ĐỀ PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ MINH HỌA ĐỀ THI THAM KHẢO SỐ 4 | KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề |
Câu 1: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số 
là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 3: Tích tất cả các nghiệm của phương trình 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 4: Trong không gian 
, cho hai điểm 
và
. Trung điểm của đoạn thẳng 
có tọa độ là
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 5: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 6: 
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. 
. B. 
.
C. 
. D. 
.
Câu 7: Tập xác định của hàm số 
là
A. 
. B. 
.
C. 
. D. 
.
Câu 8: Trong không gian 
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng 
: 
?
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 9: Điểm 
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức 
. Khi đó số phức 
là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 10: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu 
tâm 
, đi qua điểm 
?
A. 
. B. 
.
C. 
. D. 
.
Câu 11: Với 
là hai số thực dương thỏa mãn 
. Khi đó 
bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 12: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như sau
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 13: Tính thể tích 
của khối hộp đứng có đáy là hình vuông cạnh 
và độ dài cạnh bên bằng 
.
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình 
là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 15: Trong các hàm số được cho bởi các phương án A, B, C, D dưới đây, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó.
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 16: Trong không gian 
, mặt phẳng nào sau đây nhận 
làm vectơ pháp tuyến?
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 17: Cho hàm 
liên tục trên 
và có bảng xét dấu 
như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 18: Cho 
và
. Khi đó 
bằng:
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 19: Nếu 
thì 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 20: Cho khối chóp 
có đáy 
là hình vuông cạnh bằng 
cạnh bên 
vuông góc với mặt đáy và 
Thể tích của khối chóp 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
D. 
.
Câu 21: Cho số phức 
thỏa mãn 
có phần ảo là
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 22: Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 
và có bán kính đáy bằng 
. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 23: Có bao nhiêu cách xếp 
học sinh nam và 
học sinh nữ thành một hàng dọc.
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 24: Cho 
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 25: 
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là
A. 
. B. 
.
C. 
D. 
.
Câu 26: Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 
. Diện tích xung quanh của hình trụ là
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 27: Cho cấp số cộng 
có 
. Số hạng đầu của cấp số cộng là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 28: Số phức liên hợp của 
là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 29: Cho số phức 
thỏa mãn 
. Mô đun của số phức 
là?
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
Câu 30: Cho hình hộp chữ nhật 
có 
. Góc giữa hai đường thẳng 
và 
bằng
A. 
. B. 
.
C. 
. D. 
.
Câu 31: Cho hình chóp 
có đáy là hình chữ nhật 
có 
và 
. Khoảng cách giữa đường thẳng 
và mặt phẳng 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 32: Cho hàm số 
xác định trên 
, có đạo hàm 
,
. Hàm số 
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. 
. B. 
và
C. 
và
. D. 
và
.
Câu 33: Một nhóm gồm 2 người đàn ông, 3 người phụ nữ và 4 trẻ em. Chọn ngẫu nhiên 4 người từ nhóm đó. Xác suất để 4 người được chọn có cả đàn ông, phụ nữ và trẻ em bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 34: . Nếu 
thì 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 35: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 36: Cho các số thực dương 
thoả mãn 
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 37: Trong không gian 
, cho điểm 
. Phương trình mặt cầu tâm 
tiếp xúc với trục 
là
A. 
. B. 
C. 
. D. 
.
Câu 38: Trong không gian 
, cho ba điểm 
và 
. Phương trình đường thẳng 
đi qua điểm 
và vuông góc với mặt phẳng 
là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 39: Cho 
và 
là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn 
. Giá trị của 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 40: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương không lớn hơn 2024 của tham số 
sao cho hàm số 
nghịch biến trên khoảng 
?
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 41: Cho hàm số 
có đạo hàm liên tục trên đoạn 
và có đồ thị như hình vẽ.
Biết 
lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
và trục 
. Giá trị của 
là
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 42: Giả sử 
là hai nghiệm phức của phương trình 
và 
. Tính 
.
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 43: Cho khối lăng trụ 
có đáy là tam giác vuông tại 
, góc 
. Gọi 
là trung điểm của 
. Tam giác 
đều và có diện tích bằng 
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích 
của khối lăng trụ đã cho.
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 44: Trong không gian 
, cho mặt cầu 
và điểm 
. Ba điểm 
, 
, 
phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho 
, 
, 
là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng 
đi qua điểm 
. Tổng 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 45: Ông 
dự định làm một cái thùng phi hình trụ với dung tích 
bằng thép không gỉ để đựng nước. Chi phí trung bình cho 
thép không gỉ là 
đồng. Hỏi chi phí nguyên vật liệu làm cái thùng thấp nhất là bao nhiêu?
A. 
đồng. B. 
đồng. C. 
đồng. D. 
đồng.
Câu 46: Xét các số thực dương 
thỏa mãn 
. Khi biểu thức 
đạt nhỏ nhất, tính giá trị của biểu thức 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 47: Với hai số phức 
thay đổi thỏa mãn 
và 
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Câu 48: Một chiếc ly bằng thủy tinh đang chứa nước bên trong được tạo thành khi quay một phần đồ thị hàm số 
xung quanh trục 
Người ta thả vào chiếc ly một viên bi hình cầu có bán kính 
thì mực nước dâng lên phủ kín viên bi đồng thời chạm tới miệng ly. Biết điểm tiếp xúc của viên bi và chiếc ly cách đáy của chiếc ly 
. Thể tích nước có trong ly gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 49: Cho hàm số 
có đạo hàm 
, 
. Gọi 
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số 
để hàm số 
có 5 điểm cực trị. Tính tổng tất cả các phần tử của 
.
A. 154. B. 17. C. 213. D. 153.
Câu 50: Trong không gian 
, cho mặt phẳng 
và mặt cầu 
. Một khối hộp chữ nhật 
có bốn đỉnh nằm trên mặt phẳng 
và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu 
. Khi 
có thể tích lớn nhất, thì mặt phẳng chứa bốn đỉnh của 
nằm trên mặt cầu 
là 
. Giá trị 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
---------- HẾT ----------
GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cực tiểu là 
.
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số 
là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn A
Ta có 
.
Câu 3: Tích tất cả các nghiệm của phương trình 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Ta có: 
.
Vậy tích các nghiệm của phương trình là 
.
Câu 4: Trong không gian 
, cho hai điểm 
và
. Trung điểm của đoạn thẳng 
có tọa độ là
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Chọn D
Gọi 
là trung điểm của 
, ta có tọa độ điểm 
là 
.
Vậy 
.
Câu 5: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải.
Chọn D
. Suy ta tiệm cận đứng là đường thẳng 
.
Câu 6: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số là hàm bậc ba 
và hệ số 
.
Nên hàm số thỏa mãn là 
.
Câu 7: Tập xác định của hàm số 
là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Ta có: 
.
Câu 8: Trong không gian 
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng 
: 
?
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Chọn A
Cách 1. Dựa vào lý thuyết: Nếu 
qua 
, có véc tơ chỉ phương 
thì phương trình đường thẳng 
là: 
, ta chọn đáp án
B.
Cách 2. Thay tọa độ các điểm 
vào phương trình đường thẳng 
, ta có:
. Loại đáp án A.
Thay tọa độ các điểm 
vào phương trình đường thẳng 
, ta có:
. Nhận đáp án B.
Câu 9: Điểm 
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức 
. Khi đó số phức 
là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Số phức 
Câu 10: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu 
tâm 
, đi qua điểm 
?
A. 
. B. 
.
C. 
. D. 
.
Lời giải
Vì mặt cầu 
có tâm 
, đi qua điểm 
nên mặt cầu 
có tâm 
và nhận độ dài đoạn thẳng 
là bán kính.
Ta có: 
. 
. Suy ra: 
.
Vậy: 
.
Vậy chọn đáp án B
Câu 11: Với 
là hai số thực dương thỏa mãn 
. Khi đó 
bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Ta có: 
Câu 12: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như sau
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta có 
nên hàm số đồng biến trên khoảng 
.
Câu 13: Tính thể tích 
của khối hộp đứng có đáy là hình vuông cạnh 
và độ dài cạnh bên bằng 
.
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình 
là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Ta có cơ số 
.
Nên bất phương trình đã cho tương đương 
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
.
Câu 15: Trong các hàm số được cho bởi các phương án A, B, C, D dưới đây, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó.
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Xét hàm số 
:
+ Tập xác định: 
.
+ Ta có 
hàm số 
đồng biến trên khoảng 
Câu 16: Trong không gian 
, mặt phẳng nào sau đây nhận 
làm vectơ pháp tuyến?
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Mặt phẳng 
có vectơ pháp tuyến là 
.
Câu 17: Cho hàm 
liên tục trên 
và có bảng xét dấu 
như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn B
Ta thấy 
đổi dấu 2 lần từ 
sang 
khi qua các điểm 
nên hàm số có 2 điểm cực tiểu.
Câu 18: Cho 
và
. Khi đó 
bằng:
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Ta có, 
.
Câu 19: Nếu 
thì 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Vì 
nên 
.
Câu 20: Cho khối chóp 
có đáy 
là hình vuông cạnh bằng 
cạnh bên 
vuông góc với mặt đáy và 
Thể tích của khối chóp 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
D. 
.
Lời giải
Khối chóp đã cho có
* chiều cao 
* diện tích mặt đáy 
Vậy 
.
Câu 21: Cho số phức 
thỏa mãn 
có phần ảo là
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Ta có 
.
Vậy phần ảo của số phức 
là 
.
Câu 22: Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 
và có bán kính đáy bằng 
. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Ta có 
.
Câu 23: Có bao nhiêu cách xếp 
học sinh nam và 
học sinh nữ thành một hàng dọc.
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Số cách xếp 
học sinh thành một hàng dọc là 
.
Câu 24: Cho 
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Ta có 
Câu 25: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là
A. 
. B. 
. C. 
D. 
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị, nhận thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 
điểm duy nhất.
Câu 26: Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 
. Diện tích xung quanh của hình trụ là
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Vì thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 
, nên bán kính đường tròn đáy 
và độ dài đường sinh là 
, suy ra diện tích xung quanh là 
.
Câu 27: Cho cấp số cộng 
có 
. Số hạng đầu của cấp số cộng là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Ta có : 
Câu 28: Số phức liên hợp của 
là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Ta có 
.
Câu 29: Cho số phức 
thỏa mãn 
. Mô đun của số phức 
là?
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
Lời giải
Giả sử 
Ta có: 
Suy ra 
.
Câu 30: Cho hình hộp chữ nhật 
có 
. Góc giữa hai đường thẳng 
và 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Ta có: 
.
.
Câu 31: Cho hình chóp 
có đáy là hình chữ nhật 
có 
và 
. Khoảng cách giữa đường thẳng 
và mặt phẳng 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Kẻ 
Ta có: 
Mặt khác: 
Vì 
Ta có: 
Xét 
vuông tại 
, đường cao 
:
.
Câu 32: Cho hàm số 
xác định trên 
, có đạo hàm 
,
. Hàm số 
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. 
. B. 
và
C. 
và
. D. 
và
.
Lời giải
Ta có: 
.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên khoảng 
Câu 33: Một nhóm gồm 2 người đàn ông, 3 người phụ nữ và 4 trẻ em. Chọn ngẫu nhiên 4 người từ nhóm đó. Xác suất để 4 người được chọn có cả đàn ông, phụ nữ và trẻ em bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Ta có 
.
Gọi 
là biến cố “ trong 4 người được chọn có cả đàn ông, phụ nữ và trẻ em”.
.
.
Câu 34: . Nếu 
thì 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn C
Ta có: 
Suy ra 
.
Câu 35: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn C
TXĐ: 
.
.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: Giá trị lớn nhất của hàm số 
bằng 
.
Câu 36: Cho các số thực dương 
thoả mãn 
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn C
Ta có 
.
Câu 37: Trong không gian 
, cho điểm 
. Phương trình mặt cầu tâm 
tiếp xúc với trục 
là
A. 
. B. 
C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn C
Gọi 
là hình chiếu vuông góc của 
lên trục 
.
Mặt cầu 
tiếp xúc với trục 
.
Phương trình mặt cầu tâm 
bán kính 
là 
.
Câu 38: Trong không gian 
, cho ba điểm 
và 
. Phương trình đường thẳng 
đi qua điểm 
và vuông góc với mặt phẳng 
là
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn C
Nhận thấy phương trình mặt phẳng 
là 
.
Vì đường thẳng 
vuông góc với mặt phẳng 
nên nhận 
là VTCP.
Vậy phương trình đường thẳng 
là 
.
Câu 39: Cho 
và 
là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn 
. Giá trị của 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn C
Ta có 
.
Đặt 
. Ta có phương trình
.
Vậy 
.
Câu 40: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương không lớn hơn 2024 của tham số 
sao cho hàm số 
nghịch biến trên khoảng 
?
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định 
.
Ta có 
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng 
Do nguyên dương không lớn hơn 2024 nên 
.
Vậy có tất cả 2010 giá trị.
Câu 41: Cho hàm số 
có đạo hàm liên tục trên đoạn 
và có đồ thị như hình vẽ.
Biết 
lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
và trục 
. Giá trị của 
là
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Ta có 
.
Vậy 
.
Ta có: 
Đặt 
.
Với 
,
với 
.
Tính 
Đặt 
Vậy: 
Câu 42: Giả sử 
là hai nghiệm phức của phương trình 
và 
. Tính 
.
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết, ta có: 
.
Gọi 
và 
; 
Ta có 
nên 
.
Mặt khác: 
nên 
. Suy ra 
.
Khi đó 
Vậy 
.
Câu 43: Cho khối lăng trụ 
có đáy là tam giác vuông tại 
, góc 
. Gọi 
là trung điểm của 
. Tam giác 
đều và có diện tích bằng 
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích 
của khối lăng trụ đã cho.
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn B
Gọi 
là trung điểm của 
.
vì tam giác 
đều và có diện tích bằng 
.
Đặt 
.
tam giác 
vuông tại 
.
Câu 44: Trong không gian 
, cho mặt cầu 
và điểm 
. Ba điểm 
, 
, 
phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho 
, 
, 
là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng 
đi qua điểm 
. Tổng 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn D
Mặt cầu 
có tâm 
và bán kính 
. Giả sử 
là một tiếp điểm của tiếp tuyến 
với mặt cầu 
. Khi đó 
Suy ra phương trình mặt phẳng 
có dạng 
. Do 
nên 
Vậy 
.
Câu 45: Ông 
dự định làm một cái thùng phi hình trụ với dung tích 
bằng thép không gỉ để đựng nước. Chi phí trung bình cho 
thép không gỉ là 
đồng. Hỏi chi phí nguyên vật liệu làm cái thùng thấp nhất là bao nhiêu?
A. 
đồng. B. 
đồng. C. 
đồng. D. 
đồng.
Lời giải
Chọn A
Gọi 
lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ
Ta có thể tích 
Lại có diện tích bề mặt hình trụ không nắp 
Để chi phí thấp nhất thì 
nhỏ nhất do đó
Thay 
và 
ta được
Chi phí nguyên vật liệu làm cái thùng thấp nhất là :
Câu 46: Xét các số thực dương 
thỏa mãn 
. Khi biểu thức 
đạt nhỏ nhất, tính giá trị của biểu thức 
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Chọn A
Với 
dương và kết hợp với điều kiện của biểu thức 
ta được 
Biến đổi 
Xét hàm số 
trên 
với mọi 
nên hàm số 
đồng biến trên 
Từ đó suy ra 
Theo giả thiết ta có 
nên từ 
ta được 
.
Dấu bằng xảy ra khi 
.
Vậy giá trị của biểu thức 
.
Câu 47: Với hai số phức 
thay đổi thỏa mãn 
và 
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn D
Gọi 
, ta có 
. Tập hợp điểm biểu diễn 
là đường thẳng 
.
, suy ra tập hợp điểm biểu diễn 
là đường tròn 
tâm 
, bán kính 
.
Số phức 
được biểu diễn bởi điểm 
Số phức 
được biểu diễn bởi điểm 
.
Gọi điểm.
Ta có 
.
Gọi 
là điểm đối xứng với 
qua 
, ta có: 
và
.
Vậy 
. Dấu = xảy ra khi 
.
Câu 48: Một chiếc ly bằng thủy tinh đang chứa nước bên trong được tạo thành khi quay một phần đồ thị hàm số 
xung quanh trục 
Người ta thả vào chiếc ly một viên bi hình cầu có bán kính 
thì mực nước dâng lên phủ kín viên bi đồng thời chạm tới miệng ly. Biết điểm tiếp xúc của viên bi và chiếc ly cách đáy của chiếc ly 
. Thể tích nước có trong ly gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Xét mặt phẳng 
đi qua trục của chiếc ly. Gọi 
là đường tròn lớn của quả cầu. Ta thấy đường tròn 
và đồ thị 
tiếp xúc nhau tại 
Chọn hệ trục 
như hình vẽ, ta được 
Tiếp tuyến với 
tại 
là
Đường thẳng vuông góc với 
tại 
là 
Tâm 
của đường tròn 
là giao điểm của 
và 
ta được 
Ta có 
suy ra thể tích khối cầu 
Dung tích chiếc ly là 
Thể tích nước chứa trong chiếc ly là 
Câu 49: Cho hàm số 
có đạo hàm 
, 
. Gọi 
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số 
để hàm số 
có 5 điểm cực trị. Tính tổng tất cả các phần tử của 
.
A. 154. B. 17. C. 213. D. 153.
Lời giải
Chọn D
+) Ta có 
, trong đó 
là nghiệm bội chẵn nên không phải là điểm cực trị của hàm số 
.
+) Xét hàm số 
.
.
.
Nghiệm của phương trình 
không phải là điểm cực trị của hàm số 
.
Để hàm số 
có 5 điểm cực trị thì phương trình 
và 
phải có 4 nghiệm phân biệt khác 6.
+) Xét hàm số 
.
.
.
Bảng biến thiên:
//
+) Số nghiệm phương trình 
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
và đường thẳng 
.
+) Số nghiệm phương trình 
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 
và đường thẳng 
.
Mà 
nên để hai phương trình trên có 4 nghiệm phân biệt khác 6 thì 
.
Tập các giá trị nguyên dương của 
thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
.
Tổng tất các giá trị 
của tập 
là 
.
Câu 50: Trong không gian 
, cho mặt phẳng 
và mặt cầu 
. Một khối hộp chữ nhật 
có bốn đỉnh nằm trên mặt phẳng 
và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu 
. Khi 
có thể tích lớn nhất, thì mặt phẳng chứa bốn đỉnh của 
nằm trên mặt cầu 
là 
. Giá trị 
bằng
A. 
. B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
Chọn B
Mặt cầu 
tâm 
, bán kính 
.
Ta có: 
nên suy ra mặt phằng 
không cắt mặt cầu 
.
Gọi 
, 
là các kích thước mặt đáy hình hộp chữ nhật và 
.
Khi đó, thể tích của khối hộp chữ nhật 
là
.
Xét hàm số 
trên 
.
Ta có 
; 
.
Từ đó, 
.
Suy ra thể tích khối hộp chữ nhật đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
và 
.
Ta có 
.
.
Lấy điểm 
. Ta có 
và 
phải nằm cùng phía với mặt phẳng 
.
Do đó, ta chọn 
. Từ đó 
.
