Đề kiểm tra đại số tuyến tính | Đại học Bách khoa Hà Nội

ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (CÁ NHÂN HÓA) Quy ước cá nhân hóa
• Ngày sinh của sinh viên: mn với m, n ∈ {0, 1, . . . , 9}.
• Tháng sinh của sinh viên: ab với a ∈ {0, 1}, b ∈ {0, 1, . . . , 9}.
Sinh viên thay đúng các giá trị m, n, a, b theo ngày–tháng sinh của mình trước khi làm bài.
Câu 1. (Số phức – số mũ lớn) Cho số phức √ √
z = (1 + i)10+m(1 − i)10+n( 3 − i)10+a( 3 + i)10+b. 1. Tính môđun |z|;
2. Tìm một argument của z.
Câu 2. (Phương trình ma trận)
Tìm ma trận X ∈ M3(R) thỏa mãn AX + XB = C, trong đó  1 a 0  2 0 1 1 0 0 A = 0 1 −1 1 1 0 0 n 1   , B =   , C =   . m 0 2 0 2 1 b 1 0
Câu 3. (Định thức – ma trận nghịch đảo) Cho ma trận 2 1 −1 M = 0 3 a   . 1 0 m 1. Tính det(M );
2. Tìm điều kiện của m, a để M khả nghịch;
3. Khi đó, hãy tính M −1.
Câu 4. (Hệ phương trình tuyến tính – biện luận)
Giải và biện luận theo tham số k hệ phương trình x + y − z = 1,   2x − y + 3z = a,  3x + y + 2z = k.
Câu 5. (Cơ sở và tọa độ) Trong không gian 3 R , cho các vectơ u = (1, a, 1), v = (2, −1, m), w = (1, 1, 0). 1
1. Kiểm tra xem {u, v, w} có là một cơ sở của 3 R hay không;
2. Nếu có, hãy tìm tọa độ của vectơ x = (1, 4, 6) theo cơ sở đó.
Câu 6. (Chứng minh là cơ sở – tọa độ vectơ) Cho tập vectơ
B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} ⊂ 3 R .
1. Chứng minh rằng B là một cơ sở của 3 R ;
2. Tìm tọa độ của vectơ x = (a, n, 1) theo cơ sở B.
Câu 7. (Ma trận chuyển cơ sở) Cho hai cơ sở của 3 R :
B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)},
C = {(2, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}.
1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang C;
2. Biết [v]C = (1, 2, −1)T , hãy tính [v]B.
Câu 8. (Ánh xạ tuyến tính)
Cho ánh xạ tuyến tính T : 3 3 R → R ,
T (x, y, z) = (x + y, 2y − z, x + z).
1. Tìm ma trận của T theo cơ sở
B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)};
2. Tìm nhân ker(T ) của ánh xạ tuyến tính T ;
3. Tìm ảnh Im(T ) của ánh xạ tuyến tính T .
Câu 9. (Trị riêng – vectơ riêng) Cho ma trận m 1 0 A = 0 n 1 .   0 0 b
1. Tìm các trị riêng của A;
2. Với mỗi trị riêng, hãy tìm một vectơ riêng tương ứng.
Câu 10. (Dạng toàn phương – dạng chuẩn tắc)
Cho dạng toàn phương ba biến
Q(x, y, z) = ax2 + ny2 + bz2 + 2xy + 2yz.
1. Viết ma trận đối xứng tương ứng với Q;
2. Dùng phép biến đổi tuyến tính thích hợp để đưa Q về dạng chuẩn tắc;
3. Xác định hạng và chỉ số quán tính của dạng toàn phương Q. 2