Đề cương ôn tập HK2 Toán 7 năm 2017 – 2018 trường THCS Trưng Vương – Hà Nội

Đề cương ôn tập HK2 Toán 7 năm 2017 – 2018 trường THCS Trưng Vương – Hà Nội 26 trang trình bày các nội dung kiến thức Toán 7 cần ghi nhớ, các bài tập SGK Toán 7

33 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 7

Môn: Toán 7

Thông tin:

26 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
1/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Trường THCS Trưng Vương Năm học: 2017-2018
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KỲ II
MÔN: TOÁN 7
A. LÝ THUYẾT:
1. Đại số: Trả lời các câu hỏi 1,2 SGK trang 22. Câu 1,2,3,4 SGK trang 49.
2. Hình học:
- Nêu định nghĩa, tính chất, các cách nhận biết tam giác cân, đều, vuông, vuông cân?
- Nêu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, trường hợp bằng nhau đặc biệt của 2
tam giác vuông.
- Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận của các định lí.
+ Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác.
+ Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu.
+ Quan hệ giữa 3 cạnh trong tam giác.
+ Tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của đoạn thẳng.
+ Tính chất đường trung tuyến, 3 đường phân giác, 3 đường trung trực, 3 đường
cao trong tam giác.
B. BÀI TẬP THAM KHẢO:
Bài 1. Thu gọn các đơn thức sau rồi chỉ ra bậc của đơn thức:
a)
23
5 ( 2 ).3x xy xyz−
b)
2 3 2 3 2 3
( 2 ) .(3 )x yz x y z−
c)
3
2 2 2
3
(4 ) .
4
xy x x yz



d)
22
22
1 1 5
.
25 3 2
x x y y
−
e)
f)
( )
2
2
32
1
4.
2
abx xy ay

−−


(,ab
là hằng số).
2/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Bài 2. Cho các đa thức:
2 2 2 2
7 3 4 2 5 4A x y x x y xy yx x= − + − + + − −
22
2 3 6 3 2 1 ( )B xy x y xy x xy= + − − + + −
22
4( 1) 2 ( ) ( ) ( 3)C x x xy y y x x x xy= − + − + − − +
a) Thu gọn và tìm bậc của
, , A B C
.
b) Tính
; ;2 .A B C A B C A B C+ + + − − +
c) Tính giá trị biểu thức
C
với
2, 2xy= = −
.
Bài 3. Tìm đa thức
A
biết:
a)
2 2 3 2 2 2 3
(2 3 ) 5 4 4A xy x y y x y x y y+ − + = + +
.
b)
2 2 2
(4 3 ) 7 8A xy y x xy y− − = − +
.
c)
2 2 3 2 3
(25 13 ) 11 2x y xy x A x y x− + − = −
.
d)
2 2 2 3 3
(3 2 )x y xy x y A− + −
.
Bài 4. Cho 2 đa thức:
( )
5 2 5 2
5 6 5 5 2 4P x x x x x x= − − + − − +
và
( )
4 3 2 3 3
2 5 10 17 4 5Q x x x x x x x= − − + − + − +
a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính
( ) ( ) ( ) ( )
;P x Q x P x Q x+−
.
c) Chứng tỏ
2x =−
là nghiệm của
( )
Px
nhưng không phải là nghiệm của
( )
Qx
.
Bài 5. Cho 2 đa thức:
( ) ( ) ( )
33
2 5 9 2 1A x x x x x x= + − + + −
và
( )
( ) ( )
2 4 3
2 3 1 3 2 3 4B x x x x x x= − + − + − +
a) Thu gọn rồi sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến.
b) Tính
( ) ( )
A x B x+
;
( ) ( )
A x B x−
.
c) Tìm nghiệm của
( ) ( ) ( )
.C x A x B x=+
d) Chứng tỏ đa thức
( ) ( )
5H x A x x=+
vô nghiệm.
Bài 6. Cho hai đa thức:
( )
( )
( )
2
3 2 4 2 2 17A x x x x x= + − − − +
và
( )
( )
22
3 7 3 3 2 4 .B x x x x x= − + − − +
3/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
a) Thu gọn
( ) ( )
,A x B x
. Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm của biến. Tìm hệ số
cao nhất, hệ số tự do của 2 đa thức đó.
b) Tìm
( )
Nx
sao cho
( ) ( ) ( )
.N x B x A x−=
và
( )
Mx
sao cho
( ) ( ) ( )
.A x M x B x−=
c) Chứng minh:
2x =
là một nghiệm của
( )
.Nx
Tìm một nghiệm nữa của
( )
.Nx
d) Tính nghiệm của
( )
Ax
tại
2
.
3
x =
Bài 7. Tìm nghiệm của các đã thức
a)
( )
45A x x= − −
g)
( )
11
3
22
H x x= − −
b)
( ) ( ) ( )
3 2 1 2 1B x x x= − − +
h)
( )
3 2 4 6K x x x= − + −
c)
( )
( )( )
22
2 8 1C x x x= − − +
i)
( )
( )
2
2
11M x x x= − + −
d)
( )
3
3D x x x=−
j)
( )
2
4 3 7N x x x= − +
e)
( )
3
24E x x x=+
k)
( )
2
7 2 9P x x x= − −
f)
( )
32
1G x x x x= − + −
l)
( )
2
5 11 6Q x x x= − +
Bài 8*. (Dành cho HS giỏi)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số:
( )
2
2Ax=+
( ) ( )
22
1 5 1B x y= − + + +
2014 2015C x x= − + −
( )
4
2
9 2 1D x y= − + − −
b) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
( )
2
51Bx= − +
2
95Cx= − −
2
1
2
D
x
=
+
c) Tìm các giá trị nguyên của biến x để:
1)
2
6
A
x
=
−
có giá trị lớn nhất. 2)
8
3
x
B
x
−
=
−
có giá trị nhỏ nhất.
4/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Bài 9*. (Dành cho HS giỏi) Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
2 5 4
3 8 2
a b a b
A
a b a b
−+
=−
−−
biết
3
4
a
b
=
b)
( )( )( )
B x y y z x z= + + +
biết
2xyz =
và
0x y z+ + =
c)
( )
17 16 15 14
2015 2015 2015 .... 2015 1f x x x x x x= − + − + + −
. Tính
( )
2014f
Bài 10. Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm.
a) Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
b) Kẻ AH vuông góc với BC (
H BC
). Gọi AD là phân giác
BAH
(
D BC
). Qua A
vẽ đường thẳng song song với BC, trên đó lấy E sao cho AE = BD (E và C cùng phía đối
với AB). CMR: AB = DE.
c) CMR:
ADC
cân.
d) Gọi M là trung điểm AD, I là giao điểm của AH và DE. CMR: C, I, M thẳng hàng.
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD, kẻ DE vuông góc với BC tại E. Trên
tia đối của tia AB lấy F sao cho AF = CE. CMR:
a)
ABD EBD =
b) BD là đường trung trực của AE.
c) AD < DC.
d) E, D, F thẳng hàng và
BD CF⊥
.
e) 2(AD + AF) > CF.
Bài 12. Cho
ABC
có
0
90A =
và
AC AB
. Kẻ
AH BC⊥
. Trên tia
HC
lấy điểm
D
sao
cho
HD HB=
. Kẻ
CE AD⊥
kéo dài (
E
thuộc tia
AD
). Chứng minh:
a)
ABD
cân.
b)
DAH ACB=
c)
CB
là tia phân giác của
ACE
d) Kẻ
( )
DI AC I AC⊥
, chứng minh 3 đường thẳng
,,AH ID CE
đồng quy.
e) So sánh
AC
và
CD
.
f) Tìm điều kiện của
ABC
để
I
là trung điểm
AC
.
5/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Bài 13. Cho
ABC
cân tại
A
(
90A 
). Trên cạnh
BC
lấy 2 điểm
D
,
E
sao cho
BD DE EC==
. Kẻ
( )
, , BH AD CK AE H AD K AE⊥ ⊥
,
BH
cắt
CK
tại
G
.
Chứng minh rằng:
a)
ADE
cân.
b)
BH CK=
.
c) Gọi
M
là trung điểm của
BC
. Chứng minh
, , A M G
thẳng hàng.
d)
AC AD
.
e)
DAE DAB
.
Bài 14. Cho
ABC
đều. Tia phân giác góc
B
cắt
AC
tại
.M
Từ
A
kẻ đường thẳng vuông
góc với
AB
cắt
,BM BC
tại
,E.N
Chứng minh:
a)
ANC
cân.
b)
.NC BC⊥
c) Xác định dạng của tam giác
.BNE
d)
NC
là trung trực của
.BE
e) Cho
10 .AB cm=
Tính diện tích
BNE
và chu vi
.ABE
Bài 15. Cho
ABC
có
0
90A =
(
AB AC
), đường cao
,AH
AD
là phân giác của
AHC
.
Kẻ
DE AC⊥
.
a) Chứng minh:
.DH DE=
b) Gọi
K
là giao điểm của
DE
và
AH
. Chứng minh
AKC
cân.
c) Chứng minh
KHE CEH =
.
d) Cho
8 , 32 .BH cm CH cm==
Tính
.AC
e) Giả sử
ABC
có
0
C = 30
,
AD
cắt
CK
tại
P
. Chứng minh
HEP
đều.
Bài 16. Cho
ABC
có
60
o
A =
. Các tia phân giác của góc
B
và
C
cắt nhau ở
I
, cắt cạnh
,AC AB
ở
D
và
.E
Tia phân giác góc
BIC
cắt
BC
ở
.F
a) Tính góc
BIC
b) Chứng minh:
ID IE IF==
.
c) Chứng minh:
DEF
đều.
d) Chứng minh:
I
là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác
ABC
và
DEF
6/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Hướng dẫn giải:
Bài 1.
a)
2 3 3 3 3
5 ( 2 ).3 30x xy xyz x y z− = −
; Bậc 9
b)
2 3 2 3 2 3 13 8 9
( 2 ) .(3 ) 12x yz x y z x y z−=
; Bậc 30
c)
3
2 2 2 10 7 3
3 27
(4 ) .
44
xy x x yz x y z

=


; Bậc 20
d)
22
2 2 5 6
1 1 5 1
..
25 3 2 36
x x y y x y
−
−=
; Bậc 11
e)
22
3 3 3 3 11 11
1 1 5 5
.1 .
2 5 3 6
x y x y xy x y
− − =
; Bậc 11
f)
( )
2
2
3 2 3 5 6
1
4 . . .
2
abx xy ay a b x y

− − =


; Bậc 11
Bài 2.
a) Thu gọn và tìm bậc:
2 2 2
4 2 4A x y x y xy x= − − + + −
; Bậc 4
2 2 2
6 2 4B x y x y xy x= − − − + +
; Bậc 4
22
2 3 4C x y xy x= − + −
; Bậc 4
b) Tính:
2
7 5 4A B C x y x+ + = − + −
2 2 2
4 7 6 3 4A B C x y x y xy x+ − = − − + + +
2 2 2
2 4 6 3 16A B C x y x y xy x− + = + + + −
c) Tính giá trị biểu thức
C
với
2, 2xy= = −
22
2.2 .( 2) 3.2.( 2) 2 4 42C = − − − + − =
Bài 3. Tìm
A
a)
2 2 3 2 2 2 3
(2 3 ) 5 4 4A xy x y y x y x y y+ − + = + +
2 2 2 3 2 2 3
5 4 4 (2 3 )A x y x y y xy x y y = + + − − +
2 2 2 3 2 2 3
5 4 4 2 3A x y x y y xy x y y = + + − + −
2 2 2 3 2
5 7 3 2A x y x y y xy = + + −
b)
2 2 2
(4 3 ) 7 8A xy y x xy y− − = − +
7/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
222
7 8 4 3A x xy y xy y = − + + −
22
35A x xy y = − +
2 2 3 2 3
(25 13 ) 11 2x y xy x A x y x− + − = −
c)
2 2 3 2 3
(25 13 ) (11 2 )A x y xy x x y x= − + − −
2 2 3 2 3
25 13 11 2A x y xy x x y x = − + − +
2 2 3
14 13 3A x y xy x = − +
d)
2 2 2 3 3
(3 2 ) 0x y xy x y A− + − =
2 2 2 3 3
32A x y xy x y = − +
Bài 4.
a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến:
( )
5 2 5 2
5 6 5 5 2 4P x x x x x x= − − + − − +
( ) ( )
5 5 2 2 2
5 5 6 4 5 2 2 5 2x x x x x x x= − + + − + − − = − − −
( )
4 3 2 3 3 4 3 3 3 2
2 5 10 17 4 5 2 ( 5 4 ) 17 10 5Q x x x x x x x x x x x x x= − − + − + − + = − + − + + − + −
42
2 17 10 5xxx= − − + −
b) Tính
( ) ( ) ( ) ( )
;P x Q x P x Q x+−
+)
( ) ( )
2 4 2
2 5 2 2 17 10 5P x Q x x x x x x+ = − − − − − + −
( ) ( )
( )
( ) ( )
4 2 2
2 2 17 5 10 2 5P x Q x x x x x x+ = − + − − + − + + − −
( ) ( )
42
2 19 5 7P x Q x x x x+ = − − + −
+)
( ) ( )
( )
2 4 2
2 5 2 2 17 10 5P x Q x x x x x x− = − − − − − − + −
( ) ( )
2 4 2
2 5 2 2 17 10 5P x Q x x x x x x− = − − − + + − +
( ) ( )
( )
( ) ( )
4 2 2
2 2 17 5 10 2 5P x Q x x x x x x− = + − + + − − + − +
( ) ( )
42
2 15 15 3P x Q x x x x− = + + − +
8/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
c) Chứng tỏ
2x =−
là nghiệm của
( )
Px
nhưng không phải là nghiệm của
( )
Qx
+) Thay
2x =−
vào
( )
Px
, ta có:
( )
2
2 5 2P x x x= − − −
Suy ra
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 5 2 2P − = − − − − −
( )
2 8 10 2P − = − + −
( )
20P − =
Hay
2x =−
là nghiệm của
( )
Px
.
+) Thay
2x =−
vào
( )
Qx
, ta có:
42
( ) 2 17 10 5Q x x x x= − − + −
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
42
2 2. 2 17. 2 10. 2 5Q − = − − − − + − −
( )
2 32 68 20 5Q − = − + − −
( )
2 11 0Q − = −
Hay
2x =−
không phải là nghiệm của
( )
Qx
.
Vậy
2x =−
là nghiệm của
( )
Px
nhưng không phải là nghiệm của
( )
Qx
.
Bài 5.
a) Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm
A(x)=
󰇛
󰇜

󰇛
󰇜
=
+
 

=

B(x)=
󰇛

󰇜
󰇛



󰇜
=
 


=

b) Tính A(x)+B(x); A(x)-B(x)
A(x)=

B(x) 

A(x)+B(x)= 
+
9/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
A(x)=

B(x) 

A(x)B(x)= 
 
c) Tìm nghiệm của C(x)=A(x) +B(x)
C(x)= =0
 
x
Vậy nghiệm của C(x)= là x
d) Chứng tỏ rằng H(x)=A(x)+5x vô nghiệm
H(x)=
  =
H(x)=0 


 (vô lí)
Nên không có giá trị nào của x để H(x)=0
Vậy H(x) vô nghiệm.
Bài 6.
a) Thu gọn và sắp xếp
A(x)=3(
󰇜 󰇛 󰇜 
=3
 
 
=
 
Hệ số cao nhất: 1, hệ số tự do 23
B(x) 
 󰇛
 󰇜

 
 
=
Hệ số cao nhất: -1, hệ số tự do -9
10/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
b) N(x)-B(x)=A(x)
N(x)=B(x)+A(x)
A(x)=
 
B(x) =
N(x) =
 
A(x)-M(x)=B(x)
M(x)=A(x)-B(x)
A(x)=
 
B(x) =
M(x) =
 
c) Chứng minh 2 là nghiệm của N(x).Tìm một nghiệm nữa của N(x)
N(2)= 2
2
   
Vậy 2 là nghiệm của N(x)
N(x)=
  󰇛 󰇜󰇛 󰇜
 
󰇛
󰇜

󰇥

 
󰇥


(thỏa mãn)
Vậy a= là một nghiệm nữa của N(x)
d) Tính giá trị của A(x) tại x=
Thay x =
vào biểu thức A(x)
 
Ta được A󰇛
󰇜=󰇛
󰇜

=



Vậy tại x =
thì giá trị của biểu thức A(x) bằng

+
11/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Bài 7.
a) Ta có
5
4 5 0
4
xx
−
− − = =
.
Vậy nghiệm của đa thức là
5
4
x =−
.
b) Ta có
( ) ( )
5
3 2 1 2 1 0 4 5 0
4
x x x x− − + = − = =
.
Vậy nghiệm của đa thức là
5
4
x =
.
c) Ta có
( )( )
22
22
22
2 8 0 4 2
2 8 1 0
1
1 0 1
x x x
xx
x
xx

− = = =
− − + =

=
− + = =

.
Vậy tập nghiệm của đa thức là
2; 1;1;2S = − −
.
d) Ta có
( )
32
2
0
0
3 0 3 0
3
3
x
x
x x x x
x
x
=
=
− = − =
=
=
.
Vậy tập nghiệm của đa thức là
3;0; 3S =−
.
e) Ta có
( )
32
2
0
2 4 0 2 2 0
2
x
x x x x
x
=
+ = + =
=−
.
Vì
2
0x
với mọi x nên
2
2x =−
vô nghiệm.
Vậy nghiệm của đa thức là
0x =
.
f) Ta có
( ) ( ) ( )
( )
3 2 2 2
1 0 1 1 0 1 1 0x x x x x x x x− + − = − + − = − + =
.
22
1 0 1
1 0 1
xx
xx
− = =



+ = = −

.
Vì
2
0x
với mọi x nên
2
1x =−
vô nghiệm.
Vậy nghiệm của đa thức là
1x =
.
g) Ta có:
1 1 1 7
3
7
2 2 2 2
1 1 1 5 5
3
2 2 2 2
xx
x
x
xx

− = =

=

=

− = − =


.
Vậy tập nghiệm của đa thức là
5;7S =
.
h) Ta có
3 2 4 6 0xx− + − =
.
12/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Vì
3 2 0
4 6 0
x
x
−
−
nên
3 2 4 6 0xx− + −
.
Dấu “=” xảy ra khi
3 2 0
3 2 0
2
4 6 0
3
4 6 0
x
x
x
x
x
− =
−=
=

−=
−=
.
Vậy nghiệm của bất phương trình là
2
3
x =
.
i) Ta có
( )
2
2
1 1 0xx− + − =
.
Vì
( )
2
2
10
10
x
x
−
−
nên
( )
2
2
1 1 0xx− + −
.
Dấu “=” xảy ra khi
( )
2
2
2
1
10
10
1
1
10
10
1
x
x
x
x
x
x
x
x
=
− =
−=

=
=
−=
−=

=−
.
Vậy nghiệm của đa thức là
1x =
.
j) Ta có:
2
4 3 7 0xx− + =
2
3 3 9 103
40
2 2 16 16
x x x − − + + =
3 3 3 103
2 2 2 0
4 4 4 16
x x x
− − − + =
3 3 103
2 2 0
4 4 16
xx
− − + =
2
3 103
2
4 16
x
−

− =


.
Vì
2
3
20
4
x

−


với mọi x nên suy ra
2
3 103
2
4 16
x

− = −


vô nghiệm.
k) Ta có
( ) ( )
22
7 2 9 0 7 7 9 9 0 7 1 9 1 0x x x x x x x x− − = + − − = + − + =
( )( )
1
10
1 7 9 0
9
7 9 0
7
x
x
xx
x
x
=−
+=
+ − =
−=
=
.
Vậy tập nghiệm của đa thức là
9
1;
7
S

=−


13/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
l) Ta có
( ) ( )
22
5 11 6 0 5 5 6 6 0 5 1 6 1 0x x x x x x x x− + = − − + = − − − =
( )( )
1 0 1
1 6 0
6 0 6
xx
xx
xx
− = =

− − =

− = =

.
Vậy tập nghiệm của đa thức là
1;6S =
.
Bài 8.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số:
+)
( )
2
2Ax=+
Vì
( )
2
2 0,xx+
; dấu “=” xảy ra khi
( )
2
2 0 2 0 2x x x+ = + = = −
Vậy GTNN của A là 0 khi
2x =−
+)
( ) ( )
22
1 5 1B x y= − + + +
Ta có:
( )
2
10x −
với mọi x,
( )
2
50y +
với mọi y
Suy ra:
( ) ( )
22
1 5 1 0 0 1 1xy− + + + + + =
Dấu “=” xảy ra khi
( )
( )
2
2
10
1
5
50
x
x
y
y
−=
=

=−
+=
Vậy GTNN của B là 1 khi
1; 5xy= = −
+)
2014 2015C x x= − + −
Ta có:
2014 2015 2014 2015C x x x x= − + − = − + −
Mà:
2014 2015 2014 2015 1 1x x x x− + − − + − = =
Dấu “=” xảy ra khi
( )( )
2014 2015 0 2014 2015x x x− −
Vậy GTNN của C là 1 khi
2014 2015x
+)
( )
4
2
9 2 1E x y= − + − −
Vì:
( )
4
2
9 0 ; 2 0xy− −
với mọi x,y
Suy ra:
( )
4
2
9 2 1 0 0 1 1D x y= − + − − + − = −
14/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Dấu “=” xảy ra khi:
( )
4
2
90
3
2
20
x
x
y
y
−=
=

=
−=
Vậy GTNN của
D
là
1−
khi
( ) ( )
; 3;2xy =
hoặc
( ) ( )
; 3;2xy =−
b) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
+)
( )
2
51Bx= − +
Vì:
( ) ( )
22
1 0 5 1 5x B x+ = − +
với mọi x, dấu “=” xảy ra khi:
( )
2
1 0 1xx+ = = −
Vậy GTLN của B là 5 khi
1x =−
+)
2
95Cx= − −
Vì:
22
5 0 9 5 9 0 9x x C x− = − − − =
với mọi x
Dấu “=” xảy ra khi:
2 2 2
5 0 5 0 5 5x x x x− = − = = =
Vậy GTLN của C là 9 khi
5x =
+)
2
1
2
D
x
=
+
Vì
2
2
11
22
22
xD
x
+ =
+
với mọi x
Dấu “=” xảy ra khi:
2
00xx= =
Vậy GTLN của D là
1
2
khi
0x =
c) Tìm các giá trị nguyên của biến
x
để:
1)
2
6
A
x
=
−
có giá trị lớn nhất
ĐK để
A
có nghĩa là
6x
Với
2
6 6 0 0
6
x x A
x
− =
−
15/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Với
2
6 6 0 0
6
x x A
x
− =
−
Do đó đề
A
lớn nhất thì
0A
trong trường hợp
6x
Mặt khác tử số của
A
không đổi nên
A
lớn nhất khi mẫu
6 x−
bé nhất
Suy ra
x
là số nguyên lớn nhất mà
6x
nên
5x =
Khi đó
22
2
6 6 5
A
x
= = =
−−
Vậy khi
5x =
thì
A
đạt GTLN là 2
2)
8
3
x
B
x
−
=
−
có giá trị nhỏ nhất
ĐK để
B
có nghĩa là
3x
Ta có:
8 5 ( 3) 5
1
333
xx
B
xxx
− − −
= = = −
−−−
;
Suy ra
B
nhỏ nhất khi
5
3x −
nhỏ nhất
Với
5
3 3 0 0
3
xx
x
−
−
Với
5
3 3 0 0
3
xx
x
−
−
Do đó đề
5
3x −
nhỏ nhất thì
5
0
3x
−
trong trường hợp
3x
Mặt khác tử số của
5
3x −
không đổi nên
5
3x −
nhỏ nhất khi mẫu
3x−
lớn nhất
Suy ra x là số nguyên lớn nhất mà
3x
nên
2x =
Khi đó
55
1 1 6
3 2 3
B
x
= − = − = −
−−
Vậy khi
2x =
thì
B
đạt GTNN là
6−
.
Bài 9*. (Dành cho HS giỏi)
a) Ta có
3
4 3 4
a a b
b
= =
. Đặt
34
ab
k==
. Suy ra
3 ;b 4a k k==
16/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Khi đó biểu thức A trở thành:
2.3 5.4 4.3 4 6 20 12 4 14 16 14 5 5
1 1 1
3 3.4 8.3 2.4 3 12 24 8 9 16 9 9 9
k k k k k k k k k k
A
k k k k k k k k k k
− + − + −
= − = − = − = − = − =
− − − − −
Vậy
5
9
A =
.
b) Ta có
0x y z+ + =
, suy ra
;x y z y z x+ = − + = −
và
x z y+ = −
Thay vào biểu thức B, ta được:
( )( )( )
B z x y xyz= − − − = −
, mà
2xyz =
nên
2B =−
Vậy
2B =−
.
c) Xét với
2014 1 2015xx= + =
. Khi đó ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
17 16 15 14
2014 1 1 1 .... 1 1f x x x x x x x x x= − + + + − + + + + −
( ) ( ) ( ) ( )
17 17 16 16 15 15 14 2
... 1x x x x x x x x x= − + + + − + + + + −
17 17 16 16 15 15 14 2
... 1x x x x x x x x x= − − + + − − + + + −
1 2014 1 2013x= − = − =
Vậy
( )
2014 2013f =
Bài 10.
a) Do
2 2 2
AB AC BC+=
nên
ABC
vuông tại A.
b) Do
()EAD BDA cgc =
nên
ED AB=
.
c)
: 180 ( ) 90
oo
AHD ADH HAD AHD HAD = − + = −
90
o
CAD DAB=−
Mà AD là phân giác
BAH
Nên
HAD DAB CAD ADH= → =
Vậy
ADC
cân tại C.
d)
ADC
cân tại C, M là trung điểm AD nên
CM AD⊥
.
I
M
E
D
H
A
B
C
17/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Do
()EAD BDA cgc =
(c/m ở b)
nên
//EDA DAB ED AB=→
Mà
AB AC DE CA I AH DE⊥ → ⊥ → =
Do đó I là trực tâm
ADC I CM →
Vậy C, I, M thẳng hàng.
Bài 11.
a) Vì BD là phân giác
ABC
Suy ra
ABD DBE=
Do đó
ABD EBD =
(góc nhọn – cạnh huyền).
b) Ta có:
ABKI EBK =
(c-g-c)
nên
BD AE K⊥=
và K là trung điểm AE.
Vậy BD là đường trung trực của AE.
c) Ta có:
ABD EBD =
nên
AD DE=
mà
EDC
vuông tại E nên
DE DC AD DC →
.
d) Ta có:
()FAD CED c g c = − −
Suy ra:
FAD CDE=
do đó
FAD ADE ADE EDC+ = +
Mà A, D, C thẳng hàng nên E, D, F thẳng hàng.
Trong
: , ,BEC CA BE FE BC CA FE D ⊥ ⊥ =
nên D là trực tâm
BEC BD CF → ⊥
.
e) Ta có:
:FAD AF AD FD +
và
:ECD DE EC DC +
Mà
,AF CE AD DE==
Suy ra
( ) ( )AF AD DE EC FD DC+ + + +
Hay
2( )AD AF FD DC+ +
Xét
:DEFC DF DC FC +
Do đó
2( ) .AD AF FC+
K
H
F
E
D
B
A
C
18/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Bài 12.
a) Ta có:
+
AH BC⊥
AH
là đường cao của
ABD
+
HD HB=
AH
là trung tuyến của
ABD
ABD
có
AH
vừa là đường cao vừa là đường
trung tuyến nên
ABD
cân tại
A
.
b) +
ABD
cân tại
A
nên:
ADH ABH=
(1)
+
ADH
vuông tại
H
nên:
0
90DAH ADH+=
(2)
+
ABC
vuông tại
A
nên:
0
90ACB ABH+=
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
DAH ACB=
(đpcm).
c) Ta có:
+
DCE
vuông tại
E
nên:
0
90DCE CDE+=
(4)
+ Mà:
CDE ADH=
(đối đỉnh) (5)
Từ (2), (4), (5) suy ra:
DCE ACB=
CB
là tia phân giác của
ACE
d) Ta có: +
AH BC AH DC⊥ ⊥
+
ID AC⊥
+
CE AD⊥
,,AH ID CE
là 3 đường cao của
BCD
nên đồng quy tại một điểm.
e) Vì
AH BC⊥
nên
,HB HC
lần lượt là hình chiếu của
,AB AC
trên
BC
Mà:
AC AB
(gt)
HC HB
(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Mà:
HD HB=
(điểm
D
tia
HC
)
Nên: điểm
D
thuộc đoạn thẳng
HC
Do đó:
CD CH
Lại có:
CH AC
(quan hệ giữa đường xien và đường vuông góc)
Vâỵ:
CD AC
.
f) Nếu
I
là trung điểm của
AC
thì:
DI
là đường trung tuyến của
ADC
Mà:
DI AC⊥
19/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
ADC
có
DI
vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên
ADC
cân tại
D
DAC DCA=
Lại có:
2ADB DCA=
( tính chất góc ngoài của tam giác)
Mà:
ADB ABC=
(vì
ABD
cân tại
A
)
Do đó:
2ABC DCA=
Mà:
0
90ABC DCA+=
Suy ra:
00
60 ; 30ABC DCA==
Vậy
ABC
có thêm điều kiện
0
60ABC =
(hoặc
0
30ACB =
) thì
I
là trung điểm
AC
.
Bài 13.
a) Xét
ABD
và
ACE
có:
AB AC+=
(
ABC
cân)
ABC ACE+=
(
ABC
cân)
BD CE+=
(Giả thiết)
( )
. .ABD ACE c g c
AD AE=
(2 cạnh tương ứng)
ADE
cân (đpcm).
b) Vì
( )
ABD ACE cmt BAH CAK =
(2 góc tương ứng)
Xét
ABH
và
ACK
có:
( )
( )
( )
( )
( )
90
2
AHB AKC
ABH ACK ch gn
AB AC ABC can
BH CK canh tuong ung
BAH CAK cmt
+ = =
−
+ =
=
+=
c) Xét
DBH
và
ECK
có:
( )
( )
( )
( )
( )
90
2
DHB EKC
DBH ECK ch cgv
BD CE gt
DBH ECK goc tuong ung
BH CK cmt
+ = =
−
+=
=
+=
GBC
cân tại
G
, lại có
GM
là trung tuyến
GM
là đường trung trực
G
đường trung trực của
BC
( )
1
F
G
K
H
M
C
D
E
B
A
20/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Vì
ABC
cân tại
A
(gt)
A
đường trung trực của
BC
( )
2
Do
M
là trung điểm của
BC
(gt)
M
đường trung trực của
BC
( )
3
Từ
( ) ( )
1 , 2
và
( )
3 , , A M G
thẳng hàng.
d) Xét
AME
có:
90 90AEC AME MAE MAE AEC= + = +
là góc tù.
Xét
ACE
có:
AC
đối diện góc tù
AEC
AC AE
(quan hệ góc và cạnh đối diện)
Mà
AD AE=
(cmt)
AC AD
(đpcm)
e) Trên tia đối của tia
DA
lấy điểm
F
sao cho
DF DA=
.
Xét
ADE
và
FDB
có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
. .
2
2
2
DE DB gt
ADE FDB c g c
AE BF canh tuong ung
ADE FDB goc doi dinh
DA DF cach ve
DAE DFB goc tuong ung
+=
+=
+=
+=
+=
Xét
ABD
có:
ADB ACE ABD=
(t/c góc ngoài tam giác)
AB AD
(quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác)
Mà
( )
AD BF AE==
nên
AB BF
.
Xét
ABF
có:
( )
AB BF cmt
AFB DAB
(quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác)
Lại có
( )
AFB DAE cmt DAE DAB=
(đpcm).
Bài 14.
a)
ABC
đều (giả thiết)
Mà
BM
là phân giác của
ABC
(giả thiết)
BM
là đường trung trực của
ABC
;CM MA BM AC=⊥
(tính chất đường trung trực)
Trong
CNA
có:
( )
CM MA
NM AC BM AC
=
⊥⊥
21/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Suy ra
CNA
cân tại N (đpcm)
ACN NAC=
(tính chất tam giác cân)
b) Ta có:
( )
()BCA BAC gt
ACN NAC cmt
=
=
BCA ACN BAC NAC BCN BAN + = + =
Do
( )
00
90 90 .BAN gt BCN NC BC= = ⊥
c) Xét
BCN
và
BAN
có:
0
90BCN BAN==
BN
chung
()BC BA gt=
BCN BAN =
(Cạnh huyền – Cạnh góc vuông)
BNC BNA=
(Góc tương ứng bằng nhau)
Trong
BCN
có:
00
90 ( ) 90BCN cmt BNC CBN= + =
Mà:
00
11
.60 30
22
CBN NBA CBA= = = =
(gt)
0 0 0 0
90 90 30 60CNB CBN = − = − =
0
60CNB BNA = =
Ta có:
0
180CNB BNA CNE+ + =
0 0 0 0 0
180 180 60 60 60CNE CNB BNA = − − = − − =
0
60 .CNE CNB = =
NC
là tia phân giác của
BNE
Mà
NC BC⊥
BNE
cân tại
N
.
d) Ta có:
BNE
cân tại
N
mà
NC BC⊥
hay
NC
là đường cao của
BNE
NC
là đường trung trực của
BNE
(t/c tam giác cân)
NC
là đường trung trực của
BE
22/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
e) Ta có :
0
90BAE =
2 2 2
2 2 2 2
20 10 10 5
AE BE AB
AE BE AB
=+
= + = + =
Ta lại có :
10 20BC CE cm BE cm= = =
Chu vi tam giác
ABE
là :
10 20 10 5 30 10 5AB BE EA+ + = + + = +
Đặt
;NA x NE y NB y= = =
Ta có :
10 5NA NE AE x y+ = + =
Mà :
2 2 2 2 2
10BN NA AB y x= + = +
Suy ra
6 5 6 5
.
2 5 2 5
y NE
x NA

==


==


Ta có:
2
1
. . .10 20 5( )
2
BNE
S NC BE cm==
.
1
.2. . 2 5
2
NA BC NA BC= = =
Bài 15.
a) Chứng minh:
.DH DE=
Cách 1:
Xét
AHD
và
AED
, có:
0
90AHD AED==
AD
là cạnh huyền chung
HAD EAD=
(
AD
là phân giác
HAC
)
Do đó
AHD AED =
(Cạnh huyền – góc nhọn)
DH DE=
(2 cạnh tương ứng).
Cách 2:
Ta có:
DH AH
DE AE
⊥
⊥
Mà
D
thuộc đường phân giác
HAE
DH DE=
(Tính chất của điểm thuộc tia phân giác).
D
H
B
A
C
K
E
P
23/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
b) Chứng minh
AKC
cân.
Do
D
là giao điểm của hai đường cao
KE
và
CH
nên
D
là trực tâm của
AKC
AD CK⊥
Xét
AKC
có
AD
là đường cao đồng thời là đường phân giác
Do đó:
AKC
cân tại A.
c) Chứng minh
KHE CEH =
.
Xét
AEK
và
AHC
có:
AK AC=
(Do
AKC
cân)
A
chung
Do đó:
AEK AHC =
(Cạnh huyền – góc nhọn)
HKE ECH=
(2 góc tương ứng)
và
KE HC=
(2 cạnh tương ứng).
Lại có:
+)
AH AE=
(Do
AHD AED =
)
+)
AK AC=
(Do
AKC
cân)
+)
AC AE EC=+
+)
K AH HK=+
Suy ra
HK EC=
Xét
KHE
và
ΔCEH
có:
HK EC=
(Chứng minh trên)
HKE ECH=
(Chứng minh trên)
KE HC=
(Chứng minh trên)
Do đó:
( )
- -KHE CEH c g c =
d) Tính
AC
.
Áp dụng định lí Py-ta-go cho
ABC
vuông tại
A
có:
2 2 2
(1)AB AC BC+=
Áp dụng định lí Py-ta-go cho
AHB
vuông tại
H
có:
2 2 2
(2)AB AH BH=+
Áp dụng định lí Py-ta-go cho
AHC
vuông tại
H
có:
2 2 2
(3)AC AH CH=+
Từ (1), (2), (3) Suy ra:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
50 18 32
2 576 24
22
BC BH CH
BC AH BH CH AH AH
− − − −
= + + = = = =
Thay vào (3), ta tính được
30 .AC cm=
e) Chứng minh
HEP
đều
24/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
Khi
00
30 60BCA KAC= =
Xét
AKC
cân tại A, có
0
60KAC =
AKC
đều
Do đó
(4)AK AC KC==
Lại có:
,,AD KE AP
là các đường cao đồng thời là trung tuyến
, ,E H P
lần lượt là trung điểm của
,,AC AK CK
.
Xét
AHC
vuông tại
H
, trung tuyến
HE
ứng với cạnh huyền
AC
.
Suy ra
1
(5)
2
HE AC=
(Tính chất trung tuyến trong tam giác vuông)
Tương tự ta có:
1
(6)
2
HP AK=
và
1
(7)
2
EP C K=
Từ (4), (5), (6), (7) suy ra:
HE HP EP==
Vậy
HEP
đều (Điểu phải chứng minh).
Bài 16.
a) Xét
ABC có:
o
ABC + ACB + BAC = 180
o
ABC + ACB + 60 = 180
o
o
ABC + ACB = 120
Ta có: CI là tia phân giác của góc ACB
1
BCI = ACI = ACB
2
BI là tia phân giác của góc ABC
1
CBI = ABI = ABC
2
oo
1 1 1 1
BCI + CBI= ACB+ ABC= (ACB + ABC)= .120 =60
2 2 2 2
Xét
BIC có:
60
°
F
I
E
D
A
C
B
25/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
o
BIC + CBI + BIC = 180
o
60 + BIC = 180
o
o
BIC = 120
b) Ta có:
o
EIB + BIC = 180
o
EIB + 120 = 180
o
o
EIB = 60 .
Ta có:
o
DIC + BIC = 180
o
DIC + 120 = 180
o
o
DIC = 60 .
Ta có:
IF
là tia phân giác của
BIC
60 .
O
BIF FIC = =
Xét
IFC
và
IDC
có:
ICF ICD=
(vì
CI
là phân giác của
BCA
).
Cạnh
CI
chung
( )
60
O
CIF CID==
ΔIFC = ΔIDC (g-c-g)
IF ID=
(1)
Xét
IFB
và
IEB
có:
IBF IBE=
(vì
BI
là phân giác của
CB A
)
Cạnh
IB
chung
( )
60
O
BIF BIE==
( )IFB IEB g c g = − −
IF IE=
(2)
Từ (1) và (2)
IF IE ID==
.
26/
26
Nhóm Toán THCS
Toán h󰉭
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
c) Ta có:
60 60 120
o o o
EIF EIB FIB= + = + =
60 60 120
o o o
DIF DIC FIC= + = + =
Xét
EIF
và
DIF
có
IF
là cạnh chung
( )
120
o
EIF DIF==
IE ID=
(cmt)
EIF DIF =
(c-g-c)
EF DF=
(3)
Chứng minh tương tự:
EIF EID =
EF ED=
(4)
TỪ (3) VÀ (4) ta có:
EF DE DF==
.
DEF
là tam giác đều
d)
EIF DIF =
IFE IFD =
FI
là phân giác của
EFD
EIF EID =
IEF IED =
EI
là phân giác của
FED
I
là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác
DEF
.
Tam giác
ABC
có:
CI
là phân giác của
ACB
BI
là phân giác của
ABC
I
là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác
ABC
Vậy
I
là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác
ABC
và tam giác
.DEF
| 1/26
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

1/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê
Trường THCS Trưng Vương Năm học: 2017-2018
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KỲ II MÔN: TOÁN 7 A. LÝ THUYẾT:
1. Đại số: Trả lời các câu hỏi 1,2 SGK trang 22. Câu 1,2,3,4 SGK trang 49. 2. Hình học:
- Nêu định nghĩa, tính chất, các cách nhận biết tam giác cân, đều, vuông, vuông cân?
- Nêu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, trường hợp bằng nhau đặc biệt của 2 tam giác vuông.
- Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận của các định lí.
+ Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác.
+ Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu.
+ Quan hệ giữa 3 cạnh trong tam giác.
+ Tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của đoạn thẳng.
+ Tính chất đường trung tuyến, 3 đường phân giác, 3 đường trung trực, 3 đường cao trong tam giác.
B. BÀI TẬP THAM KHẢO:
Bài 1. Thu gọn các đơn thức sau rồi chỉ ra bậc của đơn thức: a) 2 3 5x( 2 − xy ).3xyz b) 2 3 2 3 2 3 ( 2
− x yz ) .(3x y z) 3  3  c) 2 2 2 (4xy x) . x yz    4  2 2 1  1   5  d) 2 2 − x x y . y     25  3   2  2 2  1  1  5  e) 3 3 3 3
− x y .1 x y . − xy      2  5  3  2  1  f) 4abx − xy .   (−ay)2 3 2 ( , a b là hằng số).  2  Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 2/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê
Bài 2. Cho các đa thức: 2 2 2 2
A = −x y + 7x − 3x y + 4xy + 2yx − 5x − 4 2 2
B = 2xy + 3 − 6x y − 3xy + 2x +1− (xy) 2 2
C = 4(x −1) + 2x(xy − y) + y(x − x) − x(xy + 3)
a) Thu gọn và tìm bậc của , A , B C .
b) Tính A + B + C; A + B − C;2A − B + . C
c) Tính giá trị biểu thức C với x = 2, y = 2 − .
Bài 3. Tìm đa thức A biết: a) 2 2 3 2 2 2 3
A + (2xy − 3x y + y ) =5x y + 4x y + 4y . b) 2 2 2
A − (4xy − 3y ) = x − 7xy + 8y . c) 2 2 3 2 3
(25x y −13xy + x ) − A = 11x y − 2x . d) 2 2 2 3 3
(3x y − xy + 2x y ) − A .
Bài 4. Cho 2 đa thức: P ( x) 5 2 5 2 = 5
− x − 6x + 5x − 5x − 2 + 4x và Q ( x) 4 3 2 3 3 = 2
− x − 5x +10x −17x + 4x − 5 + x
a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính P ( x) + Q ( x); P ( x) − Q ( x) . c) Chứng tỏ x = 2
− là nghiệm của P(x) nhưng không phải là nghiệm của Q(x) .
Bài 5. Cho 2 đa thức: A( x) 3 = x (x + ) 3
2 − 5x + 9 + 2x ( x − ) 1 và B ( x) = ( 2
x − x + ) − ( 4 3 2 3 1
3x + 2x − 3x + 4)
a) Thu gọn rồi sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến.
b) Tính A( x) + B ( x) ; A( x) − B ( x) .
c) Tìm nghiệm của C ( x) = A( x) + B ( x).
d) Chứng tỏ đa thức H ( x) = A( x) + 5x vô nghiệm.
Bài 6. Cho hai đa thức: A( x) = ( 2
3 x + 2 − 4x) − 2x ( x − 2) +17 và B ( x) 2
= x − x + − ( 2 3 7
3 3 x − 2x + 4). Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 3/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê
a) Thu gọn A( x), B ( x) . Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm của biến. Tìm hệ số
cao nhất, hệ số tự do của 2 đa thức đó.
b) Tìm N ( x) sao cho N ( x) − B ( x) = A( x).
và M ( x) sao cho A( x) − M ( x) = B ( x).
c) Chứng minh: x = 2 là một nghiệm của N ( x). Tìm một nghiệm nữa của N ( x). 2
d) Tính nghiệm của A( x) tại x = . 3
Bài 7. Tìm nghiệm của các đã thức a) A( x) = 4 − x − 5 g) H ( x) 1 1 = x − 3 − 2 2
b) B ( x) = 3(2x − ) 1 − 2( x + ) 1
h) K ( x) = 3x − 2 + 4 − 6x c) C ( x) = ( 2 x − )( 2 2 8 −x + ) 1
i) M ( x) = x − + ( x − )2 2 1 1 d) D ( x) 3 = 3x − x j) N ( x) 2 = 4x − 3x + 7 e) E ( x) 3 = 2x + 4x k) P ( x) 2
= 7x − 2x − 9 f) G ( x) 3 2
= x − x + x −1 l) Q ( x) 2 = 5x −11x + 6
Bài 8*. (Dành cho HS giỏi)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số: 2 2 A = ( x + )2 2 B = ( x − ) 1 + ( y + 5) +1
C = x − 2014 + x − 2015 D = ( x − )4 2 9 + y − 2 −1
b) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 1 B = − ( x + )2 5 1 2
C = 9 − x − 5 D = 2 x + 2
c) Tìm các giá trị nguyên của biến x để: 2 8 − x 1) A = B = 6 − có giá trị lớn nhất. 2) x
x − có giá trị nhỏ nhất. 3 Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 4/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê
Bài 9*. (Dành cho HS giỏi) Tính giá trị các biểu thức sau: 2a − 5b 4a + b a 3 a) A = − = a − 3b 8a − biết 2b b 4
b) B = ( x + y)( y + z)( x + z) biết xyz = 2 và x + y + z = 0 c) f ( x) 17 16 15 14
= x − 2015x + 2015x − 2015x +....+ 2015x −1. Tính f (2014)
Bài 10. Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm.
a) Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
b) Kẻ AH vuông góc với BC ( H BC ). Gọi AD là phân giác BAH ( D BC ). Qua A
vẽ đường thẳng song song với BC, trên đó lấy E sao cho AE = BD (E và C cùng phía đối
với AB). CMR: AB = DE. c) CMR: ADC cân.
d) Gọi M là trung điểm AD, I là giao điểm của AH và DE. CMR: C, I, M thẳng hàng.
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD, kẻ DE vuông góc với BC tại E. Trên
tia đối của tia AB lấy F sao cho AF = CE. CMR: a) ABD = EBD
b) BD là đường trung trực của AE. c) AD < DC.
d) E, D, F thẳng hàng và BD ⊥ CF . e) 2(AD + AF) > CF. Bài 12. Cho ABC  có 0
A = 90 và AC AB . Kẻ AH ⊥ BC . Trên tia HC lấy điểm D sao
cho HD = HB . Kẻ CE ⊥ AD kéo dài ( E thuộc tia AD ). Chứng minh: a) ABD cân. b) DAH = ACB
c) CB là tia phân giác của ACE
d) Kẻ DI ⊥ AC ( I AC ) , chứng minh 3 đường thẳng AH, I , D CE đồng quy.
e) So sánh AC và CD .
f) Tìm điều kiện của ABC
để I là trung điểm AC . Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 5/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Bài 13. Cho ABC
cân tại A ( A  90 ). Trên cạnh BC lấy 2 điểm D , E sao cho
BD = DE = EC . Kẻ BH ⊥ AD, CK ⊥ AE ( H AD, K AE ), BH cắt CK tại G . Chứng minh rằng: a) ADE cân. b) BH = CK .
c) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh ,
A M , G thẳng hàng. d) AC AD .
e) DAE DAB . Bài 14. Cho ABC
đều. Tia phân giác góc B cắt AC tại M. Từ A kẻ đường thẳng vuông
góc với AB cắt BM , BC tại N, E. Chứng minh: a) ANC cân. b) NC ⊥ B . C
c) Xác định dạng của tam giác BN . E
d) NC là trung trực của BE. e) Cho AB =10c .
m Tính diện tích BNE và chu vi . ABEBài 15. Cho ABC  có 0
A = 90 ( AB AC ), đường cao AH , AD là phân giác của AHC .
Kẻ DE ⊥ AC .
a) Chứng minh: DH = D . E
b) Gọi K là giao điểm của DE và AH . Chứng minh AKC cân. c) Chứng minh KHE = CEH . d) Cho BH = 8c , m CH = 32c . m Tính AC. e) Giả sử ABC  có 0
C = 30 , AD cắt CK tại P . Chứng minh HEP đều. Bài 16. Cho ABC  có 60o A =
. Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I , cắt cạnh
AC, AB ở D và E. Tia phân giác góc BIC cắt BC ở F. a) Tính góc BIC
b) Chứng minh: ID = IE = IF . c) Chứng minh: DEF đều.
d) Chứng minh: I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC  và DEF Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 6/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê
Hướng dẫn giải: Bài 1. a) 2 3 3 3 3 5x( 2
− xy ).3xyz = 3 − 0x y z ; Bậc 9 b) 2 3 2 3 2 3 13 8 9 ( 2
− x yz ) .(3x y z) =12x y z ; Bậc 30 3  3  27 c) 2 2 2 10 7 3 (4xy x) . x yz = x y z   ; Bậc 20  4  4 2 2 1  1   5  1 − d) 2 2 5 6 − x x y . y = x .y     ; Bậc 11 25  3   2  36 2 2  1  1  5  5 e) 3 3 3 3 11 11
− x y .1 x y . − xy = x y     ; Bậc 11  2  5  3  6 2  1  f) 4abx − xy .   (−ay)2 3 2 3 5 6 = a . b x .y ; Bậc 11  2  Bài 2. a) Thu gọn và tìm bậc: 2 2 2
A = −x y − x y + 4xy + 2x − 4 ; Bậc 4 2 2 2
B = −x y − 6x y − xy + 2x + 4 ; Bậc 4 2 2
C = 2x y − 3xy + x − 4 ; Bậc 4 b) Tính: 2
A + B + C = 7
− x y + 5x − 4 2 2 2
A + B − C = 4
− x y − 7x y + 6xy + 3x + 4 2 2 2
2A − B + C = x y + 4x y + 6xy + 3x −16
c) Tính giá trị biểu thức C với x = 2, y = 2 − 2 2 C = 2.2 .( 2 − ) − 3.2.( 2 − ) + 2 − 4 = 42 Bài 3. Tìm A a) 2 2 3 2 2 2 3
A + (2xy − 3x y + y ) =5x y + 4x y + 4y 2 2 2 3 2 2 3
A = 5x y + 4x y + 4y − (2xy − 3x y + y ) 2 2 2 3 2 2 3
A = 5x y + 4x y + 4y − 2xy + 3x y − y 2 2 2 3 2
A = 5x y + 7x y + 3y − 2xy b) 2 2 2
A − (4xy − 3y ) = x − 7xy + 8y Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 7/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 2 2 2
A = x − 7xy + 8y + 4xy − 3y 2 2
A = x − 3xy + 5y 2 2 3 2 3
(25x y −13xy + x ) − A = 11x y − 2x c) 2 2 3 2 3
A = (25x y −13xy + x ) − (11x y − 2x ) 2 2 3 2 3
A = 25x y −13xy + x −11x y + 2x 2 2 3
A =14x y −13xy + 3x d) 2 2 2 3 3
(3x y − xy + 2x y ) − A = 0 2 2 2 3 3
A = 3x y − xy + 2x y Bài 4.
a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến: P ( x) 5 2 5 2 = 5
− x − 6x + 5x − 5x − 2 + 4x = ( 5 5 − x + x ) + ( 2 2 − x + x ) 2 5 5 6 4 − 5x − 2 = 2
− x − 5x − 2 Q ( x) 4 3 2 3 3 4 3 3 3 2 = 2
− x − 5x +10x −17x + 4x − 5 + x = 2 − x + ( 5
− x + 4x + x ) −17x +10x − 5 4 2 = 2
− x −17x +10x −5
b) Tính P ( x) + Q ( x); P ( x) − Q ( x)
+) P ( x) + Q( x) 2 4 2 = 2
− x − 5x − 2 − 2x −17x +10x − 5
P ( x) + Q ( x) 4 = − x + ( 2 2 2 2
− x −17x ) + ( 5
− x +10x) + ( 2 − − 5)
P ( x) + Q ( x) 4 2 = 2
− x −19x + 5x − 7
+) P ( x) − Q ( x) 2
= − x − x − − ( 4 2 2 5 2 2
− x −17x +10x − 5)
P ( x) − Q ( x) 2 4 2 = 2
− x − 5x − 2 + 2x +17x −10x + 5
P ( x) − Q ( x) 4 = x + ( 2 2 2 2
− x +17x ) + ( 5
− x −10x) + ( 2 − + 5)
P ( x) − Q ( x) 4 2 = 2x + 1 + 5x −15x + 3 Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 8/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê c) Chứng tỏ x = 2
− là nghiệm của P(x) nhưng không phải là nghiệm của Q(x) +) Thay x = 2
− vào P(x) , ta có: P(x) 2 = 2
− x − 5x − 2 2 Suy ra P ( 2 − ) = 2 − ( 2 − ) − 5( 2 − ) − 2  P( 2 − ) = 8 − +10 − 2  P( 2 − ) = 0 Hay x = 2
− là nghiệm của P(x) . +) Thay x = 2
− vào Q(x) , ta có: 4 2 Q(x) = 2
− x −17x +10x −5 4 2 Suy ra Q ( 2 − ) = 2 − .( 2 − ) −17.( 2 − ) +10.( 2 − ) −5  Q( 2 − ) = 3 − 2 + 68 − 20 − 5  Q ( 2 − ) = 1 − 1  0 Hay x = 2
− không phải là nghiệm của Q(x) . Vậy x = 2
− là nghiệm của P(x) nhưng không phải là nghiệm của Q(x) . Bài 5.
a) Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm
A(x)= 𝑥3(𝑥 + 2) − 5𝑥 + 9 + 2𝑥3(𝑥 − 1)
= 𝑥4 +2𝑥3 − 5𝑥 + 9 + 2𝑥4 − 2𝑥3
=3𝑥4 − 5𝑥 + 9
B(x)= 2(𝑥2 − 3𝑥 + 1) − (3𝑥4 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 4)
=2𝑥2 − 6𝑥 + 2 − 3𝑥4 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 4
=−3𝑥4 − 3𝑥 − 2
b) Tính A(x)+B(x); A(x)-B(x)
A(x)= 3𝑥4 − 5𝑥 + 9 +
B(x)= −3𝑥4 − 3𝑥 − 2 A(x)+B(x)= −8𝑥 + 7 Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 9/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê
A(x)= 3𝑥4 − 5𝑥 + 9 −
B(x)= −3𝑥4 − 3𝑥 − 2
A(x)−B(x)= 6𝑥4 − 2𝑥 + 11
c) Tìm nghiệm của C(x)=A(x) +B(x) 7
C(x)=−8𝑥 + 7=0 −8𝑥 = −7 x= 8 7
Vậy nghiệm của C(x)= −8𝑥 + 7 là x= 8
d) Chứng tỏ rằng H(x)=A(x)+5x vô nghiệm
H(x)= 3𝑥4 − 5𝑥 + 9 + 5𝑥 = 3𝑥4 + 9
H(x)=0  3𝑥4 + 9 = 0 3𝑥4 = −9 𝑥4 = −3 (vô lí)
Nên không có giá trị nào của x để H(x)=0
Vậy H(x) vô nghiệm. Bài 6. a) Thu gọn và sắp xếp
A(x)=3(𝑥2 + 2 − 4𝑥) − 2x(x − 2) + 17
=3𝑥2 + 6 − 12𝑥 − 2𝑥2 + 4x + 17 =𝑥2 − 8𝑥 + 23
Hệ số cao nhất: 1, hệ số tự do 23
B(x) = 3𝑥2 − 7𝑥 + 3 − 3(𝑥2 − 2𝑥 + 4)
= 3𝑥2 − 7𝑥 + 3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 12 = −𝑥 − 9
Hệ số cao nhất: -1, hệ số tự do -9 Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 10/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê b) N(x)-B(x)=A(x) N(x)=B(x)+A(x)
A(x)= 𝑥2 − 8𝑥 + 23 + B(x) = − 𝑥 − 9
N(x) = 𝑥2 − 9𝑥 + 14 A(x)-M(x)=B(x) M(x)=A(x)-B(x)
A(x)= 𝑥2 − 8𝑥 + 23 − B(x) = −𝑥 − 9
M(x) = 𝑥2 − 7𝑥 + 32
c) Chứng minh 2 là nghiệm của N(x).Tìm một nghiệm nữa của N(x)
N(2)= 22−9.2 + 14 = 4 − 18 + 14 = 0
Vậy 2 là nghiệm của N(x)
N(x)= 𝑥2 − 9𝑥 + 14 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 𝑎)
𝑥2 − 9𝑥 + 14 = 𝑥2 + (𝑎 − 2)𝑥 − 2𝑎  −9 = 𝑎 − 2 𝑎 = −7 { { (thỏa mãn) 14 = −2𝑎 𝑎 = −7
Vậy a=−7 là một nghiệm nữa của N(x) 2
d) Tính giá trị của A(x) tại x= 3 2
Thay x = vào biểu thức A(x)= 𝑥2 − 8𝑥 + 23 3 2 2 2 4 16 163
Ta được A ( )= ( )2 − 8. + 23= − + 23 = 3 3 3 9 3 9 2 163
Vậy tại x = thì giá trị của biểu thức A(x) bằng 3 9 Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 11/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Bài 7. 5 − a) Ta có 4
− x − 5 = 0  x = . 4 5
Vậy nghiệm của đa thức là x = − . 4
b) Ta có ( x − ) − ( x + ) 5 3 2 1 2
1 = 0  4x − 5 = 0  x = . 4 5
Vậy nghiệm của đa thức là x = . 4 2x −8 = 0 x = 4 x = 2
c) Ta có (2x − 8)(−x + ) 2 2 2 2 1 = 0       . 2 2 −x +1 = 0 x = 1 x = 1 
Vậy tập nghiệm của đa thức là S =  2 − ; 1 − ;1;  2 . x = 0 x = 0 d) Ta có 3
3x − x = 0  x ( 2 3 − x ) = 0     . 2 x = 3 x =  3
Vậy tập nghiệm của đa thức là S = − 3;0; 3 . x = 0 e) Ta có 3
2x + 4x = 0  2x ( 2 x + 2) = 0   . 2 x = 2 − Vì 2
x  0 với mọi x nên 2 x = 2 − vô nghiệm.
Vậy nghiệm của đa thức là x = 0 . f) Ta có 3 2 2
x − x + x − =
x (x − ) + (x − ) =  (x − )( 2 1 0 1 1 0 1 x + ) 1 = 0 . x −1 = 0 x =1     . 2 2 x +1 = 0 x = 1 − Vì 2
x  0 với mọi x nên 2 x = 1 − vô nghiệm.
Vậy nghiệm của đa thức là x =1. 1 1 1 7 x − 3 = x = 1 1 1 1   x = 7 2 2 2 2 g) Ta có: x − 3 − = 0  x − 3 =       . 2 2 2 2 1 1 1 5   x = 5 x − 3 = − x = 2 2 2 2
Vậy tập nghiệm của đa thức là S = 5;  7 .
h) Ta có 3x − 2 + 4 − 6x = 0 . Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 12/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê  3x − 2  0  Vì 
nên 3x − 2 + 4 − 6x  0 .  4 − 6x  0   3x − 2 = 0  3  x − 2 = 0 2 Dấu “=” xảy ra khi     x = .  4 − 6x = 0  4 − 6x = 0 3 2
Vậy nghiệm của bất phương trình là x = . 3
i) Ta có x − + ( x − )2 2 1 1 = 0.  x −1  0  Vì (
nên x − + ( x − )2 2 1 1  0 .  x −  )2 2 1  0 x =1  x −1 = 0  x −1 = 0 
Dấu “=” xảy ra khi (     =  = .  x −  ) x 1 x 1 2 2 2 1 = 0 x −1 = 0  x = 1 −
Vậy nghiệm của đa thức là x =1. j) Ta có: 2
4x − 3x + 7 = 0 3 3 9 103 2
 4x − x − x + + = 0 2 2 16 16  3  3  3  103  2x 2x − − 2x − + = 0      4  4  4  16  3  3  103  2x − 2x − + = 0     4  4  16 2  3  1 − 03  2x − =   .  4  16 2  2 3   3  103 Vì 2x −  0  
với mọi x nên suy ra 2x − = −   vô nghiệm.  4   4  16 k) Ta có 2 2
7x − 2x − 9 = 0  7x + 7x − 9x − 9 = 0  7x ( x + ) 1 − 9 ( x + ) 1 = 0 x = 1 − x +1 = 0 (   x + ) 1 (7x − 9) = 0    9 . 7x − 9 = 0 x =  7  9 
Vậy tập nghiệm của đa thức là S =  1 − ;   7  Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 13/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê l) Ta có 2 2
5x −11x + 6 = 0  5x − 5x − 6x + 6 = 0  5x ( x − ) 1 − 6( x − ) 1 = 0  (  − =  = x − )( x − ) x 1 0 x 1 1 6 = 0     . x − 6 = 0 x = 6
Vậy tập nghiệm của đa thức là S = 1;  6 . Bài 8.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số: +) A = ( x + )2 2 Vì ( x + )2 2  0, x
 ; dấu “=” xảy ra khi (x + )2 2
= 0 x + 2 = 0  x = −2
Vậy GTNN của A là 0 khi x = 2 − 2 2 +) B = ( x − ) 1 + ( y + 5) +1 Ta có: ( x − )2 1
 0 với mọi x, ( y + )2 5  0 với mọi y 2 2 Suy ra: ( x − )
1 + ( y + 5) +1  0 + 0 +1 = 1 (  x −  )2 1 = 0 x =1 Dấu “=” xảy ra khi    (  y +  )2 = y = 5 5 0 −
Vậy GTNN của B là 1 khi x = 1; y = 5 −
+) C = x − 2014 + x − 2015
Ta có: C = x − 2014 + x − 2015 = x − 2014 + 2015 − x
Mà: x − 2014 + 2015 − x x − 2014 + 2015 − x = 1 = 1
Dấu “=” xảy ra khi ( x − 2014)(2015 − x)  0  2014  x  2015
Vậy GTNN của C là 1 khi 2014  x  2015
+) E = ( x − )4 2 9 + y − 2 −1 Vì: ( x − )4 2 9
 0 ; y − 2  0 với mọi x,y
Suy ra: D = ( x − )4 2 9
+ y − 2 −1 0 + 0 −1= 1 − Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 14/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê (x − )4 2 9 = 0 x = 3 
Dấu “=” xảy ra khi:     − = y = 2 y 2 0 
Vậy GTNN của D là 1 − khi ( ;
x y) = (3; 2) hoặc ( ; x y) = ( 3 − ;2)
b) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
+) B = − ( x + )2 5 1 2 2 Vì: ( x + ) 1
 0  B = 5 − (x + ) 1
 5 với mọi x, dấu “=” xảy ra khi: (x + )2 1 = 0  x = 1 −
Vậy GTLN của B là 5 khi x = 1 − +) 2
C = 9 − x − 5 Vì: 2 2 x − 5  0 x
  C = 9 − x − 5  9 − 0 = 9 với mọi x Dấu “=” xảy ra khi: 2 2 2
x − 5 = 0  x − 5 = 0  x = 5  x =  5
Vậy GTLN của C là 9 khi x =  5 1 +) D = 2 x + 2 1 1 Vì 2
x + 2  2  D =  2 x + với mọi x 2 2 Dấu “=” xảy ra khi: 2 x = 0  x = 0 1 Vậy GTLN của D là khi x = 0 2
c) Tìm các giá trị nguyên của biến x để: 2
1) A = 6− có giá trị lớn nhất x
ĐK để A có nghĩa là x  6 2
Với x  6  6 − x  0  A =  0 6 − x Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 15/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê 2
Với x  6  6 − x  0  A =  0 6 − x
Do đó đề A lớn nhất thì A  0 trong trường hợp x  6
Mặt khác tử số của A không đổi nên A lớn nhất khi mẫu 6 − x bé nhất
Suy ra x là số nguyên lớn nhất mà x  6 nên x = 5 2 2 Khi đó A = = = 2 6 − x 6 − 5
Vậy khi x = 5 thì A đạt GTLN là 2 8 − x
2) B = x − có giá trị nhỏ nhất 3
ĐK để B có nghĩa là x  3 8 − x 5 − (x − 3) 5 Ta có: B = = = −1 x − 3 x − 3 x − ; 3 5
Suy ra B nhỏ nhất khi x − nhỏ nhất 3 5
Với x  3  x − 3  0   0 x − 3 5
Với x  3  x − 3  0   0 x − 3 5 5 Do đó đề  0 x
x − nhỏ nhất thì 3 x − trong trường hợp 3 3 5 5 Mặt khác tử số của x − lớn nhất
x − không đổi nên 3
x − nhỏ nhất khi mẫu 3 3
Suy ra x là số nguyên lớn nhất mà x  3 nên x = 2 5 5 Khi đó B = −1 = −1 = 6 − x − 3 2 − 3
Vậy khi x = 2 thì B đạt GTNN là 6 − .
Bài 9*. (Dành cho HS giỏi) a 3 a b a b a) Ta có
=  = . Đặt = = k . Suy ra a = 3k;b = 4k b 4 3 4 3 4 Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 16/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê
Khi đó biểu thức A trở thành: 2.3k − 5.4k 4.3k + 4k 6k − 20k 12k + 4k 1 − 4k 16k 14 5 5 A = − = − = − = −1 = 1 −1 = 3k − 3.4k 8.3k − 2.4k 3k −12k 24k − 8k 9 − k 16k 9 9 9 5 Vậy A = . 9
b) Ta có x + y + z = 0 , suy ra x + y = − ;
z y + z = −x và x + z = −y
Thay vào biểu thức B, ta được:
B = (−z)(−x)(− y) = −xyz , mà xyz = 2 nên B = 2 − Vậy B = 2 − .
c) Xét với x = 2014  x +1 = 2015. Khi đó ta được f ( ) 17
= x − (x + ) 16 x + ( x + ) 15 x − ( x + ) 14 2014 1 1
1 x + .... + ( x + ) 1 x −1 17 = x − ( 17 16 x + x ) + ( 16 15 x + x ) − ( 15 14 x + x ) + + ( 2 ... x + x) −1 17 17 16 16 15 15 14 2
= x − x − x + x + x − x − x +...+ x + x −1
= x −1 = 2014 −1 = 2013 Vậy f (2014) = 2013 Bài 10. a) Do 2 2 2
AB + AC = BC nên ABC  vuông tại A. C b) Do EAD = BD (
A cgc) nên ED = AB . c)  : =180o − ( + ) = 90o AHD ADH HAD AHD − HAD = H 90o CAD − DAB E I D
Mà AD là phân giác BAH M A Nên B
HAD = DAB → CAD = ADH Vậy ADC cân tại C. d) A
DC cân tại C, M là trung điểm AD nên CM ⊥ AD . Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 17/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Do EAD = BD ( A cgc) (c/m ở b)
nên EDA = DAB → ED / / AB
Mà AB ⊥ AC → DE ⊥ CA → I = AH DE
Do đó I là trực tâm A
DC → I CM Vậy C, I, M thẳng hàng. Bài 11.
a) Vì BD là phân giác ABC F
Suy ra ABD = DBE Do đó ABD = E
BD (góc nhọn – cạnh huyền). A H b) Ta có: ABKI = EBK (c-g-c) D K
nên BD ⊥ AE = K và K là trung điểm AE. B C
Vậy BD là đường trung trực của AE. E c) Ta có: ABD = E
BD nên AD = DE mà E
DC vuông tại E nên DE DC → AD DC . d) Ta có: FAD = C
ED(c − g − c)
Suy ra: FAD = CDE do đó FAD + ADE = ADE + EDC
Mà A, D, C thẳng hàng nên E, D, F thẳng hàng. Trong B
EC :CA ⊥ BE, FE ⊥ BC,CAFE = D nên D là trực tâm B
EC → BD ⊥ CF . e) Ta có: F
AD: AF + AD FD và E
CD : DE + EC DC
Mà AF = CE, AD = DE Suy ra (AF + A )
D + (DE + EC)  FD + DC
Hay 2(AD + AF)  FD + DC Xét D
EFC : DF + DC FC
Do đó 2(AD + AF)  F . C Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 18/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Bài 12. a) Ta có:
+ AH ⊥ BC AH là đường cao của ABD
+ HD = HB AH là trung tuyến của ABD
 ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường
trung tuyến nên ABD cân tại A .
b) + ABD cân tại A nên: ADH = ABH (1) + ADH  vuông tại H nên: 0
DAH + ADH = 90 (2) + ABC  vuông tại A nên: 0
ACB + ABH = 90 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: DAH = ACB (đpcm). c) Ta có: + D
CE vuông tại E nên: 0 DCE + CDE = 90 (4)
+ Mà: CDE = ADH (đối đỉnh) (5)
Từ (2), (4), (5) suy ra: DCE = ACB
CB là tia phân giác của ACE
d) Ta có: + AH ⊥ BC AH ⊥ DC + ID ⊥ AC + CE ⊥ ADAH, I ,
D CE là 3 đường cao của B
CD nên đồng quy tại một điểm.
e) Vì AH ⊥ BC nên H ,
B HC lần lượt là hình chiếu của A , B AC trên BC
Mà: AC AB (gt)
HC HB(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Mà: HD = HB (điểm D tia HC )
Nên: điểm D thuộc đoạn thẳng HC
Do đó: CD CH
Lại có: CH AC (quan hệ giữa đường xien và đường vuông góc)
Vâỵ: CD AC .
f) Nếu I là trung điểm của AC thì: DI là đường trung tuyến của ADC Mà: DI ⊥ AC Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 19/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê  A
DC có DI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên A
DC cân tại DDAC = DCA
Lại có: ADB = 2DCA ( tính chất góc ngoài của tam giác) Mà:
ADB = ABC (vì ABD cân tại A )
Do đó: ABC = 2DCA Mà: 0
ABC + DCA = 90 Suy ra: 0 0
ABC = 60 ; DCA = 30 Vậy ABC  có thêm điều kiện 0 ABC = 60 (hoặc 0
ACB = 30 ) thì I là trung điểm AC . Bài 13.
a) Xét ABD và ACE có: A
+ AB = AC ( ABC  cân)
+ ABC = ACE ( ABC  cân) D E B C M
+ BD = CE (Giả thiết) H K GABD A
CE ( .cg.c) F
AD = AE (2 cạnh tương ứng)  ADE cân (đpcm). b) Vì ABD A
CE (cmt)  BAH = CAK (2 góc tương ứng) Xét ABH  và ACK có: AHB AKC ( 90 )  + = =    ABH ACK ch − gn
+ AB = AC ( ABC can) ( )
  BH = CK
(2 canh tuong ung)
+ BAH = CAK (cmt)  c) Xét DBH  và ECK có:
+ DHB = EKC (= 90)   DBH E
CK (ch − cgv)
+ BD = CE (gt)
  DBH = ECK goc tuong ung
+ BH = CK (cmt) (2 )   G
BC cân tại G , lại có GM là trung tuyến
GM là đường trung trực
G đường trung trực của BC ( ) 1 Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 20/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Vì ABC  cân tại A (gt)
A đường trung trực của BC (2)
Do M là trung điểm của BC (gt)
M  đường trung trực của BC (3) Từ ( ) 1 , (2) và (3)  ,
A M , G thẳng hàng. d) Xét A
ME có: AEC = AME + MAE = 90 + MAE  90  AEC là góc tù. Xét A
CE có: AC đối diện góc tù AEC AC AE (quan hệ góc và cạnh đối diện)
Mà AD = AE (cmt)  AC AD (đpcm)
e) Trên tia đối của tia DA lấy điểm F sao cho DF = DA .
Xét ADE và FDB có:
+ DE = DB (gt)   ADE F
DB ( .cg.c) 
+ ADE = FDB (2 goc doi dinh) + AE = BF  
(2 canh tuong ung)   
+ DA = DF (cach ve)  + DAE = DFB
(2 goc tuong ung)
Xét ABD có: ADB ACE = ABD (t/c góc ngoài tam giác)
AB AD (quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác)
Mà AD = BF (= AE) nên  AB BF . Xét ABF
có: AB BF (cmt )
AFB DAB (quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác)
Lại có AFB = DAE (cmt )  DAE DAB (đpcm). Bài 14. a) ABC  đều (giả thiết)
Mà BM là phân giác của ABC (giả thiết)
BM là đường trung trực của ABC   CM = M ;
A BM ⊥ AC (tính chất đường trung trực) CM = MA  Trong CNA
có: NM ⊥ AC  (BM ⊥ AC) Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 21/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Suy ra CNA  cân tại N (đpcm)
ACN = NAC (tính chất tam giác cân)
BCA = BAC(gt)
b) Ta có: ACN = NAC  (cmt)
BCA+ ACN = BAC + NAC BCN = BAN Do 0 BAN = (gt) 0 90
BCN = 90  NC ⊥ BC. c) Xét BCN và BAN  có: 0 BCN = BAN = 90 BN chung BC = B ( A gt)  BCN = B
AN (Cạnh huyền – Cạnh góc vuông)
BNC = BNA (Góc tương ứng bằng nhau) Trong BCN có: 0 0
BCN = 90 (cmt)  BNC + CBN = 90 1 1 Mà: 0 0 CBN = NBA = CBA = .60 = 30 (gt) 2 2 0 0 0 0
CNB = 90 − CBN = 90 −30 = 60 0
CNB = BNA = 60 Ta có: 0
CNB + BNA + CNE = 180 0 0 0 0 0
CNE =180 − CNB − BNA =180 − 60 − 60 = 60 0
CNE = CNB = 60 .
NC là tia phân giác của BNE Mà NC ⊥ BCB
NE cân tại N . d) Ta có: B
NE cân tại N
mà NC ⊥ BC hay NC là đường cao của BNE
NC là đường trung trực của B
NE (t/c tam giác cân)
NC là đường trung trực của BE Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 22/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê e) Ta có : 0 BAE = 90 2 2 2
AE = BE + AB 2 2 2 2
AE = BE + AB = 20 +10 =10 5
Ta lại có : BC = CE =10cm BE = 20cm
Chu vi tam giác ABE là : AB + BE + EA = 10 + 20 +10 5 = 30 +10 5 Đặt NA = ;
x NE = y NB = y
Ta có : NA + NE = AE x + y =10 5 Mà : 2 2 2 2 2
BN = NA + AB y = x +10 y = 6 5 NE = 6 5 Suy ra    . x = 2 5 NA = 2 5 1 Ta có: 2 S
= .NC.BE.10 = 20 5(cm ) . BNE 2 1 = .2 NA .BC = . NA BC = 2 5 2 Bài 15.
a) Chứng minh: DH = D . E K Cách 1: Xét A
HD và AED , có: B 0 AHD = AED = 90 H P
AD là cạnh huyền chung D
HAD = EAD ( AD là phân giác HAC ) Do đó AHD = A
ED (Cạnh huyền – góc nhọn) A C E
DH = DE (2 cạnh tương ứng). Cách 2: DH ⊥ AH
Ta có: DE ⊥ AE
Mà D thuộc đường phân giác HAE
DH = DE (Tính chất của điểm thuộc tia phân giác). Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 23/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê b) Chứng minh A  KC cân.
Do D là giao điểm của hai đường cao KE và CH nên D là trực tâm của A  KC  AD ⊥ CK Xét A
 KC có AD là đường cao đồng thời là đường phân giác Do đó: A  KC cân tại A. c) Chứng minh KHE = CEH .
Xét AEK và AHC có:
AK = AC (Do AKC cân) A chung Do đó: AEK = A
HC (Cạnh huyền – góc nhọn)
HKE = ECH (2 góc tương ứng)
và KE = HC (2 cạnh tương ứng). Lại có:
+) AH = AE (Do AHD = AED ) +) AK = AC (Do A  KC cân)
+) AC = AE + EC
+) K = AH + HK Suy ra HK = EC Xét KHE và ΔCEH có:
HK = EC (Chứng minh trên)
HKE = ECH (Chứng minh trên)
KE = HC (Chứng minh trên) Do đó: KHE = C
EH (c - g -c) d) Tính AC .
Áp dụng định lí Py-ta-go cho A
 BC vuông tại A có: 2 2 2
AB + AC = BC (1)
Áp dụng định lí Py-ta-go cho A
 HB vuông tại H có: 2 2 2
AB = AH + BH (2)
Áp dụng định lí Py-ta-go cho A
 HC vuông tại H có: 2 2 2
AC = AH + CH (3) Từ (1), (2), (3) Suy ra: 2 2 2 2 2 2
BC − BH − CH 50 −18 − 32 2 2 2 2 2
BC = 2 AH + BH + CH AH = = = 576  AH = 24 2 2
Thay vào (3), ta tính được AC = 30c . m
e) Chứng minh HEP đều Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 24/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Khi 0 0
BCA = 30  KAC = 60 Xét A
KC cân tại A, có 0 KAC = 60  AKC đều
Do đó AK = AC = KC(4) Lại có: A ,
D KE, AP là các đường cao đồng thời là trung tuyến
E, H, P lần lượt là trung điểm của AC, AK,CK . Xét A
HC vuông tại H , trung tuyến HE ứng với cạnh huyền AC . 1 Suy ra HE =
AC(5) (Tính chất trung tuyến trong tam giác vuông) 2 1 1
Tương tự ta có: HP = AK (6) và EP = CK (7) 2 2
Từ (4), (5), (6), (7) suy ra: HE = HP = EP Vậy H
EP đều (Điểu phải chứng minh). Bài 16. a) Xét  ABC có: B o ABC + ACB + BAC = 180 F E o o ABC + ACB + 60 = 180 I o  ABC + ACB = 120 60° C A D
Ta có: CI là tia phân giác của góc ACB 1  BCI = ACI = ACB 2
BI là tia phân giác của góc ABC 1  CBI = ABI = ABC 2 1 1 1 1 o o
 BCI + CBI= ACB+ ABC= (ACB + ABC)= .120 =60 2 2 2 2 Xét  BIC có: Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 25/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê o BIC + CBI + BIC = 180 o o 60 + BIC = 180 o  BIC = 120 b) Ta có: o EIB + BIC = 180 o o  EIB + 120 = 180 o  EIB = 60 . Ta có: o DIC + BIC = 180 o o  DIC + 120 = 180 o  DIC = 60 . O
Ta có: IF là tia phân giác của BIC BIF = FIC = 60 . Xét IFC và IDC có:
ICF = ICD (vì CI là phân giác của BCA ). Cạnh CI chung = (= 60O CIF CID )  ΔIFC = ΔIDC (g-c-g)  IF = ID (1)
Xét IFB và IEB có:
IBF = IBE (vì BI là phân giác của CBA ) Cạnh IB chung = (= 60O BIF BIE )  IFB = I
EB (g − c − g)  IF = IE (2)
Từ (1) và (2)  IF = IE = ID . Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 26/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê c) Ta có: = +
= 60o + 60o =120o EIF EIB FIB = +
= 60o + 60o =120o DIF DIC FIC Xét EIF và DIF có IF là cạnh chung = (=120o EIF DIF ) IE = ID (cmt)  EIF = D
IF (c-g-c)  EF = DF (3)
Chứng minh tương tự: EIF = E
ID EF = ED (4)
TỪ (3) VÀ (4) ta có: EF = DE = DF .  D
EF là tam giác đều d) EIF = D
IF IFE = IFD FI là phân giác của EFD EIF = E
ID IEF = IED EI là phân giác của FED
I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác DEF .
Tam giác ABC có: CI là phân giác của ACB
BI là phân giác của ABC
I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác ABC
Vậy I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và tam giác DEF. Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/