Đề khảo sát HSG Toán 9 lần 4 năm 2023 – 2024 trường Hồng Phương – Vĩnh Phúc
Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm 2023 – 2024 trường Hồng Phương – Vĩnh Phúc giúp bạn ôn tập kiến thức, chuẩn bị tốt kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem.
Preview text:
PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC
ĐỀ THI KS HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2023 – 2024
TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG
LẦN 4 – MÔN TOÁN 9
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức: A = (x + y)( y + z)(z + x) + xyz .
a) Phân tích A thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên và x + y + z chia hết cho 6 thì
A − 2025xyz chia hết cho 6.
Câu 2. (2,0 điểm) Cho a; b; c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a2 b2 c2 2 2 2 2
(a + b + c) = a + b + c . Tính giá trị của biểu thức: P= + + . a2 + bc 2
b2 + 2ac c2 + 2ab
Câu 3. (2,0 điểm) Cho phương trình 1− 21a =1− 3a (ẩn x , a là tham số). Hãy tìm tất x + 7
cả các giá trị của a để phương trình trên có nghiệm âm.
Câu 4. (2 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x + 2 dư 10, f(x) chia
cho x − 2dư 22, f(x) chia cho 2
x − 4 được thương là 5x − và còn dư.
Câu 5. (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để n +18 và n − 41 là hai số chính phương.
Câu 6. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau
tại H. Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt AB,
AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a) HM AH = HD CD b) D
∆ MN là tam giác cân.
Câu 7. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, ba đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng 1 = 1 + 1 CF2 BC2 4AD2
Câu 8. (2,0 điểm) Một cửa hàng ban đầu niêm yết giá cho một chiếc điện thoại là
12 000 000 đồng. Sau đó cửa hàng đã giảm giá chiếc điện thoại này hai đợt, mỗi đợt
đều giảm giá là m% so với giá trước đó. Sau hai đợt giảm giá, cửa hàng đã bán chiếc
điện thoại này với giá 7 680 000 đồng. Hỏi mỗi đợt cửa hàng đã giảm giá bao nhiêu phần trăm?
Câu 9. (1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng 1 + 1 + 1 ≤ 1
a2 + b2 + 1 b2 + c2 + 1 c2 + a2 + 1 ==== HẾT ====
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh.......................................................SBD:.......................Phòng thi.............
PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC
ĐỀ THI KS HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2023 – 2024
TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG
LẦN 4 – MÔN TOÁN 9
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu Hướng dẫn chấm Điểm
a) Ta có: A = (x + y)( y + z)(z + x) + xyz = (x + y + z)(xy + yz + zx) 1,5
b) Vì x, y, z là các số nguyên và x + y + z 6 nên A 6 0.25
1 Mặt khác: x + y + z 6 nên trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số 0.25
chẵn, suy ra: xyz 2, mà 20253 => 2025xyz 6 Suy ra: 0.25
A - 2025xyz chia hết cho 6 0.25 (a+b+c)2= 2 2 2
a + b + c ⇔ ab + ac + bc = 0 0.25 2 2 2 a a a = = 2 a + 2 2
bc a − ab − ac + bc (a − b)(a − c) 0.5 2 2 Tương tự: b b = ; 2
b + 2ac (b − a)(b − c) 0.25 2 2 c c = 2 2
c + 2ac (c − a)c − b) 0.25 2 2 2 a b c P = + + 2 2 2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab 2 2 2 a b c = − + 0.25
(a − b)(a − c) (a − b)(b − c) (a − c)(b − c)
(a − b)(a − c)(b − c) = = 1
(a − b)(a − c)(b − c) 0.5 ĐKXĐ: x ≠ 7 − 0.25
Biến đổi pt về dạng: (1− 3a)x = 6 − (2) 0.25 - Nếu 1
a = thì pt (2) có dạng 0x = 6 − (vô lí) 3
⇒ pt(2) vô nghiệm ⇒ pt đã cho VN 0.25 - Nếu 1 a ≠ thì từ (2) ⇒ 6 x = 3 3a −1 3 0.25
Để x là nghiệm của phương trình đã cho thì 6 1 ≠ 7 − ⇔ a ≠ 3a −1 21 0.25
Để pt có nghiệm âm thì 6 x < 0 ⇒ < 0 3a −1 0.25 mà 1
6 > 0 ⇒ 3a −1 < 0 ⇔ a < 3 0.25 Vậy với 1 1 a < ,a ≠
thì pt đã cho có nghiệm âm 3 21 0.25 Giả sử f(x) chia cho 2
x − 4 được thương là 5x − và còn dư là ax + b . 0.25 2 0.25
4 Khi đó: f (x) = (x − 4).( 5 − x) + ax + b Theo đề bài, ta có: f (2) = 22 2a + b = 22 a = 3 1 ⇔ ⇔ f ( 2 − ) . = 10 2a − + b =10 b = 16 Do đó: ( ) 0.25 = ( 2 f x x − 4).( 5 − x) + 3x +16.
Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng ( ) 3 f x = 5 − x + 23x +16. 0.25
Để n +18 và n − 41 là hai số chính phương 0.25 2
⇔ n +18 = p và 2
n − 41 = q ( p,q ∈) 0.25 2 2
⇒ p − q = (n +18) −(n − )
41 = 59 ⇔ ( p − q)( p + q) = 59 0.5 − = =
5 Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: p q 1 p 30 ⇔ p q 59 + = q = 29 0.25 Từ 2 2
n +18 = p = 30 = 900 suy ra n = 882 0.25
Thay vào n − 41, ta được 2 2
882 − 41 = 841 = 29 = q . 0.25
Vậy với n = 882 thì n +18 và n − 41 là hai số chính phương. 0.25 a) AHM ∆ đồng dạng với C ∆ DH (g-g) vì: 0.5 A = 0 = − HAM DCH ( 90 ABC) = 0 = − 0 = − AMH CHD B' 0.5
( 90 C'HM 90 NHC) N C' 0.5 H => HM AH = (3) HD CD M 0.5
b) Tương tự chứng minh được AHN ∆
6 đồng dạng với BDH ∆ (g-g) B A' D C 0.5 => AH HN = (4) BD HD Mà CD=BD (gt) (5) 0.5
Từ (3), (4), (5) => HM HN = HD HD
=> HM=HN=>H là trung điểm của MN 0.5
Suy ra DH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến của tam giác DMN hay 0.25
tam giác DMN cân tại D. 0.25
Từ C kẻ tia song song với AD cắt AB kéo dài tại G. 0.25
Ta có AD là đường trung bình của BC ∆ G vuông G tại C. 0.5
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong
7 tam giác vuông vào tam giác BCG vuông tại C, A đường cao CF ta có 0.5 F E 1 1 1 1 1 = + = + , từ đó ta 2 2 2 2 CF BC CG BC (2AD)2 B C D có đpcm 0.75
Sau đợt giảm giá thứ nhất:
8 Tiền giảm giá là: 120000m% 0.25
Giá còn lại của món đồ là: 120000 –120000m% =120000.(1– m%) 0.25
Sau đợt giảm giá thứ hai:
Tiền giảm giá là: 120000(1– m%).m% . 0.25
Giá còn lại của món đồ là: 0.25
120000(1– m%) – 120000(1– m%).m% = ( m )2 120000 1– % 0.25 Theo bài ra ta có ( m )2 120000 1– % = 76800 . Suy ra 1 0.25 m = 5
Mỗi đợt giảm giá là 20% . 0.25 0.25 Ta có ( +
a + b + )( + + c ) ≥ (a + b + c) 2 2 2 2 2 1 c 2 1 1 1 ⇒ ≤ 2 2 a + b + 1
(a +b +c)2 0.5 2 2 Tương tự 1 a + 2 1 b + 2 ≤ ; ≤ 0.25 2 2 b + c + 1
(a +b +c)2 2 2 c + a + 1
(a +b +c)2
9 Cộng cùng vế các bất đẳng thức trên tra được 2 1 1 1 a + 2 b + 2 c + + + ≤ 6 0.25 2 a + 2 b + 2 1 b + 2 c + 2 1 c + 2 a + 1
(a +b +c)2 2 a + 2 b + 2
c + 2 (ab + bc + ca) = ( =1 0.25
a + b + c)2 Đẳng thức xảy ra khi 0.25
a = b = c = 1.