Đề khảo sát HSG Toán 9 lần 2 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Bình Xuyên – Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn: Toán NĂM HỌC 2023 - 2024
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,0 điểm) 2 x − x
2x + x 2(x − ) 1
1. Rút gọn biểu thức P = − +
với x > 0 , x ≠ 1. x + x +1 x x −1
2. Cho x + 3 = 2. Tính giá trị của biểu thức A = (x x)2024 + (x x)2023 2 2 7 – 4 6. – 4 + 2023.
Bài 2. (2,0 điểm) Cho đa thức f ( x) =1.2 + 2.3+ 3.4 +...+ .x( x + )
1 . Tìm x để f (x) = 20 . 3 2
x + 2xy +12y = 0
Bài 3. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:  2 2 8  y + x =12 2
Bài 4. (2,0 điểm) Giải phương trình: x 1 + = 1 2 3+ 9 − x 4( 2 3− 9 − x )
Bài 5. (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC,CD, DA . Chứng minh rằng: 1 S ≤ MP NQ ≤
AB + CD AD + BC ABCD . ( )( ) 4
Bài 6. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K , trên tia đối của tia CA lấy
điểm N . Gọi E là giao điểm của CK và BN ; Gọi M là giao điểm của AE và BC . Chứng minh rằng: AE AK AN = + . EM KB NC
Bài 7. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có  =  
BAC 90 , ABC = 20 . Các điểm E và F lần lượt nằm trên
các cạnh AC, AB sao cho  ABE =10 và  ACF = 30 . Tính  CFE .
Bài 8. (2,0 điểm) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn 1 2 3
+ + = 3 . Chứng minh rằng: a b c 2 2 2 27a b 8c 3 + + ≥ c( 2 2
c + 9a ) a( 2 2
4a + b ) b( 2 2 9b + 4c ) 2
Bài 9. (2,0 điểm) Cho đường thẳng (d) : mx + (m −1)y − 2m +1 = 0. Tìm m để khoảng cách từ điểm
P(0;4) đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Bài 10. (2,0 điểm) Anh Vượng dự định trồng điều và cà phê trên một mảnh đất có diện tích 12 ha. Nếu
trồng 1 ha điều thì cần 10 ngày công và thu được 300 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha cà phê thì cần 4 ngày
công và thu được 150 triệu đồng. Anh Vượng cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được
nhiều tiền nhất? Biết rằng anh Vượng chỉ có thể sử dụng không quá 60 ngày công cho việc trồng điều và cà phê.
--------------HẾT-------------
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên: ................................................. Số báo danh: .................................................
PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHẢO SÁT
HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM 2023-2024 Môn Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Ý Nội dung Điể m 2 x − x
2x + x 2(x − ) 1 P = − + x + x +1 x x −1
x ( 3x − )1 x(2 x + )1 2( x − )1( x + )1 0,5 1 P = − + x + x +1 x x −1 0,25 1 = x ( x − )
1 − (2 x + )1 + 2( x + )1 (2,0đ) 0,25 = x − x +1 x + 3 = 2 ⇒ 2
x − 2 = − 3 ⇒ (x − 2) = 3 0,5 2 2
2 ⇒ x − 4x +1 = 0 ⇒ x − 4x = 1 − 0,25
A = .(− )2024 + .(− )2023 7 1 6 1 + 2023 0,25 A = 2024
Ta có f ( x) =1.2 + 2.3+ 3.4 +...+ .x( x + ) 1
⇒ 3. f ( x) =1.2.3+ 2.3.3+ 3.4.3+...+ .x( x + ) 1 .3 0,5 = 1.2.(3− 0) + 2.3.(4 − )
1 + 3.4.(5 − 2) +...+ .x( x + )
1 .( x + 2) −( x − ) 1    = 0
− +1.2.3−1.2.3+ 2.3.4 − 2.3.4 − 3.4.5 −...− (x − ) 1 . .x(x + ) 1 + .x(x + ) 1 .(x + 2) 0,25 = . x (x + ) 1 .(x + 2) ⇒ f (x) 1 = .x(x + ) 1 .(x + 2) 0,25 3 2 1 0,25
(2,0 đ) Để f (x) = 20 ⇔ .x(x + )
1 .(x + 2) = 20 ⇔ .x(x + ) 1 .(x + 2) = 60 3 ⇔ 3 2
x + 3x + 2x − 60 = 0 ⇔ ( 3 2 x − x ) + ( 2 3
6x −18x) + (20x − 60) = 0 0,25 x − 3 = 0 ( )1 ⇔ (x − )( 2
3 x + 6x + 20) = 0 ⇔  0,25 2
x + 6x + 20 = 0 (2) Giải phương trình ( ) 1 ta được x = 3.
Giải phương trình (2) Vô nghiệm.
Vậy với x = 3thì f (x) = 20. 0,25
Thế (2) vào PT (1) ta được 3 2 2 3
x + x y + 2xy + 8y = 0 (3) Nếu y
= 0 thì từ (1) suy ra x = 0 không thỏa mãn PT (2). 0,25 3 2    
Nếu y ≠ 0 thì PT (3) x x ⇔ + + 2. x + 8 =     0 3  y   y  y (2,0 đ)
Đặt x = t ta được 3 2
t + t + 2t + 8 = 0 y 0,25 ⇔ ( t + = t + 2)( 2 0 2
t − t + 4) = 0 ⇔  ⇔ t = 2 − 2 0,5
t − t + 4 = 0  y =1 0,25 Với t = 2 − ⇒ x = 2
− y , thay vào (2) được 2 y =1 ⇔   y = 1 −
Với y =1⇒ x = 2 − 0,25 y = 1 − ⇒ x = 2 0,25
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm ( 2; − ) 1 ; (2;− ) 1 . 0,25 2 Phương trình: x 1 + = 1 2 3+ 9 − x 4( 2 3− 9 − x ) 0,25 2 9  −  x ≥ 0  3 − ≤ x ≤ 3 Điều kiện:  ⇔  2 3
 − 9 − x ≠ 0 x ≠ 0 ( 2 3− 9 − x )( 2 2 3+ 9 1 − x x ) 1 + = 1 ⇔ + =1 0,5 2 3+ 9 − x 4( 2 3− 9 − x ) ( 2 3+ 9 − x ) 4( 2 3− 9 − x ) 4 (2,0 đ) ⇔ ( 2 − − x ) 1 3 9 + = 4( 1 2 3− 9 − x ) 0,25 ⇔ 4(3− 9− x )2 2 − 4( 2 3− 9 − x )+1= 0 ⇔ ( 2 − − x ) 1 2 5 2 11 3 9
= ⇔ 9 − x = ⇔ x = 0,5 2 2 4 11 ⇔ x = ± (tmdk) 0,25 2 Kết luận 11 x = ± 0,25 2 A M Q R 5 B (2,0 đ) N D P C Chứng minh được: . MP NQ ≥ 2S = S 0,5 MNPQ ABCD
Gọi R là trung điểm của AC , ta có : 0,25 1 1 NR 0,25 = A ; B QR = CD 2 2 Suy ra: 1
NQ ≤ NR + QR ≤ (AB + CD) 2 0,5 Tương tự: 1
PM ≤ (AD + BC) 1
⇒ MP.NQ ≤ (AB + CD)(AD + BC) 2 4 0,25 1 ⇒ S ≤ MP NQ ≤
AB + CD AD + BC ABCD . ( )( ) 4 0,25 A Q P M C B 6 E (2,0 đ) K N
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng BN,CK lần lượt tại P và Q. 0,5
Áp dụng hệ quả định lí Talet ta có: // AK AQ AQ BC ⇒ = 0,25 KB BC // AN AP AP BC ⇒ = 0,25 NC BC Suy ra AK AN AQ + AP PQ + = = 0,25 KB NC BC BC
Mặt khác PQ//BC suy ra PQ PE AE = = . 0,5 BC BE ME Từ đó suy ra AE AK AN = + . 0,25 EM KB AC A F G E C B D 7 Xét 0,25 A  BC có     
BAC  90 ,ABC  20  ACB  70 (2,0 đ) A  CF có  CAF  90 , 
ACF  30  FC  2.AF 0,25
Gọi D là trung điểm của BC và G là điểm trên AB sao cho GD  BC . 0,25 Khi đó, A  BC ∽ D  BG BD BA   BG BC   
GCB  GBC  20º GCF  20º . 0,25 Do đó
CG và BE lần lượt là tia phân giác của  BCF và  ABC nên FC BC BA AE  ;  0,25 FG BG BC EC 1 1 FC BC Do đó, AF 2 2 BD BA AE AF AE        0,5 FG FG BG BG BC EC FG EC
Từ đó suy ra CG / /EF (ĐL Talet đảo)  
 CFE  GCF  20 . 0,25
Đặt a = x;b = 2y;c = 3z với x, y, z > 0 , ta có: 1 1 1 + + = 3, khi đó: x y z 0,5 2 2 2 2 2 2 27a b 8c 3 x y z 3 + + ≥ ⇔ + + ≥ c( 2 2
c + 9a ) a( 2 2
4a + b ) b( 2 2 9b + 4c ) 2 z ( 2 2
z + x ) x( 2 2
x + y ) y( 2 2 y + z ) 2 0,25 (1) 2 2 2 Đặt x y z = , ta xét hiệu 1 1 1
A-3 = A-( + + ) . z( + + A 2 2 z +x ) x( 2 2 x +y ) y( 2 2 y +z ) x y z 0,25 8 Ta có: (2,0đ) 2 2 2 x 1 y 1 z 1  z  A − 3 = ( - )+( - )+( − ) x y = − + + 0,25 3 2 3 2 3 2  2 2 2 2 2 2 z +zx z x +xy x y +yz y  z x x y y z  + + +  Ta lại có: 2 2 z z 1
z + x ≥ 2zx > 0 ⇒ ≤ =
; chứng minh tương tự ta có: 0,25 2 2 z + x 2zx 2x x 1 y 1 z x y 1 1 1 3 ≤ ; ≤ ⇒ + + ≤ + + = 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y 2y y + z 2z z +x x +y y +z 2x 2y 2z 2  z x y  3 − 3 3 − + + ≥ ⇒  A ≥ 3- ⇒ A ≥ 
=>BĐT (1) đúng=>(đpcm) 0,25 2 2 2 2 2 2  z + x x + y y + z  2 2 2
Để ý rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định A(1; )
1 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của P lên (d) thì khoảng cách từ P đến (d) là PH . 0,5
Ta có PH ≤ PA. Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi A ≡ H ⇔ PA ⊥ (d ).
Gọi y = ax + b là phương trình đường thẳng đi qua P(0;4), A(1; ) 1 ta có hệ:  .0 a + b = 4 b  = 4 0,25  ⇒ 
suy ra phương trình đường thẳng PA: y = 3 − x + 4 .  .1 a + b =1 a = 3 − 9
Xét đường thẳng (d) : mx + (m −1)y − 2m +1 = 0 . (2,0 đ) 0,5
Nếu m =1 thì (d ) : x −1 = 0 thì khoảng cách từ P đến (d) là 3. (1) Khi −
m ≠ 1 thì (d) trở thành: (d ) m 2m 1 : y = x + . 1− m m −1 0,5
Điều kiện để (d) ⊥ PA là m (− ) 1 3 = 1 − ⇔ m = . 1− m 4
Khi đó khoảng cách từ P đến (d) là PA = 10 (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 m = thỏa mãn. 0,25 4
Gọi x là số hecta đất trồng điều và y là số hecta đất trồng cà phê. ( x, y ≥ 0).
Vì diện tích canh tác không quá 12 ha nên x + y ≤12 (1) 0,25 10
Số ngày công không vượt quá 60 nên 10x + 4y ≤ 60 (2) 0,5
(2,0 đ) Số tiền mà anh Vượng thu được là A = 300x+150y (triệu đồng) 0,25
Ta có A = 300x +150y = 50(x + y) + 25(10x + 4y) ≤ 50.12 + 25.60 0,25 hay A ≤ 2100 . 0,5 x + y = 12 x = 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  ⇔ 10  x 4 y 60  + = y = 10 0,25
Vậy để thu được nhiều tiền nhất, anh Vượng cần trồng 2 ha điều và 10 ha cà phê.
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫncho điểm tối đa.
- Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không cho điểm.