Đề HSG cấp huyện Toán 9 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Nam Trực – Nam Định

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Nam Trực – Nam Định giúp bạn ôn tập kiến thức, chuẩn bị tốt kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem.

PHÒNG GIÁO DC ĐÀO TO
HUYN NAM TRC
ĐỀ KHO ST CHT LƯNG HSG CP HUYN
NĂM HC 2023-2024
Môn: Toán 9
Thi gian làm bài: 150 phút
thi gm 01 trang)
Bài 1. (5,0 điểm)
1) Rút gn biu thc:
( )
3 5 3 5
.
10 2
A
−+
=
+
2) Cho biu thc:
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
P
x x x x
+
= +
+ +
(vi
0; 1xx
).
a) Rút gn biu thc
.P
b) Tìm giá tr ln nht ca biu thc
.P
Bài 2. (4,0 điểm)
1) Cho
;
y
hai s thc tha mãn đẳng thc:
(
)
(
)
22
5 5 5.x x y y + + =
Tính giá
tr ca biu thc:
2024 2024
.T x y=−
2) Gii phương trình:
2
8 8 4 2 3 0.x x x + + =
Bài 3. (6,0 điểm)
Cho tam giác
ABC
ni tiếp trong đường tròn
( )
O
đường kính
BC
( )
.AB AC
Gi
E
là
trung đim ca
.AC
Tiếp tuyến ti
C
ca đường tròn
( )
O
ct tia
OE
ti
F
. Đon thng
BF
ct đường tròn
( )
O
ti
.H
1) Chng minh:
. . .FH FB FE FO=
2) Chng minh:
.FEH OHB=
3) Chng minh:
AH
vuông góc vi
.HE
Bài 4. (3,0 điểm)
1) Tìm các cp s nguyên
( )
;xy
tha mãn phương trình:
32
3 2 5 0.x x y x y + =
2) Cho
p
là s nguyên t ln hơn 3. Chứng minh:
2
1p
chia hết cho 24.
Bài 5. (2,0 điểm)
1) Cho x, y, z là các s thc dương có tng bng 3. Chng minh rng:
2 2 2
2024
.
1 1 1 2023
x y z
y z x
+ +
+ + +
2) Cho mt đa giác đều có
2023
đỉnh. Người ta ghi lên mi đỉnh ca đa giác s
1
hoc s
2.
Biết rng tt c
1013
s
1
và
1010
s
2,
các s trên ba đỉnh liên tiếp bt kì
không đồng thi bng nhau. Hãy tính tng ca tt c các tích ba s trên ba đỉnh liên
tiếp ca đa giác trên.
---------Hết---------
(Học sinh được s dng máy tính cm tay không có th nh)
H tên thí sinh: ..................................................... S báo danh:……………………………………….
Gim th 1: ................................................................. Gim th 2:………………………………………...
ĐỀ CHÍNH THC
NG DN CHM
I. Nhng điu cần lưu ý:
- Các cách gii khác đúng cho điểm tương đương.
- Đim ca tng ý không chia nh hơn 0,25 đim.
- Đim toàn bài gi nguyên không làm tròn.
II. Ni dung
Bài 1. (5,0 điểm)
1) Rút gn biu thc:
( )
3 5 3 5
.
10 2
A
−+
=
+
2) Cho biu thc:
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
P
x x x x
+
= +
+ +
(vi
0; 1xx
).
a) Rút gn biu thc
.P
b) Tìm giá tr ln nht ca biu thc
.P
ý
Ni dung
Đim
1
( )
3 5 3 5
10 2
A
−+
=
+
( ) ( )
3 5 3 5 . 2. 5 1
8
+
=
0,25
( )
6 2 5 3 5 5 3 5
8
+
=
0,25
( ) ( )
2
5 1 2 5 2
8
−+
=
0,25
( )
5 1.2. 5 1
8
−+
=
0,25
( ) ( )
5 1 . 5 1
4
−+
=
0,25
51
4
=
0,25
1.=
0,25
Vy
1A =
0,25
2a
Vi
0; 1xx
ta có
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
P
x x x x
+
= +
+ +
( )( )
15 11 3 2 2 3
13
13
x x x
xx
xx
+
=
−+
−+
0,5
( )( ) ( )( )
( )( )
15 11 3 2 3 2 3 1
13
x x x x x
xx
+ +
=
−+
0,5
( )( )
15 11 3 9 2 6 2 2 3 3
13
x x x x x x x
xx
+ + + +
=
−+
0,25
( )( )
5 7 2
13
xx
xx
+
=
−+
0,5
( )( )
( )( )
1 5 2
13
xx
xx
+
=
−+
0,5
25
3
x
x
=
+
0,25
2b
Ta có:
( )
17 5 3
2 5 17
5
3 3 3
x
x
P
x x x
−+
= = =
+ + +
Vi
17 17 17 2 2
0 3 3 5
3 3 3
33
x x P
xx
+
++
.
0,25
Du = xy ra
0x=
(tm)
Vy
P
có giá tr ln nht bng
2
3
khi
0.x =
0,25
Bài 2. (4,0 điểm)
1) Cho
;
y
hai s thc tha mãn đẳng thc:
(
)
(
)
22
5 5 5.x x y y + + =
Tính giá
tr ca biu thc:
2024 2024
.T x y=−
2) Gii phương trình:
2
8 8 4 2 3 0.x x x + + =
ý
Ni dung
Đim
1
(
)
(
)
22
5 5 5x x y y + + =
(*)
Nhân c 2 vế ca (*) vi
2
5xx++
ta được
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
5 5 5 5 5x x x x y y x x+ + + + = + +
( )
(
)
(
)
2 2 2 2
5 5 5 5x x y y x x + = + +
(
)
(
)
22
5 5 5 5y y x x + = + +
22
55y y x x + = +
(1)
0,5
Tương t: Nhân c 2 vế ca (*) vi
2
5yy++
ta thu được
22
55x x y y + = +
(2)
0,5
Cng tng vế ca (1) và (2) ta được
2 2 2 2
5 5 5 5x x y y y y x y + + + = + +
x y x y + =
0xy + =
xy =
0,5
Vi
2024 2024 2024 2024
0x y x y T x y= = = =
0,5
2
2
8 8 4 2 3 0.x x x + + =
Điu kin:
3
.
2
x
0,25
Vi
3
,
2
x
ta có phương trình tương đương:
2
8 8 4 2 3x x x + =
2
6 9 2 3 4 2 3 4x x x x + = +
( )
( )
2
2
3 2 3 2xx =
0,5
3 2 3 2 2 3 1 (1)
3 2 2 3 2 3 5 (2)
x x x x
x x x x

= =


= =


0,5
Gii (1):
2 3 1xx =
( ) ( )
22
2
2 3 1 4 4 0 2 0 2x x x x x x = + = = =
(tm)
0,25
Gii (2):
2 3 5xx =
( )
2
2
5
5
5
6 2 2
12 28 0
2 3 5
6 2 2
x
x
x
x
xx
xx
x

=
+ =
=
=
(tm)
0,25
Vy phương trình có tp nghim là
2; 6 2 2 .S =−
0,25
Bài 3. (6,0 điểm)
Cho tam giác
ABC
ni tiếp trong đường tròn
( )
O
đường kính
BC
( )
.AB AC
Gi
E
trung
điểm ca
.AC
Tiếp tuyến ti
C
ca đường tròn
( )
O
ct tia
OE
ti
F
. Đon thng
BF
ct
đường tròn
( )
O
ti
.H
1) Chng minh:
. . .FH FB FE FO=
2) Chng minh:
.FEH OHB=
3) Chng minh:
AH
vuông góc vi
.HE
ý
Ni dung
Đim
M
H
F
E
O
C
B
A
1
Xét
( )
O
:
E
trung điểm ca dây
AC
(không đi qua tâm)
OE AC⊥
hay
0,25
CE OF
FC
là tiếp tuyến ca
( )
O
ti
C FC OC OCF
vuông ti
C
0,25
OCF
vuông ti
,C
đường cao
CE
có:
2
.CF FE FO=
(H thc lượng) (1)
0,5
H
thuc đường tròn đường kính
BC BHC
vuông ti
H CH BH⊥
hay
CH BF
0,25
FBC
vuông ti
,C
đường cao
CH
có:
2
.CF FH FB=
(H thc lượng) (2)
0,5
T (1) và (2) suy ra:
..FE FD FH FB=
0,25
2
Ta có
..
FE FB
FE FO FH FB
FH FO
= =
0,25
FEH
và
FBO
: Chung
F
và
FE FB
FH FO
=
FEH
FBO
(c.g.c)
0,75
FEH FBO=
(3)
0,25
BOH
cân ti
O OHB OBH=
hay
OHB FBO=
(4)
0,5
T (3) và (4) suy ra
.FEH OHB=
0,25
3
Gi
M
là giao điểm ca
BH
và
AC
ABC
ni tiếp đường tròn đường kính
BC ABC
vuông ti
A
90
o
BAM=
Cm:
ABM HCM ABM HCM =
hay
ABH ECH=
0,5
Cm:
ABC
ECF
AB BC
EC CF
=
(3)
0,25
Cm:
BHC BCF
BH BC
HC CF
=
(4)
0,25
T (3) và (4)
AB BH
EC HC
=
0,25
Xét
ABH
và
ECH
có:
ABH ECH=
và
AB BH
EC HC
=
ABH ECH
(c.g.c)
0,25
AHB EHC=
0,25
Li có:
90
o
EHC MHE BHC+ = =
nên
90 90
oo
AHB MHE AHE AH HE+ = =
0,25
Bài 4. (3,0 đim)
1) Tìm các cp s nguyên
( )
;xy
tha mãn phương trình:
32
3 2 5 0.x x y x y + =
2) Cho
p
là s nguyên t ln hơn 3. Chứng minh:
2
1p
chia hết cho 24.
ý
Ni dung
Đim
1
Ta có
3
32
22
3 5 5
3 2 5 0
22
x x x
x x y x y y x
xx
+
+ = = = +
++
0,25
( )
( )
( )( )
( )
22
, 5 2 5 5 2x y x x x x x + + +
( )
( )
( )( )
( )
22
, 5 2 5 5 2x y x x x x x + + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
25 2 27 2x x x + +
0,5
( )
2
22x +
nên
2
2 3;9;27x +
2
1;25 1;1; 5;5xx
0,25
13xy= =
(tha mãn)
1
1
3
xy= =
(loi)
145
5
27
xy= =
(loi)
55xy= =
(tha mãn)
Vy
( ) ( ) ( )
, 1; 3 ; 5;5xy
0,5
2
p
là s nguyên t ln hơn 3 nên
( )
,3 1p =
( ) ( )
1 1 3p p p−+
nên
( )( )
1 1 3pp−+
(1)
0,5
p
là s nguyên t lớn hơn 3
p
là s l
1, 1pp−+
là hai s chn liên tiếp, có
mt s là bi ca 4 nên
( )( )
1 1 8pp−+
(2)
0,5
T (1), (2) và
( )
3;8 1=
suy ra
( )( )
11pp−+
chia hết cho 24 hay
2
1p
chia hết
cho 24
0,5
Bài 5. (2,0 đim)
1) Cho x, y, z là các s thc dương có tng bng 3. Chng minh rng:
2 2 2
2024
.
1 1 1 2023
x y z
y z x
+ +
+ + +
2) Cho mt đa giác đều có
2023
đỉnh. Người ta ghi lên mi đỉnh ca đa giác s
1
hoc s
2.
Biết rng tt c
1013
s
1
và
1010
s
2,
các s trên ba đỉnh liên tiếp bt kì
không đồng thi bng nhau. Hãy tính tng ca tt c các tích ba s trên ba đỉnh liên
tiếp ca đa giác trên.
ý
Ni dung
Đim
1
Ta có
( )
22
2
2 2 2
1
1 1 1
x y xy
x xy
x
y y y
+−
= =
+ + +
Li có:
2
12yy+
nên
22
22
1 1 2 2
x xy xy xy
x x x
y y y
= =
++
(1)
0,25
Tương t:
2
12
y yz
y
z
−
+
(2)
2
12
z zx
z
x
−
+
(3)
Cng tng vế ca (1), (2) và (3) ta được
( ) ( )
2 2 2
1
1 1 1 2
x y z
x y z xy yz zx
y z x
+ + + + + +
+ + +
0,25
C/m được:
( )
2
3
x y z
xy yz zx
++
+ +
mà
3x y z+ + =
0,25
Do đó:
( ) ( )
2
2
2 2 2
1 1 3 2024
3 .3
1 1 1 6 6 2 2023
x y z
x y z x y z
y z x
+ + + + + + = =
+ + +
Vy
2 2 2
2024
.
1 1 1 2023
x y z
y z x
+ +
+ + +
0,25
2
Xét tt c 2023 b ba s ghi trên ba đỉnh liên tiếp, chia các b s này thành 2 nhóm
Nhóm 1: có
a
b, mi b cha hai s 1 và mt s 2
Nhóm 2: có
b, mi b cha hai s 2 và mt s 1
0,25
S các s 1 trong 2023 b đó là:
2 3.1013 3039.ab+ = =
S các s 2 trong 2023 b đó là:
2 3.1010 3030ba+ = =
0,25
Mà
2023ab+=
nên
1016; 1007ab==
0,25
Mi b hai s 1 và mt s 2 có tích là 2
Mi b hai s 2 và mt s 1 có tích là 4
Vy tng ca tt c các tích ba s trên ba đỉnh liên tiếp ca đa giác trên là
1016.2 1007.4 6060S = + =
0,25
| 1/7

Preview text:

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN HUYỆN NAM TRỰC NĂM HỌC 2023-2024 Môn: Toán 9 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 01 trang) Bài 1. (5,0 điểm) 3 − 5 (3 + 5)
1) Rút gọn biểu thức: A = . 10 + 2 15 x −11 3 x − 2 2 x + 3
2) Cho biểu thức: P = + −
(với x  0; x  1). x + 2 x − 3 1− x x + 3 a) Rút gọn biểu thức . P
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . P Bài 2. (4,0 điểm)
1) Cho x ; y là hai số thực thỏa mãn đẳng thức: ( 2 x x + )( 2 5 y
y + 5 ) = 5. Tính giá trị của biểu thức: 2024 2024 T = xy . 2) Giải phương trình: 2
x − 8x + 8 + 4 2x − 3 = 0. Bài 3. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính BC ( AB AC ). Gọi E
trung điểm của AC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia OE tại F . Đoạn thẳng
BF cắt đường tròn (O) tại H.
1) Chứng minh: FH.FB = FE.F . O
2) Chứng minh: FEH = OH . B
3) Chứng minh: AH vuông góc với HE. Bài 4. (3,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên ( ;
x y ) thỏa mãn phương trình: 3 2
x x y + 3x − 2 y − 5 = 0.
2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: 2
p −1 chia hết cho 24. Bài 5. (2,0 điểm)
1) Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: x y z 2024 + +  . 2 2 2 1+ y 1+ z 1+ x 2023
2) Cho một đa giác đều có 2023 đỉnh. Người ta ghi lên mỗi đỉnh của đa giác số 1 hoặc số
2. Biết rằng có tất cả 1013 số 1 và 1010 số 2, các số trên ba đỉnh liên tiếp bất kì
không đồng thời bằng nhau. Hãy tính tổng của tất cả các tích ba số trên ba đỉnh liên tiếp của đa giác trên.
---------Hết---------
(Học sinh được sử dụng máy tính cầm tay không có thẻ nhớ)
Họ và tên thí sinh: ..................................................... Số báo danh:……………………………………….
Giám thị 1: ................................................................. Giám thị 2:………………………………………... HƯỚNG DẪN CHẤM
I. Những điều cần lưu ý:
- Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương.
- Điểm của từng ý không chia nhỏ hơn 0,25 điểm.
- Điểm toàn bài giữ nguyên không làm tròn. II. Nội dung Bài 1. (5,0 điểm) 3 − 5 (3 + 5) 1)
Rút gọn biểu thức: A = . 10 + 2 15 x −11 3 x − 2 2 x + 3 2) Cho biểu thức: P = + −
(với x  0; x  1). x + 2 x − 3 1− x x + 3 a) Rút gọn biểu thức . P
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . P ý Nội dung Điểm 3 − 5 (3 + 5) A = 10 + 2 3 − 5 (3 + 5). 2.( 5 − ) 1 = 8 0,25
6 − 2 5 (3 5 + 5 − 3 − 5) = 8 0,25 ( − )2 5 1 (2 5 + 2) 1 = 8 0,25 5 −1 .2.( 5 + ) 1 = 8 0,25 ( 5 − )1.( 5 + )1 = 4 0,25 5 −1 = 4 0,25 = 1. 0,25 Vậy A = 1 0,25
Với x  0; x  1 ta có 15 x −11 3 x − 2 2 x + 3 P = + − x + 2 x − 3 1− x x + 3 15 x −11 3 x − 2 2 x + 3 = − − 0,5
( x − )1( x +3) x −1 x + 3 2a
15 x −11− (3 x − 2)( x + 3) − (2 x + 3)( x − ) 1 = ( 0,5 x − ) 1 ( x + 3)
15 x −11− 3x − 9 x + 2 x + 6 − 2x + 2 x − 3 x + 3 = ( 0,25 x − ) 1 ( x + 3) 5
x + 7 x − 2 = ( 0,5 x − ) 1 ( x + 3)
( x − )1( 5− x +2) = ( 0,5 x − ) 1 ( x + 3) 2 − 5 x = + 0,25 x 3 17 − 5 + − x ( x 3 2 5 ) 17 Ta có: P = = = − 5 2b x + 3 x + 3 x + 3 17 17 17 2 2 Với x  0  x + 3  3    − 5   P  . x + 3 3 x + 3 3 3 0,25
Dấu “=” xảy ra  x = 0 (tm) 2
Vậy P có giá trị lớn nhất bằng khi x = 0. 3 0,25 Bài 2. (4,0 điểm)
1) Cho x ; y là hai số thực thỏa mãn đẳng thức: ( 2 x x + )( 2 5 y
y + 5 ) = 5. Tính giá trị của biểu thức: 2024 2024 T = xy . 2) Giải phương trình: 2
x − 8x + 8 + 4 2x − 3 = 0. ý Nội dung Điểm ( 2 x x + )( 2 5 y y + 5 ) = 5(*)
Nhân cả 2 vế của (*) với 2 x + x + 5 ta được ( 2 x + x + )( 2 x x + )( 2 y y + ) = ( 2 5 5 5 5 x + x + 5 )  ( 2 2 x x − )( 2 y y + ) = ( 2 5 5 5 x + x + 5 )  − ( 2 y y + ) = ( 2 5 5 5 x + x + 5 ) 1 0,5 2 2
y y + 5 = −x x + 5 (1)
Tương tự: Nhân cả 2 vế của (*) với 2 y + y + 5 ta thu được 2 2 0,5
x x + 5 = − y y + 5 (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được 2 2 2 2
x x + 5 + y
y + 5 = − y y + 5 − x y + 5
x + y = −x y
x + y = 0  x = −y 0,5 Với 2024 2024 2024 2024
x = − y x = yT = xy = 0 0,5 2
x − 8x + 8 + 4 2x − 3 = 0. Điề 3 u kiện: x  . 0,25 2 3 Với x
, ta có phương trình tương đương: 2 2 x − 8x + 8 = 4 − 2x − 3 2
x − 6x + 9 = 2x − 3 − 4 2x − 3 + 4
 (x − ) = ( x − − )2 2 3 2 3 2 0,5  − = − −  − = − 2 x 3 2x 3 2 2x 3 x 1 (1)    
x − 3 = 2 − 2x − 3
 2x − 3 = 5 − x (2) 0,5
Giải (1): 2x − 3 = x −1 0,25
x − = ( x − )2  x x + =  ( x − )2 2 2 3 1 4 4 0 2 = 0  x = 2(tm)
Giải (2): 2x − 3 = 5 − x x  5   x  5 x  5         x = − (tm) 2x − 3 =  (5− x) 6 2 2 2 2
x −12x + 28 = 0 x = 6  2 2 0,25
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 2; 6 − 2 2. 0,25 Bài 3. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính BC ( AB AC ). Gọi E là trung
điểm của AC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia OE tại F . Đoạn thẳng BF cắt
đường tròn (O) tại H.
1) Chứng minh: FH.FB = FE.F . O
2) Chứng minh: FEH = OH . B
3) Chứng minh: AH vuông góc với HE. ý Nội dung Điểm F A H M E C B O 1
Xét (O) : E là trung điểm của dây AC (không đi qua tâm)  OE AC hay 0,25 CE OF
FC là tiếp tuyến của (O) tại C FC OC O
CF vuông tại C 0,25 O
CF vuông tại C, đường cao CE có: 2
CF = FE.FO (Hệ thức lượng) (1) 0,5
H thuộc đường tròn đường kính BC B
HC vuông tại H CH BH hay 0,25 CH BF FBC
vuông tại C, đường cao CH có: 2
CF = FH .FB (Hệ thức lượng) (2) 0,5
Từ (1) và (2) suy ra: FE.FD = FH.FB 0,25 FE FB
Ta có FE.FO = FH .FB  = FH FO 0,25 FE FB FEH  và FBO  có: Chung F và = FH FO  2 FEHFBO  (c.g.c) 0,75
FEH = FBO (3) 0,25 BOH
cân tại O OHB = OBH hay OHB = FBO (4) 0,5
Từ (3) và (4) suy ra FEH = OH . B 0,25
Gọi M là giao điểm của BH AC ABC
nội tiếp đường tròn đường kính BC A
BC vuông tại A  = 90o BAM 0,5 Cm: ABM H
CM ABM = HCM hay ABH = ECH AB BC Cm: ABCECF  = (3) EC CF 0,25 Cm: BHC BCF BH BC = (4) HC CF 0,25 AB BH 3 Từ (3) và (4)  = EC HC 0,25 AB BH Xét ABH  và E
CH có: ABH = ECH và = EC HC ABH ECH (c.g.c) 0,25 AHB = EHC 0,25 Lại có: + = = 90o EHC MHE BHC nên + = 90o  = 90o AHB MHE AHEAH HE 0,25 Bài 4. (3,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên ( ;
x y ) thỏa mãn phương trình: 3 2
x x y + 3x − 2 y − 5 = 0.
2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: 2
p −1 chia hết cho 24. ý Nội dung Điểm 3 x + 3x − 5 x − 5 Ta có 3 2
x x y + 3x − 2 y − 5 = 0  y = = x + 2 2 x + 2 x + 2 0,25 x y   (x − ) ( 2
x + )  ( x − )( x + ) ( 2 , 5 2 5 5 x + 2) x y   (x − ) ( 2
x + )  ( x − )( x + ) ( 2 , 5 2 5 5 x + 2)  ( 2 x − ) ( 2x + ) ( 2 25 2 27 x + 2) 0,5 2 2 2 1
Mà ( x + 2)  2 nên x + 23;9;2  7  x 1;2  5  x  1 − ;1; 5 − ;  5 0,25 x = 1 −  y = 3 − (thỏa mãn) 1
x = 1  y = − (loại) 3 145 x = 5 −  y = − (loại) 27
x = 5  y = 5 (thỏa mãn)
Vậy ( x, y)  (  1 − ; 3 − );(5;5) 0,5
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên ( p,3) = 1 mà ( p − ) 1 p ( p + ) 1 3 nên ( p − ) 1 ( p + ) 1 3 (1) 0,5
p là số nguyên tố lớn hơn 3  p là số lẻ  p −1, p +1là hai số chẵn liên tiếp, có 2
một số là bội của 4 nên ( p − ) 1 ( p + ) 1 8 (2) 0,5
Từ (1), (2) và (3;8) = 1 suy ra ( p − ) 1 ( p + ) 1 chia hết cho 24 hay 2 p −1 chia hết cho 24 0,5 Bài 5. (2,0 điểm)
1) Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: x y z 2024 + +  . 2 2 2 1+ y 1+ z 1+ x 2023
2) Cho một đa giác đều có 2023 đỉnh. Người ta ghi lên mỗi đỉnh của đa giác số 1 hoặc số
2. Biết rằng có tất cả 1013 số 1 và 1010 số 2, các số trên ba đỉnh liên tiếp bất kì
không đồng thời bằng nhau. Hãy tính tổng của tất cả các tích ba số trên ba đỉnh liên tiếp của đa giác trên. ý Nội dung Điểm x ( 2 1 + y ) 2 2 − xy x xy Ta có = = x − 2 2 2 1 + y 1 + y 1 + y 2 2 x xy xy xy Lại có: 2
1+ y  2 y nên = x −  x − = x − (1) 2 2 1+ y 1+ y 2 y 2 0,25 y yz  − 1 Tương tự: y (2) 2 1+ z 2 z zxz − (3) 2 1+ x 2
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được x y z 1 + +
x + y + z
xy + yz + zx 2 2 2 ( ) ( ) 1+ y 1+ z 1+ x 2 0,25
(x + y + z)2
C/m được: xy + yz + zx
x + y + z = 3 3 0,25 x y z 1 1 3 2024 Do đó: + +
 (x + y + z) − (x + y + z)2 2 = 3 − .3 =  2 2 2 1+ y 1+ z 1+ x 6 6 2 2023 x y z 2024 Vậy + +  . 2 2 2 1+ y 1+ z 1+ x 2023 0,25
Xét tất cả 2023 bộ ba số ghi trên ba đỉnh liên tiếp, chia các bộ số này thành 2 nhóm
Nhóm 1: có a bộ, mỗi bộ chứa hai số 1 và một số 2
Nhóm 2: có b bộ, mỗi bộ chứa hai số 2 và một số 1 0,25
Số các số 1 trong 2023 bộ đó là: 2a + b = 3.1013 = 3039.
Số các số 2 trong 2023 bộ đó là: 2b + a = 3.1010 = 3030 0,25 2
a + b = 2023 nên a = 1016;b = 1007 0,25
Mỗi bộ hai số 1 và một số 2 có tích là 2
Mỗi bộ hai số 2 và một số 1 có tích là 4
Vậy tổng của tất cả các tích ba số trên ba đỉnh liên tiếp của đa giác trên là
S = 1016.2 +1007.4 = 6060 0,25