Đề khảo sát Toán vào 10 năm 2023 – 2024 trường chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi khảo sát chất lượng môn Toán ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2023 – 2024 trường THPT chuyên Lam Sơn, tỉnh Thanh Hóa; đề thi chung dành cho tất cả các thí sinh; kỳ thi được diễn ra vào Chủ Nhật ngày 16 tháng 04 năm 2023; đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm. Mời bạn đọc đón xem!

SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
K THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LP 10
THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn thi: TOÁN (dành cho tất c thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (không k thời gian giao đề)
Ngày thi: 16/4/2023
Đề thi có: 01 trang gồm 05 câu
Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức
1 1 1
:
1 2
x
A
x x x x x x x
, với
0 1
x
.
1. Rút gn biu thc
A
.
2. Tính giá tr ca biu thc
2023 2
B A
khi
2024 2 2023
x .
Câu II. (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, đường thẳng ( ):
d y ax b
đi qua điểm
1;2
M song song với
đường thẳng
( '): 2 3
d y x
. Tìm các hệ số
a
b
.
2. Giải hệ phương trình
6 5
3
9 10
1
x y
x y
.
Câu III. (2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai
2 2
3 0
x x m
, với
m
là tham số.
1. Giải phương trình khi
2
m
.
2. Tìm
m
để phương trình trên có hai nghiệm
1 2
,
x x
thoả mãn điều kiện
2 2 2
1 1 2 2
3 2 1 6
x x x x m m m
.
Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác
ABC
ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác đó
,
AD
BE
cắt nhau tại
H
với ,
D BC E AC
.
1. Chng minh
CDHE
là t giác ni tiếp một đường tròn, tìm v trí tâm
I
ca đường tròn đó.
2. Chng minh
. .
HA HD HB HE
.
3. Chng minh
IE
tiếp tuyến của đường tròn ngoi tiếp tam giác
BDE
(vi
I
tâm đường tròn
ngoi tiếp t giác
CDHE
).
Câu V. (1,0 điểm) Cho ba s dương
, ,
a b c
thỏa mãn
2 2 2
9
a b c
. Tìm giá trnhỏ nhất của biu
thức
2 5
a b c
P
bc ca ab
.
……………… Hết ………………
Họ và tên thí sinh:………………………………… Số báo danh:………………………
Chữ ký giám thị 1:…………………………………Chữ ký giám th 2:………………………
1
SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC
K THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LP 10
THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn thi: TOÁN (dành cho tất c thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (không k thời gian giao đề)
Ngày thi: 16/4/2023
Đáp án đề thi có: 03 trang
Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức
1 1 1
:
1 2
x
A
x x x x x x x
, với
0 1
x
.
1. Rút gn biu thc
A
.
2. Tính giá tr ca biu thc
2023 2
B A
khi
2024 2 2023
x .
Giải.
1. (1,0 điểm) Khi
0 1
x
ta có
1 1 1
:
1
1 2 1
x
A
x
x x x x x
(0,5 điểm)
2 1
1
.
1
1
x x x
x
x
x x
1
x
. Vậy
1
A x
(0,5 điểm)
2. (1,0 điểm) Theo ý 1 thì
1
A x
. Khi
2024 2 2023
x ta có
2
2024 2 2023 1 2023 1 1 2023 2
A
(0,5 điểm)
t đó suy ra
2023 2 2023 2 2019
B
(0,5 điểm)
Câu II. (2,0 điểm)
1. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, đường thẳng ( ):
d y ax b
đi qua điểm
1;2
M và song
song với đường thẳng
( '): 2 3
d y x
. Tìm các hệ số
a
b
.
Giải.
Đường thẳng ( ):
d y ax b
song song với đường thẳng
( '): 2 3
d y x
nên
2
a
3
b
.
(0,5 điểm)
đường thẳng ( ):
d y ax b
đi qua điểm
1;2
M nên ta có
2 2.1 0
b b
(thỏa mãn
3
b
). Vậy
2, 0
a b
là các giá trị cần tìm. (0,5 điểm)
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
6 5
3
9 10
1
x y
x y
.
Giải. Đặt ẩn phụ
1 1
,u v
x y
.
H phương trình trở thành
1
6 5 3 12 10 6
3
9 10 1 9 10 1 1
5
u
u v u v
u v u v
v
. (0,5 điểm)
Thay ngược tr lại ta được
3
5
x
y
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
; 3;5
x y . (0,5 điểm)
2
Câu III. (2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai
2 2
3 0
x x m
, với
m
là tham số.
1. Giải phương trình khi
2
m
.
2. Tìm
m
để phương trình trên có hai nghiệm
1 2
,
x x
thoả mãn điều kiện
2 2 2
1 1 2 2
3 2 1 6
x x x x m m m
.
Giải.
1. (1,0 điểm) Khi
2
m
ta có phương trình
2
3 2 0
x x
. (0,5 điểm)
Do
0
a b c
nên phương trình có hai nghiệm
1 2
1, 2
x x
. (0,5 điểm)
2. (1,0 điểm) Phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
2
0 9 4 0
m
2
9 3 3
4 2 2
m m
(*) (0,25 điểm)
Khi đó theo định Vi-et, ta
1 2
2
1 2
3
x x
x x m
.
1
x
là nghiệm của phương trình
2 2
3 0
x x m
nên ta
2 2 2 2
1 1 1 1
3 0 3
x x m x x m
Khi đó với
3 3
2 2
m
thì
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
3 2 1 6 3 3 2 1 6
x x x x m m m x m x x x m m m
2 2 2 2 2
1 2 1 2
3 2 2 1 6 9 2 2 1 6
x x x x m m m m m m m
2 2 2
2 8 6 4 2 6
m m m m m m
(0,25 điểm)
2 2
4 2 6 4 2 6
m m m m m m
2 2
2 8 6 1
m m m m
(0,25 điểm)
Kết hợp với điều kiện (*) ta có
3
1
2
m
. (0,25 điểm)
Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác
ABC
ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác đó
,
AD
BE
cắt
nhau tại
H
với ,
D BC E AC
.
1. Chng minh
CDHE
là t giác ni tiếp một đường tròn, tìm v trí tâm
I
ca đường tròn đó.
2. Chng minh
. .
HA HD HB HE
;
3. Chng minh
IE
tiếp tuyến của đường tròn ngoi tiếp tam giác
BDE
(vi
I
tâm đường tròn
ngoi tiếp t giác
CDHE
).
Giải.
I
H
O
D
E
A
B
C
1. (1,0 điểm) Chng minh t giác
CDHE
ni tiếp
Ta có:
,
AD BE
là hai đường cao của
AD BC
ABC
BE AC
0
90
ADC BEC
(0,5 điểm)
Xét tứ giác
CDHE
ta có
0 0 0
90 90 180
HDC HEC CDHE
là tứ giác nội tiếp đường tròn đường
kính
HC
. (0,25 điểm)
Như vậy tâm
I
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
CDHE
là trung đim của
HC
. (0,25 điểm)
3
2. (1,0 điểm) Chng minh
. .
HA HD HB HE
Xét
AHE
BHD
ta có:
AHE BHD
(đối đỉnh);
0
90
AEH BDH
nên
AHE
đồng dng vi
BHD
(0,5 điểm)
. .
HA HE
HA HD HB HE
HB HD
(ĐPCM) (0,5 điểm)
3. (1,0 điểm) Xét t giác
ABDE
ta
0
90
ADB AEB
, hai đỉnh
,
D E
hai đỉnh liên tiếp ca t
giác nên
ABDE
t giác ni tiếp. Li có
AEB
vuông ti
E
nên
, , ,
A B D E
cùng thuộc đường tròn tâm
O
đường kính
AB
và cũng đường tròn ngoi tiếp tam giác
BDE
. (0,25 điểm)
Ta có
ABDE
là t giác ni tiếp suy ra
EDC BAE
(1)
ECH
vuông ti
E
có đường trung tuyến
1
2
EI EI HI HC
HEI
cân ti
hay
IEH EHC
(2)
(0,25 điểm)
T giác
CDHE
là t giác ni tiếp
CDE CHE
(3)
T (1), (2), (3) suy ra
EDC BAE HEI
;
BOE
cân ti
O
OB OE OEB OBE
(0,25 điểm)
Hay
BAE OEA
0 0
90 90
OBE BAE OEB HEI OE EI
EI
là tiếp tuyến của đường tròn ngoi tiếp tam giác
BDE
(ĐPCM). (0,25 điểm)
Câu V. (1,0 điểm) Cho ba s dương
, ,
a b c
thỏa mãn
2 2 2
9
a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 5
a b c
P
bc ca ab
.
Giải. Đặt
3 3 3
, ,
bc ca ab
a x b y c z
khi đó
2 2 2
1 1 1
, , 0; 9 9
x y z a b c
xy yz zx
x y z xyz
1
x y
z
xy
(0,25 điểm)
5
1
2 5 3 2 5 2
3 1
x y
P x y z P x y z x y
xy
2
5 1
5 2 1
2 5 2 5 7
2
1 1
x
x y xy
x y x
x x x xy x x x x xy
(0,25 điểm)
Theo bất đẳng thức Cô-si cho hai s ta có:
2
5 1
2 1
7
3 2
1
x
xy
P x
x x x xy
2
2 2 2
2
7 1 7 1
2 10 1 2 3 1 1x x
x x x x
Áp dụng bất đẳng thức
2
2 2 2 2
a b c d ac bd
và bất đẳng thức Cô-si cho hai s ta có:
7 1 9
3 2 3 6
P x x
x x x
9
2 6 12 4
x P
x
. (0,25 điểm)
Khi
3, 2, 1
x y z
tức
3 2 6
, 3,
2 2
a b c thì
4
P
.
Vậy giá tr nhỏ nhất của
P
4. (0,25 điểm)
……………… Hết ………………
| 1/4

Preview text:

SỞ GD & ĐT THANH HÓA
KỲ THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN (dành cho tất cả thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16/4/2023
Đề thi có: 01 trang gồm 05 câu  1 1  x  1
Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức A   :   , với 0  x  1.  x x
x 1  x x  2x x
1. Rút gọn biểu thức A .
2. Tính giá trị của biểu thức B A 2023  2 khi x  2024  2 2023 .
Câu II. (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng (d ) : y ax b đi qua điểm M 1;2 và song song với
đường thẳng (d ') : y  2x  3. Tìm các hệ số a b .  6 5   3   x y
2. Giải hệ phương trình  . 9 10    1  x y
Câu III. (2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai 2 2
x  3x m  0 , với m là tham số.
1. Giải phương trình khi m  2 .
2. Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x , x thoả mãn điều kiện 1 2 2 2 2
x x x  3x m  2m 1  6  m . 1 1 2 2
Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác đó là AD, BE
cắt nhau tại H với D BC, E AC .
1. Chứng minh CDHE là tứ giác nội tiếp một đường tròn, tìm vị trí tâm I của đường tròn đó. 2. Chứng minh H . A HD H . B HE .
3. Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE (với I là tâm đường tròn
ngoại tiếp tứ giác CDHE ).
Câu V. (1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2
a b c  9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a 2b 5c thức P    . bc ca ab
……………… Hết ………………
Họ và tên thí sinh:………………………………… Số báo danh:………………………
Chữ ký giám thị 1:…………………………………Chữ ký giám thị 2:………………………
SỞ GD & ĐT THANH HÓA
KỲ THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2023 - 2024
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN (dành cho tất cả thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16/4/2023
Đáp án đề thi có: 03 trang  1 1  x  1
Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức A   :   , với 0  x  1.  x x
x 1  x x  2x x
1. Rút gọn biểu thức A .
2. Tính giá trị của biểu thức B A 2023  2 khi x  2024  2 2023 . Giải.   1 1 x 1
1. (1,0 điểm) Khi 0  x  1 ta có   A   : (0,5 điểm)x x   1 x 1 
x x  2 x   1   x xx  2 x   1 1  . 
x 1 . Vậy A x 1 (0,5 điểm) x x   1 x 1
2. (1,0 điểm) Theo ý 1 thì A
x 1 . Khi x  2024  2 2023 ta có A       2 2024 2 2023 1 2023 1 1  2023  2 (0,5 điểm)
từ đó suy ra B   2023  2 2023  2  2019 (0,5 điểm)
Câu II. (2,0 điểm)
1. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng (d ) : y ax b đi qua điểm M 1;2 và song
song với đường thẳng (d ') : y  2x  3. Tìm các hệ số a b . Giải.
Đường thẳng (d ) : y ax b song song với đường thẳng (d ') : y  2x  3 nên a  2 và b  3 . (0,5 điểm)
Vì đường thẳng (d ) : y ax b đi qua điểm M 1;2 nên ta có 2  2.1 b b  0
(thỏa mãn vì b  3 ). Vậy a  2,b  0 là các giá trị cần tìm. (0,5 điểm)  6 5   3   x y
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  . 9 10    1  x y  1 1
Giải. Đặt ẩn phụ u  , v  . x y  1 u
6u  5v  3 12
u 10v  6   3
Hệ phương trình trở thành      . (0,5 điểm) 9u 10v  1 9u 10v  1 1   v    5 x  3
Thay ngược trở lại ta được  . y  5 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là  ;
x y   3;5 . (0,5 điểm) 1
Câu III. (2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai 2 2
x  3x m  0 , với m là tham số.
1. Giải phương trình khi m  2 .
2. Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x , x thoả mãn điều kiện 1 2 2 2 2
x x x  3x m  2m 1  6  m . 1 1 2 2 Giải.
1. (1,0 điểm) Khi m  2 ta có phương trình 2
x  3x  2  0 . (0,5 điểm)
Do a b c  0 nên phương trình có hai nghiệm x  1, x  2 . (0,5 điểm) 1 2
2. (1,0 điểm) Phương trình có hai nghiệm x , x  2
  0  9  4m  0 1 2 9 3 3 2  m     m  (*) (0,25 điểm) 4 2 2 x x  3
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có 1 2  . 2 x x m  1 2
x là nghiệm của phương trình 2 2
x  3x m  0 nên ta có 2 2 2 2
x  3x m  0  x  3x m 1 1 1 1 1 3 3 Khi đó với   m  thì 2 2 2 2 2 2 2 2
x x x  3x m  2m 1  6  m  3x m x x  3x m  2m 1  6  m 1 1 2 2 1 1 2 2 3 x x  2 2 2 2 2
x x  2m  2m 1  6  m  9  m  2m  2m 1  6  m 1 2 1 2 2 2 m m
  m  m    m 2 2 8 6 4 2  6  m (0,25 điểm)
 m     m 2
  m  m    m 2 4 2 6 4 2  6  m 2 2
 m  2m  8  6  m m  1 (0,25 điểm) 3
Kết hợp với điều kiện (*) ta có   m  1. (0,25 điểm) 2
Câu IV.
(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác đó là AD, BE cắt
nhau tại H với D BC, E AC .
1. Chứng minh CDHE là tứ giác nội tiếp một đường tròn, tìm vị trí tâm I của đường tròn đó. 2. Chứng minh H . A HD H . B HE ;
3. Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE (với I là tâm đường tròn
ngoại tiếp tứ giác CDHE ). Giải. A E O H I B C D
1. (1,0 điểm) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp  AD BC  
Ta có: AD, BE là hai đường cao của ABC  0 
ADC BEC  90 (0,5 điểm) BE AC   
Xét tứ giác CDHE ta có 0 0 0
HDC HEC  90  90  180  CDHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính HC . (0,25 điểm)
Như vậy tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE là trung điểm của HC . (0,25 điểm) 2
2. (1,0 điểm) Chứng minh H . A HD H . B HE Xét AHE BHD ta có:    
AHE BHD (đối đỉnh); 0
AEH BDH  90 nên A
HE đồng dạng với BHD (0,5 điểm) HA HE    . HA HD  . HB HE (ĐPCM) (0,5 điểm) HB HD  
3. (1,0 điểm) Xét tứ giác ABDE ta có 0
ADB AEB  90 , mà hai đỉnh D, E là hai đỉnh liên tiếp của tứ
giác nên ABDE là tứ giác nội tiếp. Lại có A
EB vuông tại E nên , A B, ,
D E cùng thuộc đường tròn tâm
O đường kính AB và cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE . (0,25 điểm)  
Ta có ABDE là tứ giác nội tiếp suy ra EDC BAE (1) 1 E
CH vuông tại E có đường trung tuyến EI EI HI HC 2    
 HEI cân tại I IEH IHE hay IEH EHC (2) (0,25 điểm)  
Tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp  CDE CHE (3)   
Từ (1), (2), (3) suy ra EDC BAE HEI ; B
OE cân tại O      OB
OE OEB OBE (0,25 điểm)     0  
Hay BAE OEA mà 0
OBE BAE  90  OEB HEI  90  OE EI
EI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE (ĐPCM). (0,25 điểm)
Câu V.
(1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2
a b c  9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a 2b 5c P    . bc ca ab bc 3 ca 3 ab 3  1 1 1  Giải. Đặt  ,  ,  khi đó 2 2 2
x, y, z  0; 9  
a b c  9   a x b y c z xy yz zx   x y
x y z xyz z (0,25 điểm) xy 1 1 5 x yP
x  2y  5z  3P x  2y  5z x  2y  3 xy 1 2 5 
2   5 x y  5  7 2 xy   1  2 5 x   1  x    2 y     x        (0,25 điểm) x xx xy 1 x x x x    xy   1
Theo bất đẳng thức Cô-si cho hai số ta có: 2 7 2  xy   1  2 5 x   1 7 1 7  1      3P x   2   x   2 10 1  x   2 3 1    1     2  2 2  2 x x x xy   1 x x xx       
Áp dụng bất đẳng thức  
      2 2 2 2 2 a b c d ac bd
và bất đẳng thức Cô-si cho hai số ta có: 7  1  9 9 3P x   2 3   x   6    2 x
 6  12  P  4 . (0,25 điểm) xx x x 3 2 6
Khi x  3, y  2, z  1 tức là a  ,b  3, c  thì P  4 . 2 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4. (0,25 điểm)
……………… Hết ……………… 3