Đề cương môn Toán cao cấp - Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

lOMoARcPSD|61022953
Bai Tap Chuong 3-Khong gian Vecto
Toán Cao Cấp (Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Đà Nẵng) Scan to open on Studocu
Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Downloaded by giang le (legiangnamban@gmail.com) lOMoARcPSD|61022953 CHƯƠNG 3 BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉCTƠ
Bài 1. Với các phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử với một số trong n R a) E = {x = (x n 1, ..., xn) ∈ R : x1 = x2 = · · · = xn} b) E = {x = (x n 1, ..., xn) ∈ R : x1 + x2 + · · · + xn = 0} c) E = {x = (x n 1, ..., xn) ∈ R : x1 = x2 = 0} d) E = {x = (x n 1, ..., xn) ∈ R : x1 + x20}
Bài 2. Các tập nào sau đây là không gian tuyến tính trong n R a) E = {x = (x n 1, ..., xn) ∈ R : x1 = x2 = · · · = xn = 1} b) E = {x = (x n 1, ..., xn) ∈ R : x1 + x2 = 1} c) E = {x = (x n 1, ..., xn) ∈ R : x1 > 0} d) E = {x = (x n 1, ..., xn) ∈ R
: x1 > 0, x2 > 0, ..., xn > 0} Bài 3. Chứng tỏ rằng 3
R với phép toán sau không là không gian tuyến tính
a) (x, y, z) + (x0, y0, z0) = (x + x0 + 1, y + y0, z + z0), t(x, y, z) = (tx, ty, tz).
b) (x, y, z) + (x0, y0, z0) = (x + y0, y + z0, z + x0), t(x, y, z) = (tx, ty, tz).
c) (x, y, z) + (x0, y0, z0) = (x + x0 + 1, y + y0, z + z0), t(x, y, z) = (tx + 1, ty, tz).
Bài 4. Trong không gian tuyến tính V trên trường K cho hệ {a1, a2, ..., an}. Hệ độc
lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính nếu.
a) Véctơ không θ ∈ {a1, a2, ..., an}
b) Trong hệ có hai véctơ bằng nhau.
c) a1 = b1, a2 = b1 + b2, ..., an = b1 + b2 + · · · + bn, và hệ {b1, b2, ..., bn} độc lập tuyến tính. 1
Downloaded by giang le (legiangnamban@gmail.com) lOMoARcPSD|61022953
d) a1 = b1, ..., an−1 = bn−1, an = bn−1 + tbn, t ∈ K và hệ {b1, b2, ..., bn} độc lập tuyến tính. Bài 5. Trong 3 R
chứng tỏ rằng (6, 2, 7) là tổ hợp tuyến tính của hệ các véctơ
a1 = (2, 1, −3), a2 = (3, 2, −5), a3 = (1, −1, 1).
Bài 6. Chứng tỏ rằng x = (7, 14, −1, 2) là một tổ hợp tuyến tính của các véctơ sau:
a1 = (1, 2, −1, −2), a2 = (2, 3, 0, −1), a3 = (1, 2, 1, 3), a4 = (1, 3, −1, 1).
Bài 7. Với bộ ba các véctơ sau, xác định xem trong những trường hợp nào chúng
phụ thuộc tuyến tính, trường hợp nào chúng độc lập tuyến tính. a) a 3
1 = (1, 2, 1), a2 = (2, 0, −3), a3 = (1, −1, 0) trên R .
b) a = 4 − 3i, b = −1 − i, c = 2 + i.
c) a = ex, b = cos x, c = sin x.
d) a = x − 1, b = x2 + 1, c = x2 − 2x + 1 trên không gian các đa thức. 1 2 −1 0 0 1 e) a = , b = , c =
trên không gian các ma trận vuông 0 −1 1 1 1 2 cấp 2. Bài 8. Trong không gian 3
R cho hệ {x, y, z} độc lập tuyến tính. Tìm a để các véctơ
sau phụ thuộc tuyến tính
a) u = ax + 4y + 2z; v = x + ay − z.
b) u = ax + y + 3z; v = ax − 2y + z; w = x − y + z
Bài 9. Các hệ véctơ sau đây của n
R độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
a) u1 = (3, 2, 1), u2 = (2, 1, 6), u3 = (1, 1, 0).
b) u1 = (1, 0, 2, 1), u2 = (1, 3, 1, 2), u3 = (1, 6, 0, 3).
c) u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3, 4), u3 = (1, 0, 0, −1), u4 = (2, 1, 1, 0).
d) u1 = (1, 2, 1, 2), u2 = (0, 1, 0, 1), u3 = (1, 0, 1, 0), u4 = (0, 0, 1, 1). 2
Downloaded by giang le (legiangnamban@gmail.com) lOMoARcPSD|61022953 Bài 10. Trong 3
R-không gian véctơ R , tìm a để x là tổ hợp tuyến tính của các véctơ
x1, x2, x3 trong các trường hợp sau:
a) x = (7, −2, a), x1 = (2, 3, 5), x2 = (3, 7, 8), x3 = (1, −6, 1).
b) x = (9, 1, 2, a), x1 = (3, 4, 2), x2 = (6, 8, 7), x3 = (3, 4, 5).
c) x = (1, 3, 5), x1 = (2, 4, 7), x2 = (3, 2, 5), x3 = (5, 6, a).
d) x = (2, 5, a), x1 = (1, 3, 5), x2 = (2, 6, 3), x3 = (3, 9, 7).
Bài 11. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian sau a) E = {x = (x n 1, x2, ..., xn) ∈ R : x1 = x2 = · · · = xn} b) E = {x = (x n 1, x2, ..., xn) ∈ R : x1 = x2 = 0} c) E = {x = (0, x n 2, ..., xn) ∈ R : x2 + · · · + xn = 0}
Bài 12. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian sau: a) E = {x = (x 3 1, x2, x3) ∈ R : x1 + x2 + x3 = 0} (x1 + x2 + x3 = 0 b) E = {x = (x 3 1, x2, x3) ∈ R : } 2x1 − x2 + 3x3 = 0 a b c) E = { |a, b, c ∈ c a R}. a b d) E = { |a, b, c ∈ c c R} a b e) E = {
|a + b − 2d = 0, a, b, c, d ∈ c d R} f) E = {t, (t + 1)2, t2 + 1}.
Bài 13. Trên cơ sở chính tắc I = {e 3 1, e2, e3} của R cho:
W = {a1 = (1, 2, 3), a2 = (0, 2, 1), a3 = (1, 0, 1)}
V = {b1 = (0, 1, 1), b2 = (3, 2, 0), b3 = (1, 0, 1)}
a) Tìm ma trận của hệ W, V trên I. 3
Downloaded by giang le (legiangnamban@gmail.com) lOMoARcPSD|61022953
b) Chứng tỏ rằng W và V cũng là cở của 3 R .
c) Tìm ma trận của hệ I trong cơ sở W.
d) Cho x = (1, −2, 1) tìm tọa độ của x trong cơ sở W.
e) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ W sang cơ sở V.
f) Tìm ma trận của hệ W trong cơ sở V.
Bài 14. Trên cơ sở chính tắc của 3
R cho các véctơ x = (15, 3, 1) và:
W = {a1 = (2, 1, 1), a2 = (6, 2, 0), a3 = (7, 0, 7)}
V = {b1 = (0, 1, 1), b2 = (3, 2, 0), b3 = (1, 0, 1)}
a) Chứng tỏ rằng W và V là cơ sở của 3 R .
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ W sang V và ngược lại.
c) Tìm tọa độ của x trong cơ sở W và V.
Bài 15. Trên cơ sở chính tắc của 4
R cho véctơ x = (1, 2, 1, 2) và
W = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1, −1, −1), a3 = (1, −1, 1, −1), a4 = (1, −1, −1, 1)}
V = {b1 = (1, 1, 0, 1), b2 = (2, 1, 3, 1), b3 = (1, 1, 0, 0), b4 = (0, 1, −1, −1)}
a) Chứng minh rằng W và V là cơ sở 4 R .
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ W sang V và ngược lại.
c) Tìm tọa độ x đối với các cơ sở đó.
Bài 16. Tìm ma trận của các hệ véctơ sau trên P3(t)
a) a = 2 − t + t2 + 2t3, b = 2t + t2 − t3, c = 1 + 2t − t2 − t3, d = 1 − t2 + t3
b) a = 1 − t + t2, b = t − t2 + 2t3, c = 2t + t3, d = −1 + t − t2 + t3 4
Downloaded by giang le (legiangnamban@gmail.com) lOMoARcPSD|61022953 Bài 17. Trong 3 R cho:
a) x1 = (3, −4, 2), x2 = (2, 3, −1), y1 = (0, −17, 7), y2 = (11, −9, 5).
b) x1 = (2, −1, 5), x2 = (−1, 4, −3), y1 = (1, 3, 8), y2 = (4, 5, 2).
Chứng tỏ L{x1, x2} = L{y1, y2}. Bài 18. Trong 3 R cho các véctơ
a = (1, −1, 0), b = (3, −1, 2), u = (1, 2, 3), v = (2, −1, 1)
Tìm λ để u + λv ∈ L{a, b}. Bài 19. Trong D2×2 cho 1 −1 2 1 1 2 1 −1 1 −1 a = , b = , c = , d = , d = . −1 2 1 −1 2 0 −1 2 −1 −3
a) Tìm λ để u + λv ∈ L{a, b}.
b) Với λ = −2 chứng tỏ hệ {a, b, u − 2v} là cơ sở của D2×2 tìm tọa độ của 3 −2 x = trên cơ sở đó. −1 1 Bài 20. Trong 4 R cho:
a1 = (1, 0, 0, −1), a2 = (2, 1, 1, 0), a3 = (1, 1, 1, 1), a4 = (1, 2, 3, 4), a5 = (0, 1, 2, 3).
Tìm hạng của ma trận {a1, a2, a3, a4, a5} và cơ sở của L{a1, a2, a3, a4, a5}. Bài 21. Trong 5 R cho:
a1 = (1, 1, 1, 1, 0), a2 = (1, 1, −1, −1, −1), a3 = (2, 2, 0, 0, −1), a4 = (1, 1, 5, 5, 2), a5 = (1, −1, −1, 0, 0).
Tìm hạng của ma trận {a1, a2, a3, a4, a5} và cơ sở của L{a1, a2, a3, a4, a5}. Bài 22. Trong 4
R chứng tỏ rằng các tập con sau là không gian tuyến tính, tìm cơ sở và chiều
a) F = {x = (x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x1 = x3
b) F = {x = (x1, x2, x3, x4) : x1 = x2, x3 = x4, 5
Downloaded by giang le (legiangnamban@gmail.com) lOMoARcPSD|61022953
c) F = {x = (x1, x2, x3, x4) : x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0, x1 = x3 Bài 23. Trong không gian 3
R cho họ véctơ M = {(1, 2, 0), (2, 1, 3), (1, 1, 1)}. Hỏi M
là hệ độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Véctơ x = (2, −1, 3) có phải là
một tổ hợp tuyến tính của hệ véctơ M không?
Bài 24. Trong không gian P2[x] cho hệ véctơ E = {x2 +x+1, x2 +x+2, x2 +2x+1}.
Chứng minh rằng E là một cơ sở của P2[2]. Tìm tọa độ của p(x) = 2 − 5x đối với cơ sở đó.
Bài 25.Gọi M2(R) là R-không gian cac ma trận vuông cấp 2. Chứng minh rằng các
tập U sau đây là các không gian con. Tìm một cơ sở và số chiều của U. a b a) U = {A = | a + b − c + 2d = 0}. c d a b b) U = {A = | a + d = 0, b + c = 0}. c d Bài 26. Trong 3
R-không gian véctơ R , cho hai hệ véctơ (u) = {u1 = (1, −1, 1), u2 =
(−1, 2, 1), u3 = (2, −2, 5)} và (v) = {v1 = (5, −7, 4), v2 = (−6, 7, −10), v3 = (−1, 2, −2)}.
Tìm ma trận chuyển cơ sở từ (u) sang (v).
Bài 27. Cho {e1, e2, e3} là một cơ sở của R-không gian véc tơ V và {v1, v2, v3} ⊂ V
với v1 = 2e1 + 3e2 − 3e3; v2 = e1 + e2 − 2e3; v3 = 2e2 + e3.
a) Chứng minh rằng {v1, v2, v3} là một cơ sở của V.
b) Cho v ∈ V và tọa độ của v đối với cơ sở (e) là (5, 5, 7). Tìm tọa độ của v đối với cơ sở {v1, v2, v3}. 6
Downloaded by giang le (legiangnamban@gmail.com)