Đề cương môn Toán cao cấp- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

Trần Hiếu
Xét hệ phương trình gồm n phương trình và n ẩn số và det A /= 0 (hệ Cramer)
a11x1 + a12x2 + . . . + a1ixi + . . . a1nxn = b1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai1x1 + ai2x2 + . . . + aiixi + . . . ainxn = bi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1x1 + an2x2 + . . . + anixi + . . . annxn = bn 1 Phương pháp Gauss-Jordan 1.1 Phương pháp Gauss Trình tự giải
• Viết ma trận mở rộng ( |
A B) của hệ.
• Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc thang.
• Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang.
• Giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, ta được 1 nghiệm duy nhất.
Ví dụ: Giải hệ phương trình = 9
x1 + 2x2 + 2x3
2x1 + 4x2 + 9x3 = 23 3x 1 + 7x2 + 8x3 = 31 Giải: , , 1 2 2 9 2 h − → 1 2 9 2−2h1 →h 3 3h1 h3 2 2 4 9 23 −−−−−−→ 0 0 5 5 3 7 8 31 0 1 2 4 , 1 2 2 9 x1 = 3 h ↔ 2 h3 −−−→ 0 1 2 0 0 5 5 4 ⇔ x2 = 2 x3 = 1
1.2 Phương pháp Gauss-Jordan Định nghĩa
Phần tử trội là phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất, sao cho không cùng hàng và
cột với những phần tử đã chọn trước. 1 Trần Hiếu Phương pháp Gauss-Jordan
• Chọn phần tử trội để biến đổi cho tất cả các phần tử trên cùng cột của phần tử trội bằng không.
• Qua n bước sẽ tìm được nghiệm cần tìm.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
x1 − x2 + 2x3 − x4 = −9
2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 = −20 x 1 + x2 + x3 = −2
x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = 4
Giải: Ma trận mở rộng: , − 1 1 2 − 2 1 − −8 2 3 −3 −20 1 1 1 0 −2 1 − 1 4 3 4 Chọn
phần tử trội là a43 = 4 , 4h − → 3 h4 h3 4h − → 1 −1 0 −5 −20 2 3h4 h2 2h − → 1 h4 h1 5 −5 0 −21 −92
−−−−−−−→ 3 5 0 −3 −12 1 −1 4 3 4
Chọn phần tử không được nằm trên hàng 4 và cột 3 là phần tử a24 = −21 , 21h − → 1 5h2 h1 40 7h − → − 3 h2 h3 4 4 0 0 7h → − 4+h2 h4 5 −5 0 −21 92
−−−−−−−−→ 16 40 0 0 8 12 −12 18 0 −64
Chọn phần tử không được nằm trên hàng 4,2 và cột 3,4 là phần tử a32 = 40 , 10h − → 1 h3 h1 392 8h → − 2+h3 h2 56 0 0 0 10h → 56 0 0 −168 4+3h3 h4 −728
−−−−−−−−→ 16 40 0 0 8 168 0 280 0 −616
Chọn phần tử không được nằm trên hàng 4,2,3 và cột 3,4,2 là phần tử a11 = −56 , h → 2+h1 h2 392 7h → − 3+2h1 h3 56 0 0 0 −− h → − 4 −− +3 − h1 −− h→ 4 0 0 0 −168 336 0 280 0 0 840 0 0 280 0 560 2 Trần Hiếu
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau −56x1 = 392 x 1 = −7
−168x4 = −336 ⇔ x2 = 3 280x2 x = 2 = 840 3 280x3 = 560 x4 = 2
Suy ra hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x1, x2, x3, x4) = (−7, 3, 2, 2)
2 Chuẩn của vector, chuẩn của ma trận 2.1 Chuẩn của vector Định nghĩa
Trong không gian tuyến tính thực Rn. Chuẩn của vector X ∈ Rn là một số thực
không âm, ký hiệu X thỏa mãn các điều kiện sau:
• ∀X ∈ Rn, X ≥ 0, X = 0 ⇔ X = 0
• ∀X ∈ Rn, ∀λ ∈ R, λX = λ . X
• ∀ X, Y ∈ Rn , X + Y ≤ X + Y
Trong Rn có rất nhiều chuẩn, tuy nhiên chỉ xét chủ yếu 3 chuẩn thường dùng sau: T ∀X = (x n
1, x2, . . . , xn) ∈ R
• X ∞ = max {|x | | |} |
1 , |x2 , . . . , |xn = max |xk k=1,n Σ n • X | | |
1 = |x1 + |x2 + . . . + |xn = |x | k k=1 1 1 Σ n 2 • X 2 (chuẩn 2 = XT X 2 = |x | Euclide) i i=1
Ví dụ: Cho X = (1, 2, 3, −5)T
X 1 = 1 + 2 + 3 + 5 = 11 X X ∞ =√
m a x {1, 2, 3, 5} = 5 2 = 12 + 22 + 32 + 52 = √ 39 2.2 Chuẩn của ma trận Định nghĩa
Chuẩn của ma trận A tương ứng với chuẩn vector X được xác định theo công thức:
A = max AX = max X =1 X = / 0 3 Trần Hiếu Tính chất
AX ≤ A . X k k ¨A ¨ ≤ A
Ví dụ: Xác định chuẩn của ma trận 1 2 A =
tương fíng với chuẩn X 3 4 1 x
Giải: Với mọi X = 1
thỏa mãn X = |x | + |x | = 1, ta có: x 1 1 2 2 AX | | ≤ | | | ≤
1 = |x1 + 2x2 + |3x1 + 4x2
4 |x1 + 6 |x2 = 4 + 2 |x2 6 ⇒ A = 6 Định lý
Chuẩn của ma trận A = (aij)
được xác định như sau: m×n • Σ m A = max | 1 aij| - Chuẩn cột 1≤j≤n i=1 Σ n
• A ∞ = max |aij| - Chuẩn hàng 1≤i≤m j=1 sΣm Σn 2 • A | | 2 = aij - Chuẩn Euclide i=1 j=1
Nói một cách dễ hiểu chuẩn Euclide bằng căn bậc hai tổng bình phương tất cả
các phần tử của ma trận đó. , 2 −1 4 Ví dụ: Cho A = 5 3 2 6 −7 3
A 1 = m√ax {2 + 5 + 6, 1 + 3 + 7, 4 + 2 + 3} = max {13, 11, 9} = 13
A 2 = 3 17 ≈ 12.3693169
A ∞ = max {2 + 1 + 4, 5 + 3 + 2, 6 + 7 + 3} = max {7, 10, 16} = 16
3 Những phương pháp lặp 3.1 Định nghĩa ∞
Xét dãy các vect or X(m) với m=0
X(m) ∈ Rn. Dãy các vector này được gọi là
hội tụ về vector X nếu và chỉ nếu
¨X(m) − X¯ ¨ → 0 khi m → +∞ (hội tụ theo chuẩn) 4 Trần Hiếu
Định nghĩa ma trận chéo trội
Ma trận A được gọi là ma trận chéo trội nếu nó thỏa mãn điều kiện n Σ |a | | ij
< |aii , ∀i = 1, n (chéo trội hàng) j=1,j/ =i hoặc n Σ |a | | ij
< |ajj , ∀j = 1, n (chéo trội cột) i=1,i/ =j Định lý
Phương pháp lặp Jacobi, Gauss - Seidel cho hệ phương trình AX = B sẽ hội
tụ nếu A là ma trận chéo trội.
3.2 Phương pháp lặp đơn (Ý tưởng)
Từ hệ AX = B, ta phân tích A = M
— N , với M là ma trận dễ khả nghịch, khi đó ta có:
(M − N ) X = B ⇔ MX = NX + B
⇔ X = M −1NX + M −1B
Đặt C = M −1N, D = M −1B ⇒ X = CX + D
Xuất phát từ vector ban đầu X(0) ta xây dựng dãy X(m) ∞ theo công thức m=0
X(m) = CX(m−1) + D Định lý ∞
Nếu C < 1 thì dãy các vector X(m)
xác định theo công thức lặp sẽ hội m=0
tụ về vector nghiệm X của hệ với mọi vector ban đầu X(0). Khi đó công thức
đánh giá sai số như sau: ¨ ¨ ¨ ¨
¨X(m) − X¨ ≤
. ¨X(1) − X(0)¨ hoặc
¨X(m) − X¨ ≤
. ¨X(m) − X(m−1)¨ 5 Trần Hiếu 3.3 Phương pháp lặp Jacobi
Phương pháp cho ma trận chéo trội hàng ,
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
Xét hệ phương trình AX = B. Ta phân tích ma trận A = . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann thành , , a11 0 . . . 0 0
−a12 . . . −a1n
A = 0 a22 . . . 0
− −a21 0 . . . −a2n = P − Q
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . ann
−an1 −an2 . . . 0
Do aii /= 0, ∀i = 1, 2, . . . , n nên det P /= 0. Như vậy , 1 a 0 . . . 0 11 0 1 . . . 0 P −1 = a22
. . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 ann Ta có:
AX = B ⇔ (P − Q) X = B
⇔ PX = QX + B
⇔ X = P −1QX + P −1B
Đặt Cj = P −1Q và Dj = P −1B. Khi đó công thức lặp có dạng:
X(m) = CjX(m−1) + Dj ( C < 1) ∞
Phương pháp cho ma trận chéo trội cột
Biến đổi tuyến tính dạng zi xi = aii
sau đó tiến hành như phương pháp cho ma trận chéo trội hàng ( C 1 < 1). 6 Trần Hiếu
3.4 Phương pháp lặp Gauss-Seidel
Phân tích Q = K + L với K là ma trận tam giác dưới và L là ma trận tam giác trên.
AX = B ⇔ (P − K − L) X = B
⇔ (P − K) X = LX + B
⇔ X = (P − K)−1LX + (P − K)−1B
Đặt Cg = (P − K)−1L và Dg = (P − K)−1B. Khi đó công thức lặp có dạng
X(m) = Cg X(m−1) + Dg 7