Đề kiểm tra giữa học kỳ 1 năm 2020 Xác suất thống kê | Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Kiểm tra Giữa kỳ - Học kỳ I -
Năm học 2020 - 2021
Môn: Xác suất thống kê Ứng dụng - Thời gian: 90 phút
--------------------------------------------------
Câu 1. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ một túi có 4 bi trắng và 6 bi xanh. Gọi X là số bi trắng
được chọn. Gọi Y là số điểm nhận được, biết rằng nếu được mỗi bi trắng sẽ được 2 điểm,
mỗi bi xanh được 3 điểm. Tính EY , DY . Câu 2. Số l ợ
ư ng lỗ hổng trên tấm nhựa được lắp đặt trong ô tô có phân bố Poisson với mức
trung bình 0.05 lỗ hổng trên 1000 cm2 diện tích. Giả sử bên trong ô tô chứa 1 tấm nhựa như
vậy với diện tích là 1 m2.
a. Tính xác suất không có lỗ hổng nào ở trong xe ô tô.
b. Nếu 10 chiếc xe được bán cho 1 công ty, tính xác suất ít nhất 8 chiếc xe không có lỗ hổng nào.
Câu 3. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất :    f  x kx, 0 x 4   . 0, trai lai 
a. Tính P 1 X  2.
b. Quan sát 3 lần biến ngẫu nhiên X , gọi Y là số lần biến ngẫu nhiên X rơi vào khoảng
1,2. Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên Y . Tính ModY .
Câu 4. Cho X (%) và Y (g/mm) là hai chỉ tiêu của một sản phẩm. Kiểm tra một số sản phẩm ta có: X 2.5 7.5 12.5 17.5 22.5 Y 120 7 130 12 8 10 140 20 15 2 150 19 16 9 5 160 8 3
a. Giả sử trung bình tiêu chuẩn của Y là 120 g/mm. Với độ tin cậy 99% hỏi tình hình sản
xuất có cao hơn tiêu chuẩn đề ra không?
b. Để ước lượng trung bình chỉ tiêu Y với độ chính xác 0.6 g/mm thì đảm bảo độ tin cậy là bao nhiêu?
c. Sản phẩm có chỉ tiêu X  15% là sản phẩm loại A. Tìm ước lượng khoảng đối xứng cho
tỷ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy 99%.
d. Lập phương trình hồi quy tuyến tính của X theo Y . Dự đoán X biết Y  145g/mm. Cho biết: 
2.33  0.49,  0.66  0.245,  2.57  0.495. 0   0   0   x 1 
Trong đó:   x  2 t /2  e dt  . 0 2 0 ---------------------- Hết - ---------------------
Chú ý: Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Đáp án - Đề số 1 - Xác suất thống kê ứng dụng
Câu 1. X 0,1,2, 
3 ,Y  2X  
3 3  X   9  X . P X   1  P X   1  P X   3  P X   1 0 , 1 , 2 , 3  . 6 2 10 30
Bảng phân bố xác suất của Y : Y 6 7 8 9 P(Y=yi) 1/30 3/10 1/2 1/6
EY  y p  7.8 ; 2 2
EY   y p  61.4 ; 2
DY  EY  EY 2  0.56 . i i i i Câu 2.
a. Gọi X là số lỗ hổng trên tấm nhựa được lắp trong ô tô. Trung bình trên 1m2 có 0.5 lỗ hổng.
Khi đó, X có phân bố 𝑃(𝜆), 𝜆 = 0.5. Vậy xác suất không có lỗ hổng nào ở trong xe ô tô là: P  X 0 0.50 0.5 e     0.61 0!
b. Gọi Y là số xe không có lỗ hổng ở bên trong. Y là ĐLNN có phân bố nhị t ứ h c B(n,p) với n=10, p=0.61. Do đó:
P Y  8  P Y  8   P Y  9   P Y 10  8 8 2 9 9 1 10 10 0
 C  0.61  0.39  C  0.61 0.39  C  0.61  0.39  0.184 10 10 10  1
Câu 3. a. Vì f  
x là hàm mật độ nên
f (x)dx 1  k   . 8  2
Do đó: P   X   3 1 2 
f (x )dx   0.1875  . 16 1 b. 87  5   k k 3 0.1875 0.8125 k Y P Y k C       . 3
Do đó ta có bảng phân bố xác suất của Y : Y 0 1 2 3
pi=P(Y=yi) 0.5364 0.3713 0.0857 0.0066  ModY  0 .
Câu 4. Từ bảng phân bố tần số đồng thời, ta có bảng phân bố tần số thành phần: X 2.5 7.5 12.5 17.5 22.5 ni 19 47 41 19 8 Y 120 130 140 150 160 ni 7 30 37 49 11
n  n  134 . i
a. Giả thiết H: EY   120. Đối thiết K: EY  120 . Bài toán kiểm định một phía. 0 n n 2 2 2
y 142.01, y  20276.87, s  s   2 2 ˆ
y  y  110.853,s 10.53. n 1 n 1
Mức ý nghĩa   0.01:  t
 0.5    0.49 t  2.33 . 0      y   n 142.01 120 134 0   
Giá trị quan sát: t    24.2  t . s 10.53
Giá trị quan sát rơi vào miền bác bỏ. Nên bác bỏ giả thiết H, chấp nhận đối thiết K. s  n 0.6 134 b. Sai số của ước l ợ ư ng:   t  t    0.66 /  2 /  2 n s 10.53 1  Ta có:  t               1 2 t 2 0.66 2 0.245 0.49 . 0  /2  0  /2  0   2
Độ tin cậy của ước lượng là 49%. 19  8
c. Tỷ lệ sản phẩm loại A trên mẫu: f   0.2015 . 134 1  
Độ tin cậy 1   0.99    t   t
 0.495  t  2.57. 0  /2  0  /2  /2 2
Khoảng ước lượng cho tỷ lệ sản phẩm loại A:  f 1 f 
f 1 f    f  t  ,      f t 0.112,0.291 . /2 /  2    n n    d. 2 2
x 10.634, y  142.01, xy 1546.83, x 142.071, y  20276.87.   ˆ xy x y s  5.384, ˆ
s  10.49  r   0.65 . X Y ˆs  ˆs X Y
Phương trình hồi quy tuyến tính của X theo Y: x  x y  y  r
 x  0.333 y  36.742 . ˆs ˆs X Y
Dự đoán khi Y  145 thì X là: x  0.333145  36.742  11.54 .
---------------------- Hết ----------------------