H
là chân đường cao vẽ từ
S
của tứ diện
.S ABC
. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
S
,
B
,
H
là
A.
30x y z+ − − =
. B.
30x y z+ − − =
.
C.
5 7 15 0xyz+ − − =
. D.
7 5 4 15 0xyz+ − − =
.
Câu 15. Trong không gian
Oxyz
, cho
( )
2;0;0A
,
( )
0;4;0B
,
( )
0;0;6C
,
( )
2;4;6D
. Gọi
( )
P
là mặt phẳng
song song với
( )
mp ABC
,
( )
P
cách đều
D
và mặt phẳng
( )
ABC
. Phương trình của
( )
P
là
A.
6 3 2 24 0x y z+ + − =
. B.
6 3 2 12 0x y z+ + − =
.
C.
6 3 2 0x y z+ + =
. D.
6 3 2 36 0x y z+ + − =
.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Trong không gian
Oxyz
, gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm
(1;3;4), (2; 1;5)AB−
và vuông góc với
mặt phẳng
( ): 2 3 1 0Q x y z− + + =
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
()Q
là
( 4;6; 2)n = − −
b) Trung điểm của đoạn thẳng
AB
là
39
;1;
22
I



c) Mặt phẳng qua
A
và song song với
()Q
có phương trình là
2 3 3 0x y z− + − + =
d) Phương trình mặt phẳng
()P
là
5 22 0x y z− + + − =
Câu 2. Trong không gian tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( 1;2;3)A −
và hai mặt phẳng
( ) : 2 0Px−=
và
( ): 1 0Q y z− − =
.
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
()P
là
(1; 2;0)n =−
b) Hai mặt phẳng
()P
và
()Q
vuông góc với nhau
c) Phương trình mặt phẳng qua
A
và song song với
()Q
là:
10yz− + =
d) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
A
và vuông góc với cả hai mặt phẳng
()P
và
()Q
là:
50yz+ − =
Câu 3. Hình vẽ minh hoạ hình ảnh một toà nhà trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
(đơn vị trên mỗi trục
toạ độ là mét).
Biết
(50;0;0), (0;20;0), (4 ;3 ;2 )A D B k k k
với
0k
và mặt phẳng
()CBEF
có phương trình là
30z −=
.
a) Toạ độ của điểm
B
là
9
(6; ;3)
2
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
()CBEF
là
(0;1; 3)n =−
c) Phương trình mặt phẳng
()AOBC
là
2 3 0yz−=
d) Mặt phẳng
()DOBE
có một vectơ pháp tuyến là:
(2;0; 1)p =−
Câu 4. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(1;3; 2)M −
và hai mặt phẳng
( ) : 2 3 4 0P x y z− + + =
,
( )
: 4 2 6 1 0Q x y z− + − =
.
a) Khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng
()P
bằng
15
56
b) Mặt phẳng
( )
P
vuông góc với mặt phẳng
()Q
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
()Q
bằng
9 56
56
d) Mặt phẳng qua điểm
M
và song song với mặt phẳng
()P
có phương trình tổng quát là
2 3 10 0x y z− + − =
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1. Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch
sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam
3 m
, cách bạn nữ
5 m
(Hình). Cho biết quỹ đạo của quả bóng
nằm trong mặt phẳng
()P
vuông góc với mặt đất. Phương trình của
()P
trong không gian
()P
được mô tả
như trong hình vẽ có dạng
30ax y+=
. Tìm
a
Câu 2. Trong không gian
Oxyz
, tính hoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )
: 2 2 10 0P x y z+ + − =
và
( )
: 2 2 3 0Q x y z+ + − =
(làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Câu 3. Một vật trang trí có đế dạng khối chóp cụt đều
.ABCD A B C D
có chiều cao 3 cm ,
8 2 , 6 2 AB cm A B cm

==
Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
,BD O
là giao điểm của
AC

và
BD

.Với hệ trục toạ độ như hình vẽ,
mặt phẳng
( )
CDD C

cắt tia
Oz
tại điểm
(0;0; )Mm
. Tìm giá trị của
m
.
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;2;3A
,
( )
5; 4; 1B −−
và mặt phẳng
( )
P
qua
Ox
sao cho
( )
( )
( )
( )
; 2 ;d B P d A P=
,
( )
P
cắt
AB
tại
( )
;;I a b c
nằm giữa
AB
. Tính
a b c++
.
Câu 5. Trong không gian
Oxyz
, cho hình chóp
.S OBCD
có đáy là hình chữ nhật và các điểm
( )
0;0;0O
,
( )
2;0;0B
,
( )
0;3;0D
,
( )
0;0;4 .S
Tính gần đúng đến hàng phần trăm khoảng cách từ điểm
C
đến mặt phẳng
( )
SBD
.
2.3.ĐỀ MINH HỌA
PHẦN I. (3 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
()f x x=
, trục
hoành và hai đường thẳng
0, 9xx==
quay quanh trục
Ox
là:
A.
81
2
V
=
(đvtt) B.
81
2
V =
(đvtt) C.
18V
=
(đvtt) D.
9
2
V
=
(đvtt)
Câu 2. Cho hàm số
( )
2 1 khi 0
khi 0
x
xx
fx
ex
+
=
. Tích phân có giá trị bằng bao nhiêu?
A.
2
1Ie=−
. B.
2Ie=+
. C.
Ie=−
. D.
2
3Ie=−
.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình
2 5 0xy− + =
. Mặt phẳng
( )
P
có một véctơ pháp tuyến là:
A.
( )
0;2; 1n =−
B.
( )
2; 1;5n =−
C.
( )
2;0; 1n =−
D.
( )
2; 1;0n =−
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các điểm
( ) ( ) ( )
2;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;3A B C−
. Phương trình
mặt phẳng
( )
ABC
là:
A.
1
2 1 3
x y z
+ + =
B.
3 6 2 12 0xyz− + − =
C.
1
2 1 3
x y z
− + =
D.
0
2 1 3
x y z
− + =
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( ) ( )
3; 1;5 , 1;1;3AB−
. Phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng
AB
là:
A.
60x y z− + − =
B.
90x y z− + − =
C.
2 6 0x y z− + − =
D.
2 2 2 5 0x y z− + − =
Câu 6. Biết
5
1
( )d 4f x x =−
, tính
5
1
(3 )df x x
.
A.
3−
. B.
6−
. C.
4−
. D.
12−
.
Câu 7. Chohàm số
()fx
thỏa mãn
'( ) 3 osf x c x=+
và
(0) 1f =
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( ) sin 1f x x= − +
B.
( ) 3 sin 1f x x x= + +
C.
( ) 3 sin +2f x x x=+
D.
( ) 3 sinf x x x=+
Câu 8. Hàm số
2
( ) 3F x x x=+
là một nguyên hàm của hàm số:
A.
2
3
()
2
x
f x x=+
B.
2
3
( ) 2025
2
x
f x x= + +
C.
2
3
()
2
x
f x x C= + +
D.
( ) 6 1f x x=+
( )
2
1
dI f x x
−
=
Câu 9. Cho hàm số liên tục trên đoạn
2;1−
và
()Fx
là một nguyên hàm của
()fx
trên đoạn
2;1−
.
Tính , biết
( 2) 4F − = −
và
(1) 7F =
.
A.
12
. B.
10
. C.
11
. D.
4
.
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số
( ) 5
x
fx=
là:
A.
1
.5
x
xC
−
+
B.
5
ln5
x
C+
C.
5 ln 5
x
C+
D.
1
5
1
x
C
x
+
+
+
Câu 11. Cho hàm số
()y f x=
liên tục trên đoạn
;ab
. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
()y f x=
,
trục hoành và hai đường thẳng
,x a x b==
có diện tích
S
là:
A.
2
()
b
a
S f x dx=
B.
()
b
a
S f x dx=
C.
()
b
a
S f x dx=
D.
()
b
a
S f x dx=
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình
30x y z+ + − =
. Mặt
phẳng
( )
P
đi qua điểm nào trong các điểm sau đây:
A.
( )
3;5; 12N −
B.
( )
2; 1;2K −
C.
( )
3; 5;4H −
D.
( )
1; 2;2M −
PHẦN II. (4 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu, thí sinh chọn
đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số
( ) sinxfx=
.
a)
( ) osf x dx c x C= − +
. b)
( ) os os
b
a
f x dx c b c a=−
.
c) .
d) Phương trình:
( )
( )
3
2
4
3
2
3
dx
fx
fx
= − +
có ba nghiệm thuộc đoạn
0;
.
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các điểm
( ) ( ) ( )
2;3;1 , 1;2; 1 , 3; 2;6A B C−−
.
a)
( )
1; 1; 2 AB = − − −
và
( )
1; 5;5AC =−
.
b) Mặt phẳng
( )
ABC
có một véctơ pháp tuyến là:
( )
5; 1; 2n = − −
c) Phương trình mặt phẳng
( )
ABC
là:
5 2 6 0x y z− − − =
d) Gọi
M
là điểm di động trên mặt phẳng tọa độ
( )
Oxy
. Để
P MA MB MC= + +
đạt giá trị nhỏ nhất
thì
( )
;;M a b c
. Ta có
5abc+ + =
.
( )
fx
1
2
( )df x x
−
( )
( )
2
2
0
2 d 1
4
x f x x
− = +
Câu 3: Một vật chuyển động thẳng với vận tốc
( ) ( / )v t m s
theo thời gian
()ts
được cho bởi đồ thị như hình
vẽ bên dưới:
a)
( )
3 khi0 10
.
30khi10 30

=

tt
vt
t
b) Quãng đường mà vật di chuyển được trong
10
giây đầu tiên được tính bởi công thức
10
0
3 d . =
S t t
c) Quãng đường mà vật di chuyển được trong
20
giây đầu tiên được tính bởi công thức
20
0
3 d .=
S t t
d) Quãng đường mà vật di chuyển được trong
30
giây đầu tiên bằng
750 (m).
Câu 4: Cho hàm số
( )
3
x
fx=
.
a)
( )
d 3 ln 3
x
f x x C=+
b)
( )
d
3
ln 3
x
xx
f x e x e C

− = − +

c)
( )
.e d
3.
1 ln 3
xx
x
e
f x x C=+
+
d) Nếu
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
thì
( )
9
log 5 5F
=
.
PHẦN III. (3 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Biết
3
2
2
2 1 1
d ln3 ln 2,
xx
x b c
xa
−+
= + −
với
*
,,abc
tính
2S a b c= + +
.
Câu 2: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( )
P
đi qua
( )
1; 2; 3M
và cắt các tia
Ox
,
Oy
,
Oz
tại các điểm
,,A B C
sao cho
2 2 2
1 1 1
T
OA OB OC
= + +
đạt giá trị nhỏ nhất có dạng
0x ay bz c+ + + =
. Tính
.a b c++
Câu 3: Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm
500
vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi
()Pt
là số lượng
vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm
t
, trong đó t tính theo ngày
(0 10)t
. Tốc độ tăng trưởng của
quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số
'( )P t k t=
, trong đó
k
là hằng số. Sau một ngày, số lượng vi khuẩn
của quần thể đó đã tăng lên thành
600
vi khuẩn ( Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e,
Cengage 2014). Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 9 ngày?
Câu 4: Phần hình phẳng
( )
H
được gạch chéo trong hình vẽ bên được giới hạn
bởi đồ thị hàm số
( )
y f x=
,
2
4y x x=+
và hai đường thẳng
2; 0xx= − =
. Biết
( )
0
2
8
2d
3
f x x
−
=
, tính diện tích hình phẳng
( )
H
(kết quả làm tròn đến hàng
phần trăm)
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
(đơn vị trên các trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình
vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục cao tại điểm có cao độ bằng
1
4
. Hai mái
nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng
( ) ( )
: 2 5 0, : 2 3 20 0P x y Q x y z− + = − − + =
. Tính chiều cao của ngôi
nhà (tính từ sàn nhà đến điểm cao nhất của mái nhà).
Câu 6: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm là
( )
23
2
x
fx
x
−
=
−
,
\2x
thỏa mãn
( )
11f =
và
( )
32f =
. Biết
( ) ( ) ( )
0 2 4 ln 2, ; ,+ = + f f a b a b
tính
.ab+

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

TRƯỜNG THPT HOÀNG VĂN THỤ
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II TỔ TOÁN
MÔN TOÁN – KHỐI 12
NĂM HỌC 2025– 2026 1. MỤC TIÊU
1.1. Kiến thức: Học sinh ôn tập các kiến thức về:
- Nguyên hàm: khái niệm nguyên hàm của một hàm số, một số tính chất của nguyên hàm, nguyên
hàm của một số hàm số thường gặp.
- Tích phân: định nghĩa, tính chất của tích phân, tính tích phân trong những trường hợp đơn giản,
vận dụng tích phân giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn.
- Ứng dụng hình học của tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích của một số vật thể.
- Phương trình mặt phẳng: Véc tơ pháp tuyến, cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng, viết phương
trình mặt phẳng, điều kiện hai mặt phẳng vuông góc, hai mặt phẳng song song, tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng, vận dụng giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn.
1.2.Kĩ năng: Học sinh rèn được các kĩ năng
- Trình bày bài, kĩ năng tư duy, tính toán và lập luận toán học,
- Năng lực mô hình hoá toán học và năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua một số bài toán
liên quan đến thực tiễn. 2. NỘI DUNG
2.1.MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II
MÔN: TOÁN, LỚP 12 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 phút HÌNH THỨC STT NỘI DUNG TN TN TL ngắn Đúng – Sai 4 lựa chọn (mức độ (mức độ 1, (mức độ 1, 2) 2,3,4) 2, 3) 1 Nguyên hàm 3 1 1 2 Tích phân 3 1 2 3
Ứng dụng hình học của tích phân 2 1 1 4 Phương trình mặt phẳng 4 1 2 Tổng số câu 12 4 6 Tổng số điểm 3 4 3 Tỉ lệ % 30 40 30
2.2.Câu hỏi và bài tập minh họa NGUYÊN HÀM
PHẦN I. Trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn
Câu 1. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai? A. f
 (x)− g(x) dx = f
 (x) dx − g
 (x) dx . B. f
 (x)+ g(x) dx = f
 (x) dx + g  (x) dx . C. f
 (x) dx = f (x)+C . D. kf
 (x) dx = k f
 (x) dx, k   .
Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 1 A.
dx = ln x + C  . B. cos 2 d
x x = sin 2x + C  . x 2 x 1 e + e 1 x + C. x e dx = + C  . D. e x dx = + C  . x +1 e +1
Câu 3. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. sin x x = cosx +  d C.
B. cos x x = −sin x +  d C. C. 1 d 1
x = cot x + C.  D.
dx = tan x + C.  2 sin x 2 cos x
Câu 4. Khẳng định nào dưới đây sai? n+1 A. nd x x x = + C,n  1 − .  B. x = x e x e +  d C. n + 1 x+1 C. x d 7 7 x = + C. 
D. cos x x = sin x +  d C. x + 1
Câu 5. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) 2 = 3x ? A. 3 y = x . B. 3
y = x + 1. C. 3
y = x − 1. D. y = 6 . x
Câu 6. Hàm số y = sin 2x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? A. x x y = cos 2 . x B. cos 2 y = − . C. cos 2 y = . D. y = 2cos2 . x 2 2
Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2 = x + 2 là
A. F (x) = 2 . x B. F(x) 3
= x + 2x + C. C. ( ) 3 x x F x =
+ 2x + C. D. F(x) 3 = + 2 + C. 3 3
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x( 2 4x + 2) là   A. ( ) 2 3 x 4x F x = 
+ 2x + C. B. F(x) 4 2
= x + 2x + C. 2  3  C. F(x) 4 2
= 4x + x + C. D. F(x) 4 2
= x + x + C.
Câu 9. Cho hàm số ( ) 2 x
f x = e + sin 3x . Khẳng định nào dưới đây đúng? x 1 A. f  (x) 2
dx = e − cos3x + C . B.  ( ) 2 d x
f x x = e − cos3x + C . 3 2x e sin 3x 2x e cos3x C. f  (x)dx = + + C . D. f  (x)dx = − + C . 2 3 2 3
Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 5x f x = là x+1 A. f  (x)d 5 x = + C. B. ( ) = x f x x +  d 5 C. x + 1 x C. f  (x)d 5 x = + C. D. ( ) = x f x x +  d 5 ln 5 C. ln 5
Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) x = ( 2 2 x f x e e − 3) là 3x 3x A.  ( )d 2e 2e f x x = − 3 x e + C. B. f  (x)dx = + 3 x e + C. 3 3 3x C.  ( )d x = ( 2x e
f x x e e − 3) + C. D. f
 (x)dx = + 3 xe +C. 3
Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2 = 4sin x là 3
A.  ( )d 4sin x f x x = + C. B. f
 (x)dx = 2x−sin2x+C. 3
C.  ( )d cos2x f x x = + C. D. f
 (x)dx = 2x−2sin2x+C. 2
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 2 2
= cos x − sin x là
A.  ( )d sin2x x f x x = + C. B. f  (x)d sin 2 x = − + C. 2 2
C.  ( )d cos2x x f x x = + C. D. f  (x)d cos 2 x = − + C. 2 2
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4sinxcos3x là A.  ( )d cos 4x x f x x = −
+ cos2x + C. B. f  (x)d cos 4 x = −
− cos2x + C. 2 2
C.  ( )d cos4x x f x x =
− cos2x + C. D. f  (x)d cos4 x =
+ cos2x + C. 2 2
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số + + f (x) 3 2 3x 2x 5 = , x  0 là x A. F(x) 3 2
= x + 2x + 5ln x + C. B. F(x) 3 2
= x + x + 5ln x + C. C. F(x) 3 2
= x + x + 5ln x + C. D. 3 2
x + 2x + 5ln x + C. 1
Câu 16. Họ các nguyên hàm dx  là (2x − )2 1 1 − 1 1 − 1 A. + C . B. + C . C. + C . D. + C . 4x − 2 2x −1 2x −1 4x − 2 +1 Câu 17. Biết d  x x = . a ln x −1 + .
b ln x − 2 + C . Tính a + b . 2 −x + 3x − 2
A. a + b =1.
B. a + b = 5 .
C. a + b = 5 − .
D. a + b = 1 − .
Câu 18. Biết F(x) = 2
ax + bx + 1,(a;b ) là nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1. Tổng a + b bằng A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 19. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x
f x = e và F (0) = 0 . Giá trị của F (ln 3) bằng A. 2. B. 6 . C. 8 . D. 4 .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1: Cho hàm số f (x) 3
= 4x − 6x . Biết F (x) là một nguyên hàm của f (x) và F (0) = 2.
a) F(x) = f (x),x  . b) F ( x) 3 = 4x dx − 6 d x .   x c) F ( x) 4 2
= x − 3x + 2 . d) F ( ) 1 = 3.
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f (x) 3
= 8x + sin x,x .
a) Hàm số y = f (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) .
b) Biết f (0) = 3. Khi đó, f (x) 4
= 2x − cos x + 3. 2 c) f  (x) 5
dx = x − sin x + 3x + C , với C là hằng số. 5
d) Biết F (x) là nguyên hàm của f (x) thoả mãn F (0) = 2 . Khi đó, F (0) = 2 . Câu 3: Cho hàm số x
f (x) = 2cos x và g(x) 2 = 2sin . 2 a) f
 (x)dx = 2sinx +C. b) g
 (x)dx = −cosx +C. c)  f
 (x)+ g(x)dx = x + sinx +C..  f (x) d)
dx = 2x + C
(biết x thoả mãn g(x)  1) g(x) −1
Câu 4: Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu
diễn bằng hàm số Q(t) 3 2
= 4t − 72t + 288t , trong đó t tính bằng giờ ( 0  t  13 ) , Q(t) tính bằng khách/giờ (
Nguồn: R.Larson and B.Eawads, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.
a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số Q(t) 4 3 2
= t − 24t + 144t .
b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người.
c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1296 người.
d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm t = 6 .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. 2 +1 Câu 1: Cho
d = ax + bln x − 2 + C với a,b  . Tính giá trị a + . b x x x − 2   
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) có f
 (x)dx = xsinx +C . Tính f  .  2  3
Câu 3: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) x 1 − 2 = x f x e ( 4 2
x − 4x ) . Biết hàm số F (x) đồng biến trên khoảng ( ;
a +), giá trị nhỏ nhất của a bằng bao nhiêu?
2x + 5 khi x 1
Câu 4: Cho hàm số f ( x) = 
. Giả sử F là nguyên hàm của f trên thỏa mãn 2 3
x + 4 khi x 1
F (0) = 2 . Tính giá trị của F (− ) 1 + 2F (2).
Câu 5: Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc 15m / s thì nhìn thấy chướng ngại vật trên đường cách đó
50m, người lái xe hãm phanh khẩn cấp. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với
vận tốc v(t) = 3
− t +15(m / s) , trong đó t (giây). Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong
thời gian t (giây) kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét?
Câu 6: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h (t) là thể tích nước bơm được sau t phút. Biết  h (t) 2 = 3at + bt,( ;
a b  ) và ban đầu bể không có nước. Sau 5 phút thì thể tích nước trong bể là 3
150dm , sau 10 phút thì thể tích nước trong bể là 3
1100dm . Thể tích của nước trong bể sau
khi bơm được 15 phút là bao nhiêu 3 dm ? TÍCH PHÂN
PHẦN I. Trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn
Câu 1: Xét f (x) là một hàm số tùy ý, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn a;b. Mệnh  
đề nào dưới đây đúng? b b A. f
 (x)dx = F(b)−F(a). B. f
 (x)dx = F(a)− F(b). a a b b C. f
 (x)dx = F(a)+ F(b). D. f
 (x)dx = −F(a)− F(b). a a 2 2 2 Câu 1: Biết f
 (x)dx = 2 và g
 (x)dx = 6. Khi đó,  f
 (x)− g(x)dx bằng  1 1 1 A. 4. − B. 8. C. 4. D. 8. − 2
Câu 2: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn 1
 ;2 , f 1 = 1 và f
 (x)dx = 5. Giá trị f (2) bằng   ( ) 1 A. 6. B. 4. C. 3. D. 7.
Câu 3: Cho hàm số f ( x) liên tục trên . Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên thỏa 2
mãn F (2) − F (0) =10 . Khi đó 3 f
 (x) dx bằng 0 A. 6 . B.9 . C. 5 . D. 30 . 3 Câu 4: Biết 3
F(x) = x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên . Giá trị của (1+ f (x))dx bằng 1 A. 20. B. 22. C. 26. D. 28. 2 5 5
Câu 5: Cho f (x)d x = 5 và f (x)d x = 3
− , khi đó f (x)d x bằng    0 0 2 A. 8 . B.15 . C. 8 − . D. 15 − . 3 3
Câu 6: Cho hàm số f ( x) liên tục trên 0; 
3 . Nếu f (x)dx = 2 thì x − 3 f (x) dx bằng    0 0 3 3 A. 3. − B. 3. C. . D. − . 2 2
Câu 7: Cho hàm số f ( x) liên tục trên và có một nguyên hàm là F ( x) . Biết F ( )
1 = 8 , giá trị F (9)
được tính bằng công thức nào dưới đây?
A. F (9) = f (9) .
B. F (9) = 8 + f ( ) 1 . 9 9 C. F (9) = 8  + f 
(x)dx.
D. F (9) = 8 + f
 (x)dx .  1 1 3  2  Câu 8: Biết x +
dx = a + 2ln b  
, với a,b  . Tổng a + b bằng  x  1 A. 3 . B. 5 . C. 7 . D. 6 . b
Câu 9: Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng ( ;3 ) sao cho 4cos 2 d x x = 1 ?  A. 4 . B. 6 . C. 8 . D. 2 .  6 Câu 10: Biết 2
4sin xdx = a + b 3, (a;b  ). Tính . ab 0 A. 1 2 3 1 . B. . C. . D. − . 3 7 4 6 2
Câu 11: Gọi là các số nguyên sao cho x+2 2 e
dx = 2ae + be,(a;b  ). Giá trị của 2 2
a + b bằng 0 A. 3 . B. 8 . C. 4 . D. 5 . 3 d Câu 12: Biết = 3 +
2 + với a , b , c là các số hữu tỷ. Tính P = a + b + c .  x a b c x +1 − x 1 2
A. P = 5. B. P = 13 . C. P = 16 . D. P = . 3 2 3 1 +
Câu 13: Biết 6x 3 dx = a + bln 2 + cln 5, 
(a; ;bc ). Tính a+2b+3 .c 3x + 5 0 A. 3. B. 5. − C. 0. D. 1. 1 +
Câu 14: Biết 2x 1dx = aln 2 + bln 3, a;b .  . ab 2 ( ) Tính x − 4 0 A. 3 3 3 3 . B. . C. . D. − . 5 8 7 2 5 Câu 15: Cho x
dx = a + bln 2 + cln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của abc bằng  (x− )2 4 1 A. 1 − . B. 3. C. 2 . D. 2. 6 3
Câu 16: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên
là f (x) = sin c
x osx và f (0) =1. Tính tích phân  4
I =  f (x)dx . 0  − 4  −  +  − A. I = 3 4 . B. I = 3 2 . C. I = 5 2 . D. I = . 2 8 16 16  4
Câu 17: Cho hàm số f (x) . Biết f (0) = 4 và f (x) 2 = 2sin x + 1, x   . Khi đó, f
 (x)dx bằng 0 2  +  2  +  − 2  +  − 2  − A. 15 . B. 16 16 . C. 16 4 . D. 4 . 16 16 16 16 3
Câu 18: Cho hàm số f ( x) có f (0) = 2
− và đạo hàm f (x) 1 = , x   1 − . Tích phân f
 (x)dx bằng x +1 0 64 10 13 A. . B. . C. − 8 . D. − . 3 3 3 3
Câu 19: Cho hàm đa thức bậc ba y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (
x) được cho bởi hình vẽ sau:
Giá trị biểu thức f (3) − f (2) bằng A. 20 . B. 51. C. 64 . D. 45 .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai 9
Câu 1: Cho hàm số f ( x) liên tục trên R , F ( x) là nguyên hàm của f ( x) và f  (x)dx = 9 . 0 9 a) ( )d = (9)−  f x x F F (0). 0 9
b) Nếu F (0) = 3 và f
 (x)dx = 9 thì F(9) = 1 − 2 . 0 9 c) 3
f (u)du = 27 0 6 9 d) f
 (x)dx+ f  (x)dx =18 0 6
Câu 2: Cho hàm số f (x) 2
= 3x − 2x −1 có đạo hàm f (x) . 2 1 a) 
f (x)dx = 3.b)  f (x)dx = 7. 1 − 0 3 c) 3
f (x)dx = 42. 0 1 d)  xf (x) 31 dx = . 12 0 2
x − 2x khi x  2
Câu 3: Cho hàm số f (x) =  . x − 2 khi x  2 2 2
a) f (x)dx =  (x−2)d .x 1 1 3 3
b) f (x)dx = 
( 2x −2x)d .x 2 2 2 3 3 2 2  x   x
c)  f (x)dx =  − 2x + − 2x .  2   2 1  1 2 3 5
d)  f (x)dx = . 6 1
Câu 4: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t = 2t m / s t 1 ( ) ( ), trong đó thời gian
tính bằng giây. Sau khi chuyển động được 12 giây thì ô tô gặp chướng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô
tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t a = − ( 2 8 m / s ) 2 ( ) và gia tốc là cho đến khi dừng hẳn.
a) Quãng đường ô tô chuyển động nhanh dần đều là 144 m .
b) Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp
c) Thời gian từ lúc ô tô giảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn là 3 giây.
d) Tổng quãng đường ô tô chuyển động từ lúc xuất phát đến khi dừng hẳn là 168m .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. 1   Câu 1: Cho 1 1  −
dx = aln 2 + bln 3 + c,( ; a ;
b c  ). Tính a + b + . c
x +1 x + 2  0
Câu 2: Cho hàm số f ( x) . Biết f (0) = 4 và f ( x) 2 '
= 2sin x +1, x  . Biết  4 2 ( )  +  + d = ;( ;   a b f x x a b
), tính a+ .b 16 0
Câu 3: Đường gấp khúc ABC trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số y = f ( x) trên đoạn  2 − ;  3 . 3
Tính  f (x)d .x 2 − 1 d Câu 4: Biết
= + ln 2 + ln 3 với a, ,
b c  . Tính 3a + b + . c x x a b c (x + 2)2 0
Câu 5: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một
phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên dưới:
Tính gần đúng đến hàng phần chục quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
Câu 6: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy 1 58 luật v (t) 2 = t +
t (m / s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ 120 45
trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm
hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a ( 2
m / s ) ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì
đuổi kịp A . Tính vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp . A
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
PHẦN I. Trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) thoả mãn hàm y = f ( x) liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Giá trị
của biểu thức f (4) − f ( 4 − ) bằng A. 12. B. 3 . C. 24 . D. 6 .
Câu 2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x và đường thẳng y = 2x + 3 có diện tích là 49 29 22 32 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 3. Hình vẽ bên biểu diễn trục hoành cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại ba điểm có hoành độ x , x , x 1 2 3
(x x x . Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) và trục hoành là 1 2 3 ) x x x x A. 2 f  (x) 1 dx + f
 (x)dx. B. 2 f  (x) 2 dx − f
 (x)dx. 1 x 2 x 1 x 2 x x x x C. 2 f  (x) 2 dx + f
 (x)dx .
D. 2 f (x)dx  . 1 x 2 x 1 x
Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x, y = 2 − x và trục Ox được tính bởi công thức A. 2 2
x − 2 + x dx  . B.
2 − x − x dx  . 0 ( ) 0 ( ) C. 1 2 2 2 xdx + 
 (2− x)dx. D. xdx + 
 (2− x)dx. 0 1 0 0
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên có đồ thị cắt trục Ox tại đúng 4 điểm phân biệt (hình bên). Biết rằng 1 2 3 f
 (x)dx = 21, f  (x)dx = 2 − , f
 (x)dx = 3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 1 − 1 2
của hàm số y = f (x) và trục Ox bằng A. 22 . B. 20 . C. 16. D. 26 .
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ;
a b,(a,b ,a b) . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f (x), x = a, x = b và trục hoành. Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được một khối tròn
xoay có thể tích được tính bởi công thức b a A. =  ( f (x))2 V dx .
B.V =   ( f (x))2 dx . a b 1 b b
C.V =   ( f (x))2 dx. D.V =   ( f (x))2 dx . 3 a a
Câu 7. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bời các đường y = x, y = 2 − x và
trục hoành quay xung quanh Ox được tính bời công thức 2 1 2 A.
x − 2 + x dx  . B. d x x + 
 (2− x)2 dx . 0 ( )2 0 1 1 2 1 2 C. d x x +  
 (2− x)2 dx. D.  d x x +  
 (2− x)2 dx 0 1 0 0
Câu 8. Một vật chuyĉ̉n động với vận tốc thay đổi theo thời gian v = f (t) (với f (t)  0 t  ) Quãng đường
vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điếm b là: b a
A. f (b) − f (a) . B. f (t)dt  . C. f (t)dt  .
D. f (a) − f (b) . a b
Câu 9. Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v =15 m / s thì tăng vận tốc với gia tốc 0 a (t) 2 = t + t ( 2
4 m / s ) . Quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc là A. 67, 25 m . B. 68, 25 m . C. 69,75 m . D. 70, 25 m .
Câu 10. Cho phần vật thể (T ) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2 . Cắt phần vật
thể (T ) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0  x  2) , ta được thiết diện là một
tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2 − x . Tính thể tích V của phần vật thể (T ) . 4 3 A. V = . B. V = .
C. V = 4 3 . D. V = 3 . 3 3
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét parabol 2
(P) : y = x − 4 . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hoành độ giao điểm của (P) và Ox là 2 − và 2 x b) (x − ) 3 2 4 dx = + 4x + C 3 c) 2 2
x − 4 = x − 4, x  [ 2 − ;2] 32
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và Ox bằng 3
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a b c như hình vẽ:
a) f (c)  f (a)  f (b)
b) f (c)  f (b)  f (a)
c) f (a)  f (b)  f (c)
d) f (a)  f (b)
Câu 3. Cho các hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục trên đoạn [0;1] và có đồ thị như hình bên. Hình
phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f (x), y = g(x) và hai đường thẳng x = 0, x = 1.
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng 1
x = 0, x = 1 là S = f (x)dx  0
b) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1
y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 quanh trục hoành là 2
V = f (x)dx  0 1
c) Diện tích hình phẳng (H ) là S =  f
 (x)− g(x) dx  0
d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) quanh trục Ox là 1 2 2
V =   f (x) − g (x) d  . x   0 2 Câu 4.
Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường x
y = x, y =
, x = 0, x = 4 . 8 8
a) Diện tích hình phẳng là 3
b) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x, y = 0, x = 0, x = 4 quanh trục Ox là V = 8 1
c) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 x 16 y =
, y = 0, x = 0, x = 2 quanh trục Ox là V = 8 2 5 24
d) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox là V = 5
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1. Mặt cắt ngang của lòng máng dẫn nước là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng
nằm ngang như Hình (phần được tô màu xám). Tính diện tích của mặt cắt ngang đó.
Câu 2. Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x , trục hoành và đường thẳng x = 4 .
Đường thẳng x = a(0  a  4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau (hình)
Tính giá trị của a .
Câu 3. Một khối bê tông cao 2 m được đặt trên mặt đất phẳng. Nếu cắt khối bê tông này bằng mặt phẳng
nằm ngang, cách mặt đất x( m)(0  x  2) thì được mặt cắt là hình chữ nhật có chiều dài 5 m,
chiều rộng (0,5)x( ) m (Hình).
Tính thể tích của khối bê tông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối).
Câu 4. Khi sử dụng phần mềm mô phỏng để thiết kế một chậu cây, người ta quay hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = x + 2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4 quanh trục hoành. Biết
đơn vị trên các trục toạ độ là dm . Thể tích của chậu cây (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) bằng bao nhiêu 3 dm ?
Câu 5. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn các điều kiện f (0) = 2 − ,
( 2x + )1 f x΄)+ xf (x) = −x, x
  . Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 g(x) =
, hai trục toạ độ và đường thẳng x = 3 . Quay (H ) quanh trục Ox ta được khối 1+ f (x)
tròn xoay có thể tích bằng V (đơn vị thể tích). TínhV . (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHẦN I. Trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn
Câu 1: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào dưới đây nhận n = (3;1; 7
− ) là một vectơ pháp tuyến?
A. 3x + z + 7 = 0.
B. 3x − y − 7z +1 = 0 .
C. 3x + y − 7 = 0 .
D. 3x + y − 7z − 3 = 0 .
Câu 2: Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z −1 = 0 và
(Q): x + 2y +3z +6 = 0 là 7 8 5 A. . B. . C. 14. D. . 14 14 14
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) :3x − 2z + 2 = 0 đi qua điểm nào sau đây? A. B (4;2 ) ;1 .
B. A(1;2;4) .
C. D(2;1;4) . D. C (2;4;− ) 1 .
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;2;3) . Mặt phẳng chứa điểm A và trục Oz có phương trình là
A. 2x − y = 0 .
B. x + y − z = 0 .
C. 3y − 2z = 0.
D. 3x − z = 0
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2; 1 − ; 3
− ) và mặt phẳng (P) :3x − 2y + 4z − 5 = 0 . Gọi (Q)
là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng ( P) . Mặt phẳng (Q) có phương trình là:
A. 3x − 2y + 4z − 4 = 0
B. 3x − 2y + 4z + 4 = 0 .
C. 3x − 2y + 4z + 5 = 0 .
D. 3x + 2y + 4z + 8 = 0 .
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(4;0 ) ;1 và B( 2
− ;2;3) . Phương trình nào
dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ?
A. 3x + y + z − 6 = 0 . B. 6x − 2y − 2z −1 = 0 .C. 3x − y − z +1 = 0 .
D. 3x − y − z = 0 .
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;1 ) ;1 và hai mặt phẳng
(P): 2x − y +3z −1= 0 , (Q): y = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, vuông góc với
cả hai mặt phẳng ( P) và (Q) .
A. 3x − y + 2z − 4 = 0 . B. 3x + y − 2z − 2 = 0 . C. 3x − 2z = 0 .
D. 3x − 2z −1 = 0 .
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm A(2;3;5) , B(3;2;4) và
C (4;1;2) có phương trình là
A. 3x − y + 2z − 4 = 0 . B. x + y − 5 = 0 .
C. y − z + 2 = 0.
D. 2x + y − 7 = 0 .
Câu 9: Trong không gian Oxyz mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 2 = 0 song song với mặt phẳng nào dưới đây? 1 1
A. x + y − z −1 = 0 . B. x − y − z − 2 = 0 .C. 4x + 2y + 2z + 4 = 0 .
D. 2x + y + z − 2 = 0 . 2 2
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) có phương trình:
mx + (m −1) y + z −10 = 0 và mặt phẳng (Q) : 2x + y − 2z + 3 = 0 . Với giá trị nào của dưới đây của
m thì (P) và (Q) vuông góc với nhau A. m = 2 − . B. m = 2 . C. m =1. D. m = 1 − .
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) có phương trình: 3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm A(1; 2
− ;3) . Tính khoảng cách d từ A đến (P) . 5 5 5 5 A. d = . B. d = . C. d = . D. d = . 9 29 29 3
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3). Gọi ,
A B,C lần lượt là hình
chiếu vuông góc của M trên các trục Ox,Oy,Oz . Viết phương trình mặt phẳng ( ABC) . x y z x y z x y z x y z A. + + = 1. B. − + = 1. C. + + = 0. D. − + + = 1. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A(1;1 ) ;1 và
B (0;2;2) đồng thời cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại hai điểm M , N ( không trùng với gốc tọa độ O ) sao
cho OM = 2ON
A. (P) :3x + y + 2z − 6 = 0
B. (P) : 2x + 3y − z − 4 = 0
C. (P) : 2x + y + z − 4 = 0
D. (P) : x + 2y − z − 2 = 0
Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm S ( 1
− ;6;2) , A(0;0;6) , B(0;3;0) , C ( 2
− ;0;0) . Gọi H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện S.ABC . Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
S , B , H là
A. x + y − z − 3 = 0.
B. x + y − z − 3 = 0 .
C. x + 5y − 7z −15 = 0 .
D. 7x + 5y − 4z −15 = 0 .
Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho A(2;0;0) , B(0;4;0) , C (0;0;6) , D(2;4;6) . Gọi (P) là mặt phẳng
song song với mp ( ABC) , (P) cách đều D và mặt phẳng ( ABC) . Phương trình của (P) là
A. 6x + 3y + 2z − 24 = 0 .
B. 6x + 3y + 2z −12 = 0 .
C. 6x + 3y + 2z = 0 .
D. 6x + 3y + 2z − 36 = 0 .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Trong không gian Oxyz , gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm ( A 1;3;4), B(2; 1 − ;5) và vuông góc với
mặt phẳng (Q) : 2x − 3y + z +1 = 0
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n = ( 4 − ;6; 2 − )  3 9 
b) Trung điểm của đoạn thẳng AB là I ;1;    2 2 
c) Mặt phẳng qua A và song song với (Q) có phương trình là 2
− x + 3y − z + 3 = 0
d) Phương trình mặt phẳng (P) là −x + y + 5z − 22 = 0
Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm ( A 1
− ;2;3) và hai mặt phẳng (P) : x − 2 = 0 và
(Q) : y − z −1 = 0 .
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (1; 2 − ;0)
b) Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau
c) Phương trình mặt phẳng qua A và song song với (Q) là: y − z +1 = 0
d) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
y + z − 5 = 0
Câu 3. Hình vẽ minh hoạ hình ảnh một toà nhà trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Biết (
A 50;0;0), D(0;20;0), B(4k;3k;2k) với k  0 và mặt phẳng (CBEF) có phương trình là z − 3 = 0 . 9
a) Toạ độ của điểm B là (6; ;3) 2
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (CBEF) là n = (0;1; 3 − )
c) Phương trình mặt phẳng (AOBC) là 2y − 3z = 0
d) Mặt phẳng (DOBE) có một vectơ pháp tuyến là: p = (2;0; 1 − )
Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1;3; 2
− ) và hai mặt phẳng (P) : 2x − y + 3z + 4 = 0 ,
(Q): 4x − 2y + 6z −1= 0 . 15
a) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng 56
b) Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) 9 56
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 56
d) Mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là
2x − y + 3z −10 = 0
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1. Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch
sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m , cách bạn nữ 5 m (Hình). Cho biết quỹ đạo của quả bóng
nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với mặt đất. Phương trình của (P) trong không gian (P) được mô tả
như trong hình vẽ có dạng ax + 3y = 0 . Tìm a
Câu 2. Trong không gian Oxyz , tính hoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z −10 = 0 và
(Q): x + 2y + 2z −3 = 0 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Câu 3. Một vật trang trí có đế dạng khối chóp cụt đều ABC .
D ABCD có chiều cao 3 cm , AB 8 2 c , m AB = = 6 2 cm
Gọi O là giao điểm của AC và B ,
D O là giao điểm của AC và BD .Với hệ trục toạ độ như hình vẽ,
mặt phẳng (CDDC ) cắt tia Oz tại điểm M (0;0;m). Tìm giá trị của m .
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;2; ) 3 , B (5;− 4;− )
1 và mặt phẳng (P)
qua Ox sao cho d ( ;
B (P)) = 2d ( ;
A (P)) , (P) cắt AB tại I (a; ;
b c) nằm giữa AB . Tính a + b + c .
Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm O(0;0;0) ,
B (2;0;0), D(0;3;0) , S (0;0;4).
Tính gần đúng đến hàng phần trăm khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD). 2.3.ĐỀ MINH HỌA
PHẦN I. (3 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x) = x , trục
hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 9 quay quanh trục Ox là: 81 81 9 A. V = (đvtt) B. V = (đvtt)
C. V =18 (đvtt) D. V = (đvtt) 2 2 2  x + x  2
Câu 2. Cho hàm số f (x) 2 1 khi 0 = 
. Tích phân I = f
 (x)dx có giá trị bằng bao nhiêu? xe khi x  0 1 − A. 2
I = e −1.
B. I = e + 2. C. I = e − . D. 2
I = e − 3 .
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) có phương trình 2x − y + 5 = 0. Mặt phẳng
(P) có một véctơ pháp tuyến là:
A. n = (0;2;− ) 1 B. n = (2; 1 − ;5)
C. n = (2;0;− ) 1 D. n = (2; 1 − ;0)
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(2;0;0), B(0; 1
− ;0), C (0;0;3) . Phương trình
mặt phẳng ( ABC) là: x y z A. + + = 1
B. 3x − 6y + 2z −12 = 0 2 1 3 x y z x y z C. − + = 1 D. − + = 0 2 1 3 2 1 3
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3; 1
− ;5), B(1;1;3). Phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB là:
A. x − y + z − 6 = 0
B. x − y + z − 9 = 0
C. 2x − y + z − 6 = 0
D. 2x − 2y + 2z − 5 = 0 5 5
Câu 6. Biết f (x)dx = 4 − 
, tính 3f (x)dx  . 1 1 A. 3 − . B. 6 − . C. 4 − . D. 12 − .
Câu 7. Chohàm số f (x) thỏa mãn f '(x) = 3 + o
c sx và f (0) = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. f (x) = −sin x +1
B. f (x) = 3x + sin x +1
C. f (x) = 3x + sin x+2
D. f (x) = 3x + sin x Câu 8. Hàm số 2
F(x) = 3x + x là một nguyên hàm của hàm số: 2 x 2 x 2 x A. 3
f (x) = x + B. 3
f (x) = x + + 2025 C. 3
f (x) = x +
+ C D. f (x) = 6x +1 2 2 2
Câu 9. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  2 − 
;1 và F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn 2 −  ;1 . 1
Tính f (x)dx , biết F( 2 − ) = 4
− và F(1) = 7 . 2− A. 12. B. 10 . C. 11. D. 4 .
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số ( ) 5x f x = là: 5x x 1 5 + A. 1 .5x
x − + C B.
+ C C. 5x ln 5 + C D. + C ln 5 x +1
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn  ;
a b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) ,
trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b có diện tích S là: b b b b
A. S =  f x 2 ( ) dx B. S = f (x)dx C. S = f (x)dx
D. S = f (x)dx a a a a
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình x + y + z − 3 = 0 . Mặt
phẳng (P) đi qua điểm nào trong các điểm sau đây: A. N (3;5; 1 − 2) B. K (2; 1 − ;2) C. H (3; 5 − ;4) D. M (1; 2 − ;2)
PHẦN II. (4 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số f (x) = sinx . b
a) f (x)dx = − os c x + C
. b) f (x)dx = os c b − os c a. a  2 
c) (2x − f (x)) 2 dx = +1. 4 0  3 dx 3 d) Phương trình: = − + f 2x
có ba nghiệm thuộc đoạn 0;  . 2  f ( x) ( ) 3 4
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(2;3; ) 1 , B(1;2;− ) 1 , C (3; 2 − ;6). a) AB = ( 1 − ; 1 − ; 2 − ) và AC = (1; 5 − ;5) .
b) Mặt phẳng ( ABC) có một véctơ pháp tuyến là: n = (5; 1 − ; 2 − )
c) Phương trình mặt phẳng ( ABC) là: 5x − y − 2z − 6 = 0
d) Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) . Để P = MA+ MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất thì M ( ; a ;
b c) . Ta có a + b + c = 5.
Câu 3: Một vật chuyển động thẳng với vận tốc v(t) (m / s) theo thời gian t(s) được cho bởi đồ thị như hình vẽ bên dưới:  tt a) v (t) 3 khi 0 10 =  . 30  khi10  t  30 10
b) Quãng đường mà vật di chuyển được trong 10 giây đầu tiên được tính bởi công thức S = 3 d t t.  0 20
c) Quãng đường mà vật di chuyển được trong 20 giây đầu tiên được tính bởi công thức S = 3 d t t.  0
d) Quãng đường mà vật di chuyển được trong 30 giây đầu tiên bằng 750 (m).
Câu 4: Cho hàm số ( ) 3x f x = . a)  ( )d = 3x f x x ln 3 + C x b)   ( ) x −  d 3 x f x e x = − e + C  ln 3 x x c)  ( ).exd 3 .e f x x = + C 1 + ln 3
d) Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì F(log 5 = 5 . 9 )
PHẦN III. (3 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. 3 2 x − 2x +1 1 Câu 1: Biết
dx = + b ln 3 − c ln 2,  với * , a , b c
tính S = 2a + b + c . x a 2
Câu 2: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;3) và cắt các tia Ox , Oy , Oz tại các điểm 1 1 1
A, B,C sao cho T = + +
đạt giá trị nhỏ nhất có dạng x + ay + bz + c = 0 . Tính a + b + . c 2 2 2 OA OB OC
Câu 3: Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi P(t) là số lượng
vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t , trong đó t tính theo ngày (0  t  10) . Tốc độ tăng trưởng của
quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số P '(t) = k t , trong đó k là hằng số. Sau một ngày, số lượng vi khuẩn
của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn ( Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e,
Cengage 2014). Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 9 ngày?
Câu 4: Phần hình phẳng (H ) được gạch chéo trong hình vẽ bên được giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , 2
y = x + 4x và hai đường thẳng x = 2 − ; x = 0 . Biết 0 f ( x) 8 2 dx = 
, tính diện tích hình phẳng (H ) (kết quả làm tròn đến hàng 3 2 − phần trăm)
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình 1
vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục cao tại điểm có cao độ bằng . Hai mái 4
nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng (P) : x − 2y + 5 = 0, (Q) : x − 2y −3z + 20 = 0 . Tính chiều cao của ngôi
nhà (tính từ sàn nhà đến điểm cao nhất của mái nhà). x −
Câu 6: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm là f ( x) 2 3 = , x   \  2 thỏa mãn f ( )
1 = 1 và f (3) = 2 . Biết x − 2
f (0) + 2 f (4) = a + bln 2,( ;
a b  ), tính a + . b

Tài liệu liên quan: