Đề học sinh năng khiếu Toán 7 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Tam Nông – Phú Thọ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU TAM NÔNG NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: Toán 7 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 02 trang)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (16 Câu - 8,0 điểm)
Câu 1: Giá trị của biểu thức A = 2025− 2023+ 2021− 2019 + 2017 − 2015+...+ 9 − 7 + 5−3 A. 506. B. 1012. C. 506. − D. 1012. − 1 1 1 1 1 + + +
Câu 2: Giá trị của biểu thức 2022 2023 2023 2024 2025 B = 1 2 − 3 3 1 là + + + 1011 2023 2023 2024 675 A. 5 . B. 5 − . C. 1 . D. 1 − . 6 6 6 6
Câu 3: Giá trị của biểu thức 24 23 22 2
P = x − 2024x − 2024x −...− 2024x − 2024x +1 tại x = 2025 là A. 2026. B. 2025. C. 2024. D. 2024. −
Câu 4: Cho tam giác ABC có  o =  B 60 , = 70o A , MN / /BC , NP / / AB
, (M ∈ AB, N ∈ AC, P ∈ BC) . Số đo  MNP bằng A A.70 .o B.60 .o C.50 .o D.90 .o M N B C P
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc A cắt BC tại H. Kết quả nào sau đây sai?
A. AH = BC.
B. HB = HC.
C. AH ⊥ BC. D. A ∆ HB = A ∆ HC.
Câu 6: Cho tam giác ABC cân tại A, trọng tâm G, biết AB = 10cm, BC = 12cm. Khi đó AG bằng A. 8 c . m B. 5,5c . m C. 4 c . m D. 16 c . m 3 3 3 22 4 2024
Câu 7: Cho a :b : c =1: 2:3 và abc ≠ 0 . Giá trị của biểu thức a .b .c Q = 1012 2050 9 .a bằng A.16. B.12. C. 24. D.8.
Câu 8: Cho ΔABC có độ dài các cạnh là a, ,
b c tỉ lệ thuận với ba số 3, 6, 8 và 2 2
b − a =108 . Chu vi
của tam giác ABC là A. 17c . m B. 51c . m C. 30c . m D. 34c . m
Câu 9: Trong một hộp kín, chứa 3 viên bi xanh; 4 viên bi đỏ; 5 viên bi vàng. Xác suất để bạn Tú lấy ra 1 viên bi xanh là A. 1 . B. 3. C. 1. D. 1 . 12 3 4
Câu 10: Gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối. Gọi M là biến cố: “ Gieo được mặt có số chấm là ước
của 6”. Xác suất của biến cố M là A. 1 P(M ) = . B. 1 P(M ) = . C. 2 P(M ) = .
D. P(M ) =1. 3 2 3
Câu 11: Cho đa thức ( ) 2
P x = ax + bx + c và 5a + b + 2c = 0. Khi đó
A. P(2).P(− ) 1 > 0
B. P(2).P(− ) 1 ≤ 0
C. P(2).P(− ) 1 < 0
D. P(2).P(− ) 1 ≥ 0 Toán 7 - Trang 1/2
Câu 12: Cho x + y =1 thì giá trị của biểu thức 2 2
M = 2x − y + xy + 3y là A.1. B. 1. − C. 2. D. 2. −
Câu 13: Tam giác ABC có  o =  −  40 , = 20o A B C
. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho
AE = AB . Số đo  CBE là A. 60 .o B.90 .o C. 120 .o D. 100 .o Câu 14: Cho A
∆ BC cân tại A có  60o C =
. Các đường cao AN và BM cắt nhau tại H. Khẳng định nào sau đây đúng A.  120o BHC =
B. AH = HN. C.  120o NHB = . D.  90o NHB = .
Câu 15: Số các giá trị nguyên của x để biểu thức 2x +1 T =
nhận giá trị nguyên là x − 2 A.1. B. 4. C. 2. D. 6.
Câu 16: Có sáu túi lần lượt chứa 9, 10, 12, 13, 17, 19 bóng trong đó có năm túi chứa bóng xanh và một
túi chứa bóng đỏ. Bạn Hòa lấy ba túi bóng xanh, bạn Bình lấy hai túi bóng xanh, túi còn lại là
bóng đỏ. Biết số bóng của bạn Hòa gấp đôi số bóng của bạn Bình. Số bóng đỏ là A.12. B. 13. C.17. D.19.
II. PHẦN TỰ LUẬN ( 4 Câu- 12,0 điểm) Câu 1 (4,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức 1 A = ( + ) 1 + ( + + ) 1 + ( + + + ) 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 +...+ (1+ 2+3+...+ 2024). 2 3 4 2024
b) Tìm các số nguyên x, y biết 2xy − 2 − x + y = 0. Câu 2 (3,0 điểm) a) Cho x y − + = , x y z
5y = 4z và x + y − z ≠ 0 . Tính 2 M = . 2 3
x + y − z
b) Ba chiều cao của một tam giác tỷ lệ với 2, 3, 4 và chu vi tam giác đó là 39cm . Tính độ dài ba cạnh của tam giác đó.
Câu 3 (4,0 điểm) Cho A
∆ BC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC. Lấy điểm D nằm giữa hai điểm
B và M. Gọi H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh:
a) BH = AI, DN / / A . B b) A ∆ IM = B ∆ HM.
c) IM là phân giác của  HIC .
Câu 4 (1,0 điểm) Cho x, y, z thỏa mãn 0 < x < y < z <1 và z ≤ x + y . Chứng minh rằng: x y z + + < 2..
yz +1 zx +1 xy +1
------------- HẾT-------------
Họ và tên thí sinh: ......................................................... Số báo danh: .........................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Toán 7 - Trang 2/2
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023 - 2024 MÔN: TOÁN 7
Hướng dẫn chấm có: 03 trang
I. Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám
khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho
điểm tương ứng với thang điểm của đáp án.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Đáp án – thang điểm
1. Phần trắc nghiệm khách quan Câu 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án đúng B
C A B A D A D D C B C D A B C
Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2. Phần tự luận
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: 1 A = ( + ) 1 + ( + + ) 1 + ( + + + ) 1 . 1 2 . 1 2 3 . 1 2 3 4 +...+ .(1+ 2 + 3+...+ 2024). 2 3 4 2024
b) Tìm các số nguyên x; y biết : 2xy − 2− x + y = 0. Nội dung Điểm a)(2 điểm).Ta có: 1 A = ( + ) 1 + ( + + ) 1 + ( + + + ) 1 . 1 2 . 1 2 3 . 1 2 3 4 +...+ .(1+ 2 + 3+...+ 2024). 2 3 4 2024 0,75 1 3.2 1 4.3 1 5.4 1 2025.2024 A = . + . + . + ...+ . . 2 2 3 2 4 2 2024 2 3 4 5
2025 3+ 4 + 5 +...+ 2025 2028.2023 A = + + +...+ = = =1025661 1,0 2 2 2 2 2 2.2 Vậy A =1025661. 0,25
b) ( 2 điểm).Ta có: 2xy − 2− x + y = 0. 0,5
⇔ 4xy − 4 − 2x + 2y = 0.
⇔ 2 x(2 y−1) + 2 y−1 = 3 ⇔ (2 y−1)(2 x+1) = 3 0,5
Vì ;x y∈Z nên 2x +1 và 2y −1 là ước của 3 ⇒ 2x +1;2y −1∈{ 1; ± ± } 3 0,25 ⇒ ( ; x y)∈ ( { 0;2);( 1; − − ) 1 ;(1; ) 1 ;( 2 − ;0)} 0,5
Vậy ( ;x y)∈ ({0;2);( 1; − − ) 1 ;(1; ) 1 ;( 2 − ;0)} 0,25
Câu 2. (3,0 điểm) a) Cho x y − + = ; x y z
5y = 4z và x + y − z ≠ 0 . Tính 2 M = . 2 3
x + y − z
b) Ba chiều cao của một tam giác tỷ lệ với 2;3;4 và chu vi tam giác đó là 39 . cm Tính ba cạnh của tam giác đó. Toán 7 - Trang 3/2 Nội dung Điểm
a ) (1,5 điểm). Ta có: x y = và 5 x y y z x y z
y = 4z ⇒ = ; = ⇒ = = 2 3 2 3 4 5 8 12 15 0,5 x y z §Æt = =
= k ⇒ x = 8k; y =12k; z =15k 0,25 8 12 15 Mà
2x − y + z 2.8k −12k +15k 19k 19 M = = = = . 0,5
x + y − z
8k +12k −15k 5k 5 Vậy 19 M = . 0,25 5
b ) (1,5 điểm).Gọi ba cạnh của tam giác là a;b;c , ba đường cao tương ứng là 0,25
x;y;z và diện tích tam giác đó là S (a;b;c;x;y;z;S > 0)
Vì ba đường cao tỷ lệ với 2;3;4 nên ta có: x y z
= = và 2S = ax = by = cz 0,25 2 3 4 x y z x y z 1 1 1 ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = =
⇒ 2a = 3b = 4c 0,5 2.2S 3.2S 4.2S 2.ax 3.by 4.cz 2.a 3.b 4.c 2a 3b 4 ⇒ 2 = 3 = 4 c a b c a b c ⇒ = = ⇒ = = 0,25 12 12 12 6 4 3
Mặt khác : a +b + c = 39 0,25
a b c a + b + c 39 ⇒ = = = = = 3 6 4 3 13 13
Vậy ba cạnh của tam giác là 9;12;18 cm.
Câu 3. (4,0điểm):Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC. Lấy
điểm D nằm giữa hai điểm B và M. GọiH và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống
đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
a) BH = AI; DN/ / AB. b) A ∆ IM = B ∆ HM.
c) IM là phân giác của góc HIC. Nội dung Điểm 0,25 B H D I M N A C a) ( 1,75 đ) * Xét A ∆ BH vµ C ∆ AI có: 0,75 Toán 7 - Trang 4/2  0 H = I = 90 AB = AC (gt)  =  ( Cïng phô  BAH ACI IAC ) Do đó : A ∆ BH = C
∆ AI ( c¹nh huyÒn- gãc nhän) ⇒ BH = AI Vậy BH = AI 0,25
*Ta thấy: AM và CI là hai đường cao của A ∆ CD
Nên Nlà trực tâm của A
∆ CD ⇒ DN ⊥ AC ⇒ DN / / AB 0,5 Vậy DN / /AB 0,25 b) ( 1,0đ)Ta có:  +  =  + 0 HBM BDH IAM ADM = 90 0,25 vµ  =  BDH ADM (®®) ⇒  =  HBM IAM * Xét A ∆ IM vµ B ∆ HM có: AI = BH (cmt)  =  IAM HBM ( cmt) 0,5 AM=BM ( A
∆ MB vu«ng c©n t¹i M) Do đó : A ∆ IM = B ∆ HM ( C-G-C) Vậy : A ∆ IM B ∆ = HM 0,25 c) ( 1,0đ) Vì ∆ = ∆
(cmt) ⇒ MI =MH vµ  =  AIM BHM AMI BMH 0,25 ⇒ H
∆ IM c©n t¹i M Mặt khác:   0 = + ⇒   0 = + ⇒  0 AMI IMB 90 HMB IMB 90 IMH = 90 0,25 Do đó : ∆ vu«ng c©n t¹i M ⇒  0 = ⇒  0 IMH MIH 45 MIC = 45 0,25
Vậy IM là tia phân giác của góc HIC 0,25
Câu 4. (1,0 điểm) Cho x;y;z thỏa mãn x y z
0 < x < y < z <1 và z ≤ x + y Chứng minh rằng: + + < 2
yz +1 zx +1 xy +1 Nội dung Điểm Ta có: 0,25
< < < < ⇒ ( − )( − ) 1 1 0 1 1 1 > 0 ⇒ +1 z z x y z x y xy > x + y ⇒ < ⇒ <
xy +1 x + y
xy +1 x + y : y y < ; x x x y z x y z CMTT < ⇒ + + < + +
xz +1 x + z yz +1 y + z
yz +1 xz +1 xy +1 y + z x + z x + y 0,25 Mặt khác: x 2x y 2y z 2 < ; < ; z ≤ ;
y + z x + y + z x + z x + y + z x + y x + y + z 0,25 Do đó: x y z + + < 2
yz +1 zx +1 xy +1 0,25 Toán 7 - Trang 5/2 Toán 7 - Trang 6/2