Đề cương môn Toán cao cấp- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

Anh Long
KHÓA HỌC: TOÁN CAO CẤP - GIẢI TÍCH I
BÀI 8: MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH – LỜI GIẢI Bài 1:
1. sinx.sin 2x.sin 3xdx   2sin2 x.(3sinx  4 sin3 x)(cosxdx) Đặ 3 4 3 4
t t  sinx  dt  cosxdx .Tích phân trở thành: 2t2(3t  4t3 )dt  .t4  .t6  C  .sin4 x  .sin6 x  C . 2 3 2 3 3 4
Vậy I  .sin4 x  .sin6 x  C . 2 3 x
2. Đặt t   dt  1 x2
dx . Thay vào tích phân ban đầu ta có: 1 x2  xdx
 dt  t  C   1 x2  C . 1 x2 2t
3. Đặt t 
 ex  t2  1  x  ln(t2  1)  dx  dt . t2  1 1 2t 2
Tích phân trở thành:  . dt   
dt  2arctant  C . t t2  1 t2  1  dx   2arctan  C .
4. Đặt t  cos2x  dt  2cosx( sin x)dx   sin 2xdx . 2
Tích phân trở thành: etdt  et  C  ecos x  C . Vậy: 2 2
 ecos x .sin 2xdx  ecos x  C . x 1 e  dx 
5.  dx  ex .  2    I . x  2 x   1 dx 1
Đặt t   dt 
. Thay vào tích phân ban đầu ta có: I    et .dt  et  C  ex  C   x e  C . x x2 1  lnx 1  lnx dx
6. I   dx   . . x lnx lnx x Anh Long dx 1  lnx dx 1  t
Đặt t  lnx  dt 
. Thay vào tích phân ban đầu ta có:  .   dt . x ln x x t Đặt u 
 t  u2 1  dt  2udu . Thay vào ta được: u .2udu  2  2   du    u2  1 
u 2  1     1 1  u  1 2  
du  2u  ln  C .  
u  1 u  1 u  1    u  1
Thay lại biến cũ ta có: I  2u  ln  C  2
1 lnx  1
1 lnx  ln  C . u  1
1 lnx  1
ln(1 ln2 x)dx dx 7. 
 ln(1 ln2 x).  I . x x Đặ dx 2t
t t  lnx  dt 
. Thay vào tích phân ban đầu ta có: I  ln(1 t2 )dt  t ln(1 t2 )  t. dt . x 1 t2  2  Mà: 2t 2 
dt  2t  2arctant  C . t. dt    1 t2  1 t2  
Vậy: I  t ln(1  t2 )  2t  2arctant  C  ln x.ln(1  ln2 x)  2ln x  2arctan(ln x)  C .
8. cos(lnx)dx
Đặt lnx  t  x  et  dx  etdt .
Thay vào tích phân ban đầu: cos(lnx)dx  (cost)etdt
Tích phân từng phần, ta được: (cost)etdt  (cost)d(et )  et .cost  etd(cost)  et.cost  et .sintdt
Mà:  et .sintdt  sintd(et )  et .sint  et .costdt
Vậy nếu đặt I  (cost)etdt  I  et .cost  et.sintdt  et(cost  sint)  I t  e x I 
(cost  sint)  C  (sin(lnx)  cos(lnx))  C . 2 2 dx dx 9.     I .
(x2  4x  8)2
(x  2)2  22 2  2
Đặt x  2  2tant  dx 
dt  2(1 tan2 t)dt . cos2t
2(1 tan2 t)dt 1 dt 1 1 1  cos2t
Thay vào tích phân ban đầu: I    
  cos2tdt   dt
4(1 tan2 t)2 8 1 tan2 t 8 8 2  Anh Long  1 sin 2t (t  )  C . 16 2     dx  1
x  2   1 x  2     arctan   sin 2arctan C .
( x  4x  8) 16 2 32   2 2 2      Bài 2: x
1.  arctanxdx  xarctanx   .dx . x2  1 x
1 d(x2  1) 1 Mà:  .dx  .
 ln(x2  1)  C . x2  1 2 x2  1 2 1
Vậy: arctanxdx  xarctanx  ln(x2  1)  C .  2  
e2x  e2xcos3x e2x e2xcos3x 3
2.  e 2xcos3xdx   cos3xd     
(3 sin 3x)dx  
  e2x sin 3xdx .   2  2 2 2 2   e2x  e2x sin 3x e2x
Mặt khác:  e 2x sin 3xdx   sin 3xd       ( 3cos3x)dx  2  2 2
 e2x sin 3x 3 
 e2xcos3xdx . 2 2 
e2xcos3x 3  e2x sin 3x 3 
Đặt I  e 2xcos3xdx , ta được: I    .   I  2 2  2 2    13 1 3 2 3
I   e2xcos3x  e2x sin 3x  I  e2xcos3x  e2x sin 3x . 4 2 4 13 13 2 3
Vậy: e2xcos3xdx  e2xcos3x 
e2x sin 3x  C .  13 13 1 1  1
3. xln2 xdx   x2 ln2 x  2 2 1  2 2 2 xlnxdx . ln xd(x )    x ln x   dx  2 x .2lnx.  2 x 2  
 x2  x2 lnx x2 1 x2 lnx x2
Mà:  x ln xdx   ln xd      . dx    C . 2 2   2 x 2 4 1 x2 ln x x2
Vậy:  x ln2 xdx  x2 ln2 x    C . 2 2 4
4. (4x 1)ln(x  1)dx  ln(x  1)d(2x2  x  3)  1
(2x2  x  3) ln(x  1)  (2x2  x  3). dx x  1 Anh Long
 (2x2  x  3)ln(x  1)  (2x  3)dx  (2x2  x  3)ln(x  1)  x2  3x  C .
Nhận xét: Ở đây ta cần tinh tế 1 chút. Nếu chỉ có ( 4x  1)dx  d( 2x2  x) thì lúc sau ta sẽ phải tính tích phân
hàm hữu tỉ phức tạp hơn, nên ở đây để ý nhân tử ( x  1) có nghiệm x  1 nên ta thêm hằng số 3 để đa
thức ( 2x2  x  3) có nghiệm đó, từ đó triệt tiêu mẫu số.
5. Trước hết ta đặt ẩn phụ để tích phân bớt phức tạp.
Đặt t  x2  2  dt  2xdx . Thay vào ta có: 1
xln(x2  2)dx   1 1  1 lntdt 
t lnt  t. dt   
t lnt  t   C .   2 2  t 2   1
Vậy:  xln(x2  2)dx  (x2  2) ln(x2  2)  1  C . 2
 cos(1 3x)  x2cos(1 3x) cos(1 3x)
6.  x2 sin(1 3x)dx   x2d      .2xdx  3  3 3 cos(1 3x) 2 2 Mà:
.2xdx  . xcos(1 3x)dx 
 sin(1 3x)  xd    3 3 3   3    2 2
  xd sin(1 3x)   xsin(1 3x)  sin(1 3x)dx 9 9    2 
cos(1 3x)  
xsin(1 3x)   C .   9 3  
x2cos(1 3x) 2 2
Vậy:  x2 sin(1 3x)dx 
 xsin(1 3x) 
cos(1  3x)  C . 3 9 27
7.  cos xdx
Đặt t   x  t2  dx  2tdt . Thay vào ta có: cos xdx  cost.2tdt   2td(sint)  2t sint   2sintdt
 2t sint  2cost  C .
Vậy: cos xdx  2 x sin  2cos  C .
8.  arcsin2 xdx
Nếu tích phân từng phần luôn thì sẽ khá phức tạp. Ta tiến hành đặt ẩn phụ để giảm bớt sự phức tạp của bài toán.
Đặt t  arc sinx  x  sint  dx  costdt .
Thay vào tích phân ban đầu: I  t2.costdt  t2d(sint)  t2 sint  sint.2tdt  t2 sint  2td(cost)
 t2 sint  2t cost   costdt   t2 sint  2t cost  2.sint  C .
Thay lại biến cũ, ta được: arcsin2 xdx  xarcsin2 x  2arcsinx.cos(arcsinx)  2x  C . Anh Long
ln(sinx  2cosx) 9.  dx  cos x
ln(sinx 2cosx)d(tanx 2) 2    cosx  2sinx
(tanx  2).ln(sinx  2cosx)  (tanx  2). dx . sinx  2cosx cosx  2sinx
sinx  2cosx cosx  2sinx cosx  2sinx
Mà:  (tanx  2).  dx  . dx  dx sinx  2cosx cosx sinx  2cosx cosx d(cosx)  sinx 
 x  2ln cosx  C .  1   2  dx x 2. cosx   cosx   
ln(sinx  2cosx) Vậy:
dx  (tanx  2).ln(sinx  2cosx)  x  2ln cosx  C .  cos2x
Nhận xét: Ở đây ta lại thấy sự quan trọng của việc lấy tích phân 1 cách tinh tế.