21 trang 2 lượt tải

Đề cương môn Toán cao cấp- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

3

Hãyxácđịnhgiátrịcủathamsốmđểhệphươngtrìnhsauvônghiệm,có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm:

Đề cương môn Toán cao cấp- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

Tài liệu gồm 21 trang , giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao.

Môn: Toán cao cấp(TCC10) 28 tài liệu

Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 1 K tài liệu

Tác giả:

Profile

giang le

5 ngày trước
Danh sách Quiz
/21
1 2
1 2 3
1 2 3
HỌC VIỆN TÀI CHÍNH
KHOA CƠ BẢN - BỘ MÔN TOÁN
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP HỌC PHẦN I
CHỦ ĐỀ 1: KHÔNG GIAN VÉC TƠ ℝ
𝒏
Bài 1.1. Trong không gian
4
, cho các véc tơ:
A
2,1, 3, 0
; B
1, 2, 0, 1
; C
1, 2, 1, 4
; D
4, 5,1, 3
.
Tính
2 A B;
3A 2B;
A B 2C; B 3D ; A 2B, C .
Bài 1.2 . Trong không gian
4
cho hệ véc tơ:
A
1
1, 3, 0, 1
; A
2
1, 2, 1, 2
; A
3
3,1,1, 2
.
Lập và tính các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ trên ứng với bộ hệ số sau:
a)
1
2;
2
1;
3
3;
b)
1
1;
2
3;
3
2 .
Bài 1.3. Hãy viết biểu diễn tuyến tính véc tơ X qua hệ véc tơ
A
1
, A
2
, A
3
, trong các trường
hợp sau:
a)
A
1
3, 2
; A
2
0, 1
; A
3
2,1
; X
1, 4
.
b)
A
1
1, 0, 2
; A
2
2, 1, 0
; A
3
1,1, 3
; X
3,1, 1
.
c)
A
1
1, 1, 0
; A
2
2, 3, 1
; A
3
0, 5, 1
; X
2,1, 5
.
Bài 1.4. Sử dụng định nghĩa, xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc
tơ sau:
a)
A
1
3, 2
; A
2
1, 4
; A
3
2, 1
.
b)
A
1
1, 1, 2
; A
2
3, 0,1
; A
3
2,1, 4
.
c)
A
1
0, 2,1
; A
2
2,1, 3
; A
3
6, 1, 7
.
Bài 1.5. Xét xem hệ véc tơ sau có là cơ sở của không gian tương ứng không?
a)
A
2, 5
; A
1, 4
, không gian
b)
A
0, 1,1
; A
2,1, 1
; A
4, 1,1
, không gian
c)
A
1, 1, 2
; A
0, 2, 3
; A
1, 3, 1
, không gian
1
3
.
3
.
3
1 1 2 2 1
1
2
3
4
Bài 1.6. Bằng định nghĩa, chỉ ra một cơ sở và tìm biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn
lại qua cơ sở của hệ véc tơ:
a)
A
1
1, 3
; A
2
5, 2
; A
3
1, 0
; A
4
2,1
.
b)
A
1
2,1, 1
; A
2
1, 0, 2
; A
3
0,1, 3
; A
4
1,2,4
.
Bài 1.7. Cho hệ véc tơ
S
A
1
1,1, 2
; A
2
1, 2, 0
; A
3
1, 0, 0
; A
4
3, 4, 4
.
Chứng
minh hệ
S
1
A
1
, A
2
, A
3
là một cơ sở của S . Hãy chỉ ra một cơ sở S
2
của S khác S
1
.
Bài 1.8. Cho ví dụ một cơ sở (khác cơ sở chính tắc) của không gian véc tơ và tìm tọa
độ của véc tơ
X
2, 1, 3
qua cơ sở đó.
Bài 1.9. Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm. Cho các véc tơ:
1
2
1
3
3
A
2
; A
1
; A
2
; A
1
; A
0
,
1
2
3
4
5
trong đó A
j
là véc tơ định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j.
a) Chứng minh rằng, hệ
B
A
2
, A
4
, A
5
là một hệ độc lập tuyến tính.
b) Viết biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn lại qua hệ B và nêu ý nghĩa kinh tế của
biểu diễn tuyến tính đó.
c) Tính số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng được 15, 40, 30, 60,
20 đơn vị sản phẩm từ loại 1 đến loại 5.
Bài 1.10*. Trong không gian
3
, cho hai hệ véc tơ:
A
x , x , x
A
x , x , x , x
1 2 3
1
2
3
4
S
B
y
1
, y
2
, y
3
và
C
z , z , z
S
B
y , y , y , y
C
z , z , z , z
1 2 3
1 2 3 4
Chứng minh rằng, nếu hệ S độc lập tuyến tính thì hệ S
cũng độc lập tuyến tính và nếu
hệ S
phụ thuộc tuyến tính thì hệ S cũng phụ thuộc tuyến tính.
Bài 1.11*. Cho A, B là các véc tơ trong không gian
n
. Sử dụng định nghĩa chứng minh
rằng:
a) Các hệ véc tơ
A, B
và
A B, A B
cùng độc lập tuyến tính hoặc cùng phụ thuộc
tuyến tính.
b)
h
A, B
h
A, B, A B
.
2
3
Bài 1.12*. Trong không gian
n
, cho hệ véc tơ
S
A, B, C, X
. Chứng minh rằng nếu S
độc lập tuyến tính thì hệ
A X , B X , C X
cũng độc lập tuyến tính, điều ngược lại có
đúng không?
Bài 1.13*. Cho các vec tơ A, B, C
n
.
Chứng minh rằng:
a) Nếu hệ véc tơ
A, B
phụ thuộc tuyến tính và C biểu thị tuyến tính qua
A, B
thì:
h
A, B
h
A, B, C
.
b) Nếu hệ véc tơ
A, B
độc lập tuyến tính và A 2B 3C 0
n
thì các véc tơ A, B, C đều
khác véc tơ 0
n
.
c) Nếu
h
A, B
h
A
thì B được biểu thị tuyến tính qua A.
Bài 1.14*. Cho các véc tơ A, B,C, D
n
, biết rằng A B C D O và hệ
A, B, C
độc
n
lập tuyến tính. Chứng minh rằng các hệ con
A, C, D
;
B, C, D
đều là cơ sở của
A,
B, C,
D
Bài 1.15*. Cho
F
i
, i 1, 3
là các vec tơ trong không gian
có các thành phần thứ i
tương ứng bằng
1
i
, các thành phần còn lại bằng 0. Chứng tỏ hệ F
i
, i 1, 3 là một cơ
sở của và tìm biểu diễn tuyến tính của vec tơ bất kì
X qua cơ sở đó.
3
3
3
1x2
CHỦ ĐỀ 2: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC
Bài 2.1. Cho hai ma trận:
2 1 3 1 3 4
A
1 0
2
;
B
2
1 2
.
a) Tính
A B;
A B;
2A 3B; 3A 5B .
b) Tìm các ma trận X,Y biết rằng:
A 3X B;
2
2A B Y
Y 3A 5B .
Bài 2.2. Cho các ma trận:
2
1 3
2 1 1 1 1
A
1 0
2
;
B
3 1
; C
2 3 0
.
2
3
1 2 4
a) Tính
AC;
C(2B);
2A B
T
C.
b) Tìm ma trận X biết rằng:
X
2A
T
B
0
Bài 2.3. Cho ví dụ về các ma trận A, B thỏa mãn:
a) Tồn tại
AB
nhưng không tồn tại BA.
b) Tồn tại AB
,
tồn tại BA nhưng AB BA .
c) Tồn tại AB
,
tồn tại BA và AB BA .
Bài 2.4. Tính định thức của các ma trận sau:
1 0 3
3 2 1
1
3 2
2 0 1 1
a)
;
b)
2 2 1
;
c)
1 5
2 4 1
1 1 2 3
1 1 3 1
Bài 2.5. Sử dụng các tính chất của định thức, hãy giải thích tại sao các định thức sau có
giá trị bằng 0?
1
3
0
2
1 1
2
3
1
a)
1
5
0
;
b)
0
0 0
;
c)
1
0
1 ;
1
3
0
3
5 4
3
5
2
1 3 1
d) 1 0
1 3
2
;
e) .
3
2
1
1
1
0
3
2
1
2
1
1
1
3
5
4
2
4
Bài 2.6. Giải các phương trình sau:
1 x 1
x 1 2
2 1
a) 0;
1 3 x
b) 3 1 1
1 3
.
x 5 1 1
Bài 2.7. Tìm để mỗi ma trận sau không suy biến:
1 3 
3 2
a) ;
b)
0 2
.
5
3 1 2
Bài 2.8. Cho các ma trận:
2 1 1
2 1 1
1 1
A
1 3 0
;
2 1 2
B
0 1 3
;
C
2
0
1
.
3
Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau bằng phương pháp ma trận nghịch
đảo:
a)
AX C
.
b)
XA C
T
B.
Bài 2.9. Bằng việc tính định thức hoặc hạng của ma trận, hãy xét sự độc lập tuyến tính,
phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau:
a)
A
1
0, 3, 1
; A
2
5,3,1
; A
3
1, 2,0
.
b)
A
1
0,1, 2,3
; A
2
3, 2,3, 0
; A
3
5,3, 4,3
.
c)
A
1
2,1,3,0,0
; A
2
3,1,1, 2,1
; A
3
1,0, 2, 2,0
; A
4
4,1, 1, 4, 2
.
d)
A
1
3,5,1,7
, A
2
1, 3, 3, 5
, A
3
3, 2, 5,1
, A
4
2,3,0, 4
, A
5
5, 4, 7,1
.
Bài 2.10. Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm hạng, một cơ sở và viết các biểu thị
tuyến tính của các hệ véc tơ ngoài cơ sở qua cơ sở đối với mỗi hệ véc tơ sau:
a)
A
1
2,1, 4
; A
2
3,6,5
; A
3
9,3, 7
.
b)
A
1
1, 2, 1
; A
2
0,1, 2
; A
3
1, 4,1
; A
4
1, 4,3
; A
5
1,5,1
.
c)
A
1
2, 1,0, 2
; A
2
1, 2,1, 3
; A
3
1, 4,3, 5
.
d)
A
1
2,7,1, 4
, A
2
3, 2,0,1
, A
3
5,1,1,5
, A
4
3, 8, 2,3
, A
5
3,1,1, 3
.
5
Bài 2.11. Một doanh nghiệp sử dụng 4 loại vật liệu thô I, II, III, IV để sản xuất 3 loại sản
phẩm X, Y, Z. Định mức tiêu hao vật liệu thô cho mỗi đơn vị sản phẩm mỗi loại được
cho ở bảng sau:
Loại
vật liệu thô
Định mức nguyên liệu cho 1 đơn vị sản phẩm
X
Y
Z
I
2
4
5
II
4
3
2
III
3
1
4
IV
5
4
3
a) Hãy mô tả dưới dạng ma trận bảng định mức tiêu hao nguyên liệu trên.
b) Viết dưới dạng biểu thức ma trận và tính giá trị của biểu thức để xác định số lượng
vật liệu thô các loại đủ để sản xuất 30, 50, 20 đơn vị các loại sản phẩm X, Y, Z tương
ứng.
Bài 2.12. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu thô R1, R2 và R3 để sản xuất 4 loại sản phẩm
trung gian S1, S2, S3 và S4. Sau đó, từ 4 loại sản phẩm trung gian người ta có thể sản xuất
ra 2 loại thành phẩm F1 và F2. Hai bảng dưới đây cho biết định mức vật liêu thô cho các
sản phẩm trung gian và định mức sản phẩm trung gian cho các loại thành phẩm:
Loại
vật liệu thô
Định mức vật liệu thô cho 1 đơn vị sản phẩm trung gian
S1
S2
S3
S4
R1
3
1
2
4
R2
1
3
1
2
R3
2
4
3
1
Loại
sản phẩm trung gian
Định mức sản phẩm trung gian cho 1 đơn vị thành
phẩm
F1
F2
S1
5
3
S2
2
1
S3
1
4
S4
4
2
a) Viết các ma trận định mức vật liệu thô cho mỗi đơn vị sản phẩm trung gian, định mức
sản phẩm trung gian cho mỗi đơn vị thành phẩm và ma trận định mức vật liệu thô cho
mỗi đơn vị thành phẩm.
6
j
b) Viết biểu thức ma trận và thực hiện các phép toán cần thiết để tính số lượng các loại
vật liệu thô vừa đủ để sản xuất 120 đơn vị thành phẩm F1 và 150 đơn vị thành phẩm F2.
Bài 2.13. Bảng dưới đây cho biết định mức vật liệu cho 1 đơn vị sản phẩm các loại của
một doanh nghiệp:
Loại
vật liệu
Định mức vật liệu cho các loại sản phẩm
P1
P2
P3
P4
P5
R1
3
1
2
2
1
R2
1
2
0
1
3
R3
2
3
1
2
4
Ký hiệu P , j 1, 5 là véc tơ thể hiện định mức vật liệu cho 1 đơn vị sản phẩm thứ j.
a) Sử dụng phương pháp khử toàn phần, chứng tỏ rằng
B
P
2
, P
3
, P
4
là một cơ sở của
P
j
,
j 1
,
5
.
b) Viết và nêu ý nghĩa kinh tế của các biểu thị tuyến tính của P
1
và P
5
qua cơ sở B.
c) Tính số vật liệu vừa đủ để sản xuất 20 đơn vị sản phẩm P
2
, 30 đơn vị sản phẩm P
3
và
50 đơn vị sản phẩm P
4
, không sản xuất sản phẩm P
1
và P
5
.
d) Nếu sử dụng hết lượng vật liệu vừa tính ở ý c), hãng muốn sản xuất 1 đơn vị sản
phẩm P
5
(vẫn không sản xuất sản phẩm P
1
) thì số lượng của 3 loại sản phẩm còn lại
thay đổi như thế nào? Số đơn vị sản phẩm P
5
có thể sản xuất tối đa là bao nhiêu?
Bài 2.14. Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho hai ma trận
0 3 2 1
A
3 1 1 3
, X
5 2 0 4

1 2 2 1
trong đó a
ij
cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất 1 đơn vị
sản phẩm loại j, x
j
cho trong ma trận X là số đơn vị sản phẩm loại j mà hãng dự định
sản xuất
i 1, 3; j 1, 4
.
a) Sử dụng phép nhân ma trận, tính số lượng vật liệu các loại vừa đủ để sản xuất số
lượng các loại sản phẩm cho trong X.
7
4 1 2
2 0 3
b) Ký hiệu A
j
là véc tơ cột thứ j của ma trận A với j 1, 4 . Bằng phương pháp khử toàn
phần, tìm biểu diễn tuyến tính của A
3
qua hệ véc tơ
A
1
, A
2
, A
4
và nêu ý nghĩa kinh
tế.
c) Sử dụng ý nghĩa vừa nêu ở phần b, với điều kiện sử dụng hết số lượng vật liệu được
tính ở phần a, nếu hãng muốn sản xuất 1 đơn vị sản phẩm loại 3, thì số lượng các loại
sản phẩm còn lại là bao nhiêu và số đơn vị sản phẩm loại 3 có thể sản xuất tối đa là
bao nhiêu?
Bài 2.15. Một hãng dùng 3 loại vật liệu thô để sản xuất 5 loại sản phẩm. Biết định mức
của 3 loại vật liệu dùng để sản xuất 5 loại sản phẩm được cho bởi ma trận:
2 4 1 3 5
A
2 2 3 1 3
1 1 4 3 4
với a
ij
cho trong ma trận
A
là số đơn vị vật liệu loại i cần để sản xuất ra 1 đơn vị sản
phẩm loại j
i 1,3; j 1,5
; x
j
là số đơn vị sản phẩm loại j mà hãng dự định sản
xuất.
a) Ký hiệu A
j
là véc tơ cột thứ j của ma trận A, j 1,5. Bằng phương pháp khử toàn
phần, chứng minh hệ véc tơ
B
A
1
, A
3
, A
4
là một cơ sở của hệ
A
j
: j 1,5
.
b) Tìm biểu thị tuyến tính của A
4
, A
5
qua B và nêu ý nghĩa kinh tế của nó.
c) Tính tổng số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 34 đơn vị sản phẩm loại 2 và 17
đơn vị sản phẩm loại 3, biết rằng số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 3 đơn vị sản
phẩm loại 1 và 1 đơn vị sản phẩm loại 4 là 27 triệu đồng.
Bài 2.16. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Sau
đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma trận:
2 1 1
2 1 1
A
, B
1 1 1
,
3 2 2
1 0 2
với a
ij
cho trong ma trận
A
là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất
1
đơn vị sản
phẩm trung gian loại
j,
b
jk
cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian loại
j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k
i 1, 4; j, k 1,3
.
a) Tính số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất 120,130, 240 đơn vị sản phẩm
trung gian loại 1, 2, 3 tương ứng.
8
2 2 4
1 1 3
45
35
2 2 4
1 1 3
45
35
b) Gọi M là tổng các phần tử thuộc hàng 2 của ma trận AB . Tính 3M và nêu ý nghĩa
kinh tế của kết quả tìm được.
Bài 2.17. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Từ 3
loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất ra 4 loại thành phẩm. Cho các ma trận:
3 4 5
1 2 3 4
A
; B
4 3 2 1
6 5 3 2
30
và X
.
25
3 2 1
với a
ij
cho trong ma trận
A
là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất ra 1 đơn vị
sản phẩm trung gian loại j , b
jk
cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian
loại
j
cần để sản xuất ra 1 đơn vị thành phẩm loại k và
x
k
cho trong ma trận
X
là số
đơn vị thành phẩm loại k mà hãng dự định sản xuất
i, k 1, 4; j 1,3
.
a) Tính số đơn vị sản phẩm trung gian mỗi loại vừa đủ để sản xuất được số lượng thành
phẩm cho trong X.
b) Tính số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất được ma trận thành phẩm X .
c) Kí hiệu A
j
j 1,3
là véc tơ cột thứ
j
của ma trận A. Tính
3A
1
2A
2
A
3
và nêu ý
nghĩa kinh tế của kết quả vừa tìm được.
d) Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của cột 2 trong ma trận AB .
Bài 2.18. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Từ 3
loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất ra 4 loại thành phẩm. Cho các ma trận:
3 4 5
1 2 3 4
A
; B
4 3 2 1
6 5 3 2
30
và X
.
25
3 2 1
với a
ij
cho trong ma trận
A
là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất ra 1 đơn vị
sản phẩm trung gian loại j , b
jk
cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian
loại
j
cần để sản xuất ra 1 đơn vị thành phẩm loại k và x
k
cho trong ma trận
X
là số
đơn vị thành phẩm loại k mà hãng dự định sản xuất
i, k 1, 4; j 1,3
.
a) Tính số đơn vị sản phẩm trung gian mỗi loại vừa đủ để sản xuất được số lượng thành
phẩm cho trong X.
9
2 1 1
4 0 2
b) Tính số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất được số đơn vị thành phẩm
cho trong X .
c) Kí hiệu A
j
j 1,3
là véc tơ cột thứ
j
của ma trận A. Tính 3A
1
2A
2
A
3
và nêu ý
nghĩa kinh tế của kết quả vừa tìm được.
d) Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của cột 2 trong ma trận AB .
Bài 2.19: Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Sau
đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian sản xuất 5 loại thành phẩm. Cho các ma trận:
3 1 0
1 2 0 2 1
A
; B 3 2 1 3 4
1 0 4
2 0 1 1 3
Trong đó a
ij
cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i dùng để sản xuất 1 đơn
vị sản phẩm trung gian j và b
jk
cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian j
dùng để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm k. Cho
Y
0
10 15 5
T
là véc tơ số đơn vị sản
phẩm trung gian hãng dự định sản xuất.
a) Viết biểu thức ma trận và thực hiện các phép toán để tính số lượng vật liệu thô đủ để
sản xuất số lượng sản phẩm trung gian Y
0
.
b) Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả vừa tính.
Bài 2.20*. Cho hệ véc tơ:
S
A
1
1,1, 2
; A
2
0,1, 1
; A
3
2,1,1
; A
4
3,3, 2
; A
5
2, 1,3
.
a) Chứng tỏ rằng hệ véc tơ
B
A
1
, A
2
, A
3
là một cơ sở của S.
b) Hệ véc tơ
A
1
, A
3
, A
5
có phải là một cơ sở của S hay không ? Vì sao ?
c) Dùng phương pháp khử toàn phần, tìm các biểu thị tuyến tính của A
4
, A
5
qua B.
d) Tìm các biểu thị tuyến tính của
A
4
, A
5
qua B bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.
Bài 2.21*. Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn điều kiện
A
3
B BA
, biết
det B 0 . Chứng minh rằng A là ma trận không khả nghịch.
Bài 2.22*. Cho A là ma trận vuông cấp 3, biết A
1
3A
2
tính
A
.
Bài 2.23*. Cho
A
là ma trận vuông cấp 2021 thỏa mãn
A
1
A
. Tính
A I
.
Bài 2.24*. Cho ma trận
17
A
35
6
12
. Tính
A
6
.
10
0
Bài 2.25*. Tính định thức của các ma trận sau:
1 2 3
2 2 3
... n
0
... n
0
a)
3 3 3 ... n
b)
...
... ... ... ... n
1
n n n ... n
n1
2 3 1
a x
1 0 2
Bài 2.26*. Cho ma trận
A
0 1
1 4
2
,
B
1 3 1
a) Tìm để ma trận
A
là không suy biến.
b) Với
1
hãy tìm ma trận
X
thỏa mãn XA B X , bằng phương pháp ma trận
nghịch đảo.
11
a
0
a
1
a
2
...
1
x
0
...
0 ... 0
1 ... 0
x ... 0
... ... ...
a
0
0 ... x
n
0
0 ... 0
3 4
2
3
2
3
1 1 3 2
4
2
2
CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 3.1. Cho hệ phương trình:
x 2x x x 14
1 2 3 4
2x1 x 3x 2x 12
x x
x 8.
2 3 4
a) Viết dạng ma trận, dạng véc tơ của hệ phương trình đã cho.
b) Sử dụng dạng ma trận và dạng véc tơ, chứng minh rằng véc tơ
nghiệm của hệ phương trình đã cho.
X
1, 5, 3,0
T
là một
Bài 3.2. Tìm để hệ phương trình tuyến tính sau là hệ Cramer và với 1 tìm nghiệm
của hệ tương ứng theo phương pháp ma trận nghịch đảo.
2x x x 3 x 5x 4x 7
1 2 3
1 2 3
a)
x
1
2x 2x 1 . b)
2x
1
9x x 4
3x
x 5.
3x
11x 7x 17.
1 3
1 2 3
1 2 3 2 x x
Bài 3.3. Cho các ma trận A
, B
và X
1 2
. Viết lại phương trình
3 4
1 5
x
3
x
4
AX B
dưới dạng một hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số
x
,
x
,
x
,
x
. Hệ
phương trình này có là hệ Cramer không? Vì sao?
Bài 3.4. Cho hệ phương trình tuyến tính:
0 1 3 2
1 2 3 4
x 1
x 1 x 1 1
.
1
2
3
Chứng tỏ rằng hệ phương trình đã cho là hệ Cramer, viết hệ dưới dạng ma trận và dạng
tường minh rồi tìm nghiệm của hệ bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.
Bài 3.5. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp khử toàn phần (tìm nghiệm
tổng quát và chỉ ra một nghiệm riêng của hệ)
x x
x
x 1
x 2 x
3x x 5
1 2 3 4
1 2 3 4
x x
2x 2
a)
2x x x 4x 1
, b)
1 3 4
.
1 2 3 4 2 x
x
3x
x 0
x
2x
3x
3 x 1
1 2 3 4
1 2 3 4
x
2x
x
1
1 2 3
x 2 x 3x x 5
1 2 3 4
Bài 3.6. Cho hệ phương trình
2x
1
x x
3
4x 1 .
x
2x
3x
3 x 1
1 2 3 4
12
2
4
3 4 5
1
2 3
x
x
x
j
j
j
Bằng phương pháp khử toàn phần, tìm công thức nghiệm tổng quát của hệ đã cho và
chỉ ra một nghiệm riêng của hệ thỏa mãn
4x x 1
.
Bài 3.7. Tìm một nghiệm không âm của hệ ràng buộc sau
x 2 x x x 2 x 3
x 3x x 3x
7
1 2 3 4 5
1 2 3 5
a)
3 x
1
x 5x 2x 2 ; b)
2x
1
2x
2
2 x 12 .
2x
x
x 2x x 3
4x
x 2x 2x x
12
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
Bài 3.8. Tìm một nghiệm của hệ ràng buộc sau bằng phương pháp khử toàn phần
2 x x 3x
4
2 x
1
x
2
x
3
2x
4
x
5
1
x 2x x 2x
3
x
1
2x
2
x
3
3x
4
2x
5
1
1 2 3 4
a)
; b) .
5 x
x x 3 x x 3
x
1
x
2
2x
3
x
4
x
5
0
1 2 3 4 5
0, j 1, 5
x
j
0, j 1, 5.
Bài 3.9. Chuyển các hệ hỗn hợp sau về dạng chính tắc rồi tìm một nghiệm của hệ:
2 x x 3x 4
x 2x
x x
9
1 2 3
1 2 3 4
x x 2x 3 x
x
2x 2x 10
1 2 3
1 2 3 4
a)
3 x 4x x
5
; b)
x 3x 4x
x 4
.
1 2 3
0, j 1, 3
1 2 3 4
0, j 1, 4
Bài 3.10. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho các ma trận
2 1 1 2 28
T
A 1 2 3 1
, B 49
,C
4 3 5 7
, X
x x x x
,
2 1 1 3
33
1 2 3 4
trong đó a
ij
cho trong ma trận
A
là số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất 1 đơn vị
sản phẩm loại j, b
i
cho trong ma trận
B
là số lượng đơn vị vật liệu loại i mà hãng sử
dụng, c
j
cho trong ma trận C là lãi của một đơn vị sản phẩm loại j và x
j
cho trong ma
trận
X
là sản lượng sản phẩm loại j
i 1,3; j 1, 4
.
a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm mà hãng có thể sản
xuất khi sử dụng hết số vật liệu cho trong B. Tìm một nghiệm cơ sở, với x
2
, x
3
, x
4
là các
ẩn cơ sở, của hệ này bằng phương pháp khử toàn phần. Tính tổng số lãi ứng với kết quả
vừa tìm được.
b) Ký hiệu A
j
là véc tơ cột thứ j của ma trận A với j 1, 4 . Sử dụng kết quả của ý a), viết
biểu diễn tuyến tính của
A
1
qua hệ véc tơ
A
2
, A
3
, A
4
và nêu ý nghĩa kinh tế của nó. Dựa
13
4
3
x
2
7
x
2 1 1
1 0 4
vào ý nghĩa vừa nêu, nếu hãng sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm loại 1, với điều kiện
vẫn sử dụng hết số vật liệu cho trong B, thì tổng số lãi thay đổi như thế nào?
Bài 3.11. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho các véc tơ
3 2 1 4 155
4
x
1
A 4
, A
3
, A
2
, A
2
, B
160
,C , X
1
2
3
4
5
x
2
4
1
3
195
3
4
trong đó A
k
, k 1, 4 là véc tơ định mức thể hiện số đơn vị vật liệu các loại đủ dùng để sản
xuất 1 đơn vị sản phẩm loại
k
, B là véc tơ thể hiện số lượng đơn vị vật liệu các loại mà
hãng sử dụng,
c
j
trong ma trận
C
là lãi của một đơn vị sản phẩm loại j và
x
j
cho trong
ma trận
X
là sản lượng sản phẩm loại j
j 1, 4
a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm mà hãng có thể sản
xuất khi sử dụng hết số vật liệu cho trong B.
b) Tìm một nghiệm cơ sở, với
x
2
, x
3
, x
4
là các ẩn cơ sở, của hệ lập được trong ý a) bằng
phương pháp khử toàn phần. Tính tổng số lãi ứng với kết quả vừa tìm được.
Bài 3.12. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô liệu để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian.
Sau đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma
trận
3 1 0
2 1 1
A
, B
1 0 1
,
1 2 2
4 0 2
trong đó a
ij
cho trong ma trận
A
là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất 1 đơn vị
sản phẩm trung gian loại j, b
jk
cho trong ma trận
B
là số lượng đơn vị sản phẩm trung
gian loại j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k
i 1, 4; j, k 1,3
.
a) Tính số đơn vị vật liệu thô các loại vừa đủ để sản xuất 320, 150, 430 đơn vị sản phẩm
trung gian loại 1, 2, 3 tương ứng.
b) Viết hệ ràng buộc tuyến tính để xác định sản lượng mỗi loại thành phẩm nếu hãng sử
dụng hết số sản phẩm trung gian cho ở ý a). Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm
nghiệm của hệ đó.
c) Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả vừa tính.
14
Bài 3.13. Một hãng dùng 3 loại vật liệu thô liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm trung gian.
Sau đó, từ 4 loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma
trận:
1 3 1 2
2 1 3
3 2 1
A
2 1 2 1
, B
,
2 0 1 3
4 3 2
1 1 3
trong đó
a
ij
cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất 1 đơn vị
sản phẩm trung gian loại j, b
jk
cho trong ma trận
B
là số lượng đơn vị sản phẩm trung
gian loại j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k
i, k 1,3; j 1, 4
.
a) Gọi
x
j
0
với
j 1,3
là số đơn vị thành phẩm loại j mà hãng có thể sản xuất được khi
sử dụng hết 41 đơn vị vật liệu thô loại 1, không quá 38 đơn vị vật liệu thô loại 2 và ít
nhất 27 đơn vị vật liệu thô loại 3. Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định x
j
, j 1, 3 .
b) Tìm một nghiệm riêng của hệ lập được ở ý a) bằng phương pháp khử toàn phần.
Bài 3.14. Một công ty sản xuất 4 loại sản phẩm, biết chi phí và giá bán (10.000 đồng) tính
cho một đơn vị sản phẩm được cho ở bảng sau:
Sản phẩm
A
B
C
D
Chi phí
3
2
4
1
Giá bán
5
3
6
2
a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm cần sản xuất để với
mức chi phí là 210 triệu đồng thì tổng số tiền lãi (tổng doanh thu trừ tổng chi phí) không
dưới 130 triệu đồng và tổng số lượng sản phẩm các loại không dưới 8.000 đơn vị.
b) Bằng phương pháp khử toàn phần, tìm nghiệm cơ sở của hệ ràng buộc viết ở phần a).
Bài 3.15. Một hãng sự định sản xuất 4 loại sản phẩm A, B, C, D. Định mức về chi phí vật
liệu và số tiền lãi (1.000 đồng) trên 1 đơn vị sản phẩm được cho ở bảng sau:
Sản phẩm
A
B
C
D
Chi phí vật liệu
2
2
4
2
Lãi
3
1
3
1
a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng mỗi loại sản phẩm cần sản xuất sao
cho tổng chi phí vật liệu là 300 triệu đồng, tổng số hai loại sản phẩm 1 và 2 không dưới
120.000 đơn vị và tổng số tiền lãi không dưới 420 triệu đồng.
b) Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm một nghiệm cơ sở của hệ ràng buộc viết ở
ý a).
15
Bài 3.16. Một hãng sự định sẽ sản xuất 4 loại sản phẩm A, B, C, D. Định mức về chi phí
vật liệu và lợi nhuận (1.000 đồng) trên 1 đơn vị sản phẩm được cho ở bảng sau:
Sản phẩm
A
B
C
D
Chi phí vật liệu
3
2
3
1
Chi phí tiền công
1
3
1
4
Lợi nhuận
2
1
1
3
a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm cần sản xuất sao
cho tổng chi phí vật liệu 290 triệu đồng, tổng chi phí tiền công không quá 410 triệu đồng
và tổng số lợi nhuận không dưới 320 triệu đồng.
b) Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm số sản phẩm mỗi loại cần sản xuất thỏa
mãn các yêu cầu ở câu a), biết rằng công ty chỉ sản xuất các sản phẩm A, B và D.
Bài 3.17. Người ta sử dụng 3 loại thảo dược I, II và III để chiết xuất ra 2 loại hóa chất A
và B. Lượng hóa chất mỗi loại và chi phí (triệu đồng) tính trên 1 đơn vị thảo dược mỗi
loại khi chiết xuất được cho ở bảng sau:
Thảo dược
I
II
III
Hóa chất A
5
1
3
Hóa chất B
3
2
3
Chi phí
8
5
6
Mỗi loại dược liệu cần sử dụng bao nhiêu để chiết xuất được tối thiểu: 200 đơn vị hóa
chất A, 150 đơn vị hóa chất B và chi phí không vượt quá 350 triệu đồng?
Bài 3.18. Một công ty sử dụng 3 loại dược liệu (DL) I, II, III để chiết xuất ra 3 loại hóa
chất (HC) A, B, C. Biết số đơn vị (đv) hóa chất mỗi loại chiết xuất được từ một đơn vị
dược liệu tương ứng được cho trong bảng sau :
DL
HC
I
II
III
A
2
4
5
B
3
1
2
C
3
2
4
a) Bằng phương pháp khử toàn phần, chỉ ra một phương án mua các loại dược liệu đưa
vào chiết xuất để công ty thu được lượng hóa chất tối thiểu loại 2 và 3 lần lượt là 15, 22
đv và vừa đúng 28 đv hóa chất loại 1.
16
i
i
i
i
b) Nếu giá của 1 đơn vị dược liệu I, II, III lần lượt là 120, 180, 150 nghìn đồng thì chi phí
mua dược liệu của công ty là bao nhiêu?
Bài 3.19. Một doanh nghiệp lựa chọn phương án phân bổ vốn đầu tư vào 3 dự án I, II,
III. Số đơn vị (đv) việc làm và số đv chất thải tạo ra tính trên 1đv vốn đầu tư đối với mỗi
dự án tương ứng được cho trong bảng sau:
Dự án
I
II
III
Số đv việc làm
6
4
7
Số đv chất thải
1
1
2
Cho biết tổng số vốn đầu tư không quá 45 đv, tổng số việc làm tạo ra không dưới 210
đơn vị và số chất thải tạo ra vừa đúng 50 đơn vị. Bằng phương pháp khử toàn phần, hãy
chỉ ra một phương án phân bổ vốn đầu tư vào các dự án.
Bài 3.20. Khảo sát thị trường của 3 loại hàng hóa có liên quan 1, 2, 3. Lượng cung và
lượng cầu của loại hàng hóa i là các hàm phụ thuộc vào giá thị trường
p
i
i 1,3
của cả
3 loại hàng hóa và được cho bởi:
q
s
5 p
q
d
10 2 p p
1
1
1
1
3
Hệ phương trình cung
q
s
p và hệ phương trình cầu
q
d
26 p p trong
2
2
2
2
3
q
s
10 3p
q
d
12 p p p
3
3
3
1
2
3
đó
là tham số thực. Thị trường hàng hóa i được gọi là cân bằng nếu q
s
q
d
, i 1, 3 .
a) Viết hệ phương trình xác định các mức giá
p
1
, p
2
, p
3
làm cân bằng cả ba thị trường của
cả ba loại hàng hóa trên dưới dạng ma trận và tìm điều kiện của
để hệ phương trình
thu được là hệ Cramer.
b) Với 2 , sử dụng phương pháp ma trận nghịch đảo xác định các mức giá cân bằng
thị trường của ba loại hàng hóa trên.
Bài 3.21. Khảo sát thị trường của 3 loại hàng hóa có liên quan 1, 2, 3. Lượng cung và
lượng cầu của loại hàng hóa i là các hàm phụ thuộc vào giá thị trường
p
i
i 1,3
của cả
3 loại hàng hóa và được cho bởi:
q
s
12
p
q
d
20
3
p
p
1
1
1
1
2
Hệ phương trình cung
q
s
14 2p
, và hệ phương trình cầu
q
d
17 2p 2p
p
2
2
2
1
2
3
q
s
9
3
p
q
d
70
p
3p
3
3
3
1
2
trong đó
là tham số
thực. Thị trường
hàng
hóa i được gọi là cân bằng
nếu
q
s
q
d
, i 1,3 .
17
3
4
a
1
2
3
4
a) Hãy lập hệ phương trình để xác định các mức giá
p
1
, p
2
, p
3
làm cân bằng cả ba thị
trường của cả ba loại hàng hóa trên dưới dạng ma trận. Tìm điều kiện của
để hệ
phương trình thu được là hệ Cramer.
b) Với 1, sử dụng phương pháp khử toàn phần xác định các mức giá cân bằng thị
trường của ba loại hàng hóa trên.
Bài 3.22*. Hãy xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình sau vô nghiệm, có
nghiệm duy nhất, vô số nghiệm:
x 2x
2x x
2
5x x 2x 1
1 2 3 4
1 2 3
2x 2 x x x 1
a)
x
2x 3x 2 ; b)
1 2 3 4
.
1 2 3 3x x 2x x
2
x x mx 0
1 2 3 4
1 2 3
x x
x mx
1
1 2 3 4
Bài 3.23*. Cho hệ véc tơ
S
1
A
1
1, 2,1, 3
, A
2
2,1,1,0
, A
3
1, 1,0, 3
. Đặt A là
ma trận có các cột tương ứng là
A
1
, A
2
, A
3
. Viết dạng tường minh của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất dạng ma trận AX O và xét xem hệ có nghiệm không tầm
thường hay không?
1 4 6 4
x

1
1 5 9 2 x
Bài 3.24*. Cho hệ phương trình dạng ma trận

2
B.
1 1 2 3
x
3
4 1 3 6
x
4
a) Với
B
10,14, 3, 4
T
bằng phương pháp khử toàn phần hãy chỉ ra công thức
nghiệm tổng quát của hệ đã cho với x2 là một ẩn tự do.
b) Chỉ ra hệ nghiệm cơ bản của hệ đã cho khi B O .
Bài 3.25*. Cho ma trận
A
a
ij
với
4
ij
khi i j
với mọi
i, j 1, 4
và ma trận
44
1
khi i j
X
x x x x
T
. Chứng minh phương trình
AX 0
4
có nghiệm duy nhất.
18
1
2
3
1 2 3
1
2
3
1 1 2 2
CHỦ ĐỀ 4: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Bài 4.1. Sử dụng định nghĩa, kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương sau:
a) q
X
4x
2
3x x 2x
2
, trong
2
;
b) q
X
x
2
6x x 9x
2
, trong
2
;
1 1 2 2
c) q
X
4x
2
x
2
2x
2
2x x 6x x , trong
1 2 3 1 2 1 3
Bài 4.2. Viết lại các dạng toàn phương sau dưới dạng ma trận và kiểm tra tính xác định
dấu của các dạng toàn phương đó bằng cách sử dụng phương pháp tính các định thức
con chính dẫn đầu.
a) q
x
1
, x
2
, x
3
x
2
4x x x
2
x x
4x x .
1
1 2
2
1 3
2 3
b) q
x
1
, x
2
, x
3
2x
2
x
2
6x x 2x x
4x x .
2
3
1 2
1 3
2 3
c)
q
x
1
, x
2
, x
3
4x
2
x
2
2x
2
2x
1
x
2
6 x
1
x
3
.
Bài 4.3. a) Cho dạng toàn phương
q
x , x , x
2x
2
3x
2
x
2
4x x
3x x
5x x
1 2 3 1 2 3 1
2 1 3 2
3
a) Hãy chỉ ra 2 ma trận A, B khác nhau sao cho
q
x , x , x
X
T
AX X
T
BX
và kiểm tra
tính xác định dấu của dạng toàn phương đó.
1 3
b) Cho ma trận
A
1
4 2
. Tìm để
2 7 5
X
T
A
X 0, X 0
3
.
1 1 1
x
1
c) Cho dạng toàn phương
q( X )
x
1
, x
2
, x
3
5 7 0
x
2
. Viết lại
q
X
dưới dạng
1 2

x
3
giải tích và tìm điểu kiện của để
q
X
là dạng toàn phương xác định âm.
Bài 4.4. Cho dạng toàn phương q
x
1
, x
2
, x
3
2x
2
4x
2
2x
2
4x
1
x
2
x
2
x
3
2x
1
x
3
, với
là tham số thực.
a) Tìm sao cho
q
1,1, 2
20.
b) Với 0 , viết dạng toàn phương đã cho về dạng ma trận và kiểm tra tính xác định
dấu của dạng toàn phương đó.
Bài 4.5. Hãy cho một ma trận vuông A có cấp 2 mà dạng toàn phương q( X ) X
T
AX
không xác định dấu. Sau đó, chỉ ra 2 véc tơ
X
1
,
X
2
2
:
Q
X
1
Q
X
2
0
.
Bài 4.6. Ba hãng cùng tham gia sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu x
i
, p
i
lần
lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i ( i 1, 2, 3 ). Biết sản lượng
của mỗi hãng phụ thuộc vào giá bán sản phẩm của tất cả các hãng như sau:
x
1
35
mp
1
p
2
p
3
,
x
2
35
p
1
2
p
2
p
3
,
x
3
20
p
1
p
2
2
p
3
.
19
3
.
a) Giả sử sản lượng của ba hãng lần lượt là
90; 60
và
80
, tìm điều kiện của tham số
m
để
doanh thu của hãng thứ nhất bằng tổng doanh thu của hai hãng còn lại.
b) Với
m
tìm được ở câu a), hãy biểu diễn dưới dạng ma trận hàm tổng doanh thu của hãng 1
và hãng 2.
Bài 4.7. Ba hãng cùng tham gia sản suất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu x
i
, p
i
lần
lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i, (i = 1, 2, 3). Biết giá bán sản
phẩm của mỗi hãng phụ thuộc vào sản lượng của tất cả các hãng như sau:
p
1
340
2x
1
x
3
, p
2
380
2x
1
3x
2
2x
3
, p
3
240
2x
2
4x
3
a) Biểu diễn dưới dạng biểu thức ma trận hàm tổng doanh thu của cả 3 hãng theo biến
x
1
, x
2
, x
3
. Kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương có trong biểu thức của hàm
tổng doanh thu đó.
b) Biểu diễn dưới dạng biểu thức ma trận của hàm tổng doanh thu của hai hãng 1 và 2
theo
x
1
,
x
2
,
x
3
.
Bài 4.8. Ba hãng cùng tham gia sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu x
i
, p
i
lần
lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i ( i 1, 2, 3 ). Biết sản lượng
của mỗi hãng phụ thuộc vào giá bán sản phẩm của tất cả các hãng như sau :
x
1
40
2
p
1
2
p
2
2
p
3
,
x
2
90
p
1
2
p
2
4
p
3
,
x
3
70
p
1
p
2
2
p
3
.
a) Hãy tính tổng doanh thu của cả ba hãng, biết rằng sản lượng của ba hãng lần lượt là 130,
105 và 125.
b) Tính và biểu diễn dưới dạng ma trận hàm tổng doanh thu của cả 3 hãng theo biến
X
x
1
x
2
x
3
T
. Kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương có trong biểu thức
của hàm tổng doanh thu nói trên.
Bài 4.9. Ba hãng cùng tham gia sản suất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu x
i
, p
i
lần
lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i, (i = 1, 2, 3). Biết sản lượng
của mỗi hãng phụ thuộc vào giá bán sản phẩm của tất cả các hãng như sau:
x
1
200
3
p
1
p
2
2
p
3
,
x
2
150
2
p
1
p
2
p
3
,
x
3
170
p
1
3
p
2
2
p
3
a) Bằng phương pháp định thức, hãy xác dịnh mức giá của mỗi hãng để sản lượng của
ba hãng lần lượt là 200, 160 và 190.
b) Tính và biểu diễn dưới dạng ma trận hàm tổng doanh thu của cả 3 hãng theo biến
p
1
, p
2
, p
3
. Kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương có trong biểu thức của hàm
tổng doanh thu đó.
20

Tài liệu khác của Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

Preview text:

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH
KHOA CƠ BẢN - BỘ MÔN TOÁN
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP HỌC PHẦN I
CHỦ ĐỀ 1: KHÔNG GIAN VÉC TƠ ℝ𝒏
Bài 1.1. Trong không gian 4 , cho các véc tơ:
A 2,1, 3, 0; B  1,  2, 0,  1; C 1, 2,  1, 4; D  4,  5,1, 3 .
Tính 2 A B; 3A  2B; A B  2C; B  3D ; A  2B, C .
Bài 1.2 . Trong không gian 4 cho hệ véc tơ:
A  1, 3, 0, 1; A  1, 2, 1, 2; A  3,1,1, 2 . 1 2 3
Lập và tính các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ trên ứng với bộ hệ số sau:
a) 1  2; 2  1; 3  3;
b) 1  1; 2  3; 3  2 .
Bài 1.3. Hãy viết biểu diễn tuyến tính véc tơ X qua hệ véc tơ A  1, A2 , A3 , trong các trường hợp sau:
a) A1  3, 2; A2  0, 1; A3  2,1; X  1, 4 .
b) A1  1, 0, 2; A2   2, 1, 0 ; A3  1,1, 3 ; X   3,1, 1 .
c) A1  1, 1, 0; A2  2, 3, 1; A3  0, 5, 1; X  2,1, 5 .
Bài 1.4. Sử dụng định nghĩa, xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ sau:
a) A  3, 2; A  1, 4; A  2, 1. 1 2 3
b) A  1, 1, 2; A  3, 0,1 ; A   2,1, 4 . 1 2 3
c) A  0, 2,1; A  2,1, 3; A  6, 1, 7. 1 2 3
Bài 1.5. Xét xem hệ véc tơ sau có là cơ sở của không gian tương ứng không?
a) A  2, 5; A  1, 4, không gian 1 2
b) A  0, 1,1; A  2,1, 1; A  4, 1,1 , không gian 3 . 1 2 3 c) 3
A  1, 1, 2; A  0, 2, 3; A  1, 3, 1, không gian . 1 2 3 1
Bài 1.6. Bằng định nghĩa, chỉ ra một cơ sở và tìm biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn
lại qua cơ sở của hệ véc tơ:
a) A  1, 3; A  5, 2; A  1, 0; A  2,1. 1 2 3 4
b) A  2,1, 1; A  1, 0, 2 ; A   0,1, 3 ; A   1,2,4 . 1 2 3 4
Bài 1.7. Cho hệ véc tơ S  A  1,1, 2; A  1, 2, 0; A  1, 0, 0; A  3, 4, 4. Chứng 1 2 3 4 minh hệ S
1  A1, A2 , A3 là một cơ sở của S . Hãy chỉ ra một cơ sở S2 của S khác S1. 3
Bài 1.8. Cho ví dụ một cơ sở (khác cơ sở chính tắc) của không gian véc tơ và tìm tọa
độ của véc tơ X  2, 1, 3 qua cơ sở đó.
Bài 1.9. Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm. Cho các véc tơ: 1   2  1   3   3           
A  2 ; A  1 ; A  2 ; A  1 ; A  0 , 1
  2   3   4   5             1 1 2 2 1          
trong đó A là véc tơ định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j. j
a) Chứng minh rằng, hệ B  A  2 , A4 , A5
là một hệ độc lập tuyến tính.
b) Viết biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn lại qua hệ B và nêu ý nghĩa kinh tế của
biểu diễn tuyến tính đó.
c) Tính số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng được 15, 40, 30, 60,
20 đơn vị sản phẩm từ loại 1 đến loại 5.
Bài 1.10*. Trong không gian 3 , cho hai hệ véc tơ:
A   x , x , x
A   x , x , x , x   1 2 3 1 2 3 4  S  B  
y1, y2 , y3  và 1 2 3 4
C   z , z , z 
S   B   y , y , y , y 
C   z , z , z , z     1 2 3  1 2 3 4
Chứng minh rằng, nếu hệ S độc lập tuyến tính thì hệ S  cũng độc lập tuyến tính và nếu
hệ S  phụ thuộc tuyến tính thì hệ S cũng phụ thuộc tuyến tính.
Bài 1.11*. Cho A, B là các véc tơ trong không gian
n . Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng:
a) Các hệ véc tơ A, B và A B, A B cùng độc lập tuyến tính hoặc cùng phụ thuộc tuyến tính.
b) h A, B  h A, B, A B . 2
Bài 1.12*. Trong không gian n , cho hệ véc tơ S  A, B, C, X . Chứng minh rằng nếu S
độc lập tuyến tính thì hệ A X , B X , C X  cũng độc lập tuyến tính, điều ngược lại có đúng không?
Bài 1.13*. Cho các vec tơ A, B, C n . Chứng minh rằng:
a) Nếu hệ véc tơ A, B phụ thuộc tuyến tính và C biểu thị tuyến tính qua A, B thì:
h A, B  h A, B, C  .
b) Nếu hệ véc tơ A, B độc lập tuyến tính và A  2B  3C  0n thì các véc tơ A, B, C đều khác véc tơ 0 . n
c) Nếu h A, B   h A  thì B được biểu thị tuyến tính qua A.
Bài 1.14*. Cho các véc tơ A, B,C, D n , biết rằng A B C D O và hệ A, B, C độc n
lập tuyến tính. Chứng minh rằng các hệ con A, C, D; B, C, D đều là cơ sở của
A, B, C, D
Bài 1.15*. Cho F , i  1, 3 3 i
là các vec tơ trong không gian
có các thành phần thứ i
tương ứng bằng 1i , các thành phần còn lại bằng 0. Chứng tỏ hệ F , i  1, 3 là một cơ i 3 3 sở của
và tìm biểu diễn tuyến tính của vec tơ bất kì X  qua cơ sở đó. 3
CHỦ ĐỀ 2: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC
Bài 2.1. Cho hai ma trận:  2 1 3   1 3 4   ; . A   2 B   1 2 1 0 2    
a) Tính A B; A B; 2A  3B; 3A  5B .
b) Tìm các ma trận X,Y biết rằng: A  3X B; 22A B Y   Y  3A  5B .
Bài 2.2. Cho các ma trận:   2 1 3   2 1  1 1 1       ; A   2
B   3 1  ; C   2 3 0 . 1 0        2 3 1 2 4     
a) Tính AC; C(2B); 2A BT C.
b) Tìm ma trận X biết rằng: X 2AT B  0  1x2
Bài 2.3. Cho ví dụ về các ma trận A, B thỏa mãn:
a) Tồn tại AB nhưng không tồn tại BA.
b) Tồn tại AB , tồn tại BA nhưng AB BA .
c) Tồn tại AB , tồn tại BA và AB BA .
Bài 2.4. Tính định thức của các ma trận sau:   1 0 3   3 2 1 1    3 2    2 0 1 1  a)    ; b)   2 2 1  ; c)    1 5   2 4 1 1 1 2 3       1 1 3 1  
Bài 2.5. Sử dụng các tính chất của định thức, hãy giải thích tại sao các định thức sau có giá trị bằng 0? 1 3 0 2 1 1 2 3 1 a) 1 5 0 ; b) 0 0 0 ; c) 1 0 1 ; 1 3 0 3 5 4 3 5 2  2 1 1 1 1 3 1 0 3 2 1 d) 1 0 2 ; e) . 2 1 1 1 1 3 3 3 5 4 2 4
Bài 2.6. Giải các phương trình sau: 1 x 1 x 1 2 2 1 a)  0; 1 3  x b) 3 1 1   . 1 3 x  5 1 1
Bài 2.7. Tìm  để mỗi ma trận sau không suy biến:   1 3     3 2  a) ; b) 0  2 .     5       3 1 2 
Bài 2.8. Cho các ma trận:  2 1 1  2 1 1  1 1      A    ;  1 3 0  ;    B   C  1. 2 1 2 0 1 3  2     0 3    
Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo: a) AX C.
b) XA CT B.
Bài 2.9. Bằng việc tính định thức hoặc hạng của ma trận, hãy xét sự độc lập tuyến tính,
phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau:
a) A  0, 3, 1; A  5,3,1; A  1, 2,0. 1 2 3
b) A  0,1, 2,3; A  3, 2,3, 0 ; A  5,3, 4,3. 1 2 3
c) A  2,1,3,0,0; A  3,1,1, 2,1; A  1,0, 2, 2,0; A  4,1, 1, 4, 2. 1 2 3 4
d) A  3,5,1,7, A  1, 3, 3, 5, A  3, 2, 5,1, A  2,3,0, 4, A  5, 4, 7,1. 1 2 3 4 5
Bài 2.10. Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm hạng, một cơ sở và viết các biểu thị
tuyến tính của các hệ véc tơ ngoài cơ sở qua cơ sở đối với mỗi hệ véc tơ sau:
a) A  2,1, 4; A  3,6,5; A  9,3, 7. 1 2 3
b) A  1, 2, 1; A  0,1, 2; A  1, 4,1 ; A  1, 4,3 ; A  1,5,1. 1 2 3 4 5
c) A  2, 1,0, 2; A  1, 2,1, 3; A  1, 4,3, 5. 1 2 3
d) A  2,7,1, 4, A  3, 2,0,1, A  5,1,1,5, A  3, 8, 2,3, A  3,1,1, 3. 1 2 3 4 5 5
Bài 2.11. Một doanh nghiệp sử dụng 4 loại vật liệu thô I, II, III, IV để sản xuất 3 loại sản
phẩm X, Y, Z. Định mức tiêu hao vật liệu thô cho mỗi đơn vị sản phẩm mỗi loại được cho ở bảng sau: Loại
Định mức nguyên liệu cho 1 đơn vị sản phẩm vật liệu thô X Y Z I 2 4 5 II 4 3 2 III 3 1 4 IV 5 4 3
a) Hãy mô tả dưới dạng ma trận bảng định mức tiêu hao nguyên liệu trên.
b) Viết dưới dạng biểu thức ma trận và tính giá trị của biểu thức để xác định số lượng
vật liệu thô các loại đủ để sản xuất 30, 50, 20 đơn vị các loại sản phẩm X, Y, Z tương ứng.
Bài 2.12. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu thô R1, R2 và R3 để sản xuất 4 loại sản phẩm
trung gian S1, S2, S3 và S4. Sau đó, từ 4 loại sản phẩm trung gian người ta có thể sản xuất
ra 2 loại thành phẩm F1 và F2. Hai bảng dưới đây cho biết định mức vật liêu thô cho các
sản phẩm trung gian và định mức sản phẩm trung gian cho các loại thành phẩm: Loại
Định mức vật liệu thô cho 1 đơn vị sản phẩm trung gian vật liệu thô S1 S2 S3 S4 R1 3 1 2 4 R2 1 3 1 2 R3 2 4 3 1 Loại
Định mức sản phẩm trung gian cho 1 đơn vị thành sản phẩm trung gian phẩm F1 F2 S1 5 3 S2 2 1 S3 1 4 S4 4 2
a) Viết các ma trận định mức vật liệu thô cho mỗi đơn vị sản phẩm trung gian, định mức
sản phẩm trung gian cho mỗi đơn vị thành phẩm và ma trận định mức vật liệu thô cho
mỗi đơn vị thành phẩm. 6
b) Viết biểu thức ma trận và thực hiện các phép toán cần thiết để tính số lượng các loại
vật liệu thô vừa đủ để sản xuất 120 đơn vị thành phẩm F1 và 150 đơn vị thành phẩm F2.
Bài 2.13. Bảng dưới đây cho biết định mức vật liệu cho 1 đơn vị sản phẩm các loại của một doanh nghiệp: Loại
Định mức vật liệu cho các loại sản phẩm vật liệu P1 P2 P3 P4 P5 R1 3 1 2 2 1 R2 1 2 0 1 3 R3 2 3 1 2 4
Ký hiệu P , j  1, 5 là véc tơ thể hiện định mức vật liệu cho 1 đơn vị sản phẩm thứ j. j
a) Sử dụng phương pháp khử toàn phần, chứng tỏ rằng B  P , P , P  là một cơ sở của 2 3 4
P , j  1, 5. j
b) Viết và nêu ý nghĩa kinh tế của các biểu thị tuyến tính của P1 và P5 qua cơ sở B.
c) Tính số vật liệu vừa đủ để sản xuất 20 đơn vị sản phẩm P2 , 30 đơn vị sản phẩm P3 và
50 đơn vị sản phẩm P , không sản xuất sản phẩm P và P . 4 1 5
d) Nếu sử dụng hết lượng vật liệu vừa tính ở ý c), hãng muốn sản xuất 1 đơn vị sản
phẩm P5 (vẫn không sản xuất sản phẩm P1 ) thì số lượng của 3 loại sản phẩm còn lại
thay đổi như thế nào? Số đơn vị sản phẩm P5 có thể sản xuất tối đa là bao nhiêu?
Bài 2.14. Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho hai ma trận  0 3 2 1  
A   3 1 1 3 , X  5 2 0 4    1 2 2 1 
trong đó a cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất 1 đơn vị ij
sản phẩm loại j, x cho trong ma trận X là số đơn vị sản phẩm loại j mà hãng dự định j
sản xuất i  1, 3; j  1, 4 .
a) Sử dụng phép nhân ma trận, tính số lượng vật liệu các loại vừa đủ để sản xuất số
lượng các loại sản phẩm cho trong X. 7
b) Ký hiệu A là véc tơ cột thứ j của ma trận A với j  1, 4 . Bằng phương pháp khử toàn j
phần, tìm biểu diễn tuyến tính của A qua hệ véc tơ A , A , A  và nêu ý nghĩa kinh 3 1 2 4 tế.
c) Sử dụng ý nghĩa vừa nêu ở phần b, với điều kiện sử dụng hết số lượng vật liệu được
tính ở phần a, nếu hãng muốn sản xuất 1 đơn vị sản phẩm loại 3, thì số lượng các loại
sản phẩm còn lại là bao nhiêu và số đơn vị sản phẩm loại 3 có thể sản xuất tối đa là bao nhiêu?
Bài 2.15. Một hãng dùng 3 loại vật liệu thô để sản xuất 5 loại sản phẩm. Biết định mức
của 3 loại vật liệu dùng để sản xuất 5 loại sản phẩm được cho bởi ma trận:  2 4 1 3 5    A
 2 2 3 1 3    1 1 4 3 4 
với a cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i cần để sản xuất ra 1 đơn vị sản ij
phẩm loại j i  1,3; j  1,5; x là số đơn vị sản phẩm loại j mà hãng dự định sản j xuất.
a) Ký hiệu A là véc tơ cột thứ j của ma trận A, j  1,5. Bằng phương pháp khử toàn j
phần, chứng minh hệ véc tơ B  A , A , A  là một cơ sở của hệ A : j  1,5. 1 3 4 j
b) Tìm biểu thị tuyến tính của A4 , A5 qua B và nêu ý nghĩa kinh tế của nó.
c) Tính tổng số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 34 đơn vị sản phẩm loại 2 và 17
đơn vị sản phẩm loại 3, biết rằng số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 3 đơn vị sản
phẩm loại 1 và 1 đơn vị sản phẩm loại 4 là 27 triệu đồng.
Bài 2.16. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Sau
đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma trận:  2 1 1     2 1 1  4 1 2    A  , B   1 1 1 ,   3 2 2      1 0 2   2 0 3  
với a cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất 1 đơn vị sản ij
phẩm trung gian loại j, b cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian loại jk
j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k i  1, 4; j, k 1,3.
a) Tính số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất 120,130, 240 đơn vị sản phẩm
trung gian loại 1, 2, 3 tương ứng. 8
b) Gọi M là tổng các phần tử thuộc hàng 2 của ma trận AB . Tính 3M và nêu ý nghĩa
kinh tế của kết quả tìm được.
Bài 2.17. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Từ 3
loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất ra 4 loại thành phẩm. Cho các ma trận:  3 4 5   30     1 2 3 4    2 2 4    45  A    và X  .  ; B   1 1 3  4 3 2 1   6 5 3 2  25        3 2 1   35  
với a cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất ra 1 đơn vị ij
sản phẩm trung gian loại j , b cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian jk
loại j cần để sản xuất ra 1 đơn vị thành phẩm loại k và x cho trong ma trận X là số k
đơn vị thành phẩm loại k mà hãng dự định sản xuất i, k  1, 4; j  1,3 .
a) Tính số đơn vị sản phẩm trung gian mỗi loại vừa đủ để sản xuất được số lượng thành phẩm cho trong X.
b) Tính số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất được ma trận thành phẩm X .
c) Kí hiệu A j  1,3 là véc tơ cột thứ j của ma trận A. Tính 3A  2A A và nêu ý j 1 2 3
nghĩa kinh tế của kết quả vừa tìm được.
d) Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của cột 2 trong ma trận AB .
Bài 2.18. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Từ 3
loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất ra 4 loại thành phẩm. Cho các ma trận:  3 4 5   30     1 2 3 4    2 2 4    45  A    và X  .  ; B     1 1 3  4 3 2 1 6 5 3 2  25        3 2 1   35  
với a cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất ra 1 đơn vị ij
sản phẩm trung gian loại j , b cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian jk
loại j cần để sản xuất ra 1 đơn vị thành phẩm loại k và x cho trong ma trận X là số k
đơn vị thành phẩm loại k mà hãng dự định sản xuất i, k  1, 4; j  1,3 .
a) Tính số đơn vị sản phẩm trung gian mỗi loại vừa đủ để sản xuất được số lượng thành phẩm cho trong X. 9
b) Tính số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất được số đơn vị thành phẩm cho trong X .
c) Kí hiệu A j  1,3 là véc tơ cột thứ j của ma trận A. Tính 3A  2A A và nêu ý j 1 2 3
nghĩa kinh tế của kết quả vừa tìm được.
d) Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của cột 2 trong ma trận AB .
Bài 2.19: Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Sau
đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian sản xuất 5 loại thành phẩm. Cho các ma trận:  3 1 0     1 2 0 2 1  2 1 1    A  ; B   3 2 1 3 4  1 0 4       2 0 1 1 3  4 0 2  
Trong đó a cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i dùng để sản xuất 1 đơn ij
vị sản phẩm trung gian j và b cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian j jk
dùng để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm k. Cho Y 0  10 15 5T là véc tơ số đơn vị sản
phẩm trung gian hãng dự định sản xuất.
a) Viết biểu thức ma trận và thực hiện các phép toán để tính số lượng vật liệu thô đủ để
sản xuất số lượng sản phẩm trung gian Y 0 .
b) Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả vừa tính.
Bài 2.20*. Cho hệ véc tơ:
S  A  1,1, 2; A  0,1, 1; A  2,1,1; A  3,3, 2; A  2, 1,3. 1 2 3 4 5
a) Chứng tỏ rằng hệ véc tơ B  A , A , A  là một cơ sở của S. 1 2 3
b) Hệ véc tơ  A , A , A  có phải là một cơ sở của S hay không ? Vì sao ? 1 3 5
c) Dùng phương pháp khử toàn phần, tìm các biểu thị tuyến tính của A4 , A5 qua B.
d) Tìm các biểu thị tuyến tính của A , A qua B bằng phương pháp ma trận nghịch đảo. 4 5
Bài 2.21*. Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn điều kiện A3  B BA , biết
det B  0 . Chứng minh rằng A là ma trận không khả nghịch.
Bài 2.22*. Cho A là ma trận vuông cấp 3, biết A1  3A2 tính A .
Bài 2.23*. Cho A là ma trận vuông cấp 2021 thỏa mãn A1  A . Tính A I . 17 6 
Bài 2.24*. Cho ma trận A   . Tính A6. 35 12   10
Bài 2.25*. Tính định thức của các ma trận sau:   0   a 1 0 ... 0 1 2 3  0 ... n    2 2 3  ... n x 1 ... 0 0 a1     0  a)  3 3 3 ... n  b) a 0 x ... 0    2  ... ... ... ... ...    ...  ... ... ... ... n   1
n n n ... n 
na 1 0 0 ... x   
 a n 0 0 ... 0 x    2 3 1    1 0 2   
Bài 2.26*. Cho ma trận A    B    0 1  2  1 4 ,  1 3 1     
a) Tìm  để ma trận A là không suy biến.
b) Với   1 hãy tìm ma trận X thỏa mãn XA B X , bằng phương pháp ma trận nghịch đảo. 11
CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 3.1. Cho hệ phương trình:
x  2x x x  14  1 2 3 4
2x1  x  3x  2x  12  2 3 4
x x x  8.  2 3 4
a) Viết dạng ma trận, dạng véc tơ của hệ phương trình đã cho.
b) Sử dụng dạng ma trận và dạng véc tơ, chứng minh rằng véc tơ X  1, 5, 3,0T là một
nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Bài 3.2. Tìm  để hệ phương trình tuyến tính sau là hệ Cramer và với   1 tìm nghiệm
của hệ tương ứng theo phương pháp ma trận nghịch đảo. 2x x x  3  x 5x 4x  7  1 2 3 1 2 3  a)  x 2x 2x  1 . b) 2x 9x x  4  1 2 3  1 2 3 3x x  5. 3x 11x 7x  17.  1 3  1 2 3   1 2   3 2  x x 
Bài 3.3. Cho các ma trận A   , B    và X   1
2 . Viết lại phương trình  3 4   1 5   x x 3 4 
AX B dưới dạng một hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số x , x , x , x . Hệ 1 2 3 4
phương trình này có là hệ Cramer không? Vì sao?
Bài 3.4. Cho hệ phương trình tuyến tính:  0   1   3   2          x 1  x 1  x 1  1 . 1 
 2   3             1 1 3 2        
Chứng tỏ rằng hệ phương trình đã cho là hệ Cramer, viết hệ dưới dạng ma trận và dạng
tường minh rồi tìm nghiệm của hệ bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.
Bài 3.5. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp khử toàn phần (tìm nghiệm
tổng quát và chỉ ra một nghiệm riêng của hệ)  x x x x  1
x  2 x  3x x   5 1 2 3 4  1 2 3 4   x
x  2x  2
a) 2x x x  4x  1 , b)  1 3 4 . 1 2 3 4 
2 x x  3x x  0
x  2x  3x  3 x  1  1 2 3 4   1 2 3 4
x  2x x   1  1 2 3
x  2 x  3x x   5  1 2 3 4
2x x x  4x  1 .
Bài 3.6. Cho hệ phương trình 1 3  2 4
x  2x  3x  3 x  1  1 2 3 4 12
Bằng phương pháp khử toàn phần, tìm công thức nghiệm tổng quát của hệ đã cho và
chỉ ra một nghiệm riêng của hệ thỏa mãn 4x x  1 . 2 4
Bài 3.7. Tìm một nghiệm không âm của hệ ràng buộc sau
x  2 x x  x  2 x  3
x  3x x  3x  7  1 2 3 4 5 1 2 3 5  a) 3 x    1
x  5x  2x  2 ; b) 2x 2x 2 x  12 .  3 4 5  1 2
2x x x  2x x  3
4x  x  2x  2x 4  x  12  1 2 3 4 5  1 2 3 4 5
Bài 3.8. Tìm một nghiệm của hệ ràng buộc sau bằng phương pháp khử toàn phần
2 x  x  3x  4
2 x1  x     2 x3 2x4 x5 1   1 2 3
x  2x x  2x   3  x      1 2x2
x3 3x4 2x5 1  1 2 3 4 a)   ; b)  .
5 x x x  3 x x  3 x      1
x2 2x3 x4 x5 0  1 2 3 4 5  x
  0, j  1, 5
x  0, j  1, 5. j  j
Bài 3.9. Chuyển các hệ hỗn hợp sau về dạng chính tắc rồi tìm một nghiệm của hệ:
2 x  x  3x   4
x  2x  x x  9  1 2 3 1 2 3 4
x  x  2x  3
 x  x  2x  2x   10  1 2 3  1 2 3 4 a)  ; b)  .
3 x  4x x  5
x  3x  4x x  4  1 2 3  1 2 3 4
x  0, j  1, 3 x   0, j  1, 4 j j
Bài 3.10. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho các ma trận  2 1 1 2   28      T
A  1 2 3 1 , B  49 ,C  4 3 5 7 , X  x x x x  ,     1 2 3 4   2 1 1 3     33 
trong đó a cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất 1 đơn vị ij
sản phẩm loại j, b cho trong ma trận B là số lượng đơn vị vật liệu loại i mà hãng sử i
dụng, c cho trong ma trận C là lãi của một đơn vị sản phẩm loại j và x cho trong ma j j
trận X là sản lượng sản phẩm loại j i  1,3; j  1, 4 .
a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm mà hãng có thể sản
xuất khi sử dụng hết số vật liệu cho trong B. Tìm một nghiệm cơ sở, với x2 , x3, x4 là các
ẩn cơ sở, của hệ này bằng phương pháp khử toàn phần. Tính tổng số lãi ứng với kết quả vừa tìm được.
b) Ký hiệu A là véc tơ cột thứ j của ma trận A với j  1, 4 . Sử dụng kết quả của ý a), viết j
biểu diễn tuyến tính của A qua hệ véc tơ A
 và nêu ý nghĩa kinh tế của nó. Dựa 1 2 , A3, A4 13
vào ý nghĩa vừa nêu, nếu hãng sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm loại 1, với điều kiện
vẫn sử dụng hết số vật liệu cho trong B, thì tổng số lãi thay đổi như thế nào?
Bài 3.11. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho các véc tơ  3   2   1   4   155   4   x     1   
A  4 , A    3 , A    2 , A
2 , B  160 ,C  , X  1
  2   3   4        3   x2      5   x   2   4   1   3   195     3               7  x    4  
trong đó A , k  1, 4 là véc tơ định mức thể hiện số đơn vị vật liệu các loại đủ dùng để sản k
xuất 1 đơn vị sản phẩm loại k , B là véc tơ thể hiện số lượng đơn vị vật liệu các loại mà
hãng sử dụng, c trong ma trận C là lãi của một đơn vị sản phẩm loại j và x cho trong j j
ma trận X là sản lượng sản phẩm loại j j  1, 4
a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm mà hãng có thể sản
xuất khi sử dụng hết số vật liệu cho trong B.
b) Tìm một nghiệm cơ sở, với x2 , x3, x4 là các ẩn cơ sở, của hệ lập được trong ý a) bằng
phương pháp khử toàn phần. Tính tổng số lãi ứng với kết quả vừa tìm được.
Bài 3.12. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô liệu để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian.
Sau đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma trận  3 1 0     2 1 1  2 1 1   A     , B   1 0 4  1 0 1  ,  1 2 2      4 0 2 
trong đó a cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất 1 đơn vị ij
sản phẩm trung gian loại j, b cho trong ma trận B là số lượng đơn vị sản phẩm trung jk
gian loại j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k i  1, 4; j, k 1,3.
a) Tính số đơn vị vật liệu thô các loại vừa đủ để sản xuất 320, 150, 430 đơn vị sản phẩm
trung gian loại 1, 2, 3 tương ứng.
b) Viết hệ ràng buộc tuyến tính để xác định sản lượng mỗi loại thành phẩm nếu hãng sử
dụng hết số sản phẩm trung gian cho ở ý a). Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm nghiệm của hệ đó.
c) Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả vừa tính. 14
Bài 3.13. Một hãng dùng 3 loại vật liệu thô liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm trung gian.
Sau đó, từ 4 loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma trận:   2 1 3  1 3 1 2      3 2 1 A    
2 1 2 1  , B   ,  4 3 2  2 0 1 3      1 1 3  
trong đó a cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất 1 đơn vị ij
sản phẩm trung gian loại j, b cho trong ma trận B là số lượng đơn vị sản phẩm trung jk
gian loại j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k i, k  1,3; j 1, 4 .
a) Gọi x  0 với j  1,3 là số đơn vị thành phẩm loại j mà hãng có thể sản xuất được khi j
sử dụng hết 41 đơn vị vật liệu thô loại 1, không quá 38 đơn vị vật liệu thô loại 2 và ít
nhất 27 đơn vị vật liệu thô loại 3. Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định x , j  1, 3 . j
b) Tìm một nghiệm riêng của hệ lập được ở ý a) bằng phương pháp khử toàn phần.
Bài 3.14. Một công ty sản xuất 4 loại sản phẩm, biết chi phí và giá bán (10.000 đồng) tính
cho một đơn vị sản phẩm được cho ở bảng sau: Sản phẩm A B C D Chi phí 3 2 4 1 Giá bán 5 3 6 2
a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm cần sản xuất để với
mức chi phí là 210 triệu đồng thì tổng số tiền lãi (tổng doanh thu trừ tổng chi phí) không
dưới 130 triệu đồng và tổng số lượng sản phẩm các loại không dưới 8.000 đơn vị.
b) Bằng phương pháp khử toàn phần, tìm nghiệm cơ sở của hệ ràng buộc viết ở phần a).
Bài 3.15. Một hãng sự định sản xuất 4 loại sản phẩm A, B, C, D. Định mức về chi phí vật
liệu và số tiền lãi (1.000 đồng) trên 1 đơn vị sản phẩm được cho ở bảng sau: Sản phẩm A B C D Chi phí vật liệu 2 2 4 2 Lãi 3 1 3 1
a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng mỗi loại sản phẩm cần sản xuất sao
cho tổng chi phí vật liệu là 300 triệu đồng, tổng số hai loại sản phẩm 1 và 2 không dưới
120.000 đơn vị và tổng số tiền lãi không dưới 420 triệu đồng.
b) Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm một nghiệm cơ sở của hệ ràng buộc viết ở ý a). 15
Bài 3.16. Một hãng sự định sẽ sản xuất 4 loại sản phẩm A, B, C, D. Định mức về chi phí
vật liệu và lợi nhuận (1.000 đồng) trên 1 đơn vị sản phẩm được cho ở bảng sau: Sản phẩm A B C D Chi phí vật liệu 3 2 3 1 Chi phí tiền công 1 3 1 4 Lợi nhuận 2 1 1 3
a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm cần sản xuất sao
cho tổng chi phí vật liệu 290 triệu đồng, tổng chi phí tiền công không quá 410 triệu đồng
và tổng số lợi nhuận không dưới 320 triệu đồng.
b) Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm số sản phẩm mỗi loại cần sản xuất thỏa
mãn các yêu cầu ở câu a), biết rằng công ty chỉ sản xuất các sản phẩm A, B và D.
Bài 3.17. Người ta sử dụng 3 loại thảo dược I, II và III để chiết xuất ra 2 loại hóa chất A
và B. Lượng hóa chất mỗi loại và chi phí (triệu đồng) tính trên 1 đơn vị thảo dược mỗi
loại khi chiết xuất được cho ở bảng sau: Thảo dược I II III Hóa chất A 5 1 3 Hóa chất B 3 2 3 Chi phí 8 5 6
Mỗi loại dược liệu cần sử dụng bao nhiêu để chiết xuất được tối thiểu: 200 đơn vị hóa
chất A, 150 đơn vị hóa chất B và chi phí không vượt quá 350 triệu đồng?
Bài 3.18. Một công ty sử dụng 3 loại dược liệu (DL) I, II, III để chiết xuất ra 3 loại hóa
chất (HC) A, B, C. Biết số đơn vị (đv) hóa chất mỗi loại chiết xuất được từ một đơn vị
dược liệu tương ứng được cho trong bảng sau : DL I II III HC A 2 4 5 B 3 1 2 C 3 2 4
a) Bằng phương pháp khử toàn phần, chỉ ra một phương án mua các loại dược liệu đưa
vào chiết xuất để công ty thu được lượng hóa chất tối thiểu loại 2 và 3 lần lượt là 15, 22
đv và vừa đúng 28 đv hóa chất loại 1. 16
b) Nếu giá của 1 đơn vị dược liệu I, II, III lần lượt là 120, 180, 150 nghìn đồng thì chi phí
mua dược liệu của công ty là bao nhiêu?
Bài 3.19. Một doanh nghiệp lựa chọn phương án phân bổ vốn đầu tư vào 3 dự án I, II,
III. Số đơn vị (đv) việc làm và số đv chất thải tạo ra tính trên 1đv vốn đầu tư đối với mỗi
dự án tương ứng được cho trong bảng sau: Dự án I II III Số đv việc làm 6 4 7 Số đv chất thải 1 1 2
Cho biết tổng số vốn đầu tư không quá 45 đv, tổng số việc làm tạo ra không dưới 210
đơn vị và số chất thải tạo ra vừa đúng 50 đơn vị. Bằng phương pháp khử toàn phần, hãy
chỉ ra một phương án phân bổ vốn đầu tư vào các dự án.
Bài 3.20. Khảo sát thị trường của 3 loại hàng hóa có liên quan 1, 2, 3. Lượng cung và
lượng cầu của loại hàng hóa i là các hàm phụ thuộc vào giá thị trường p i  1,3 của cả i
3 loại hàng hóa và được cho bởi:
qs  5  p
qd  10  2 p p  1 1  1 1 3
Hệ phương trình cung qs  p
và hệ phương trình cầu qd  26  p p trong 2 2 2 2 3  
qs  10  3p
qd  12  p p p  3 3  3 1 2 3
đó  là tham số thực. Thị trường hàng hóa i được gọi là cân bằng nếu qs qd , i  1, 3 . i i
a) Viết hệ phương trình xác định các mức giá p1, p2 , p3 làm cân bằng cả ba thị trường của
cả ba loại hàng hóa trên dưới dạng ma trận và tìm điều kiện của  để hệ phương trình thu được là hệ Cramer.
b) Với   2 , sử dụng phương pháp ma trận nghịch đảo xác định các mức giá cân bằng
thị trường của ba loại hàng hóa trên.
Bài 3.21. Khảo sát thị trường của 3 loại hàng hóa có liên quan 1, 2, 3. Lượng cung và
lượng cầu của loại hàng hóa i là các hàm phụ thuộc vào giá thị trường p i  1,3 của cả i
3 loại hàng hóa và được cho bởi:
qs  12  p
qd  20  3p p  1 1  1 1 2
Hệ phương trình cung qs  14  2p , và hệ phương trình cầu qd  17  2p  2p p 2 2 2 1 2 3  
qs  9  3p
qd  70  p  3p  3 3  3 1 2
trong đó  là tham số thực. Thị trường hàng hóa i được gọi là cân bằng nếu i
qs qdi , i  1,3 . 17
a) Hãy lập hệ phương trình để xác định các mức giá p1, p2 , p3 làm cân bằng cả ba thị
trường của cả ba loại hàng hóa trên dưới dạng ma trận. Tìm điều kiện của  để hệ
phương trình thu được là hệ Cramer.
b) Với   1, sử dụng phương pháp khử toàn phần xác định các mức giá cân bằng thị
trường của ba loại hàng hóa trên.
Bài 3.22*. Hãy xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình sau vô nghiệm, có
nghiệm duy nhất, vô số nghiệm:
x  2x  2x x  2
5x x  2x  1 1 2 3  1 2 3 4 
2x  2 x x x   1 a)  1 2 3 4
x  2x  3x  2 ; b)  . 1 2 3 
3x x  2x x   2
x x mx  0  1 2 3 4   1 2 3
x x x mx  1  1 2 3 4
Bài 3.23*. Cho hệ véc tơ S  A  1, 2,1, 3, A  2,1,1,0, A  1, 1,0, 3 . Đặt A là 1 1 2 3
ma trận có các cột tương ứng là A , A , A . Viết dạng tường minh của hệ phương trình 1 2 3
tuyến tính thuần nhất dạng ma trận AX O và xét xem hệ có nghiệm không tầm 3 thường hay không?
 1 4 6 4  x    1  1 5 9 2 x
Bài 3.24*. Cho hệ phương trình dạng ma trận  2   B.
 1 1 2 3  x    3     4 1 3 6 x4 
a) Với B  10,14, 3, 4 T bằng phương pháp khử toàn phần hãy chỉ ra công thức
nghiệm tổng quát của hệ đã cho với x2 là một ẩn tự do.
b) Chỉ ra hệ nghiệm cơ bản của hệ đã cho khi B O . 4 4
Bài 3.25*. Cho ma trận A  a   khi i j ij với a ij 
với mọi i, j 1, 4 và ma trận 44
1 khi i j X  x x x
x T . Chứng minh phương trình AX  0 có nghiệm duy nhất. 1 2 3 4 4 18
CHỦ ĐỀ 4: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Bài 4.1. Sử dụng định nghĩa, kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương sau: a)
q X   4x2  3x x  2x2 , trong 2 1 1 2 2 ; b)
q X   x2  6x x  9x2 , trong 2 ; 1 1 2 2 c)
q X   4x2  x2  2x2  2x x  6x x , trong 3. 1 2 3 1 2 1 3
Bài 4.2. Viết lại các dạng toàn phương sau dưới dạng ma trận và kiểm tra tính xác định
dấu của các dạng toàn phương đó bằng cách sử dụng phương pháp tính các định thức con chính dẫn đầu. a)
q x1, x2 , x3   x2  4x x x2  x x  4x x . 1 1 2 2 1 3 2 3 b)
q x1, x2 , x3   2x2  x2  6x x  2x x  4x x . 2 3 1 2 1 3 2 3 c)
q x1, x2 , x3   4 1x2  2 x2  2 3
x2  2x1x2  6 x1x3.
Bài 4.3. a) Cho dạng toàn phương q x , x , x   2x2  3x2  x2  4x x  3x x  5x x  1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
a) Hãy chỉ ra 2 ma trận A, B khác nhau sao cho q x , x , x   XT AX X T BX và kiểm tra 1 2 3
tính xác định dấu của dạng toàn phương đó.  1  3   
b) Cho ma trận A   1 4 2 . Tìm  để 
XT A  X  0, X  03 .    2 7 5 
 1 1 1 x  1  
c) Cho dạng toàn phương q( X )   x1, x2, x3  5 7 0
x2 . Viết lại q X  dưới dạng        1 2  x   3 
giải tích và tìm điểu kiện của  để q X  là dạng toàn phương xác định âm.
Bài 4.4. Cho dạng toàn phương q x1, x2, x3   1 2 x2  4 2 x2  2 3
x2  4x1x2  x2x3  2x1x3 , với  là tham số thực.
a) Tìm  sao cho q 1,1, 2  20.
b) Với   0 , viết dạng toàn phương đã cho về dạng ma trận và kiểm tra tính xác định
dấu của dạng toàn phương đó.
Bài 4.5. Hãy cho một ma trận vuông A có cấp 2 mà dạng toàn phương q( X )  X T AX
không xác định dấu. Sau đó, chỉ ra 2 véc tơ X 1, X 2  2 : Q X 1Q X 2   0 .
Bài 4.6. Ba hãng cùng tham gia sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu xi , pi lần
lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i ( i  1, 2, 3 ). Biết sản lượng
của mỗi hãng phụ thuộc vào giá bán sản phẩm của tất cả các hãng như sau: x         
1 35  mp1 p2 p3, x2 35  p1 2 p2 p3, x3 20  p1 p2 2 p3. 19
a) Giả sử sản lượng của ba hãng lần lượt là 90; 60 và 80 , tìm điều kiện của tham số m để
doanh thu của hãng thứ nhất bằng tổng doanh thu của hai hãng còn lại.
b) Với m tìm được ở câu a), hãy biểu diễn dưới dạng ma trận hàm tổng doanh thu của hãng 1 và hãng 2.
Bài 4.7. Ba hãng cùng tham gia sản suất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu xi , pi lần
lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i, (i = 1, 2, 3). Biết giá bán sản
phẩm của mỗi hãng phụ thuộc vào sản lượng của tất cả các hãng như sau: p          
1 340  2x1 x3 , p2 380  2x1 3x2 2x3 , p3 240  2x2 4x3
a) Biểu diễn dưới dạng biểu thức ma trận hàm tổng doanh thu của cả 3 hãng theo biến
x1, x2, x3 . Kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương có trong biểu thức của hàm tổng doanh thu đó.
b) Biểu diễn dưới dạng biểu thức ma trận của hàm tổng doanh thu của hai hãng 1 và 2
theo x1, x2 , x3 .
Bài 4.8. Ba hãng cùng tham gia sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu xi , pi lần
lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i ( i  1, 2, 3 ). Biết sản lượng
của mỗi hãng phụ thuộc vào giá bán sản phẩm của tất cả các hãng như sau : x         
1 40  2 p1 2 p2 2 p3, x2 90  p1 2 p2 4 p3, x3 70  p1 p2 2 p3.
a) Hãy tính tổng doanh thu của cả ba hãng, biết rằng sản lượng của ba hãng lần lượt là 130, 105 và 125.
b) Tính và biểu diễn dưới dạng ma trận hàm tổng doanh thu của cả 3 hãng theo biến
X   x1 x2 x3 T . Kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương có trong biểu thức
của hàm tổng doanh thu nói trên.
Bài 4.9. Ba hãng cùng tham gia sản suất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu xi , pi lần
lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i, (i = 1, 2, 3). Biết sản lượng
của mỗi hãng phụ thuộc vào giá bán sản phẩm của tất cả các hãng như sau: x         
1 200  3 p1 p2 2 p3, x2 150  2 p1 p2 p3, x3 170  p1 3 p2 2 p3
a) Bằng phương pháp định thức, hãy xác dịnh mức giá của mỗi hãng để sản lượng của
ba hãng lần lượt là 200, 160 và 190.
b) Tính và biểu diễn dưới dạng ma trận hàm tổng doanh thu của cả 3 hãng theo biến
p1, p2, p3 . Kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương có trong biểu thức của hàm tổng doanh thu đó. 20

Tài liệu liên quan: