Đề cương thi cuối kì môn Đại cương tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội

Đề cương thi cuối kỳ Đại số tuyến tính
Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn Ngày 21 tháng 12 năm 2021
Nội dung của file này muốn nêu các kiến thức và kỹ năng cần thiết để thi cuối kỳ, chứ
không phải là giới hạn kiến thức như cách hiểu thông thường, bởi vì khái niệm "giới hạn kiến
thức" hay "đề cương" là không rõ ràng. Vì vậy năm nay tôi sẽ thay thế nó bằng việc chỉ ra
các kiến thức cần phải biết để đi thi cuối kỳ.
a) Chiều và cơ sở của không gian vector và các phép toán trên không gian vector. Cách tìm phần bù tuyến tính.
b) Khái niệm ánh xạ tuyến tính, Im, Ker, giá trị riêng, vector riêng của ma trận và của tự
đồng cấu và cách tính toán.
c) Ma trận chéo hóa được.
d) Cách tính lũy thừa ma trận và lũy thừa của tự đồng cấu.
e) Ma trận đối xứng thực và tính chất.
f) Ma trận của ánh xạ tuyến tính, tự đồng cấu và sự thay đổi của ma trận đó khi thay đổi cơ sở.
g) Khái niệm tích vô hướng, dạng song tuyến tính đối xứng. Trực giao hóa Gram-Schmidt
để có một cơ sở trực giao, trực chuẩn. Cách tính khoảng cách.
h) Khái niệm dạng toàn phương, cách chuyển về dạng chính tắc, chỉ số quán tính, hạng của
dạng toàn phương, tính xác định dương, dạng cực của dạng toàn phương. 1
Đề thi cuối kỳ Đại số tuyến tính, K69SP (đề số 2) Thời gian: 90 phút.
Đề thi gồm 05 câu, trên 01 trang giấy. Không sử dụng tài liệu.
Câu 1. (2 điểm) Trong R2 xét hai phép toán cộng ♦ và nhân vô hướng ⋆ được định nghĩa như sau: (u, v)♦(x, y) := (u + x, 0); k⋆(x, y) := (kx, ky).
Giải thích tại sao R2 cùng hai phép toán trên không phải là một không gian véctơ.
Câu 2. (1 điểm) Chứng minh rằng hai véctơ ~x = (a, b) và ~y = (c, d) trong R2 là độc lập tuyến
tính nếu và chỉ nếu ad 6= bc.
Câu 3. (2 điểm) Chứng minh rằng không tồn tại đơn ánh tuyến tính từ R5 vào R3.
Câu 4. Cho U = {(x, y, z, t) : x + y + z + 2t = 2x + 3y − z + t = 0} ⊂ R4.
a) (1 điểm) Chứng minh rằng U là không gian vector con của R4 và xác định một cơ sở của U.
b) (1 điểm) Xác định một cơ sở trực chuẩn của phần bù trực giao U⊥.
Câu 5. Cho dạng song tuyến tính ϕ : R3 × R3 → R được xác định bởi công thức
ϕ((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = 2x1y1 +λx2y2 +3x3y3 +x1y2 +ax2y1 +5x1y3 +bx3y1 +2x2y3 +cx3y2 với λ, a, b, c ∈ R.
a) (2 điểm) Xác định a, b, c, λ để ϕ là dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương.
b) (1 điểm) Với các giá trị a, b, c tìm được ở câu trước và cho λ = 3, hãy chuyển dạng toàn
phương H cảm sinh từ ϕ về dạng chính tắc. ——— Hết ——— 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Đơn vị: Khoa Toán-Tin
Môn thi: Đại số tuyến tính
Thời gian làm bài: 90 phút. Lớp: Math231T Câu 1. (4 điểm) Cho D E U = ~ α1 = (1, 1, 1, 0), ~ α2 = (0, 1, 1, 1), ~ α3 = (1, 2, 2, 1), ~ α4 = (1, 0, 0, −1) và n o
W = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 0
là các không gian véctơ con của R−không gian véctơ R4.
a) Tìm một cơ sở của U và một cơ sở của W .
b) Hãy cho biết U ∪ W có là một không gian véc tơ con của R4 không (có giải thích)?
c) Hãy tìm một cơ sở của U + W.
d) Tìm các phần bù tuyến tính của W .
Câu 2. (3 điểm) Cho ánh xạ f : R2 → R2 được cho bởi công thức f(x, y) = (2x + 4y, 3y) với mọi (x, y) ∈ R2.
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính và chứng minh f là đẳng cấu tuyến tính.
b) Tìm tất cả các số thực λ và vector ~v(x, y) 6= ~0 thỏa mãn f(~v) = λ · ~v.
c) Tìm f100 trong đó f100 = f ◦ f ◦ · · · ◦ f . | {z } 100 lần
Câu 3. (3 điểm) Cho dạng toàn phương H = x2 + 2y2 + 3z2 + 2xy + 2xz + 2yz trên không gian vector R3.
a) Hỏi rằng H có là dạng toàn phương xác định dương không?
b) Tìm dạng song tuyến tính đối xứng ϕ: R3 × R3 → R thỏa mãn H(~v) = ϕ(~v,~v) với mọi ~v ∈ R3.
c) Cho ψ là một dạng song tuyến tính đối xứng trên R3. Hỏi rằng tồn tại hay không
số thực t sao cho dạng song tuyến tính 0
ψ + t0ϕ là một tích vô hướng trên R3.
Lưu ý: - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
- Đề tự luận mở, cho phép thí sinh sử dụng vở ghi, giáo trình trong quá trình
làm bài, nhưng không được sử dụng internet, mạng xã hội để trao đổi. ——— Hết ——— Người duyệt Người ra đề thi (Ký và ghi rõ họ tên) (Ký và ghi rõ họ tên) Trang 1/1
HANOI NATIONAL UNIVERSITY OF EDUCATION END-TERM EXAMINATION
Faculty of Mathematics-Informatics Subject: Linear Algebra Duration: 90 minutes. Class: Math231E (K70K) 1 −3 3 −2 −6 13 Question 1. (2 points) Let A = −1 −4 8 .
a) Find all the eigenvalues of A.
b) Find all the corresponding eigenvectors of A.
Question 2. (3 points) Let ϕ : R2 → R2 be an endomorphism whose representing matrix 3 5
with respect to the basis {~α1 = (1, 2),~α2 = (2, 3)} is and ψ : R2 → R2 an
endomorphism whose representing matrix with respect to the 4ba3 sis {~ β1 = (3, 1), ~β2 = 4 6 (4, 2)} is . 6 9
a) Find the matrix of ϕ with respect to the canonical basis.
b) Find the matrix of ψ with respect to the canonical basis.
c) Find the matrix of ϕ + ψ with respect to the basis {~ β1, ~β2}.
Question 3. (3 points) Given a quadratic form H =2x2 +18y2 +8z2 − 12xy+8xz− 27yz.
a) Transform H into the canonical form by Lagrange’s method.
b) Find the inertia index of H.
c) Does there exist a real number λ0 so that H + λ0z2 is a positive definite quadratic form?
Question 4. (1 point) Is the following assertion true? "If A is a real square matrix of order
2 such that A3 is diagonalisable then so is A."
Question 5. (1 point) Let A and B be two real symmetric square matrices of the same
size. Suppose all the eigenvalues of A lie in the interval [a,b] and the ones of B lie in
[c,d]. Prove that all the eigenvalues of A + B lie in [a + c,b + d].
Lưu ý: - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
- Đề tự luận mở, cho phép thí sinh sử dụng vở ghi, giáo trình trong quá trình
làm bài, nhưng không được sử dụng internet, mạng xã hội để trao đổi. ——— Hết ——— Người duyệt Người ra đề thi (Ký và ghi rõ họ tên) (Ký và ghi rõ họ tên) Page 1/1
Đề thi cuối kỳ Đại số tuyến tính, K69SP (đề số 1) Thời gian: 90 phút.
Đề thi gồm 05 câu, trên 01 trang giấy. Không sử dụng tài liệu.
Câu 1. Cho ba vector (1, 3, 1), (2, 1, 3), (2,a,3)∈ R3 với a ∈ R.
a) (1 điểm) Tính hạng của 3 vector trên theo a ∈ R.
b) (1 điểm) Cho vector (b,1, 2)với b ∈ R. Xác định tất cả các giá trị a,b ∈ R sao cho (b,1, 2)
nằm trong không gian vector sinh bởi (1, 3, 1), (2, 1, 3), (2,a,3).
Câu 2. Ánh xạ f : R3 → R2 nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính? Giải thích.
a) (0,5 điểm) f(x,y,z)=(x2,y + z).
b) (0,5 điểm) f(x,y,z)=(x,y + z).
c) (0,5 điểm) f(x,y,z)=(x3 +1, 2y + z).
Câu 3. Cho f : R3 → R3 là ánh xạ tuyến tính có ma trận trong cơ sở chính tắc của R3 là 1 −3 2 −3/2 9/2 −3 . 2 −6 4
a) (0,5 điểm) Tính f(5, 1, −1).
b) (1 điểm) Giả sử Ker(f) được cho bởi phương trình x + ay+ bz=0. Xác định a,b. x y z
c) (1 điểm) Giả sử Im(f) được cho bởi phương trình = = . Xác định c,d. 2 c d 0 1 1 1 0 1 . Câu 4. Cho ma trận A = 1 1 0
a) (2 điểm) Tìm tất cả các giá trị riêng của ma trận A, đồng thời chỉ rõ cơ sở của các không gian riêng tương ứng.
b) (1 điểm) Ma trận A có chéo hoá được hay không? Giải thích tại sao.
Câu 5. (1 điểm) Đưa dạng toàn phương
3x21 +2x2 2 + x23 − 2x1x2 +2x1x3 − 3x2x3
về dạng chính tắc, đồng thời nêu rõ công thức đổi biến. ——— Hết ——— 1
Đề thi hết học phần Đại số tuyến tính, lớp cải thiện (đề số 2) Thời gian: 120 phút.
Đề thi gồm 05 câu, trên 01 trang giấy. Không sử dụng tài liệu.
Câu 1. Ánh xạ f : R3 → R2 nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính? Giải thích.
a) (1 điểm) f(x,y,z)=(x + z,y + z).
b) (0,5 điểm) f(x,y,z)=(x3 − 1,y + z).
c) (0,5 điểm) f(x,y,z)=(3 √ √ x + y, 3 z).
Câu 2. (2 điểm) Sử dụng các phép biến đổi dòng, tính ma trận nghịch đảo của ma trận sau 1 2 2 3 1 0 A = 1 3 3 .
Câu 3. Xét hệ phương trình tuyến tính 2x + y +5z = b 3x + ay+ z =1 x + y + z =2
với a,b ∈ R là các tham số thực.
a) (1 điểm) Xác định a,b để hệ là hệ Cramer.
b) (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của a,b sao cho hệ có nghiệm. Câu 4. Cho ma trận 10 3 0 −27 −8 0 A = . 24 8 1
a) (2 điểm) Tính các giá trị riêng và vector riêng của A.
b) (1 điểm) Xác định dạng chuẩn Jordan của A.
Câu 5. (1 điểm) Chuyển dạng toàn phương H = xy+ y2 + yz+ xz về dạng chính tắc. ——— Hết ——— 1
Đề thi hết học phần Đại số tuyến tính, lớp cải thiện (đề số 1) Thời gian: 120 phút.
Đề thi gồm 05 câu, trên 01 trang giấy. Không sử dụng tài liệu.
Câu 1. Ánh xạ f : R3 → R2 nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính? Giải thích.
a) (1 điểm) f(x,y,z)=(x,y + z).
b) (0,5 điểm) f(x,y,z)=(x3 − 1,y + z).
c) (0,5 điểm) f(x,y,z)=(3 √ √ x, 3 z). Câu 2. (1,5 điểm)
a) (0,5 điểm) Chứng minh rằng (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)là một cơ sở của R3. 1 2 3 2 1 3 là ma trận biểu
b) (1 điểm) Cho T : R3 → R3 là ánh xạ tuyến tính nhận A = 1 1 1
diễn trong cơ sở ở câu trên. Xác định ma trận của T đối với cơ sở chính tắc của R3.
Câu 3. Cho ba vector (3, 1, 1), (1,a,1), (1, 3, 3)∈ R3 với a ∈ R.
a) (1 điểm) Tính hạng của ba vector trên theo a ∈ R.
b) (1 điểm) Xác định tất cả các giá trị a,b sao cho vector (2,b,1)nằm trong không gian vector sinh bởi ba vector trên.
c) (0,5 điểm) Xác định a,b sao cho
span{(3, 1, 1), (1,a,1)} =span{(1, 3, 3), (2,b,1)}. Câu 4. Cho ma trận −4 −12 −12 15 37 36 A = . −13 −31 −30
a) (2 điểm) Tính các giá trị riêng và vector riêng của A.
b) (1 điểm) A có chéo hóa được không? Nếu có, hãy thực hiện quá trình chéo hóa.
Câu 5. (1 điểm) Chuyển dạng toàn phương H = x2 + xy+ yz+ xz về dạng chính tắc. ——— Hết ——— 1