Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 – 2024 trường THCS Võ Trường Toản – Đồng Tháp

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm 2023 – 2024 trường THCS Võ Trường Toản – Đồng Tháp giúp bạn ôn tập kiến thức, chuẩn bị tốt kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem.

35 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 9

Môn: Toán 9

Thông tin:

6 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
UBND THÀNH PHỐ CAO LÃNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
TRƯỜNG THCS VÕ TRƯỜNG TOẢN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
CẤP TRƯỜNG, NĂM HỌC 2023-2024
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài:
150 phút
Đề chính thức
(Không kể thời gian phát đề)
(Hướng dẫn chấm này có 05 trang)
Ngày thi: 10/08/2023
Câu 1: (5,0 điểm)
Nội dung yêu cầu Điểm
Cho biểu thức
2
2
,
1
x x
P
x x x x
với
1, 0.
x x
5,0
a) Rút gọn
P
3,0
2
2 1 ( 1)( 1) 3
( 1) ( 1) ( 1)
x x x x
P
x x x x x x
1,0
2 2 2
2 1 1 3 3
( 1) ( 1)
x x x x x
P
x x x x
0,5 – 0,5
( 3) 3
( 1) 1
x x x
P
x x x
0,5 – 0,5
b) Tính giá trị của biểu thức
P
khi
x
thỏa mãn
2
0
x x
.
2,0
2
0 ( )
0 ( 1) 0
1 ( )
x KTM
x x x x
x TM
0,5 – 0,5
Thay
1
x
vào
P
ta được:
1 3
2
1 1
P
.
0,5 – 0,5
Câu 2: (5,0 điểm)
Nội dung yêu cầu Điểm
a) Giải phương trình
2
1 3 6
5.
2
3 3
x
x
x
x x
3,0
Điều kiện:
2
x
2 2
1 3 6 1 3( 2)
5 1 4
2 2
3 3 3 3
x x
x x
x x
x x x x
0,5
2
2
3 3 2
3. 4
2
3 3
x x x
x
x x
0,5
Đặt
2
2
, 0
3 3
x
t t
x x
, ta được
2
2
1 1 3 4
3 4 1 3 4
t t
t t t
t t t
0,5
2
1
( )
3 4 1 0 (3 1)( 1) 0
3
1 ( )
t TM
t t t t
t TM
0,5
Với
1
3
t
thì
2 2
2
2 1
3 3 3 6 6 9 0
3
3 3
x
x x x x x
x x
2
3 0 3 0 3 ( )
x x x TM
0,5
Với
1
t
thì
2 2
2
2
1 3 3 2 4 5 0
3 3
x
x x x x x
x x
2
2 1 0
x
(*)
Vì
2
2 1 1 0
x
với mọi
2
x
nên PT (*) vô nghiệm
0,5
Vậy nghiệm của phương trình là
3
x
.
b) Nhân dịp ngày siêu khuyến mãi 08/08/2023, một siêu thị trên địa
bàn thành phố Cao Lãnh đã khuyến mãi lô hàng tivi có giá niêm yết là
7 400 000
đồng/cái. Lần đầu siêu thị giảm
10%
so với giá niêm yết thì
bán được
10
cái tivi, lần sau siêu thị giảm thêm
5%
nữa (so với giá
giảm lần
1
) thì bán thêm được
15
cái nữa. Sau khi bán hết
25
cái tivi
thì siêu thị lời được
11 505 000
đồng. Hỏi giá vốn của một cái tivi là
bao nhiêu tiền?
2,0
Giá bán tivi sau 2 lần giảm giá:
7 400 000. 100% 10% . 100% 5% 6 327 000
(đồng)
1,0
Số tiền bán
25
cái tivi:
7 400 000. 100% 10% .10 6 327 000.15 161 505 000
(đồng)
0,5
Số tiền vốn 1 cái tivi là:
161 505 000 11 505 000 : 25 6 000 000
(đồng)
0,5
Câu 3: (5,0 điểm)
Nội dung yêu cầu Điểm
a) Chứng minh rằng
2023 2022 2 2024
75 4 4 ... 4 5 25 25.4
.
2,0
2023 2022 2
75 4 4 ... 4 5 25
2023 2022 2
25. 4 1 4 4 ... 4 4 1 25
0,5
2024 2023 2 2023 2
25. 4 4 ... 4 4 4 ... 4 4 1 25
0,5
2024 2024
25. 4 1 25 25.4 25 25
0,5
2024
25.4
.
0,5
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
4 4 15.
A x x
3,0
2 2
4 4 15 4 4 15
A x x x x
0,5
2
2
2 2.2 .1 1 14
A x x
0,5
2 2
2 1 14 2 1 14
A x x
0,5
Vì
2
2 1 0,
x
với mọi
x
nên
2
2 1 14 14,
x
với mọi
x
Hay
14
A
với mọi
x
0,5
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
1
2 1 0 2 1 0
2
x x x
0,5
Vậy giá trị lớn nhất của
A
là
14
khi
1
2
x
.
0,5
Câu 4: (3,0 điểm)
Nội dung yêu cầu Điểm
a) Gọi
P
là giao điểm của
AC
và
KE
. Chứng minh:
AB AP
.
1,0
Xét
AHB
và
AEP
có:
0
90
AHB AEP
0,25
AH AE
(vì
AHKE
là hình vuông) 0,25
HAB EAP
(cùng phụ với
HAP
)
0,25
Do đó
AHB
=
AEP
(g.c.g)
AB AP
(2 cạnh tương ứng). 0,25
b) Gọi
Q
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
APQB
, gọi
I
là giao điểm
BP
và
AQ
. Chứng minh ba điểm
H
,
I
,
E
thẳng hàng.
1,0
Xét hình bình hành
APQB
có
I
là giao điểm của
AQ
và
BP
I
là trung điểm của
AQ
và
BP
Xét
ABP
vuông tại
A
có
AI
là đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền
BP
1
2
IA BP
Xét
BKP
vuông tại
K
có
KI
là đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền
BP
1
2
IK BP
Do đó:
IA IK
I
thuộc vào đường trung trực của đoạn thẳng
AK
(1)
0,25
P
K
E
H
C
B
A
I
Q
P
K
E
H
C
B
A
Ta có:
HA HK
(
AHKE
là hình vuông)
H
thuộc vào đường trung trực của đoạn thẳng
AK
(2)
0,25
Tương tự:
EA EK
(
AHKE
là hình vuông)
E
thuộc vào đường trung trực của
AK
(2)
0,25
Từ (1), (2), (3) suy ra
H
,
I
,
E
cùng thuộc đường trung trực của đoạn
thẳng
AK
H
,
I
,
E
thẳng hàng.
0,25
c) Chứng minh:
HE
song song
QK
. 1,0
Xét hình bình hành
APQB
có
0
90
BAP
APQB
là hình chữ nhật
AQ BP
0,25
Theo câu b):
1 1
2 2
IK BP IK AQ
Xét
AKQ
có
KI
là đường trung tuyến ứng với cạnh
AQ
và
1
2
IK AQ
AKQ
vuông tại
K
QK AK
0,5
Mặt khác
HE AK
(
AHKE
là hình vuông)
HE
song song
QK
.
0,25
Câu 5: (2,0 điểm)
Nội dung yêu cầu Điểm
Cho
ABC
có
D
là điểm di động trên cạnh
AC
,
G
là trọng tâm của
ABD
. Các đường thẳng
CG
,
BD
cắt nhau tại
E
. Chứng minh rằng
EB CA
ED CD
không phụ thuộc vào vị trí điểm
D
trên cạnh
AC
.
2,0
Gọi
M
là giao điểm của
BG
và
AD
Vì
G
là trọng tâm của
ABD
nên
M
là trung điểm của
AD
AM DM
0,5
I
Q
P
K
E
H
C
B
A
N
E
G
M
B
C
A
D
Ta có
2
CA CD CM AM CM DM CM
(Vì
AM DM
)
2
CA CM CD
Vẽ
DN
song song
BM
( )
N CG
Vì
G
là trọng tâm của
ABD
nên
2
GB GM
Xét
EDN
có
DN
BG
EB BG
ED DN
(Hệ quả của ĐL Ta-lét)
2
EB GM
ED DN
Xét
CGM
có
DN
GM
CM GM
CD DN
(Hệ quả của ĐL Ta-lét)
0,5
0,5
Khi đó:
2 2
2. 2. 1
EB CA GM CM CD GM CM
ED CD DN CD DN CD
2. 2. 1 1
EB CA GM GM
ED CD DN DN
(không đổi)
Vậy
EB CA
ED CD
không phụ thuộc vào vị trí điểm
D
trên cạnh
AC
.
0,5
Lưu ý: Học sinh giải cách khác mà hợp lý vẫn chấm điểm. Câu 4 và câu 5 nếu
HS không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm.
Hết./.
| 1/6
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

UBND THÀNH PHỐ CAO LÃNH HƯỚNG DẪN CHẤM
TRƯỜNG THCS VÕ TRƯỜNG TOẢN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
CẤP TRƯỜNG, NĂM HỌC 2023-2024 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút Đề chính thức
(Không kể thời gian phát đề)
(Hướng dẫn chấm này có 05 trang) Ngày thi: 10/08/2023 Câu 1: (5,0 điểm) Nội dung yêu cầu Điểm 2 2x 1 x 1 3 Cho biểu thức P    , với x  1  , x  0. 5,0 2 x  x x x 1 a) Rút gọn P 3,0 2 2x 1 (x 1)(x 1) 3x P    1,0 x(x 1) x(x 1) x(x 1) 2 2 2 2x 1 x 1 3x x  3x P   0,5 – 0,5 x(x 1) x(x 1) x(x  3) x  3 P   0,5 – 0,5 x(x 1) x 1
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x thỏa mãn 2 x  x  0 . 2,0 2 x  0 (KTM )
x  x  0  x(x 1)  0   0,5 – 0,5 x  1 (TM )  
Thay x  1 vào P ta được: 1 3 P   2 . 0,5 – 0,5 11 Câu 2: (5,0 điểm) Nội dung yêu cầu Điểm 1 3x  6
a) Giải phương trình x    5. 2 3,0 x  2 x  3x  3 Điều kiện: x  2 1 3x  6 1 3(x  2) x    5  x 1   4 0,5 2 2 x  2 x  3x  3 x  2 x  3x  3 2 x  3x  3 x  2   3.  4 0,5 2 x  2 x  3x  3 2  Đặt x  2 1 1 3t 4t t  ,t  0 , ta được 2  3t  4    1 3t  4t 0,5 2 x  3x  3 t t t  1 2 t  (TM ) 3t 4t 1 0 (3t 1)(t 1) 0           3  0,5  t  1 (TM )  x  2 1 Với 1 t  thì 2 2
  x  3x  3  3x  6  x  6x  9  0 3 2 x  3x  3 3 0,5  x  2 3
 0  x  3  0  x  3 (TM ) x  2 Với t  1 thì 2 2
 1  x  3x  3  x  2  x  4x  5  0 2 x  3x  3  x  2 2 1  0 (*) 0,5 Vì x  2
2 1  1  0 với mọi x  2 nên PT (*) vô nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là x  3.
b) Nhân dịp ngày siêu khuyến mãi 08/08/2023, một siêu thị trên địa
bàn thành phố Cao Lãnh đã khuyến mãi lô hàng tivi có giá niêm yết là
7 400 000 đồng/cái. Lần đầu siêu thị giảm 10% so với giá niêm yết thì
bán được 10 cái tivi, lần sau siêu thị giảm thêm 5% nữa (so với giá 2,0
giảm lần 1) thì bán thêm được 15 cái nữa. Sau khi bán hết 25 cái tivi
thì siêu thị lời được 11 505 000 đồng. Hỏi giá vốn của một cái tivi là bao nhiêu tiền?
Giá bán tivi sau 2 lần giảm giá:
7 400 000.100% 10%.100%  5%  6 327 000 (đồng) 1,0
Số tiền bán 25 cái tivi:
7 400 000.100% 10%.10  6 327 000.15  161 505 000 (đồng) 0,5
Số tiền vốn 1 cái tivi là:
161 505 000 11 505 000: 25  6 000 000 (đồng) 0,5 Câu 3: (5,0 điểm) Nội dung yêu cầu Điểm a) Chứng minh rằng  2023 2022 2      2024 75 4 4 ... 4 5  25  25.4 . 2,0  2023 2022 2 75 4  4  ...  4  5  25 0,5     2023 2022 2 25. 4 1 4  4
 ...  4  4  1  25   2024 2023 2 2023 2 25. 4  4  ...  4  4  4
 ...  4  4 1  25 0,5   2024   2024 25. 4 1  25  25.4  25  25 0,5 2024  25.4 . 0,5
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 A  4x  4x 15. 3,0 2 A  x  x    2 4 4 15 4x  4x 15 0,5 A  x2 2 2 2.2 . x 1 1 14        0,5 A  x 2        x  2 2 1 14 2 1 14   0,5 Vì  x  2 2
1  0, với mọi x nên  x  2 2 1 14  1  4, với mọi x 0,5 Hay A  1  4 với mọi x
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  x  2 1 2
1  0  2x 1  0  x  0,5 2 1
Vậy giá trị lớn nhất của A là 1  4 khi x  . 0,5 2 Câu 4: (3,0 điểm) Nội dung yêu cầu Điểm
a) Gọi P là giao điểm của AC và KE . Chứng minh: AB  AP . 1,0 A E P B C H K Xét A  HB và A  EP có:   0 AHB  AEP  90 0,25
AH  AE (vì AHKE là hình vuông) 0,25  
HAB  EAP (cùng phụ với  HAP ) 0,25 Do đó A  HB = A
 EP (g.c.g)  AB  AP (2 cạnh tương ứng). 0,25
b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB , gọi I là giao điểm 1,0
BP và AQ. Chứng minh ba điểm H , I , E thẳng hàng. A E P I B C H K Q
Xét hình bình hành APQB có I là giao điểm của AQ và BP
 I là trung điểm của AQ và BP Xét A
 BP vuông tại A có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh 1 huyền BP  IA  BP 2 0,25 Xét B
 KP vuông tại K có KI là đường trung tuyến ứng với cạnh 1 huyền BP  IK  BP 2 Do đó: IA  IK
 I thuộc vào đường trung trực của đoạn thẳng AK (1)
Ta có: HA  HK ( AHKE là hình vuông)  0,25
H thuộc vào đường trung trực của đoạn thẳng AK (2)
Tương tự: EA  EK ( AHKE là hình vuông)  0,25
E thuộc vào đường trung trực của AK (2)
Từ (1), (2), (3) suy ra H , I , E cùng thuộc đường trung trực của đoạn 0,25
thẳng AK  H , I , E thẳng hàng.
c) Chứng minh: HE song song QK . 1,0 A E P I B C H K Q
Xét hình bình hành APQB có  0 BAP  90 0,25
 APQB là hình chữ nhật  AQ  BP 1 1
Theo câu b): IK  BP  IK  AQ 2 2 1 0,5 Xét A
 KQ có KI là đường trung tuyến ứng với cạnh AQ và IK  AQ 2  A
 KQ vuông tại K  QK  AK
Mặt khác HE  AK ( AHKE là hình vuông)  HE song song QK . 0,25 Câu 5: (2,0 điểm) Nội dung yêu cầu Điểm Cho A
 BC có D là điểm di động trên cạnh AC , G là trọng tâm của A
 BD . Các đường thẳng CG , BD cắt nhau tại E . Chứng minh rằng EB CA 2,0 
không phụ thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh AC . ED CD A M G D E N B C
Gọi M là giao điểm của BG và AD Vì G là trọng tâm của A
 BD nên M là trung điểm của AD 0,5  AM  DM
Ta có CA  CD  CM  AM  CM  DM  2CM (Vì AM  DM )  CA  2CM CD
Vẽ DN song song BM (N CG) Vì G là trọng tâm của A  BD nên GB  2GM EB BG Xét E  DN có DN  BG  
(Hệ quả của ĐL Ta-lét) ED DN EB 2GM   0,5 ED DN CM GM Xét C  GM có DN  GM  
(Hệ quả của ĐL Ta-lét) 0,5 CD DN EB CA 2GM 2CM  CD GM CM Khi đó:     2.  2. 1 ED CD DN CD DN CD EB CA GM GM    2.  2. 11 (không đổi) 0,5 ED CD DN DN EB CA Vậy 
không phụ thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh AC . ED CD
Lưu ý: Học sinh giải cách khác mà hợp lý vẫn chấm điểm. Câu 4 và câu 5 nếu
HS không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm. Hết./.
Document Outline

  • Doc1
  • HDC DE THI HSG CAP TRUONG MON TOAN - 2023