Đề học sinh năng khiếu Toán 7 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Tam Nông – Phú Thọ

Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 7 đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán 7 năm học 2023 – 2024 phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Tam Nông, tỉnh Phú Thọ; đề thi có đáp án trắc nghiệm và hướng dẫn chấm điểm tự luận. Mời bạn đọc đón xem!

Thông tin:
6 trang 7 tháng trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Đề học sinh năng khiếu Toán 7 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Tam Nông – Phú Thọ

Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 7 đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán 7 năm học 2023 – 2024 phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Tam Nông, tỉnh Phú Thọ; đề thi có đáp án trắc nghiệm và hướng dẫn chấm điểm tự luận. Mời bạn đọc đón xem!

87 44 lượt tải Tải xuống
Toán 7 - Trang 1/2
PHÒNG GIÁO DC VÀ ĐÀO TO
TAM NÔNG
K THI CHN HC SINH NĂNG KHIU
NĂM HC 2023 - 2024
Môn: Toán 7
Thi gian làm bài: 120 phút, không k thi gian giao đ
thi có 02 trang)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (16 Câu - 8,0 điểm)
Câu 1: Giá tr ca biu thc
2025 2023 2021 2019 2017 2015 ... 9 7 5 3A = + + + +−+−
A.
506.
B.
1012.
C.
506.
D.
1012.
Câu 2: Giá tr ca biu thc
11 111
2022 2023 2023 2024 2025
1 2 3 31
1011 2023 2023 2024 675
B
+ ++
=
+ ++
A.
B.
5
.
6
C.
1
.
6
D.
1
.
6
Câu 3: Giá tr ca biu thc
24 23 22 2
2024 2024 ... 2024 2024 1Px x x x x= −− +
ti
2025x
=
A.
2026.
B.
2025.
C.
2024.
D.
2024.
Câu 4: Cho tam giác ABC
60 , 70 , / / , ,//
oo
AMB N BC NP AB= =
( )
,,M AB N AC P BC∈∈
.
S đo
MNP
bng
A.
70 .
o
B.
60 .
o
C.
50 .
o
D.
90 .
o
Câu 5: Cho tam giác ABC cân ti A. Tia phân giác ca góc A ct BC ti H. Kết qu nào sau đây sai?
A.
.AH BC=
B.
.HB HC=
C.
.AH BC
D.
.AHB AHC∆=
Câu 6: Cho tam giác ABC cân ti A, trng tâm G, biết AB = 10cm, BC = 12cm. Khi đó AG bng
A.
8
.
3
cm
B.
5, 5 .cm
C.
4
.
3
cm
D.
16
.
3
cm
Câu 7: Cho
: : 1:2:3abc=
0abc
. Giá tr ca biu thc
22 4 2024
1012 2050
..
9.
a bc
Q
a
=
bng
A.
16.
B.
12.
C.
24.
D.
8.
Câu 8: Cho ΔABC độ dài các cnh là
,,abc
t l thun vi ba s 3, 6, 8 và
22
108ba−=
. Chu vi
ca tam giác ABC
A.
17 .cm
B.
51 .
cm
C.
30 .cm
D.
34 .cm
Câu 9: Trong mt hp kín, cha 3 viên bi xanh; 4 viên bi đỏ; 5 viên bi vàng. Xác sut đ bn Tú ly
ra 1 viên bi xanh là
A.
1
.
12
B.
3.
C.
1
.
3
D.
1
.
4
Câu 10: Gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối. Gọi M biến cố: Gieo được mặt số chấm ước
của 6”. Xác suất của biến cố M
A.
1
() .
3
PM =
B.
1
() .
2
PM =
C.
2
() .
3
PM =
D.
( ) 1.PM =
Câu 11: Cho đa thức
( )
2
P x ax bx c= ++
5 20ab c++ =
. Khi đó
A.
( ) ( )
2. 1 0PP−>
B.
( ) ( )
2. 1 0PP−≤
C.
( ) ( )
2. 1 0PP−<
D.
( ) ( )
2. 1 0PP−≥
A
B
C
M
N
P
ĐỀ CHÍNH THC
Toán 7 - Trang 2/2
Câu 12: Cho
1xy+=
thì giá tr ca biu thc
22
23M x y xy y= −++
A.
1.
B.
1.
C.
2.
D.
2.
Câu 13: Tam giác
ABC
40 , 20
oo
A BC= −=
. Trên tia đối của tia
AC
lấy điểm
E
sao cho
AE AB=
. Số đo
CBE
A.
60 .
o
B.
90 .
o
C.
120 .
o
D.
100 .
o
Câu 14: Cho
ABC
cân ti A
60
o
C =
. Các đường cao AN BM ct nhau ti H. Khẳng định nào
sau đây đúng
A.
120
o
BHC =
B.
.AH HN=
C.
120
o
NHB =
. D.
90
o
NHB
=
.
Câu 15: S các giá tr nguyên của
x
để biu thc
21
2
x
T
x
+
=
nhn giá tr nguyên là
A.
1.
B.
4.
C.
2.
D.
6.
Câu 16: Có sáu túi lần lượt cha
9, 10, 12, 13, 17, 19
bóng trong đó có năm túi chứa bóng xanh và mt
túi chứa bóng đỏ. Bn Hòa lấy ba túi bóng xanh, bạn Bình lấy hai túi bóng xanh, túi còn li là
bóng đỏ. Biết s bóng ca bn Hòa gấp đôi số bóng ca bn Bình. S bóng đỏ
A.
12.
B.
13.
C.
17.
D.
19.
II. PHN T LUN ( 4 Câu- 12,0 đim)
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Tính giá tr biu thc
( ) ( ) ( ) ( )
11 1 1
1 2 1 2 3 1 2 3 4 ... 1 2 3 ... 2024 .
2 3 4 2024
A = + + ++ + +++ + + +++ +
b) Tìm các s nguyên x, y biết
2 2 0.xy x y−−+ =
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Cho
23
xy
=
,
54yz=
0
xyz+−≠
. Tính
2
.
xyz
M
xyz
−+
=
+−
b) Ba chiu cao ca mt tam giác t l vi
2, 3, 4
và chu vi tam giác đó là
39
cm
. Tính độ dài ba
cnh của tam giác đó.
Câu 3 (4,0 điểm) Cho
ABC
vuông cân tại A, M là trung điểm ca BC. Lấy điểm D nm giữa hai điểm
BM. Gi HI th t là hình chiếu ca BC xuống đường thng AD. Đưng thng AM ct CI ti
N. Chng minh:
a)
, // .BH AI DN AB=
b)
.AIM BHM∆=
c) IM là phân giác ca
HIC
.
Câu 4 (1,0 điểm) Cho x, y, z thỏa mãn
01xyz<<<<
zxy≤+
. Chứng minh rằng:
2.
111
xyz
yz zx xy
++<
+++
.
------------- HẾT-------------
Họ và tên thí sinh: ......................................................... Số báo danh: .........................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Toán 7 - Trang 3/2
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 - 2024
MÔN: TOÁN 7
Hướng dẫn chấm có: 03 trang
I. Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải lược của một cách. Khi chấm thi giám
khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic thể chia
nhỏ đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho
điểm tương ứng với thang điểm của đáp án.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Đáp án thang điểm
1. Phần trắc nghiệm khách quan
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Đáp án
đúng
B C A B A D A D D C B C D A B C
Điểm
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2. Phần tự luận
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Tính giá tr biu thc:
(
) (
)
( ) (
)
11 1 1
. 1 2 . 1 2 3 . 1 2 3 4 ... . 1 2 3 ... 2024 .
2 3 4 2024
A
= + + ++ + +++ + + +++ +
b) Tìm các s nguyên x; y biết :
2 2 0.
xy x y−−+ =
Nội dung
Điểm
a)(2 điểm).Ta có:
( ) ( ) (
) ( )
11 1 1
. 1 2 . 1 2 3 . 1 2 3 4 ... . 1 2 3 ... 2024 .
2 3 4 2024
A = + + ++ + +++ + + +++ +
1 3.2 1 4.3 1 5.4 1 2025.2024
. . . ... . .
2 2 3 2 4 2 2024 2
A = + + ++
0,75
3 4 5 2025 3 4 5 ... 2025 2028.2023
... 1025661
2 2 2 2 2 2.2
A
+++ +
=++++ = = =
1,0
Vậy
1025661.
A
=
0,25
b) ( 2 đim).Ta có:
2 2 0.xy x y−−+ =
4 4 2 2 0.xy x y −− + =
0,5
2x(2y 1) 2y 1 3 + −=
(2 y 1)(2 x 1) 3
+=
0,5
;
xy Z
nên
21x +
21y
là ước của 3
{ }
2 1; 2 1 1; 3xy
+ ∈± ±
0,25
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 0; 2 ; 1; 1 ; 1; 1 ; 2; 0xy −−
0,5
Vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
}
; 0; 2 ; 1; 1 ; 1; 1 ; 2; 0xy −−
0,25
Câu 2. (3,0 điểm)
a) Cho
23
xy
=
;
54yz=
0xyz+−≠
. Tính
2
.
xyz
M
xyz
−+
=
+−
b) Ba chiu cao ca mt tam giác t l vi
2; 3; 4
chu vi tam giác đó
39 . cm
Tính ba
cnh ca tam giác đó.
Toán 7 - Trang 4/2
Nội dung
Điểm
a ) (1,5 điểm). Ta có:
23
xy
=
54yz=
;
2 34 5
x yy z
⇒= =
8 12 15
xy z
⇒= =
0,5
8 ; 12 ; 15
8 12 15
xy z
k x ky kz k= = =⇒= = =
§Æt
0,25
2 2.8 12 15 19 19
.
8 12 15 5 5
xyz kkk k
M
xyz k k k k
−+ +
= = = =
+− +
0,5
Vậy
19
.
5
M =
0,25
b ) (1,5 điểm).Gọi ba cạnh của tam giác là a;b;c , ba đường cao tương ứng là
x;y;z và diện tích tam giác đó là S
(a;b;c;x; y;z;S 0)>
0,25
Vì ba đường cao tỷ lệ với 2;3;4 nên ta có:
234
xyz
= =
2S ax by cz= = =
0,25
111
234
2.2 3.2 4.2S 2.ax 3.by 4.cz 2.a 3.b 4.c
xyz xyz
abc
SS
= = = = = = ⇒==
0,5
234
234
12 12 12 6 4 3
a b c abc
abc = = = = ⇒==
0,25
Mặt khác :
39abc++=
39
3
6 4 3 13 13
a b c abc
++
⇒=== = =
Vy ba cnh ca tam giác là 9;12;18 cm.
0,25
Câu 3. (4,0điểm):Cho tam giác ABC vuông cân ti A, M là trung đim ca BC. Ly
đim D nm gia hai đim B và M. GiH và I th t là hình chiếu ca B và C xung
đưng thng AD. Đưng thng AM ct CI ti N. Chng minh rng:
a)
;BH AI= DN / / AB.
b)
.AIM BHM∆=
c) IM là phân giác ca góc HIC.
Nội dung
Điểm
0,25
a) ( 1,75 đ)
* Xét
ABH CAI∆∆ vµ
có:
0,75
N
B
A
C
H
M
D
I
Toán 7 - Trang 5/2
0
90HI
AB AC
BAH ACI IAC
= =
=
=
(gt)
( ng phô )
Do đó :
ABH CAI
∆∆ = ( c¹nh huyÒn- gãc nhän)
BH AI⇒=
Vậy
BH AI=
0,25
*Ta thấy: AM CI là hai đường cao của
ACD
Nên Nlà trc tâm ca
//ACD DN AC DN AB ⊥⇒
0,5
Vậy
//DN AB
0,25
b) ( 1,0đ)Ta có:
0
90HBM BDH IAM ADM
BDH ADM
HBM IAM
= =
=
⇒=
+ +
(®®)
0,25
* Xét
AIM BHM∆∆ vµ
có:
AI BH
IAM HBM
AMB
=
=
(cmt)
( cmt)
AM=BM ( vu«ng c©n t¹i M)
Do đó :
AIM BHM
∆∆
= ( C-G-C)
0,5
Vậy :
AIM BHM
∆∆ =
0,25
c) ( 1,0đ)
AIM BHM AMI BMH∆∆ = = (cmt) MI =MH vµ
HIM⇒∆ c©n t¹i M
0,25
Mặt khác:
0 00
90 90 90AMI IMB HMB IMB IMH= =⇒= + +
0,25
Do đó :
00
45 45IMH MIH MIC =⇒= vu«ng c©n t¹i M
0,25
Vậy IM là tia phân giác ca góc HIC
0,25
Câu 4. (1,0 điểm)
Cho x;y;z thỏa mãn
01xyz<<<<
zxy≤+
Chứng minh rằng:
2
111
xyz
yz zx xy
++<
+++
Nội dung
Điểm
Ta có:
( )( )
11
0 1 1 10 1
11
zz
x y z x y xy x y
xy x y xy x y
<<<< >⇒ +>+ < <
++ ++
0,25
:;
1 1 111
y yx x x y z xyz
CMTT
xz x z yz y z yz xz xy y z x z x y
< < + + <++
++++ + + ++++
0,25
Mặt khác:
22 2
;;;
x xy yz z
yz xyzxz xyzxy xyz
<<
+ ++ + ++ + ++
0,25
Do đó:
2
111
xyz
yz zx xy
++<
+++
0,25
Toán 7 - Trang 6/2
| 1/6

Preview text:

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU TAM NÔNG NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: Toán 7 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 02 trang)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (16 Câu - 8,0 điểm)

Câu 1: Giá trị của biểu thức A = 2025− 2023+ 2021− 2019 + 2017 − 2015+...+ 9 − 7 + 5−3 A. 506. B. 1012. C. 506. − D. 1012. − 1 1 1 1 1 + + +
Câu 2: Giá trị của biểu thức 2022 2023 2023 2024 2025 B = 1 2 − 3 3 1 là + + + 1011 2023 2023 2024 675 A. 5 . B. 5 − . C. 1 . D. 1 − . 6 6 6 6
Câu 3: Giá trị của biểu thức 24 23 22 2
P = x − 2024x − 2024x −...− 2024x − 2024x +1 tại x = 2025 là A. 2026. B. 2025. C. 2024. D. 2024. −
Câu 4: Cho tam giác ABC có  o =  B 60 , = 70o A , MN / /BC , NP / / AB
, (M AB, N AC, P BC) . Số đo  MNP bằng A A.70 .o B.60 .o C.50 .o D.90 .o M N B C P
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc A cắt BC tại H. Kết quả nào sau đây sai?
A. AH = BC.
B. HB = HC.
C. AH BC. D. AHB = AHC.
Câu 6: Cho tam giác ABC cân tại A, trọng tâm G, biết AB = 10cm, BC = 12cm. Khi đó AG bằng A. 8 c . m B. 5,5c . m C. 4 c . m D. 16 c . m 3 3 3 22 4 2024
Câu 7: Cho a :b : c =1: 2:3 và abc ≠ 0 . Giá trị của biểu thức a .b .c Q = 1012 2050 9 .a bằng A.16. B.12. C. 24. D.8.
Câu 8: Cho ΔABC có độ dài các cạnh là a, ,
b c tỉ lệ thuận với ba số 3, 6, 8 và 2 2
b a =108 . Chu vi
của tam giác ABCA. 17c . m B. 51c . m C. 30c . m D. 34c . m
Câu 9: Trong một hộp kín, chứa 3 viên bi xanh; 4 viên bi đỏ; 5 viên bi vàng. Xác suất để bạn Tú lấy ra 1 viên bi xanh là A. 1 . B. 3. C. 1. D. 1 . 12 3 4
Câu 10: Gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối. Gọi M là biến cố: “ Gieo được mặt có số chấm là ước
của 6”. Xác suất của biến cố M A. 1 P(M ) = . B. 1 P(M ) = . C. 2 P(M ) = .
D. P(M ) =1. 3 2 3
Câu 11: Cho đa thức ( ) 2
P x = ax + bx + c và 5a + b + 2c = 0. Khi đó
A. P(2).P(− ) 1 > 0
B. P(2).P(− ) 1 ≤ 0
C. P(2).P(− ) 1 < 0
D. P(2).P(− ) 1 ≥ 0 Toán 7 - Trang 1/2
Câu 12: Cho x + y =1 thì giá trị của biểu thức 2 2
M = 2x y + xy + 3y A.1. B. 1. − C. 2. D. 2. −
Câu 13: Tam giác ABC có  o =  −  40 , = 20o A B C
. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho
AE = AB . Số đo  CBE A. 60 .o B.90 .o C. 120 .o D. 100 .o Câu 14: Cho A
BC cân tại A có  60o C =
. Các đường cao ANBM cắt nhau tại H. Khẳng định nào sau đây đúng A.  120o BHC =
B. AH = HN. C.  120o NHB = . D.  90o NHB = .
Câu 15: Số các giá trị nguyên của x để biểu thức 2x +1 T =
nhận giá trị nguyên là x − 2 A.1. B. 4. C. 2. D. 6.
Câu 16: Có sáu túi lần lượt chứa 9, 10, 12, 13, 17, 19 bóng trong đó có năm túi chứa bóng xanh và một
túi chứa bóng đỏ. Bạn Hòa lấy ba túi bóng xanh, bạn Bình lấy hai túi bóng xanh, túi còn lại là
bóng đỏ. Biết số bóng của bạn Hòa gấp đôi số bóng của bạn Bình. Số bóng đỏ là A.12. B. 13. C.17. D.19.
II. PHẦN TỰ LUẬN ( 4 Câu- 12,0 điểm) Câu 1 (4,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức 1 A = ( + ) 1 + ( + + ) 1 + ( + + + ) 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 +...+ (1+ 2+3+...+ 2024). 2 3 4 2024
b) Tìm các số nguyên x, y biết 2xy − 2 − x + y = 0. Câu 2 (3,0 điểm) a) Cho x y − + = , x y z
5y = 4z x + y z ≠ 0 . Tính 2 M = . 2 3
x + y z
b) Ba chiều cao của một tam giác tỷ lệ với 2, 3, 4 và chu vi tam giác đó là 39cm . Tính độ dài ba cạnh của tam giác đó.
Câu 3 (4,0 điểm) Cho A
BC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC. Lấy điểm D nằm giữa hai điểm
BM. Gọi HI thứ tự là hình chiếu của BC xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh:
a) BH = AI, DN / / A . B b) AIM = BHM.
c) IM là phân giác của  HIC .
Câu 4 (1,0 điểm) Cho x, y, z thỏa mãn 0 < x < y < z <1 và z x + y . Chứng minh rằng: x y z + + < 2..
yz +1 zx +1 xy +1
------------- HẾT-------------
Họ và tên thí sinh: ......................................................... Số báo danh: .........................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Toán 7 - Trang 2/2
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023 - 2024 MÔN: TOÁN 7
Hướng dẫn chấm có: 03 trang
I. Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám
khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho
điểm tương ứng với thang điểm của đáp án.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Đáp án – thang điểm
1. Phần trắc nghiệm khách quan Câu 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án đúng B
C A B A D A D D C B C D A B C
Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2. Phần tự luận
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: 1 A = ( + ) 1 + ( + + ) 1 + ( + + + ) 1 . 1 2 . 1 2 3 . 1 2 3 4 +...+ .(1+ 2 + 3+...+ 2024). 2 3 4 2024
b) Tìm các số nguyên x; y biết : 2xy − 2− x + y = 0. Nội dung Điểm a)(2 điểm).Ta có: 1 A = ( + ) 1 + ( + + ) 1 + ( + + + ) 1 . 1 2 . 1 2 3 . 1 2 3 4 +...+ .(1+ 2 + 3+...+ 2024). 2 3 4 2024 0,75 1 3.2 1 4.3 1 5.4 1 2025.2024 A = . + . + . + ...+ . . 2 2 3 2 4 2 2024 2 3 4 5
2025 3+ 4 + 5 +...+ 2025 2028.2023 A = + + +...+ = = =1025661 1,0 2 2 2 2 2 2.2 Vậy A =1025661. 0,25
b) ( 2 điểm).Ta có: 2xy − 2− x + y = 0. 0,5
⇔ 4xy − 4 − 2x + 2y = 0.
⇔ 2 x(2 y−1) + 2 y−1 = 3 ⇔ (2 y−1)(2 x+1) = 3 0,5
Vì ;x yZ nên 2x +1 và 2y −1 là ước của 3 ⇒ 2x +1;2y −1∈{ 1; ± ± } 3 0,25 ⇒ ( ; x y)∈ ( { 0;2);( 1; − − ) 1 ;(1; ) 1 ;( 2 − ;0)} 0,5
Vậy ( ;x y)∈ ({0;2);( 1; − − ) 1 ;(1; ) 1 ;( 2 − ;0)} 0,25
Câu 2. (3,0 điểm) a) Cho x y − + = ; x y z
5y = 4z x + y z ≠ 0 . Tính 2 M = . 2 3
x + y z
b) Ba chiều cao của một tam giác tỷ lệ với 2;3;4 và chu vi tam giác đó là 39 . cm Tính ba cạnh của tam giác đó. Toán 7 - Trang 3/2 Nội dung Điểm
a ) (1,5 điểm). Ta có: x y = và 5 x y y z x y z
y = 4z ⇒ = ; = ⇒ = = 2 3 2 3 4 5 8 12 15 0,5 x y z §Æt = =
= k x = 8k; y =12k; z =15k 0,25 8 12 15 Mà
2x y + z 2.8k −12k +15k 19k 19 M = = = = . 0,5
x + y z
8k +12k −15k 5k 5 Vậy 19 M = . 0,25 5
b ) (1,5 điểm).Gọi ba cạnh của tam giác là a;b;c , ba đường cao tương ứng là 0,25
x;y;z và diện tích tam giác đó là S (a;b;c;x;y;z;S > 0)
Vì ba đường cao tỷ lệ với 2;3;4 nên ta có: x y z
= = và 2S = ax = by = cz 0,25 2 3 4 x y z x y z 1 1 1 ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = =
⇒ 2a = 3b = 4c 0,5 2.2S 3.2S 4.2S 2.ax 3.by 4.cz 2.a 3.b 4.c 2a 3b 4 ⇒ 2 = 3 = 4 c a b c a b c ⇒ = = ⇒ = = 0,25 12 12 12 6 4 3
Mặt khác : a +b + c = 39 0,25
a b c a + b + c 39 ⇒ = = = = = 3 6 4 3 13 13
Vậy ba cạnh của tam giác là 9;12;18 cm.
Câu 3. (4,0điểm):Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC. Lấy
điểm D nằm giữa hai điểm B và M. GọiH và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống
đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
a) BH = AI; DN/ / AB. b) AIM = BHM.
c) IM là phân giác của góc HIC. Nội dung Điểm 0,25 B H D I M N A C a) ( 1,75 đ) * Xét ABHCAI có: 0,75 Toán 7 - Trang 4/2  0 H = I = 90 AB = AC (gt)  =  ( Cïng phô  BAH ACI IAC ) Do đó : ABH = C
AI ( c¹nh huyÒn- gãc nhän) ⇒ BH = AI Vậy BH = AI 0,25
*Ta thấy: AM CI là hai đường cao của ACD
Nên Nlà trực tâm của A
CD DN AC DN / / AB 0,5 Vậy DN / /AB 0,25 b) ( 1,0đ)Ta có:  +  =  + 0 HBM BDH IAM ADM = 90 0,25 vµ  =  BDH ADM (®®) ⇒  =  HBM IAM * Xét AIMBHM có: AI = BH (cmt)  =  IAM HBM ( cmt) 0,5 AM=BM ( A
MB vu«ng c©n t¹i M) Do đó : AIM = BHM ( C-G-C) Vậy : AIM B ∆ = HM 0,25 c) ( 1,0đ) Vì ∆ = ∆
(cmt) ⇒ MI =MH vµ  =  AIM BHM AMI BMH 0,25 ⇒ H
IM c©n t¹i M Mặt khác:   0 = + ⇒   0 = + ⇒  0 AMI IMB 90 HMB IMB 90 IMH = 90 0,25 Do đó : ∆ vu«ng c©n t¹i M ⇒  0 = ⇒  0 IMH MIH 45 MIC = 45 0,25
Vậy IM là tia phân giác của góc HIC 0,25
Câu 4. (1,0 điểm) Cho x;y;z thỏa mãn x y z
0 < x < y < z <1 và z x + y Chứng minh rằng: + + < 2
yz +1 zx +1 xy +1 Nội dung Điểm Ta có: 0,25
< < < < ⇒ ( − )( − ) 1 1 0 1 1 1 > 0 ⇒ +1 z z x y z x y xy > x + y ⇒ < ⇒ <
xy +1 x + y
xy +1 x + y : y y < ; x x x y z x y z CMTT < ⇒ + + < + +
xz +1 x + z yz +1 y + z
yz +1 xz +1 xy +1 y + z x + z x + y 0,25 Mặt khác: x 2x y 2y z 2 < ; < ; z ≤ ;
y + z x + y + z x + z x + y + z x + y x + y + z 0,25 Do đó: x y z + + < 2
yz +1 zx +1 xy +1 0,25 Toán 7 - Trang 5/2 Toán 7 - Trang 6/2