Đề học sinh giỏi thành phố Toán THCS năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hải Phòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG
CẤP THCS, NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍ NH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 28/03/2023 Bài 1. (2,0 điểm)  2 2 2 2  4 2 2 a) Rút gọn biểu thức
a − a − b
a + a − b 4 a − a b A =  −  :
(với a > b > 0 ). 2  2 2 2 2  a a b a a b  + − − − b  3 − 6 + 6 + 6 + ... + 6 b) Chứng minh rằng 1 5 < <
(trong đó biểu thức chứa căn có 6 27 3 − 6 + 6 + ... + 6
2023 dấu căn ở tử số và 2022 dấu căn ở mẫu số). Bài 2. (2,0 điểm) a) Cho phương trình 2 x − ( m + ) 2 4
1 x + 4m −1 = 0 (với m là tham số ).
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x ,x thoả mãn điều kiện x < 0 và x < x . 1 2 1 1 2   1  2  x 1 +  = 3
b) Giải hệ phương trình   x + y   .  1  2  y 1 −  = 1  x +   y  Bài 3. (2,0 điểm)
a) Tìm x nguyên dương để 3 2
4x + 14x + 9x − 6 là số chính phương. b) Cho x, ,
y z là các số thực dương thỏa mãn x ≥ z. Chứng minh rằng 2 x + 2z xz y 5 + + ≥ 2 y + yz xz + yz x + z 2 Bài 4. (3,0 điểm) Cho A
∆ BC nhọn không cân tại đỉnh ,
A nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của A
∆ BC (H ∈BC ). Gọi P,Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến các đường thẳng AB , AC.
a) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp.
b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M, đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai là K (K khác A). Chứng minh rằng 2 MH = MK. . MA
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP. Chứng minh ba điểm I,H,K thẳng hàng. Bài 5. (1,0 điểm)
Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông sao cho có thể đặt vào trong nó 5 hình
tròn có bán kính bằng 1, biết rằng các hình tròn này đôi một không có quá một điểm chung. ---------Hết---------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: ............................................... Số báo danh: ...............................................
Cán bộ coi thi 1: ................................................. Cán bộ coi thi 2: ..........................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG
CẤP THCS NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍ NH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Ngày thi: 28/03/2023
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Bài Đáp án Điểm 1a. (1,0 điểm)  2 2 2 2  4 2 2 Với
 a - a -b a
 a -b  4 a -a b
a > b > 0 ta có A   - :   2 2 2 2 2 a  a -b a - a -b  b (
a − a − b )2 − (a + a −b )2 2 2 2 2 2 b = ( . 2 2
a − a − b )( 2 2
a + a − b ) 4 2 2 4 a − a b 0,25 2 2 2 4 − a a − b b = . . 0,25 2 2 2 b 4 a a − b a = − 0,25 a −1 khi a > 0 =  0,25 1 khi a < 0  1b. (1,0 điểm) Bài 1 (2 điểm) 3 − 6 + 6 + 6 + ... + 6 Đặt A = 3 − 6 + 6 + ... + 6 0,25
và a = 6 + 6 + ... + 6 (Với 2023 dấu căn). suy ra 2
a − 6 = 6 + 6 + ... + 6 (Với 2022 dấu căn) Và 3 − a 1 A = = 0,25 3 − ( 1 2 a − 6) ( ) 3 + a
Ta có a < 6 + 6 + ... + 6 + 3 (Với 2023 dấu căn) 1 1 ⇒ a < 3 ⇒ < (2) 0,25 6 3 + a Ta có 1 1 5 2, 4 < 6 < a ⇒ < = (3) 3 + a 3 + 2, 4 27 Từ (2) và (3) suy ra 1 5 < A < . 0,25 6 27 Bài 2 2 a. (1,0 điểm)
(2 điểm) Giả sử x ,x là các nghiệm của phương trình đã cho. 0,25 1 2 -Trang 1- Bài Đáp án Điểm x  <  0 x  < 0 < x x  x < 0 Ta có 1 1 2 1 2  ⇔  ⇔  x < x x
− < x < x x + x > 0  1 2   2 1 2   1 2   1 2 2 4 − 1 < 0 m m <  4 ⇔  ⇔  4m + 1 > 0 1  m  > −  0,25 4  1 1 − < m <  2 2 ⇔  1 m  > −  4 0,25 1 1
⇔ − < m < . Vậy 1 1 − < m < . 0,25 4 2 4 2 b. ( 1,0 điểm) Giải hệ phương trình   1  2  x 1 +  = 3   x + y   (I )  1   2 y 1 −  = 1  x +   y 
ĐKXĐ: x ≥ 0,y ≥ 0, x + y ≠ 0.
Với x = 0, y = 0 không thoả mãn hệ phương trình (I ) ⇒ x > 0, y > 0 0,25 Do đó:   1   1 3  3 1 2  x 1 +  = 3 1 + =   2 = +   x + y   x + y 2 x  2 x 2 y  ⇔  ⇒   1  1 1 2 3 1 2 y 1 −  = 1 1  − =  = − 0,25  x +   y  x + y   2 y x + y  2 x 2 y 4 9 1 2 2 ⇒ = −
⇒ x + 8xy − 9y = 0 ⇔ (x − y)(x + 9y) = 0 x + y 4x 4y x  = y ⇔  x = 9 − y 
Vì x > 0, y > 0 nên x = 9
− y (không thoả mãn). 0,25
Với x = y ta có 3 1 2 2 = + ⇔ 2 =
⇔ x = 1⇒ y = 1. 2 x 2 x x
Ta thấy (x;y) = (1;1) thoả mãn hệ phương trình (I). 0,25
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1). 3a. (1,0 điểm) Bài 3 Vì 3 2
4x + 14x + 9x − 6 là số chính phương, nên ta có (2 điểm) 3 2 2
4x + 14x + 9x − 6 = k với * k ∈N 0,25 Ta có 3 2 x + x + x − = = (x + )( 2 4 14 9 6 ...
2 4x + 6x − 3) -Trang 2- Bài Đáp án Điểm Đặt (x + )( 2 x + x − ) 2 2 4 6 3 = k Gọi ( 2
x + 2, 4x + 6x − 3) = d với * d ∈ Ta có ( 2
x + 2, 4x + 6x − 3) = d
⇒ x + d ⇒ (x + )( x − ) 2 2 2 4
2 d ⇒ 4x + 6x − 4d 0,25 Ta lại có 2
x + x − d ⇒ ( 2
x + x − ) − ( 2 4 6 3 4 6 3
4x + 6x − 4)d ⇒ 1d ⇒ d = 1. Vậy ( 2
x + 2, 4x + 6x − 3) = 1 mà (x + )( 2 x + x − ) 2 2 4 6 3 = k nên ta có x + 2 và 2
4x + 6x − 3 là số chính phương Đặt 2 x + 2 = a và 2 2
4x + 6x − 3 = b với *
a,b∈N . 0,25
Vì x nguyên dương nên ta có
x < b < x +
x + ⇔ ( x )2 < b < ( x + )2 2 2 2 2 4 4 12 9 2 2 3 .
Vì b lẻ nên b = ( x + )2 2 2 2 2
1 ⇔ 4x + 6x − 3 = 4x + 4x + 1 ⇔ x = 2. 0,25 Với x = 2 ta có 3 2 2
4x + 14x + 9x − 6 = 100 = 10 là số chính phương. 3b. (1,0 điểm)
Với x > 0,y > 0,z > 0 ta có 2 x + 2z xz y + + 2 y + yz xz + yz x + z 2 xz y 2z x y 2z 1 + 1 + yz yz x y z x = + + = + + 2 y xz z y x z +1 + 1 1 + + 1 + 1 1 + yz yz x z y x 2 2 2 1 + 2c a b = + + trong đó x y z 2 2 2
a = ; b = ; c = và 2 2 2 b + 1 a + 1 1 +c y z x 0,25
a > 0,b > 0,c > 0, c ≤1 do x ≥ z. Ta có 2 2 a b 2ab + − 2 2
b + 1 a + 1 ab + 1 2 a ( 2 a + 1)(ab +1) 2
+ b ( 2b +1)(ab + 1) −2ab ( 2 a + 1)( 2 b + 1) = ( 2 a + 1)( 2 b + 1)(ab + 1) 2 2 2 ab ( 2 2
a −b ) + (a −b) ( 2 2
a +ab +b ) + (a −b) = ≥ 0 2 2 0,25
(a +1)(b +1)(ab +1) 2 2 2 Do đó a b 2ab 2 c + ≥ = = 1 2 2 ( ) b + 1 a + 1 ab + 1 1 1 +c +1 c 0,25
Đẳng thức xảy ra khi a = . b Khi đó -Trang 3- Bài Đáp án Điểm 2 1 + 2c 2.2 2 5 ( 2
1 +c ) + 2.(1 +c)( 2
1 + 2c ) − 5(1 +c)( 2 1 +c ) + − = 2 1 +c c + 1 2 2 (1 +c)( 2 1 +c )
1 − 3c + 3c −c (1−c)3 2 3 = = ≥ <c ≤ 2 (1+c)( 0 0 1 2 2 1 +c ) 2(1 +c)( 2 1 +c ) ( ) ( )
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z 0,25 A J K O Q P M B H C I D 4a. (1,0 điểm)   0 0 0
APH + AQH = 90 + 90 = 180 (HP ⊥ AB,HQ ⊥ AC ) 0,25
⇒ Tứ giác APHQ nội tiếp. 0,25 ⇒  
PQA = PHA mà  
PHA = PBC (cùng phụ  BAH ) 0,25 Bài 4
(3 điểm) Do đó  
PQA = PBC ⇒ Tứ giác BPQC nội tiếp. 0,25 4b. (1,0 điểm) MP MB MPB ∆ MC ∆ Q (g.g) ⇒ =
⇒ MP.MQ = MB.MC (1) 0,25 MC MQ MK MB MB ∆ K MA ∆ C (g.g) ⇒ =
⇒ MK.MA = MB.MC (2) 0,25 MC MA Ta có  
BHP = BAH (cùng phụ  AHP )  
BAH = PQH (hai góc nội tiếp cùng chắn  HP ) ⇒   BHP = PQH 0,25 ⇒ MH ∆ P MQ ∆ H (g.g) ⇒ MH MP = 2
⇒ MH = MP.MQ (3) MQ MH Từ (1),(2) và (3) suy ra 2 MH = MK. . MA 0,25 4c. (1,0 điểm)
Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) ⇒  0 ABD = 90 . 0,25 Ta có  
DAC + AQP =   DBC + ABC =  0
ABD = 90 ⇒ AD ⊥ PQ . MK ∆ H MH ∆ A (c.g.c) ⇒   0
MKH = MHA = 90 . 0,25 -Trang 4- Bài Đáp án Điểm
⇒ K thuộc đường tròn đường kính AH và HK ⊥ AM (4)
Gọi J là trung điểm của AH.Ta có J là tâm của đường tròn đi qua 5 điểm ,
A K,P,H,Q.
Có (I ) và (J ) cắt nhau tại P,Q ⇒ IJ ⊥ PQ (tính chất đường nối tâm )
mà AD ⊥ PQ ⇒ AD//IJ. 0,25
Ta có AO//IJ và AJ//OI ⇒ Tứ giác AJOI là hình bình hành
⇒ AJ = JH = OI mà AH //OI ⇒ Tứ giác JOIH là hình bình hành ⇒ IH //OJ.
mà OJ ⊥ AK ( tính chất đường nối tâm ) ⇒ IH ⊥ AM (5) 0,25
Từ (4),(5) ⇒ I,H,K thẳng hàng. Bài 5. (1,0 điểm)
Gọi độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông ABCD thoả mãn
yêu cầu đề bài là x.
Từ đây suy ra các tâm của 5 hình tròn này nằm trong hoặc trên
cạnh của hình vuông MNPQ có cạnh bằng x − 2 (như hình vẽ) 0,25
Chia hình vuông MNPQ thành 4 hình vuông nhỏ có độ dài mỗi cạnh là x − 2 . 2
Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất hai tâm hình tròn nằm trong
hoặc trên cạnh của một hình vuông nhỏ. Giả sử hai tâm đó là I và J . 0,25 A x B M x-2 N I Bài 5 (1 điểm) J 1 Q P 1 D C
Vì hai hình tròn này có không quá 1 điểm chung trong nên IJ không nhỏ
hơn hai lần bán kính và không lớn hơn độ dài đường chéo của hình vuông ( 0,25 x − 2) 2
cạnh x − 2 . Suy ra 2 ≤ IJ ≤ 2 2 (x −2) 2 ⇒
≥ 2 ⇒ x − 2 ≥ 2 2 ⇒ x ≥ 2 + 2 2 2
Vậy độ dài nhỏ nhất của cạnh hình vuông cần tìm là 2 + 2 2 . 0,25 Chú ý:
- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa.
- Tổng điểm bài thi: 10 điểm . --------------- Hết ------------------ -Trang 5-
Document Outline

• Đề chính thức
• Đáp án Đề chính thức