Đề luyện thi TN THPT môn Toán 2021 chuẩn cấu trúc đề minh họa -Đề 14 (có lời giải chi tiết và đáp án)
Đề luyện thi TN THPT môn Toán 2021 chuẩn cấu trúc đề minh họa -Đề 14 có lời giải chi tiết và đáp án. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 26 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Tài liệu liên quan:
Preview text:
ĐỀ THI THỬ CHUẨN CẤU
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2021
TRÚC ĐỀ THAM KHẢO Bài thi: TOÁN ĐỀ 14
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh: …………………………………………………
Số báo danh: …………………………………………………….
Câu 1: Cần chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là: A. 3 A . B. 30 3 . C. 10 . D. 3 C . 30 30
Câu 2: Cho cấp số cộng (u , biết u = 3 và u = 7 . Giá trị của u bằng n ) 2 4 15 A. 27 . B. 31. C. 35 . D. 29 .
Câu 3: Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (− ;
+), có bảng biến thiên như hình sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (− ; 2 − ).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ;1 − .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1 − ;+).
Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên 2 − ;
2 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. y 4 2 x -2 -1 1 O 2
Hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại điểm A. x = 1 . B. x = 2 − . C. x = 2 . D. x = 1 − .
Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây . Trang 1
Số điểm cực trị của hàm số là A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . 2x −1
Câu 6: Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . x +1 1 A. x = , y = 1 − .
B. x =1, y = 2 − . C. x = 1 − , y = 2 . D. x = 1 − 1 , y = . 2 2
Câu 7: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 4 2
y = −x + 4x . B. 4 2
y = x − 4x − 3 . C. 3 2
y = x − 3x + 3 . D. 3 2
y = −x + 3x − 3 . Câu 8:
Đồ thị của hàm số 4 2
y = −x + 2x cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . 25
Câu 9: Với a là số thực dương tùy ý, log bằng 5 a 2
A. 2 − log a . B. 2 log a . C. . D. 2 + log a . 5 5 log a 5 5
Câu 10: Đạo hàm của hàm số 2021x y = là: 2021x A. 2021x y = ln 2021. B. 2021x y = . C. y = . D. 1 .2021x y x − = . ln 2021
Câu 11: Với a là số thực dương tùy ý, 3 2 . a a bằng 5 3 1 A. 7 a . B. 3 a . C. 5 a . D. 7 a . 3x−4 1 1
Câu 12: Nghiệm của phương trình = là: 4 16 A. x = 3. B. x = 2 . C. x = 1 . D. x = 1 − . −
Câu 13: Tích các nghiệm của phương trình 2 x 2 2 x = 8 là A. 2 . B. 0 . C. −3 . D. 3 .
Câu 14: Hàm số F ( x) 3 2
= x − 2x +3 là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau? 4 x 2 A. f ( x) 3 =
− x + 3x +1. B. f ( x) 2
= 3x − 4x . 4 3 4 x 2 C. f ( x) 3 =
− x + 3x . D. f ( x) 2
= 3x − 4x + 3. 4 3 Trang 2
Câu 15: Biết F ( x) là một nguyên hàm của của hàm số f ( x) = cos2x thỏa mãn F = 1. Tính 2 F . 4 3 3 1 1 A. B. − C. D. − 2 2 2 2 3 1 − Câu 16: Cho
f (x)dx = 2 − . Tính I = f ( 2 − x)dx ? 2 3 − 2 A. 1 − B. 1 C. 4 D. 4 −
Câu 17: Cho đồ thị hàm số y = f ( x) như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng ( tô đậm) trong hình là 0 b 0 0 A. S =
f ( x)dx +
f (x)dx . B. S =
f ( x)dx −
f (x)dx . a 0 a b a b 0 0 C. S =
f ( x)dx +
f (x)dx . D. S =
f ( x)dx +
f (x)dx . 0 0 a b
Câu 18: Cho hai số phức z = 3 + 2i và z = 4i . Phần thực của số phức z .z là 1 2 1 2 A. −8 . B. 8 . C. 0 . D. 3 .
Câu 19: Cho hai số phức z và w thỏa mãn z = i − + 2 và w = 3
− − 2i . Số phức .w z bằng: A. 8 − − .i B. 4 − − 7 .i C. 4 − + 7 .i D. 8 − + .i
Câu 20: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm đối xứng với điểm biểu diễn số phức z = 2
− i + 4 qua trục Oy có tọa độ là A. (4;2). B. ( 4 − ;2). C. (4; 2 − ). D. ( 4 − ; 2 − ).
Câu 21: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 8 và
chiều cao khối chóp bằng 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC . A. 8 . B. 4. C. 24. D. 6.
Câu 22: Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3, 4,12 có độ dài là A. 13. B. 30. C. 15. D. 6. r
Câu 23: Công thức thể tích của khối nón có bán kính đáy là
và chiều cao h là 2 2 r h 2 r h 2 r h 2 r h A. V = B. V = . C. V = . D. V = . 4 12 24 6
Câu 24: Hình trụ có đường cao h = 2cm và đường kính đáy là 10cm . Diện tích toàn phần của hình trụ đó bằng A. 2 240cm . B. 2 120cm . C. 2 70 cm . D. 2 140cm .
Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1;3) và B(4;2; )
1 . Độ dài đoạn thẳng AB bằng Trang 3 A. 2 . B. 2 3 . C. 5 2 . D. 14 . 2 2
Câu 26: Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S ) 2 : x + ( y − )
1 + ( z + 3) = 25 có tâm là A. I 0; 1 − ;3 . B. I 0;1; 3 − . C. I 0; 1 − ; 3 − . D. I 0;1;3 . 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( )
Câu 27: Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục Oy ? A. i (1;0;0) . B. j (0;1;0) . C. k (0;0 ) ;1 . D. h (1;1 ) ;1 .
Câu 28: Trong không gian Oxyz , đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm I (2;1; ) 1 ? x =1+ t x =1+ t x =1+ t x = t
A. y = t .
B. y = 1− t .
C. y = t .
D. y = 1+ t . z = 1− t z = t z = t z = 1− t
Câu 29: Chọn ngẫu nhiên một số trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số nguyên tố bằng 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 10 5 2 5
Câu 30: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng (1;5) ? 2x +1 x − 3 3x −1 x +1 A. . B. . C. y = . D. y = . x − 2 x − 4 x +1 3x + 2 3
Câu 31: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 3 2
= x − x − 6x +1 trên 2 đoạn 0;
3 . Khi đó 2M − m có giá trị bằng A. 0 . B. 18 . C. 10 . D. 11.
Câu 32: Tập nghiệm của bất phương trình log ( 2 25 − x 2 là 3 ) A. ( 5 − ;− 4 4;5) . B. (− ; −
4 4;+) . C. (4;5) . D. 4;+) . 2 2
Câu 33: Nếu 2020 f (x)+sin2x d x = 2021 thì f
(x)dx bằng 0 0 1011 2021 A. . B. 1. C. . D. 1 − . 1010 2020
Câu 34: Cho số phức z = 2 − 3i . Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức w = (1− 2i) z .
Khi đó giá trị của biểu thức P = a + b + 2021 bằng A. 2010 . B. 2014 . C. 2028 . D. 2032 .
Câu 35: Cho hình lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có
AB = a, AA = a 2 . Góc giữa đường thẳng AC với mặt phẳng ( AA B B ) bằng: A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .
Câu 36: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3 ,
SA ⊥ ( ABCD) và SA = 2a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) bằng: Trang 4 2 57a 57a 2 5a 5a A. . B. . C. . D. . 19 19 5 5
Câu 37: Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm I (3; 1
− ;2) và tiếp xúc với trục Ox có phương trình là: 2 2 2 2 2 2
A. ( x − 3) + ( y + )
1 + ( z − 2) = 9
B. ( x − 3) + ( y + )
1 + ( z − 2) = 5 2 2 2 2 2 2
C. ( x + 3) + ( y − ) 1 + ( z + 2) = 1
D. ( x + 3) + ( y − ) 1 + ( z + 2) = 4
Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD có A(0;1; 2 − ),B(3; 2 − ; ) 1 và C (1;5;− ) 1 .
Phương trình tham số của đường thẳng CD là: x =1+ t x =1− t x = 1+ 3t x = 1 − + t
A. y = 5 − t
B. y = 5 − t
C. y = 5 + 3t D. y = 5 − − t z = 1 − + t z = 1 − + t z = −1+ 3t z = 1+ t
Câu 39: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên . Bảng biến thiên của hàm số y = f '( ) x được cho như hình vẽ x . Trên 4
− ;2 hàm số y = f 1− + x
đạt giá trị lớn nhất bằng? 2 1 3
A. f (2) − 2. B. f + 2.
C. f (2) + 2 . D. f −1 . 2 2
Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa + mãn ( x 1 3
− 3)(3x − y) 0? A. 59149 . B. 59050 . C. 59049 . D. 59048 . 2x − 4 khi x 4 2
Câu 41: Cho hàm số f ( x) = 2 1 . Tích phân f (2sin x+3)sin2 d x x bằng 3 2
x − x + x khi x 4 4 0 28 341 341 A. . B. 8 . C. . D. . 3 48 96
Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 5 và ( z − 3i)( z + 2) là số thực? A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA ⊥ ( ABC) , AB = a . Biết
góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) bằng 30 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 3 a a 3 a 3 A. . B. . C. 3 a . D. . 6 3 6
Câu 44: Cổ động viên bóng đá của đội tuyển Indonesia muốn làm một chiếc mũ có dạng hình nón sơn
hai màu Trắng và Đỏ như trên quốc kỳ. Biết thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông Trang 5
cân. Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ ở bề mặt phần hình nón có đáy là cung nhỏ MBN , phần
còn là của hình nón sơn màu Trắng. Tính tỉ số phần diện tích hình nón được sơn màu Đỏ với
phần diện tích sơn màu Trắng. S M B A O N 2 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 7 5 4 3 x = t
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng (d : y = 1 − + 2t và 1 ) z = t ( x y −1 z −1 d : = =
. Đường thẳng cắt cả hai đường thẳng d , d và song song với đường 2 ) 1 2 1 2 − 3 x − 4 y − 7 z − 3 thẳng d : = =
đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? 1 4 2 − A. M (1;1; 4 − ). B. N (0; 5 − ;6) . C. P (0;5; 6 − ) . D. Q ( 2 − ; 3 − ; 2 − ) .
Câu 46. Cho hàm số f ( x) và có y = f ( x) là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình 3
bên. Số điểm cực đại của hàm số g ( x) = f ( x ) − x là A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 47: Có bao nhiêu m nguyên m 2 − 021;202
1 để phương trình 6x − 2m = log 18 x +1 +12m 3 6 ( ( ) ) có nghiệm? A. 211. B. 2020 . C. 2023. D. 212 .
Câu 48: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị là đường cong (C) trong hình bên. Hàm số f ( x) đạt
cực trị tại hai điểm x , x thỏa f ( x + f x = 0 . Gọi ,
A B là hai điểm cực trị của đồ thị 1 ) ( 2 ) 1 2
(C); M, N, K là giao điểm của (C) với trục hoành; S là diện tích của hình phẳng được gạch
trong hình, S là diện tích tam giác NBK . Biết tứ giác MAKB nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số 2 S1 bằng S2 Trang 6 2 6 6 5 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 6 4
Câu 49: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai số phức 1
z có điểm biểu diễn M , số phức
z có điểm biểu diễn là N thỏa mãn z = , z = và MON = 120 . Giá trị lớn nhất của 2 1 1 2 3 3 + − − + − m 1 z 2 2 z 3i là M , giá trị nhỏ nhất của 3z 2z 1 2i là . Biết 0 1 2 0
M + m = a 7 + b 5 + c 3 + d , với , a , b , c d
. Tính a + b + c + d ? 0 0 A. 9 . B. 8 . C. 7 . D. 6 . x − 4 y − 5 z − 3
Câu 50: Trong không gian Oxyz Cho d : = =
và hai điểm A( 3;1;2); B( −1;3; 2 − ) Mặt 2 1 − 2
cầu tâm I bán kính R đi qua hai điểm hai điểm ,
A B và tiếp xúc với đường thẳng d. Khi R
đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng đi qua ba điểm , A ,
B I là (P) : 2x + by + z
c + d = 0. Tính d + b − . c A. 0 . B. 1. C. 1 − . D. 2 . Trang 7 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.D 3.B 4.D 5.C 6.C 7.D 8.D 9.A 10.A 11.B 12.B 13.C 14.B 15.A 16.A 17.D 18.A 19.D 20.D 21.B 22.A 23.B 24.C 25.D 26.B 27.B 28.C 29.B 30.D 31.D 32.A 33.B 34.C 35.A 36.A 37.B 38.A 39.A 40.C 41.D 42.D 43.A 44.D 45.B 46.C 47.C 48.D 49.B 50.A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cần chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là: A. 3 A . B. 30 3 . C. 10 . D. 3 C . 30 30 Lời giải Chọn D
Chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người là một tổ hợp chập 3 của 30 phần tử, nên có 3 C cách. 30
Câu 2: Cho cấp số cộng (u , biết u = 3 và u = 7 . Giá trị của u bằng n ) 2 4 15 A. 27 . B. 31. C. 35 . D. 29 . Lời giải Chọn D u + d = 3 u = 1
Từ giả thiết u = 3 và u = 7 suy ra ta có hệ phương trình: 1 1 . 2 4 u + 3d = 7 d = 2 1
Vậy u = u +14d = 29 . 15 1
Câu 3: Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (− ;
+), có bảng biến thiên như hình sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (− ; 2 − ).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ;1 − .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1 − ;+). Lời giải Chọn B
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (− ; − )
1 , suy ra hàm số cũng đồng biến trên khoảng (− ; 2 − ). Trang 8
Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên 2 − ;
2 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. y 4 2 x -2 -1 1 O 2
Hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại điểm A. x = 1 . B. x = 2 − . C. x = 2 . D. x = 1 − . Lời giải Chọn D
Căn cứ vào đồ thị ta có
f ( x) 0, x ( 2 − ;− )
1 và f ( x) 0, x ( 1
− ;0) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 − .
f ( x) 0, x (0; )
1 và f ( x) 0, x
(1;2) suy ra hàm số đạt cực đại tại x =1.
Hàm số không đạt cực tiểu tại hai điểm x = 2
vì f (x) không đổi dấu khi x đi qua x = 2 .
Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây .
Số điểm cực trị của hàm số là A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C
Hàm số có ba điểm cực trị. 2x −1
Câu 6: Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . x +1 1 A. x = , y = 1 − .
B. x =1, y = 2 − . C. x = 1 − , y = 2 . D. x = 1 − 1 , y = . 2 2 Lời giải Chọn C Ta có : 1 2 − 2x −1 Vì lim = lim
x = 2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x→ x +1 x→ 1 1+ x 2x −1 2x −1 Vì lim = − , lim
= + nên đường thẳng x = 1
− là tiệm cân đứng của đồ thị + − x 1 →− x +1 x 1 →− x +1 hàm số
Câu 7: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? Trang 9 A. 4 2
y = −x + 4x . B. 4 2
y = x − 4x − 3 . C. 3 2
y = x − 3x + 3 . D. 3 2
y = −x + 3x − 3 . Lời giải Chọn D
Dựa vào hình dạng đồ thị, ta thấy đây là dạng đồ thị của hàm số bậc 3, hệ số a < 0 .
Câu 8: Đồ thị của hàm số 4 2
y = −x + 2x cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị của hàm số 4 2
y = −x + 2x và trục hoành: x = 0 4 2 2
−x + 2x = 0 x ( 2
−x + 2) = 0 x = 2 . x = − 2
Phương trình có 3 nghiệm nên đồ thị của hàm số 4 2
y = −x + 2x cắt trục hoành tại 3 điểm. 25
Câu 9: Với a là số thực dương tùy ý, log bằng 5 a 2
A. 2 − log a . B. 2 log a . C. . D. 2 + log a . 5 5 log a 5 5 Lời giải Chọn A 25 Ta có log
= log 25 − log a = 2 − log a . 5 5 5 5 a
Câu 10: Đạo hàm của hàm số 2021x y = là: 2021x A. 2021x y = ln 2021. B. 2021x y = . C. y = . D. 1 .2021x y x − = . ln 2021 Lời giải Chọn A
Ta có: y = 2021x = 2021 . x y ln 20 1 2 .
Câu 11: Với a là số thực dương tùy ý, 3 2 . a a bằng 5 3 1 A. 7 a . B. 3 a . C. 5 a . D. 7 a . Lời giải Chọn B 2 2 5 1+ Ta có 3 2 3 3 3 . a a = . a a = a = a . Trang 10 3x−4 1 1
Câu 12: Nghiệm của phương trình = là: 4 16 A. x = 3. B. x = 2 . C. x = 1 . D. x = 1 − . Lời giải Chọn B 3x−4 3x−4 2 1 1 1 1 = =
3x − 4 = 2 x = 2 . 4 16 4 4
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 13: Tích các nghiệm của phương trình 2 x −2 2 x = 8 là A. 2 . B. 0 . C. −3 . D. 3 . Lời giải Chọn C = − 2 2 x 1 − − Ta có x 2x x 2 x 3 2 2 = 8 2
= 2 x − 2x − 3 = 0 . x = 3
Nên tích các nghiệm của phương trình là −3 .
Câu 14: Hàm số F ( x) 3 2
= x − 2x +3 là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau? 4 x 2 A. f ( x) 3 =
− x + 3x +1. B. f ( x) 2
= 3x − 4x . 4 3 4 x 2 C. f ( x) 3 =
− x + 3x . D. f ( x) 2
= 3x − 4x + 3. 4 3 Lời giải Chọn B
Ta có F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) nếu F( x) = f ( x) . Mà F (x) = ( 3 2 x − x + ) 2
= x − x f (x) 2 2 3 3 4
= 3x − 4x .
Câu 15: Biết F ( x) là một nguyên hàm của của hàm số f ( x) = cos2x thỏa mãn F =
1. Tính F . 2 4 3 3 1 1 A. B. − C. D. − 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 1 1
Ta có F ( x) = cos2 d x x = cos2x d
(2x) = sin2x +C . 2 2 1 Mà F = 1 sin 2. + C = 1 C = 1. 2 2 2 1 1 3 Suy ra F ( x) = sin2x +1 F = sin 2. +1= . 2 4 2 4 2 3 1 − Câu 16: Cho
f (x)dx = 2 − . Tính I = f ( 2 − x)dx ? 2 3 − 2 A. 1 − B. 1 C. 4 D. 4 − Lời giải Trang 11 Chọn A 1 − 1 − 2 I = f (− x) 1 x = − f
(− x) (− x) 1 2 d 2 d 2 = − f (x)dx = 1 − . 2 2 3 3 3 − − 2 2
Câu 17: Cho đồ thị hàm số y = f ( x) như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng ( tô đậm) trong hình là 0 b 0 0 A. S =
f ( x)dx +
f (x)dx . B. S =
f ( x)dx −
f (x)dx . a 0 a b a b 0 0 C. S =
f ( x)dx +
f (x)dx . D. S =
f ( x)dx +
f (x)dx . 0 0 a b Lời giải Chọn D
Diện tích S của hình phẳng ( tô đậm) trong hình là 0 b 0 0 S =
f ( x)dx − f ( x) dx = f ( x)dx +
f (x)dx . a 0 a b
Câu 18: Cho hai số phức z = 3 + 2i và z = 4i . Phần thực của số phức z .z là 1 2 1 2 A. −8 . B. 8 . C. 0 . D. 3 . Lời giải Chọn A
Ta có: z .z = 3 + 2i .4i = 8
− +12 .i Nên phần thực của số phức z .z là −8 . 1 2 ( ) 1 2
Câu 19: Cho hai số phức = − +
z và w thỏa mãn z i 2 và w = 3
− − 2i . Số phức .w z bằng: A. 8 − − .i B. 4 − − 7 .i C. 4 − + 7 .i D. 8 − + .i Lời giải Chọn D z = i
− + 2 z = 2 + i . w = 3 − − 2i w = 3 − + 2i . Do đó . z w = (2 + i)( 3 − + 2i) = 8 − + .i
Câu 20: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm đối xứng với điểm biểu diễn số phức z = 2
− i + 4 qua trục Oy có tọa độ là A. (4;2). B. ( 4 − ;2). C. (4; 2 − ). D. ( 4 − ; 2 − ). Lời giải Chọn D Số phức z = 2
− i + 4 có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M (4; 2 − ).
Điểm đối xứng với M qua Oy là M ( 4 − ; 2 − ) . Trang 12
Câu 21: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 8 và
chiều cao khối chóp bằng 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC . A. 8 . B. 4. C. 24. D. 6. Lời giải Chọn B 1 1
Vì ABCD là hình bình hành nên S = S = .8 = 4. ABC 2 ABCD 2 1 1 V = S .h = .4.3 = 4. S.ABC 3 ABC 3
Câu 22: Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3, 4,12 có độ dài là A. 13. B. 30. C. 15. D. 6. Lời giải Chọn A
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là , a ,
b c thì có độ dài đường chéo là 2 2 2
a + b + c .
Do đó độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật đã cho là 2 2 2 3 + 4 +12 = 13. r
Câu 23: Công thức thể tích của khối nón có bán kính đáy là
và chiều cao h là 2 2 r h 2 r h 2 r h 2 r h A. V = B. V = . C. V = . D. V = . 4 12 24 6 Lời giải Chọn B r 2 2 1 r r h
Thể tích khối nón có bán kính đáy là
và chiều cao h là: V . = .h = . 2 3 2 12
Câu 24: Hình trụ có đường cao h = 2cm và đường kính đáy là 10cm . Diện tích toàn phần của hình trụ đó bằng A. 2 240cm . B. 2 120cm . C. 2 70 cm . D. 2 140cm . Lời giải Chọn C
Đường kính đáy hình trụ là 10cm bán kính đáy là r = 5c . m
Diện tích toàn phần của hình trụ là: S = 2 r (r + h) = 2 r (r + h) = 2.5.(5 + 2) = 70 .
Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1;3) và B(4;2; )
1 . Độ dài đoạn thẳng AB bằng A. 2 . B. 2 3 . C. 5 2 . D. 14 . Lời giải Chọn D.
AB = ( − )2 + ( − )2 + ( − )2 4 1 2 1 1 3
= 14 . Chọn đáp án D. 2 2
Câu 26: Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S ) 2 : x + ( y − )
1 + ( z + 3) = 25 có tâm là A. I 0; 1 − ;3 . B. I 0;1; 3 − . C. I 0; 1 − ; 3 − . D. I 0;1;3 . 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) Lời giải Chọn B.
Mặt cầu đã cho có tâm là điểm I 0;1; 3 − . Chọn đáp án B. 2 ( ) Trang 13
Câu 27: Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục Oy ? A. i (1;0;0) . B. j (0;1;0) . C. k (0;0 ) ;1 . D. h (1;1 ) ;1 . Lời giải Chọn B.
Vectơ j (0;1;0) là một vectơ chỉ phương của trục Oy . Do đó nó là một vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng vuông góc với trục Oy . Chọn đáp án B.
Câu 28: Trong không gian Oxyz , đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm I (2;1; ) 1 ? x =1+ t x =1+ t x =1+ t x = t
A. y = t .
B. y = 1− t .
C. y = t .
D. y = 1+ t . z = 1− t z = t z = t z = 1− t Lời giải Chọn C.
Xét các phương án A, B, C. Ta có 1+ t = 2 t =1. Thay t = 1 vào ,
y z ta thấy phương án C
thỏa mãn. Chọn đáp án C.
Câu 29: Chọn ngẫu nhiên một số trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số nguyên tố bằng 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 10 5 2 5 Lời giải Chọn B.
Trong 10 số nguyên dương đầu tiên có 4 số nguyên tố là 2, 3, 5, 7. Do đó xác suất để chọn đượ 4 2 c số nguyên tố bằng hay là . 10 5
Câu 30: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng (1;5) ? 2x +1 x − 3 3x −1 x +1 A. y = y = x − . B. 2 x − . C. 4 x + . D. 1 3x + . 2 Lời giải Chọn D. x +1 2 2 1 − Xét hàm số y = D = − ; − − ;+ và y = 0 với 3x + có tập xác định 2 3 3 (3x + 2)2 2 mọi x −
. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1;5) . Chọn đáp án D. 3 3
Câu 31: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 3 2
= x − x − 6x +1 trên 2 đoạn 0;
3 . Khi đó 2M − m có giá trị bằng A. 0 . B. 18 . C. 10 . D. 11. Lời giải Chọn D 3
Xét hàm số f ( x) 3 2
= x − x − 6x +1 trên đoạn 0; 3 . 2 Ta có f ( x) 2 '
= 3x −3x −6. Trang 14 = − f ( x) x 1 ' = 0 . x = 2 Do x 0; 3 nên x = 2 .
Ta có: f (0) = 1, f (2) = 9 − , f ( ) 7 3 = − . 2
Do đó M = f (0) =1,m = f (2) = 9 − .
Vậy 2M − m = 2 + 9 = 11.
Câu 32: Tập nghiệm của bất phương trình log ( 2 25 − x 2 là 3 ) A. ( 5 − ;− 4 4;5) . B. (− ; −
4 4;+) . C. (4;5) . D. 4;+) . Lời giải Chọn A 25− x 0 x 25 5 − x 4 − Ta có log (25 − x ) 2 2 2 2 . 3 2 2 25 − x 9 x 16 4 x 5
Do tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( 5 − ;− 4 4;5) . 2 2 2020 f (x)+sin 2x d x = 2021 f (x)dx Câu 33: Nếu 0 thì 0 bằng 1011 2021 A. . B. 1. C. . D. 1 − . 1010 2020 Lời giải Chọn B 2 2 2 Ta có 2020 f (x)+sin 2x d
x = 2021 2020 f
(x)dx+ sin2 dxx = 2021 . 0 0 0 2 2 Khi đó ta có f (x) 1 2020 dx − ( o
c s2x) 2 = 2021 2020 f
(x)dx+1= 2021. 0 2 0 0 2 Do đó f (x)dx =1. 0
Câu 34: Cho số phức z = 2 − 3i . Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức w = (1− 2i) z .
Khi đó giá trị của biểu thức P = a + b + 2021 bằng A. 2010 . B. 2014 . C. 2028 . D. 2032 . Lời giải Chọn C
Ta có w = (1− 2i) z = (1− 2i)(2 + 3i) = 8 − i .
Do đó a = 8,b = 1 − .
Vậy P = a + b + 2021 = 8 −1+ 2021 = 2028.
Câu 35: Cho hình lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có
AB = a, AA = a 2 . Góc giữa đường thẳng AC với mặt phẳng ( AA B B ) bằng: Trang 15 A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn A A' C' CB ⊥ AB Ta có: CB ⊥ AA
CB ⊥ ( ABB A ) .
AA AB = A B' Suy ra A B
là hình chiếu của AC lên mặt phẳng ( ABB A ). Do đó: ( A C ,( AA B B )) = ( A C , A B ) = BA C . Xét A A
B vuông tại A, ta có: 2 2 A B = A A
+ AB = a 3 . BC a 1 Xét A B
C vuông tại B , ta có: tan BAC = = = A C A . B a 3 3 BA C = 30 . B (A C ,(AA B B )) = 30.
Câu 36: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3 ,
SA ⊥ ( ABCD) và SA = 2a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) bằng: 2 57a 57a 2 5a 5a A. . B. . C. . D. . 19 19 5 5 Lời giải Chọn A
Trong ( ABCD) kẻ AH ⊥ BD(H DB) S BD ⊥ AH Ta có:
BD ⊥ (SAH ) BD ⊥ SA
Trong (SAH ) kẻ AK ⊥ SH
Mà BD ⊥ (SAH ) K
và AK (SAH ) A D AK ⊥ BD
Do đó AK ⊥ (SBD) d ( ,
A (SBD)) = AK H 1 1 1 a 3 B C Xét ABD có: = + AH = 2 2 2 AH AB AD 2 1 1 1 2 57a Xét S AH có: = + AK = 2 2 2 AK SA AH 19
Do đó ( A (SBD)) 2 57a d , = 19
Câu 37: Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm I (3; 1
− ;2) và tiếp xúc với trục Ox có phương trình là: 2 2 2 2 2 2
A. ( x − 3) + ( y + )
1 + ( z − 2) = 9
B. ( x − 3) + ( y + )
1 + ( z − 2) = 5 2 2 2 2 2 2
C. ( x + 3) + ( y − ) 1 + ( z + 2) = 1
D. ( x + 3) + ( y − ) 1 + ( z + 2) = 4 Lời giải Trang 16 Chọn B
Gọi M là hình chiếu của I lên trục Ox suy ra M (3;0;0) .
Suy ra mặt cầu tiếp xúc với Ox tại M .
Do đó R = IM = 5 . 2 2 2
Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 3) + ( y + ) 1 + ( z − 2) = 5 .
Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD có A(0;1; 2 − ),B(3; 2 − ; ) 1 và C (1;5;− ) 1 .
Phương trình tham số của đường thẳng CD là: x =1+ t x =1− t x = 1+ 3t x = 1 − + t
A. y = 5 − t
B. y = 5 − t
C. y = 5 + 3t D. y = 5 − − t z = 1 − + t z = 1 − + t z = −1+ 3t z = 1+ t Lời giải Chọn A Ta có: AB = (3; 3 − ;3)
Đường thẳng CD qua C và song song với AB nên nhận vectơ 1 u = AB làm vectơ chỉ 3 phương. Ta có u = (1; 1 − ) ;1 . x =1+ t
Do đó phương trình tham số của CD là: y = 5 − t . z = 1 − + t
Câu 39: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên . Bảng biến thiên của hàm số y = f '( ) x được cho như hình vẽ x . Trên 4
− ;2 hàm số y = f 1− + x
đạt giá trị lớn nhất bằng? 2 1 3
A. f (2) − 2. B. f + 2.
C. f (2) + 2 . D. f −1 . 2 2 Lời giải Chọn A Đặ x 1 x
t g(x) = f 1−
+ x g '(x) = − f ' 1− +1. 2 2 2 x
g '(x) = 0 f ' 1− = 2. 2 Đặ x t t = 1− t 0; 3 . 2
Vẽ đường thẳng y = 2 lên cùng một bảng biến thiên ta được Trang 17
Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t = 2 x = 2
− max g(x) = g( 2 − ) = f (2) − 2. 4 − ; 2
Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn ( x 1
3 + − 3)(3x − y) 0? A. 59149 . B. 59050 . C. 59049 . D. 59048 . Lời giải Chọn C . Đặ 3 t 3x t =
> 0 thì ta có bất phương trình (3t -
3)(t - y) < 0 hay (t -
)(t - y) < 0 (*). 3 3 Vì y + Î ¢ nên y > , do đó 3 3 (*) Û < < Û < 3x t y < y Do * y Î ¥ 3 3 3 1 Û - < x < log . y 3 2 æ 1 ö Do mỗi giá trị *
y Î ¥ có không quá 10 giá trị nguyên của x Î ç- ;log y÷ ç ÷ 3 çè 2 ÷ ø
nên 0 £ log y £ 10 hay 10
Û 1£ y £ 3 = 59049 , từ đó có y Î {1,2,K ,59049}. 3
Vậy có 59049 giá trị nguyên dương của y . 2x − 4 khi x 4 2
Câu 41: Cho hàm số f ( x) = 2 1 . Tích phân f (2sin x+3)sin2 d x x bằng 3 2
x − x + x khi x 4 4 0 28 341 341 A. . B. 8 . C. . D. . 3 48 96 Lời giải Chọn D Ta có
lim f ( x) = lim (2x − 4) = 4; lim f ( x) 1 3 2 = lim
x − x + x = 4; f (4) = 4 + + − − x→4 x→4 x→4 x→4 4
lim f (x) = lim f (x) = f (4) + − x→4 x→4
Nên hàm số đã cho liên tục tại x = 4 2 Xét I = f ( 2 2 sin x + 3)sin 2 d x x 0 Đặt 2
2sin x + 3 = t 1 sin 2 d x x = dt 2 Trang 18
Với x = 0 t = 3 x = t = 5 2 5 5 4 5 I = f (t)1 1 dt = f (t) 1 1 1 341 3 2 dt =
t − t + t dt + (2t −4)dt = . 2 2 2 4 2 96 3 3 3 4
Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 5 và ( z − 3i)( z + 2) là số thực? A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn D
Gọi z = a + bi
Ta có ( z − i)( z + ) = (a + bi − i)(a + − bi) = ( 2 2 3 2 3 2
a + 2a + b − 3b) + (2b − 3a − 6)i
Theo đề ta có hệ phương trình 2 2 a + b = 5
2b − 3a − 6 = 0
Giải hệ này tìm được 2 nghiệm, suy ra có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA ⊥ ( ABC) , AB = a . Biết
góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) bằng 30 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 3 a a 3 a 3 A. . B. . C. 3 a . D. . 6 3 6 Lời giải Chọn A S H A C B
Từ A kẻ AH ⊥ SB tại B . BC ⊥ AB Ta có
BC ⊥ (SAB) BC ⊥ AH . BC ⊥ SA AH ⊥ SB Lại có
AH ⊥ (SBC) . AH ⊥ BC
Từ đó suy ra ( AC,(SBC )) = ( AC, HC ) = ACH = 30 .
Tam giác ABC vuông cân tại B nên AC = AB 2 = a 2 . a 2 Xét A
HC vuông tại H : AH = AC.sin ACH = a 2.sin30 = . 2 1 1 1 1 1 Xét S
AB vuông tại A: = + = SA = a . 2 2 2 2 2 AH SA AB SA a 2 1 a
Diện tích tam giác ABC là 2 S = AB = . ABC 2 2 Trang 19 3 1 a
Thể tích khối chóp S.ABC là V = S .SA = . S . ABC 3 ABC 6
Câu 44: Cổ động viên bóng đá của đội tuyển Indonesia muốn làm một chiếc mũ có dạng hình nón sơn
hai màu Trắng và Đỏ như trên quốc kỳ. Biết thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông
cân. Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ ở bề mặt phần hình nón có đáy là cung nhỏ MBN , phần
còn là của hình nón sơn màu Trắng. Tính tỉ số phần diện tích hình nón được sơn màu Đỏ với
phần diện tích sơn màu Trắng. S M B A O N 2 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 7 5 4 3 Lời giải Chọn D
Ta có SO = OA = OB = r SM = r 2 = MN
Do dó tam giác OMN vuông cân tại O .
Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón, S là diện tích xung quanh của phần hình nón d 0 được sơn màu đỏ S 90 1 S 1 , ứng với góc 0 MON = 90 nên 1 d = = = . 0 S 360 4 S 3 t x = t
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng (d : y = 1 − + 2t và 1 ) z = t ( x y −1 z −1 d : = =
. Đường thẳng cắt cả hai đường thẳng d , d và song song với đường 2 ) 2 1 2 − 3 1 x − 4 y − 7 z − 3 thẳng d : = =
đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? 1 4 2 − A. M (1;1; 4 − ). B. N (0; 5 − ;6) . C. P (0;5; 6 − ) . D. Q ( 2 − ; 3 − ; 2 − ) . Lời giải Chọn B
A = d A ; a 1 − + 2 ; a a 1 ( ) Gọi
AB = (−a + ; b 2
− a − 2b + 2;−a + 3b + ) 1 .
B = d B ;1 b − 2 ;1 b + 3b 2 ( ) −a + b 2
− a − 2b + 2 −a + 3b +1 2 − a + 6b = 2
Ta có: AB//u = = d 1 4 2 − 3 a − 5b =1 Trang 20 a = 2
A(2;3;2), B(1; 1 − ;4). b =1 qua B(1; 1
− ;4) và có vectơ chỉ phương là u = (1;4; 2 − ) x =1+ t ( ) : y = 1
− + 4t đi qua điểm N (0; 5 − ;6). z = 4− 2t
Câu 46. Cho hàm số f ( x) và có y = f ( x) là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình 3
bên. Số điểm cực đại của hàm số g ( x) = f ( x ) − x là A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn C Xét hàm số ( ) = ( 3 h x f x ) − x Ta có h( x) 2 = x f ( 3 3 x ) −1 1
h( x) = 0 f ( 3 x ) = ( x 0) ( )1 2 3x Đặt 3 x = t 3 2 3 2
x = t x = t . 1 Khi đó ( )
1 trở thành: f (t ) = (2) 3 2 3 t 1
Vẽ đồ thị hàm số y =
, y = f ( x) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy , ta được: 3 2 3 x
Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm t = a 0 và t = b 0 . 1 2 Trang 21 ( ) 1 có hai nghiệm 3 x = a 0 và 3 x = b 0 .
Bảng biến thiên của h( x), g ( x) = h ( x ) . 3
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số g ( x) = h( x ) = f ( x ) − x có 1 điểm cực đại.
Câu 47: Có bao nhiêu m nguyên m 2 − 021;202
1 để phương trình 6x − 2m = log 18 x +1 +12m 3 6 ( ( ) ) có nghiệm? A. 211. B. 2020 . C. 2023. D. 212 . Lời giải Chọn C
Phương trình 6x − 2 = log 18 +1 +12 6x m x m
= 2m + 3log 6 3x + 2m + 3 3 6 ( ( ) ) 6 ( )
6x = 2m + 3 1
+ log 3x + 2m + 3 6 ( )
6x = 3log 3x + 2m + 3 + 2m + 3, * 6 ( ) ( )
Đặt = log 3 + 2 + 3 6y y x m = 3x + 2m+3, 1 6 ( ) ( )
Mặt khác, PT(*) trở thành: 6x = 3y + 2m + 3,(2)
Lấy (1) trừ vế với vế cho (2), ta được
6y − 6x = 3 − 3 6x + 3 = 6y x y x +3y ( ) 3 Xét hàm số ( ) = 6t f t + 3t, t . Ta có '( ) = 6t f t ln 6 + 3 0, t
. Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên
Mà PT (3) f ( x) = f ( y) x = . y
Thay y = x vào PT (1), ta được 6x = 3 + 2 + 3 6x x m −3x = 2m+3. x 3 Xét hàm số ( ) = 6x g x
−3x, với x . Ta có g '(x) = 6 ln 6 −3 g '(x) = 0 x = log 6 ln 6 BBT: 3
Từ đó suy ra PT đã cho có nghiệm 2m + 3 g log 0,81 m 1 − ,095 6 ln 6 Trang 22
Vậy có 2023 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 48: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị là đường cong (C) trong hình bên. Hàm số f ( x) đạt
cực trị tại hai điểm x , x thỏa f ( x + f x = 0 . Gọi ,
A B là hai điểm cực trị của đồ thị 1 ) ( 2 ) 1 2
(C); M, N, K là giao điểm của (C) với trục hoành; S là diện tích của hình phẳng được gạch
trong hình, S là diện tích tam giác NBK . Biết tứ giác MAKB nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số 2 S1 bằng S2 2 6 6 5 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 6 4 Lời giải Chọn D
Kết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị (C) sang trái sao cho điểm uốn
trùng với gốc tọa độ O . (như hình dưới)
Do f ( x) là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng (O N ) .
Đặt x = −a, x = a , với a 0 f ( x) = k ( 2 2 '
x − a ) với k 0 1 2 f (x) 1 3 2 = k x − a x
x = −a 3, x = a 3 3 M K
Có MAKB nội tiếp đường tròn tâm O OA = OM = a 3 1 3 2 Có f ( x ) 2 2
= OA − x f (−a) 3 3
= a 2 k − a + a = a 2 k = 1 1 2 3 2a Trang 23
f (x) 3 2 1 3 2 = x − a x 2 2a 3 0 0 S = f (x) 2 3 2 1 a 9 2 4 2 2 dx = x − x = a 1 2 2a 12 2 8 −a 3 −a 3 1 S = S = f −a MO = a a = a A MO ( ) 1 6 2 . 2. 3 2 2 2 2 S 3 3 Vậy 1 = . S 4 2
Câu 49: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai số phức 1
z có điểm biểu diễn M , số phức
z có điểm biểu diễn là N thỏa mãn z = , z = và MON = 120 . Giá trị lớn nhất của 2 1 1 2 3 3 + − − + − m 1 z 2 2 z 3i là M , giá trị nhỏ nhất của 3z 2z 1 2i là . Biết 0 1 2 0
M + m = a 7 + b 5 + c 3 + d , với , a , b , c d
. Tính a + b + c + d ? 0 0 A. 9 . B. 8 . C. 7 . D. 6 . Lời giải Chọn B y P N1 M1 N 120 M x O 1
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức 3z , suy ra OM = 3 . 1 1 1
Gọi N là điểm biểu diễn của số phức 2z , suy ra ON = 6 . Gọi P là điểm sao cho 1 2 1
OM + ON = OP . Suy ra tứ giác OM PN là hình bình hành. 1 1 1 1
Do từ giả thiết MON = 120 , suy ra M ON = 120 . 1 1 Dùng đị 1
nh lí cosin trong tam giác OM N ta tính được M N = 9 + 36 − 2.3.6. − = 3 7 ; 1 1 1 1 2 và đị 1
nh lí cosin trong tam giác OM P ta có OP = 9 + 36 − 2.3.6. = 3 3 . 1 2
Ta có M N = 3z − 2z = 3 7 ; OP = 3z + 2z = 3 3 . 1 1 1 2 1 2
Tìm giá trị lớn nhất của 3 + − 1 z 2 2 z 3i .
Đặt 3z + 2z = w w = 3 3 , suy ra điểm biểu diễn w là A thuộc đường tròn (C 1 ) 1 2 1 1 1
tâm O(0;0) bán kính R = 3 3 . Gọi điểm Q là biểu diễn số phức 3i . 1 1 Khi đó 3 + − = 1 z 2 2 z 3i A 1
Q , bài toán trở thành tìm ( AQ
biết điểm A trên đường 1 )max
tròn (C . Dễ thấy ( AQ
= OQ + R = 3+ 3 3 . 1 ) 1 ) 1 1 max Trang 24
Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 − + − = − − − + 1 z 2z2 1 2i 3 1 z 2z2 ( 1 2i) .
Đặt 3z − 2z = w w = 3 7 , suy ra điểm biểu diễn w là B thuộc đường tròn (C 2 ) 1 2 2 2 2
tâm O(0;0) bán kính R = 3 7 . Gọi điểm Q là biểu diễn số phức 1 − + 2i . 1 2 Khi đó 3 − − − + = 1 z 2z2 ( 1 2i) B 2
Q , bài toán trở thành tìm ( BQ
biết điểm B trên 2 )min
đường tròn (C . Dễ thấy điểm Q nằm trong đường tròn (C nên 2 ) 2 ) 2 (BQ
= R −OQ = 3 7 − 5 . 2 ) 2 2 min
Vậy M + m = 3 7 + 3 3 − 5 + 3 . 0 0 x − 4 y − 5 z − 3
Câu 50: Trong không gian Oxyz Cho d : = =
và hai điểm A( 3;1;2); B( −1;3; 2 − ) Mặt 2 1 − 2
cầu tâm I bán kính R đi qua hai điểm hai điểm ,
A B và tiếp xúc với đường thẳng d. Khi R
đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng đi qua ba điểm , A ,
B I là (P) : 2x + by + z
c + d = 0. Tính d + b − . c A. 0 . B. 1. C. 1 − . D. 2 . Lời giải Chọn A
Gọi E là trung điểm của AB E (1;2;0) và 2 IE = R − 9
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là ( ) :2x − y + 2z = 0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên d.
Gọi M là hình chiếu vuông góc của E lên d EM = d( = 9 E;d ) x = 2t + 4 y = t − + 5
Toạ độ M là nghiệm hệ t = 1 − M (2;6; ) 1 ME = 3 2 z = 2t + 3
2x − y + 2z = 0
Vì ( ) ⊥ d và IH + IE EM R nhỏ nhất I, H, E thẳng hàng. 9 2 2
R + R −9 = 3 2 R = 4 1 5 1 7 7 Vậy EI = EH I ;3; IA = ; 2 − ; 4 4 4 4 4 n = A ; B IA = ( 1 − 8;0;18) = 1 − 8(1;0;− ) 1
(P): 2x−2z-2 = 0b = 0;c = 2 − ;d = 2
− d +b −c = 0 Trang 25 Trang 26