Đề Ôn Thi TN THPT 2022 Môn Toán Phát Triển Từ Đề Minh Họa Có Lời Giải Chi Tiết-Đề 5

Đề ôn thi TN THPT 2022 môn Toán phát triển từ đề minh họa được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 24 trang với 50 câu. Đề thi là kiến thức từ cơ bản đến nâng cao khác nhau và kèm sẵn đáp án để các em học sinh dễ dàng so sánh kết quả sao cho chuẩn xác nhất. Mời các em tham khảo thêm nhé!

36 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 12

Môn: Toán 12

Thông tin:

24 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile ha phan
Trang 1
ĐỀ 5
BÁM SÁT ĐỀ MINH HỌA
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022
MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút
Câu 1: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0;5
. Nếu
35
03
d 6, d 10f x x f x x

thì
5
0
df x x
bằng
A.
4
. B.
. C.
60
. D.
16
.
Câu 2: Tập xác định của hàm số
5
logyx
là
A.
.
B.
0; .
C.
0; .
D.
0; \ 1 .
Câu 3: Cho
4
2
d5f x x
. Tính
4
2
13 dtI f t
A.
18
. B.
65
. C.
65
. D.
18
.
Câu 4: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên
;1 3; 
. B. Hàm số có giá trị lớn nhất là
0
khi
1x
.
C. Hàm số có giá trị cực tiểu là
2
khi
3x
. D. Hàm số nghịch biến trên đoạn
0;2
.
Câu 5: Số phức
6 21zi
có số phức liên hợp
z
là
A.
21 6zi
. B.
6 21zi
. C.
6 21zi
. D.
6 21zi
.
Câu 6: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
1
5 .5
xx
dx x C

. B.
1
5 .5
ln5
xx
dx C
.
C.
55
xx
dx C
. D.
5 5 .ln5
xx
dx C
.
Câu 7: Số phức
69zi
có phần ảo là
A.
9
. B.
9i
. C.
9
. D.
6
.
Câu 8: Cho hàm số
32
2 2 7 1y x x x
. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
1;0
lần lượt là
M
và
m
. Giá trị của
Mm
là
A.
10
. B.
1
. C.
11
. D.
9
.
Câu 9: Thể tích của khối cầu có bán kình bằng
2cm
là
A.
33
8.cm
B.
3
8.cm
C.
3
32
.
3
cm
D.
3
32
.
3
cm
Câu 10: Cho cấp số cộng
n
u
có
1 15
2, 40uu
. Tính tổng
15
số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
A.
300S
. B.
285S
. C.
315S
. D.
630S
.
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho đường thẳng
d
có phương trình tham số
12
2 3
14
xt
y t t
zt


R
. Đường thẳng
d
không đi qua điểm nào dưới đây?
A.
2; 3;4Q
. B.
3; 1;5N
. C.
5; 4;9P
. D.
1;2;1M
.
Câu 12: Cho
12
3 6 , 9 7 .z i z i
Số phức
12
zz
có phần thực là
0
+
∞
0
+
∞
y
y'
x
∞
+
0
3
1
-2
+
∞
Trang 2
A.
27.
B.
12.
C.
1.
D.
1.
Câu 13: Cho hàm số
21
,
2
x
y
x
tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
2;1;1A
và
vuông góc với trục tung là
A.
2x
. B.
2 4 0.x y z
C.
1.z
D.
1.y
Câu 15: Tính đạo hạm của hàm số
3
2
2
21y x x
A.
5
2
2
3
. 2 1
2
y x x
. B.
2
3
. 4 1 2 1.
2
y x x x
.
C.
5
2
2
2
. 2 1
5
y x x
. D.
1
2
2
2
. 4 1 2 1
3
y x x x
.
Câu 16: Cho
, , 0, 1a b c a
và
log 2022
a
b
. Tính
6
7
6
4
log . .
a
ab



A.
2022
42
6
. B.
7
6 2022
4
. C.
21
2022
2
. D.
2
2022
21
.
Câu 17: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 3 1 4 3 .z i i z
Tính
.z
A.
17
.
13
z
B.
17
.
13
z
C.
13
.
17
z
D.
13
.
17
z
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
mặt phẳng
P
đi qua
2;0;6A
và nhận
1;2;3n
là
một vectơ pháp tuyến có phương trình là
A.
2
2.
63
xt
y t t
zt



B.
2 6 20 0.xy
C.
2 3 20 0.x y z
D.
2 0 6
.
1 2 3
x y z

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho
2;4; 1 .u
Đẳng thức nào đúng trong các đẳng
thức sau?
A.
2 4 .u i j k
B.
2 4 .u i j k
C.
2 4 1.u
D.
2 2 2
2 4 1 .u
Câu 20: Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình
2 17fx
có bao nhiêu
nghiệm phân biệt?
A.
2.
B.
3.
C.
0.
D.
1.
Câu 21: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
cos4yx
A.
cos4 d 4sin4 .x x x C
B.
1
cos4 d sin 4 .
4
x x x C
Trang 3
C.
cos4 d sin4 .x x x C
D.
1
cos4 d sin 4 .
4
x x x C
Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình
24
x
là:
A.
;2
B.
0;2
C.
;2
D.
0;2
Câu 23: Nghiệm của phương trình
3
log 2x
là
A.
9x
B.
5x
C.
6x
D.
8x
Câu 24: Đồ thị hàm số
2
2
4
8 15
x
y
xx

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
0
.
Câu 25: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
,
SA ABCD
,
2SA a
.
Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
A.
3
4
3
a
V
. B.
3
4
3
a
V
. C.
3
4Va
. D.
3
4Va
.
Câu 26: Tính
2
log 243
5
8
A.
27
. B.
9
. C.
29
3
3
. D.
8
.
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
.a
Tính khoảng cách giữa
AB
và
'.CC
A.
3
2
a
. B.
3a
. C.
3
. D.
3
2
.
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
mặt cầu
S
có phương trình
2 2 2
2 1 3 9.x y z
Xác định tọa độ tâm
.I
A.
2;1;3 .I
B.
2; 1;3 .I
C.
2;1; 3 .I 
D.
2; 1; 3 .I
Câu 29: Đồ thị hàm số
32
6 11 6y x x x
cắt trục hoành tại đúng bao nhiêu điểm phân biệt?
A.
3.
B.
0.
C.
1.
D.
2.
Câu 30: Thể tích của khối nón có đường kính đường tròn đáy là
4,
đường cao bằng
6
là
A.
8.
B.
32 .
C.
24 .
D.
96 .
Câu 31: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?
A.
1
.
21
x
y
x


B.
1
.
21
x
y
x
C.
1
.
21
x
y
x

D.
.
21
x
y
x

Câu 32: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
,
AB a
,
SB ABC
,
2SB a
. Gọi góc giữa
SC
và
SAB
là
. Tính
tan
.
A.
1
tan
3
. B.
1
tan
2
. C.
3
tan
2
. D.
tan 3
.
Trang 4
Câu 33: Cho hàm số
32
y ax bx cx d
có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0, 0, 0, 0a b c d
B.
0, 0, 0, 0.a b c d
C.
0, 0, 0, 0.a b c d
D.
0, 0, 0, 0.a b c d
Câu 34: Biết
2
x
x
c
F x ax b e
x



là một nguyên hàm của hàm số
2
2
1
x
x
f x x e
x



. Giá trị
của biểu thức
2
2P a bc
bằng:
A.
3.
B.
4.
C.
1.
D.
5.
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
2;4; 5M
. Viết phương trình mặt phẳng
qua
M
và cắt các trục tọa độ lần lượt tại
A
,
B
,
C
(không trùng gốc tọa độ) sao cho tam
giác
ABC
nhận
M
làm trực tâm.
A.
1
2 4 5
x y z
. B.
2 4 5
2 4 5
x y z

.
C.
10x y z
. D.
2 4 5 45 0x y z
.
Câu 36: Cho số phức
z
thỏa mãn
3 5 10zi
và
2 1 3 9 14w z i i
. Khẳng định nào đúng
trong các khẳng định sau?
A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức
w
là đường tròn tâm
33; 14I 
.
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức
w
là đường tròn có tâm
33;14I
.
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức
w
là đường tròn có tâm
33;14I
.
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức
w
là đường tròn có bán kính
10R
.
Câu 37: Đội văn nghệ của trường THPT X có
10
học sinh khối
12
,
9
học sinh khối
11
và
11
học sinh
khối
10
. Nhà trường cần chọn
8
bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các
khối. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm học sinh như thế?
A.
3309438
. B.
5852925
. C.
2543268
. D.
5448102
.
Câu 38: Cho số phức
z
thỏa mãn
5 7 197zi
. Giá trị lớn nhất của
4 7 6 21z i z i
thuộc tập hợp nào sau đây?
A.
20; 197 .
B.
30;40 .
C.
197;2 394


D.
2 394;40 .
Câu 39: Cho
: 3 9 0, 2;4;5 , 3;1;1 .P x y z A B
Viết phương trình đường thẳng
d
nằm trong
,P
đi qua điểm
A
và
;d B d
là nhỏ nhất.
A.
25
4 7 .
5 16
xt
y t t
zt


B.
25
4 7 .
5 16
xt
y t t
zt


C.
25
4 7 .
5 16
xt
y t t
zt


D.
25
4 7 .
5 16
xt
y t t
zt


Câu 40: Cho hình chóp
.S ABC
có
ABC
là tam giác vuông tại
, 2 , , 10,B AB a BC a SB a
90 , 90SCB SAB
. Tính
.
?
S ABC
V
A.
3
5
.
3
a
V
B.
3
5.Va
C.
3
5
.
6
a
V
D.
3
25
.
3
a
V
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên dương
m
để phương trình
2
32
3
log 6 9 1 3 3 2 1
m
x x x x x m
có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng
Trang 5
2;2
A.
4.
B.
3.
C.
1.
D.
0.
Câu 42: Cho
1;2;3 , 2;3;4AB
. Mặt cầu
S
có bán kính
R
và
S
tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt
phẳng
,,Oxy Oyz Oxz
. Khối cầu
S
chứa đoạn thẳng
AB
(nghĩa là mọi điểm thuộc đoạn thẳng
AB
đều thuộc khối cầu
S
). Tính tổng các giá trị nguyên mà
R
có thể nhận được?
A.
7.
B.
3
C.
1
D.
5
Câu 43: Có bao nhiêu số nguyên
1;2023m
để bất phương trình sau có nghiệm
2 . 1 4.x m x m
A.
2020.
B.
2021.
C.
2022.
D. Đáp án khác.
Câu 44: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc
0
60
được thiết
diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
4.
Tính thể tích của khối nón ban đầu.
A.
10 3
.
3
V
B.
53
.
3
V
C.
3
.
3
V
D.
53
.
3
V
Câu 45: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số
32
2 12 9 8 9y f x x x x m x
(với
m
là tham số)
trên đoạn
0;5
bằng 78. Tính tổng các giá trị của tham số
m
?
A.
6
. B.
12
. C.
7
. D.
8
.
Câu 46: Cho hàm số
32
0y f x ax bx cx d a
có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm thuộc khoảng
;4
2



của phương trình
2
cos 5 cos 6 0f x f x
là:
A.
13.
B.
9.
C.
7.
D.
12.
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương
m
để phương trình
1
4
2 log 2 2
x
x m m
có nghiệm
1;6 .x
A.
30.
B.
29.
C. Đáp án khác. D.
28.
Câu 48: Cho hai hàm số
2
2
1
1
xx
y
x

và
1y x x m
(
m
là tham số thực) có đồ thị lần lượt là
1
C
và
2
C
. Số các giá trị nguyên của tham số
m
thuộc khoảng
10;10
để
1
C
và
2
C
cắt nhau tại ba điểm phân biệt là
A.
6
. B.
7
. C.
8
. D.
9
.
Câu 49: Cho hàm số
fx
có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn
0;1
, thỏa mãn
2
11
2 2 1 . 0 0;1 , 1
22
f x f x f x xf x x f x x f f
.
Biết
1
2
0
d ( ,
a
f x x a b
b

là các số nguyên dương và
a
b
là phân số tối giản). Giá trị của
ab
bằng:
A.
181
. B.
25
. C.
10
. D.
26
.
Trang 6
Câu 50: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
1; 5;2 , 3;3; 2AB
và đường thẳng
3 3 4
:
1 1 1
x y z
d

; hai điểm
,CD
thay đổi trên
: 6 3d CD
. Biết rằng khi
; ; ( 2)C a b c b
thì tổng diện tích tất cả các mặt của tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
abc
.
A.
2abc
. B.
1abc
. C.
4abc
. D.
7abc
.
---------- HẾT ----------
ĐÁP ÁN
1.B
2.C
3.B
4.C
5.D
6.B
7.C
8.D
9.D
10.C
11.A
12.B
13.B
14.D
15.B
16.C
17.B
18.C
19.A
20.D
21.B
22.A
23.A
24.D
25.A
26.A
27.A
28.B
29.A
30.A
31.B
32.A
33.C
34.C
35.D
36.B
37.D
38.B
39.C
40.A
41.C
42.A
43.C
44.D
45.D
46.A
47.C
48.B
49.B
50.D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0;5
. Nếu
35
03
d 6, d 10f x x f x x

thì
5
0
df x x
bằng
A.
4
. B.
. C.
60
. D.
16
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
5 3 5
0 0 3
d d d 4.f x x f x x f x x
Câu 2: Tập xác định của hàm số
5
logyx
là
A.
.
B.
0; .
C.
0; .
D.
0; \ 1 .
Lời giải
Chọn C
Câu 3: Cho
4
2
d5f x x
. Tính
4
2
13 dtI f t
A.
18
. B.
65
. C.
65
. D.
18
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
4
2
13 dt 13.5 65.I f t
Câu 4: Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên
;1 3; 
.
B. Hàm số có giá trị lớn nhất là
0
khi
1x
.
C. Hàm số có giá trị cực tiểu là
2
khi
3x
.
0
+
∞
0
+
∞
y
y'
x
∞
+
0
3
1
-2
+
∞
Trang 7
D. Hàm số nghịch biến trên đoạn
0;2
.
Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta có
+) Hàm số đồng biến trên các khoảng
;1
,
3; 
và nghịch biến trên khoảng
1;3
+) Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
+) Hàm số có giá trị cực tiểu là
2
khi
3x
. Hàm số có giá trị cực đại là
0
khi
1x
.
Câu 5: Số phức
6 21zi
có số phức liên hợp
z
là
A.
21 6zi
. B.
6 21zi
. C.
6 21zi
. D.
6 21zi
.
Lời giải
Chọn D
Số phức liên hợp của
6 21zi
là
6 21zi
Câu 6: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
1
5 .5
xx
dx x C

. B.
1
5 .5
ln5
xx
dx C
.
C.
55
xx
dx C
. D.
5 5 .ln5
xx
dx C
.
Lời giải
Chọn B
Câu 7: Số phức
69zi
có phần ảo là
A.
9
. B.
9i
. C.
9
. D.
6
.
Lời giải
Chọn C
Câu 8: Cho hàm số
32
2 2 7 1y x x x
. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
1;0
lần lượt là
M
và
m
. Giá trị của
Mm
là
A.
10
. B.
1
. C.
11
. D.
9
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
22
6 4 7 0 6 4 7 0y x x y x x

(vô nghiệm).
Khi đó
1 10y
,
01y
do vậy
1M
và
10m 
.
Vậy
9Mm
.
Câu 9: Thể tích của khối cầu có bán kình bằng
2cm
là
A.
33
8.cm
B.
3
8.cm
C.
3
32
.
3
cm
D.
3
32
.
3
cm
Lời giải
Chọn D
Thể tích của khối cầu là:
33
4 32
. .2 .
33
V cm

Câu 10: Cho cấp số cộng
n
u
có
1 15
2, 40uu
. Tính tổng
15
số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
A.
300S
. B.
285S
. C.
315S
. D.
630S
.
Lời giải
Chọn C
Tổng
15
số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
15
15. 2 40
315.
2
S

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho đường thẳng
d
có phương trình tham số
12
2 3
14
xt
y t t
zt


R
. Đường thẳng
d
không đi qua điểm nào dưới đây?
Trang 8
A.
2; 3;4Q
. B.
3; 1;5N
. C.
5; 4;9P
. D.
1;2;1M
.
Lời giải
Chọn A
Thay tọa độ
2; 3;4Q
vào phương trình đường thẳng không thỏa.
Câu 12: Cho
12
3 6 , 9 7 .z i z i
Số phức
12
zz
có phần thực là
A.
27.
B.
12.
C.
1.
D.
1.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
12
3 6 9 7 12z z i i i
Vậy phần thực của
12
zz
là
12
.
Câu 13: Cho hàm số
21
,
2
x
y
x
tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
1
2
21
lim lim lim 2
2
2
1
x x x
x
x
y
x
x
  
;
1
2
21
lim lim lim 2
2
2
1
x x x
x
x
y
x
x
  
nên đường
thẳng
2y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2 2 2
21
lim lim ; lim
2
x x x
x
yy
x
 
đường thẳng
2x 
là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
2;1;1A
và
vuông góc với trục tung là
A.
2x
. B.
2 4 0.x y z
C.
1.z
D.
1.y
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng
đi qua điểm
2;1;1A
và vuông góc với trục tung nhận vectơ
0;1;0j
là
vectơ pháp tuyến nên mặt phẳng
có phương trình:
1 0 1.yy
Câu 15: Tính đạo hạm của hàm số
3
2
2
21y x x
A.
5
2
2
3
. 2 1
2
y x x
. B.
2
3
. 4 1 2 1.
2
y x x x
.
C.
5
2
2
2
. 2 1
5
y x x
. D.
1
2
2
2
. 4 1 2 1
3
y x x x
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
3 1 1
2 2 2 2
2 2 2
33
2 1 . 2 1 . 2 1 . 4 1 2 1 .
22
y x x y x x x x x x x
Câu 16: Cho
, , 0, 1a b c a
và
log 2022
a
b
. Tính
6
7
6
4
log . .
a
ab



A.
2022
42
6
. B.
7
6 2022
4
. C.
21
2022
2
. D.
2
2022
21
.
Lời giải
Chọn C
Trang 9
Ta có:
6 6 6
77
66
44
7 21
log . log log 6. 2022 2022.
42
a a a
a b a b



Câu 17: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 3 1 4 3 .z i i z
Tính
.z
A.
17
.
13
z
B.
17
.
13
z
C.
13
.
17
z
D.
13
.
17
z
Lời giải
Chọn B
Ta có
1 4 14 5
1 3 1 4 3 2 3 1 4
2 3 13 13
i
z i i z z i i z i
i

22
14 5 14 5 17
.
13 13 13 13 13
zi
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
mặt phẳng
P
đi qua
2;0;6A
và nhận
1;2;3n
là
một vectơ pháp tuyến có phương trình là
A.
2
2.
63
xt
y t t
zt



B.
2 6 20 0.xy
C.
2 3 20 0.x y z
D.
2 0 6
.
1 2 3
x y z

Lời giải
Chọn C
Phương trình mặt phẳng
P
đi qua
2;0;6A
và có vectơ pháp tuyến
1;2;3n
là
1. 2 2 0 3 6 0 2 3 20 0.x y z x y z
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho
2;4; 1 .u
Đẳng thức nào đúng trong các đẳng
thức sau?
A.
2 4 .u i j k
B.
2 4 .u i j k
C.
2 4 1.u
D.
2 2 2
2 4 1 .u
Lời giải
Chọn A
Ta có
2;4; 1 2 4 .u u i j k
Câu 20: Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình
2 17fx
có bao nhiêu
nghiệm phân biệt?
A.
2.
B.
3.
C.
0.
D.
1.
Lời giải
Chọn D
Ta có
17
2 17 8,5
2
f x f x
Từ đồ thị ta thấy phương trình có 1 nghiệm phân biệt
Câu 21: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
cos4yx
Trang 10
A.
cos4 d 4sin4 .x x x C
B.
1
cos4 d sin 4 .
4
x x x C
C.
cos4 d sin4 .x x x C
D.
1
cos4 d sin 4 .
4
x x x C
Lời giải
Chọn B
Ta có
1
cos4 d sin 4 .
4
x x x C
Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình
24
x
là:
A.
;2
B.
0;2
C.
;2
D.
0;2
Lời giải
Chọn A
Ta có
2 4 2
x
x
Tập nghiệm của bất phương trình là
;2
.
Câu 23: Nghiệm của phương trình
3
log 2x
là
A.
9x
B.
5x
C.
6x
D.
8x
Lời giải
Chọn A
2
3
log 2 3 9x x x
.
Câu 24: Đồ thị hàm số
2
2
4
8 15
x
y
xx

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
0
.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện
22
5
3
x
x
x


Vì
3x 
và
5x 
không thỏa mãn điều kiện
2
40x
nên đồ thị hàm số không có tiệm
cận đứng.
Từ điều kiện của hàm số suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số
2
2
4
8 15
x
y
xx

không có đường tiệm cận.
Câu 25: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
,
SA ABCD
,
2SA a
.
Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
A.
3
4
3
a
V
. B.
3
4
3
a
V
. C.
3
4Va
. D.
3
4Va
.
Lời giải
Chọn A
Trang 11
Diện tích hình vuông
ABCD
là:
2
2
22
ABCD
S a a
Thể tích khối chóp
.S ABCD
là:
3
2
.
1 1 4
. .2 .2
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SA S a a
Câu 26: Tính
2
log 243
5
8
A.
27
. B.
9
. C.
29
3
3
. D.
8
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
5
2
2
22
1
log 243
.log 3
3
log 3 log 3
3
5
5
8 8 8 2 3 27
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
.a
Tính khoảng cách giữa
AB
và
'.CC
A.
3
2
a
. B.
3a
. C.
3
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
H
là trung điểm của
AB CH AB
(1).
Mặt khác
CC CH
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
3
;
2
a
d AB CC CH

.
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
mặt cầu
S
có phương trình
2 2 2
2 1 3 9.x y z
Xác định tọa độ tâm
.I
A.
2;1;3 .I
B.
2; 1;3 .I
C.
2;1; 3 .I 
D.
2; 1; 3 .I
Lời giải
D
C
B
A
S
Trang 12
Chọn B
Phương trình
2 2 2
2; 1;3
2 1 3 9
3
I
x y z
R

Câu 29: Đồ thị hàm số
32
6 11 6y x x x
cắt trục hoành tại đúng bao nhiêu điểm phân biệt?
A.
3.
B.
0.
C.
1.
D.
2.
Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm
32
1
6 11 6 0 2
3
x
x x x x
x
.
Do phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm.
Câu 30: Thể tích của khối nón có đường kính đường tròn đáy là
4,
đường cao bằng
6
là
A.
8.
B.
32 .
C.
24 .
D.
96 .
Lời giải
Chọn A
22
11
.6.2 8
33
V hR
Câu 31: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?
A.
1
.
21
x
y
x


B.
1
.
21
x
y
x
C.
1
.
21
x
y
x

D.
.
21
x
y
x

Lời giải
Chọn B
Đồ thị đi qua điểm
1;0
nên
1
21
x
y
x
Câu 32: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
,
AB a
,
SB ABC
,
2SB a
. Gọi góc giữa
SC
và
SAB
là
. Tính
tan
.
A.
1
tan
3
. B.
1
tan
2
. C.
3
tan
2
. D.
tan 3
.
Lời giải
Chọn A
Trang 13
Ta có:
AC AB
AC SAB
AC SB

Suy ra, hình chiếu của
SC
lên mặt phẳng
SAB
là
SA
;;SC SAB SC SA ASC
Tam giác
ABC
vuông cân tại
A
nên
AC AB a
Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác
SAB
ta có:
22
3SA SB AB a
Tam giác
SAC
vuông tại
A
có:
11
tan tan
3 3 3
AC a
ASC
SA
a
Câu 33: Cho hàm số
32
y ax bx cx d
có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0, 0, 0, 0a b c d
B.
0, 0, 0, 0.a b c d
C.
0, 0, 0, 0.a b c d
D.
0, 0, 0, 0.a b c d
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
3 2 ; 6 2y ax bx c y ax b
Từ đồ thị suy ra
+)
lim 0
x
ya


+) Hàm số có hai cực trị trái dấu
y
có hai nghiệm trái dấu
0ac
, mà
00ac
.
+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng có hoành độ dương suy ra
y

có nghiệm dương
00
3
b
b
a
.
Câu 34: Biết
2
x
x
c
F x ax b e
x



là một nguyên hàm của hàm số
2
2
1
x
x
f x x e
x



. Giá trị
của biểu thức
2
2P a bc
bằng:
A.
3.
B.
4.
C.
1.
D.
5.
Lời giải
Chọn C
Vì
2
x
x
c
F x ax b e
x



là nguyên hàm của
2
2
1
x
x
f x x e
x



nên ta có
F x f x
A
C
B
S
Trang 14
Mà
2 2 2
2 2 3 2
2 2 1 1
1 . 2 2
x x x
x x x
c c c
F x a e a x b e b c a c a x a b e
xx
x x x x

Vì
2
x
x
c
F x ax b e
x



là nguyên hàm của
2
2
1
x
x
f x x e
x



nên ta có
2
0
2 0 1
2 2 0 2 1
10
1
c
b c a
F x f x a c b a bc
ac
ab





.
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
2;4; 5M
. Viết phương trình mặt phẳng
qua
M
và cắt các trục tọa độ lần lượt tại
A
,
B
,
C
(không trùng gốc tọa độ) sao cho tam
giác
ABC
nhận
M
làm trực tâm.
A.
1
2 4 5
x y z
. B.
2 4 5
2 4 5
x y z

.
C.
10x y z
. D.
2 4 5 45 0x y z
.
Lời giải
Chọn D
Giả sử
;0;0Aa
,
0; ;0Bb
và
0;0;Cc
nên mặt phẳng
:1
x y z
ABC
a b c
.
Ta có
0; ;BC b c
,
;0;CA a c
và
2 ;4; 5AM a
,
2;4 ; 5BM b
.
Vì
M
là trực tâm
ABC
nên ta có hệ:
5
. 0 4 5 0
4
2 5 0 5
.0
2
bc
AM BC b c
ac
BM CA
ac





.
Ta lại có
2 4 5 4 16 5
1 1 9
55
M ABC c
a b c c c c
nên
45
2
45
4
a
b
.
Vậy
24
: 1 2 4 5 45 0
45 45 9
x y x
ABC x y z
.
Câu 36: Cho số phức
z
thỏa mãn
3 5 10zi
và
2 1 3 9 14w z i i
. Khẳng định nào đúng
trong các khẳng định sau?
A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức
w
là đường tròn tâm
33; 14I 
.
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức
w
là đường tròn có tâm
33;14I
.
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức
w
là đường tròn có tâm
33;14I
.
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức
w
là đường tròn có bán kính
10R
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
9 14
2 1 3 9 14 9 14 2 1 3
26
wi
w z i i w i i z z
i

.
Khi đó
9 14
3 5 10 3 5 10
26
wi
z i i
i

Trang 15
9 14 3 5 2 6
10
26
w i i i
i

33 14 20wi
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
w
là đường tròn tâm
33;14I
, bán kính
20R
.
Câu 37: Đội văn nghệ của trường THPT X có
10
học sinh khối
12
,
9
học sinh khối
11
và
11
học sinh
khối
10
. Nhà trường cần chọn
8
bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các
khối. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm học sinh như thế?
A.
3309438
. B.
5852925
. C.
2543268
. D.
5448102
.
Lời giải
Chọn D
Đặt A: “Chọn
8
bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các khối”.
Suy ra
A
: “Chọn
8
bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 1 khối hoặc 2
khối”.
+) Trường hợp 1: “Chọn
8
bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 1 khối”.
Có
8 8 8
10 9 11
219C C C
cách chọn.
+) Trường hợp 2: “Chọn
8
bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối”.
- Chọn
8
bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 10 và 11
Có
1 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 1
11 9 11 9 11 9 11 9 11 9 11 9 11 9
125796C C C C C C C C C C C C C C
cách chọn.
- Chọn
8
bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 11 và 12
Có
1 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 1
9 10 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10
75528C C C C C C C C C C C C C C
cách chọn.
- Chọn
8
bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 10 và 12
Có
1 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 1
11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10
203280C C C C C C C C C C C C C C
cách chọn.
Suy ra
219 125796 75528 203280 404823nA
cách.
Vậy
8
30
404823 5448102n A C
cách chọn.
Câu 38: Cho số phức
z
thỏa mãn
5 7 197zi
. Giá trị lớn nhất của
4 7 6 21z i z i
thuộc tập hợp nào sau đây?
A.
20; 197 .
B.
30;40 .
C.
197;2 394


D.
2 394;40 .
Lời giải
Chọn B
Gọi
;M x y
là điểm biểu diễn số phức
z
Suy ra,
22
: 5 7 197M C x y
có tâm
5; 7I
Gọi
4;7 , 6; 21AB
. Ta thấy
,A B C
Mặt khác,
2 197 2AB R
AB
là đường kính của đường tròn
C
.
2 2 2
: 788M C MA MB AB
Ta có:
2
22
2 2.788 1576MA MB MA MB
1576 2 394MA MB
Ta có:
4 7 6 21 2 394z i z i MA MB
Vậy giá trị lớn nhất của
4 7 6 21z i z i
bằng
2 394 39,69.
Dấu
""
xảy ra khi
MA MB
Câu 39: Cho
: 3 9 0, 2;4;5 , 3;1;1 .P x y z A B
Viết phương trình đường thẳng
d
nằm trong
,P
đi qua điểm
A
và
;d B d
là nhỏ nhất.
Trang 16
A.
25
4 7 .
5 16
xt
y t t
zt


B.
25
4 7 .
5 16
xt
y t t
zt


C.
25
4 7 .
5 16
xt
y t t
zt


D.
25
4 7 .
5 16
xt
y t t
zt


Lời giải
Chọn C
Hạ
, BH P HK d
. Nên:
d BHK d BK
.
Do
BHK
vuông tại
H
nên:
min
,BK BH d B d BH
.
Do
H
là hình chiếu vuông góc của
B
trên
P
nên:
3 ;1 3 ;1H t t t
Do
HP
nên:
4 37 23 7
3 3 1 3 1 9 0 ; ;
11 11 11 11
t t t t H



Từ đó:
15 21 48
;;
11 11 11
AH




, chọn
5 ; 7;16
d
u
cùng phương
AH
.
Vậy phương trình đường thẳng:
25
: 4 7 .
5 16
xt
d y t t
zt


Câu 40: Cho hình chóp
.S ABC
có
ABC
là tam giác vuông tại
, 2 , , 10,B AB a BC a SB a
90 , 90SCB SAB
. Tính
.
?
S ABC
V
A.
3
5
.
3
a
V
B.
3
5.Va
C.
3
5
.
6
a
V
D.
3
25
.
3
a
V
Lời giải
Chọn A
Trang 17
Dựng hình hộp chữ nhật và chọn đỉnh
, , , ,S A B C D
như hình vẽ.
Ta có:
2 2 2 2
5, 5AC BD AB BC a SD SB BD a
Vậy:
3
.
15
..
33
S ABC ABC
a
V SD S
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên dương
m
để phương trình
2
32
3
log 6 9 1 3 3 2 1
m
x x x x x m
có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng
2;2
A.
4.
B.
3.
C.
1.
D.
0.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
32
3
3 2 3 2
3
log 6 9 1 3 3 2 1
2log 6 9 1 6 9 1 3 2
m
m
x x x x x m
x x x x x x m
Đặt
3 2 3 2
3
log 6 9 1 6 9 1 3
t
t x x x x x x
. Khi đó ta có
3 2 3 2
3
2log 6 9 1 6 9 1 3 2 3 2 3 2
m t m
x x x x x x m t m
.
Xét hàm số
32
u
f u u
là hàm đồng biến
u
nên suy ra
32
6 9 1 3
m
f t f m t m x x x
.
Xét hàm số
32
6 9 1f x x x x
trên khoảng
2;2
có bbt:
Để thỏa mãn ycbt thì
3
1
0 3 3
log 5
35
m
m
m
m


.
Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của
m
thỏa ycbt.
Câu 42: Cho
1;2;3 , 2;3;4AB
. Mặt cầu
S
có bán kính
R
và
S
tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt
phẳng
,,Oxy Oyz Oxz
. Khối cầu
S
chứa đoạn thẳng
AB
(nghĩa là mọi điểm thuộc đoạn thẳng
AB
đều thuộc khối cầu
S
). Tính tổng các giá trị nguyên mà
R
có thể nhận được?
A.
7.
B.
3
C.
1
D.
5
Trang 18
Lời giải
Chọn A
Vì mặt cầu
S
có bán kính
R
và
S
tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt phẳng
,,Oxy Oyz Oxz
nên tọa độ tâm
,,I a a a
và
aR
.
Để khối cầu
S
chứa đoạn thẳng
AB
thì ta cần có:
2 2 2
2 2 2
3 2 3 2
6 7 0
9 23
32
9 23 9 23
2
2 18 29 0
22
a
IA R a a
a
IB R a a
a





.
Vì
a
nên
3;4a
. Tức là
3;4R
, suy ra tổng các giá trị nguyên mà
R
có thể nhận
được bằng
7
.
Câu 43: Có bao nhiêu số nguyên
1;2023m
để bất phương trình sau có nghiệm
2 . 1 4.x m x m
A.
2020.
B.
2021.
C.
2022.
D. Đáp án khác.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
1x
.
Ta có
2 1 4
2 . 1 4. 1 1 2 1 4
11
xx
x m x m m x x x m
x

.
Đặt
1, 0t x t
. Bất phương trình trở thành
2
3
14
4
*
11
tt
tt
mm
tt



Xét hàm số
3
4
,0
1
tt
f t t
t


.
Ta có
32
2
2 3 5
, 0 1
1
tt
f t f t t
t


.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra bất phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi
2m
.
Do
m
và
1;2023m
nên
2;3;...;2023m
có
2022
giá trị
m
thỏa mãn.
Câu 44: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc
0
60
được thiết
diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
4.
Tính thể tích của khối nón ban đầu.
A.
10 3
.
3
V
B.
53
.
3
V
C.
3
.
3
V
D.
53
.
3
V
Lời giải
Chọn D
Trang 19
Giả sử hình nón đỉnh
S
tâm
O
, thiết diện qua đỉnh ở giả thiết là tam giác vuông cân
SAB
.
Gọi
K
là trung điểm của
AB
, suy ra góc giữa
SAB
và mặt đáy là
60SKO 
.
Ta có
1
42
2
AB SK AB
và
22SA SB
.
Tam giác
SKO
vuông tại
: .tan 3O SO SK SKO
.
Tam giác
SAO
vuông tại
22
:5O AO SA SO
.
Thể tích khối nón
2
1 5 3
..
33
V AO SO


.
Câu 45: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số
32
2 12 9 8 9y f x x x x m x
(với
m
là tham số)
trên đoạn
0;5
bằng 78. Tính tổng các giá trị của tham số
m
?
A.
6
. B.
12
. C.
7
. D.
8
.
Lời giải
Chọn D
Do giá trị lớn nhất của hàm số
32
2 12 9 8 9y f x x x x m x
(
m
là tham số) trên
đoạn
0;5
là
78
nên
32
2 12 9 8 9 78 0;5x x x m x x
và dấu bằng phải xảy ra tại ít nhất một điểm
32
32
3 2 3 2
32
0;5
32
0;5
2 12 9 8 78 9 0;5
78 9 0 0;5
9 78 2 12 9 8 78 9
2 12 86 2 12 18 70 0;5
max 2 12 86
22
30
min 2 12 18 70
x
x
x x x m x x
x dung x
x x x x m x
x x m x x x x
m x x
m
m
m x x x



Và dấu bằng phải xảy ra nên
22
30
m
m

. Vậy tổng tất cả giá trị
m
là 8
Câu 46: Cho hàm số
32
0y f x ax bx cx d a
có đồ thị như hình vẽ.
Trang 20
Số nghiệm thuộc khoảng
;4
2



của phương trình
2
cos 5 cos 6 0f x f x
là:
A.
13.
B.
9.
C.
7.
D.
12.
Lời giải
Chọn A
;4 cos 1;1 cos 1;3 .
2
x x f x



Phương trình đã cho tương đương:
2
cos 5 cos 6 0
cos 2
cos 2 cos 2
cos 2
cos 3
cos 3 cos 3
cos 3
f x f x
f x VN
f x f x
fx
f x VN
f x f x
fx









.
TH1:
cos 1 0 , 1
cos 2
cos 0 1 , 2
x a a
fx
x b b

.
Phương trình số
1
có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn.
Phương trình số
2
có 5 nghiệm phân biệt thỏa mãn.
TH2:
cos 3 cos 0, 3f x x
.
Phương trình số
3
có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn (lưu ý không lấy nghiệm tại
2
x
).
Trang 21
Vậy kết hợp cả hai trường hợp, phương trình đã cho có tổng cộng 13 nghiệm
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương
m
để phương trình
1
4
2 log 2 2
x
x m m
có nghiệm
1;6 .x
A.
30.
B.
29.
C. Đáp án khác. D.
28.
Lời giải
Chọn C
Do
m
là số nguyên dương và
1;6 .x
nên
20xm
.
2
12
42
log 2 2
2
2
2 log 2 2 2 2 2 2 log 2 2
2 2 2 log 2 2
xx
xm
x
x m m x x m x m
x x m


Xét hàm số
2
t
f t t
với
t
có
2 .ln2 1 0,
t
f t t
.
Suy ra hàm số
y f t
đồng biến trên .Ta có
22
2
2
2
0 2 log 2 2 2 2 2 2 2 2
2 log 2 2
t
xx
f t t
f t x x m x m m x
f x f x m


Xét hàm số
22
2 2 1 2 .ln2 0 1;6
xx
g x x g x x

.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
6 2 248 3 124mm
.
Mà
0m
và
m
nên
3;4;...;124m
.
Vậy có 122 giá trị nguyên dương của tham số
m
thoả mãn phương trình có nghiệm
1;6 .x
Câu 48: Cho hai hàm số
2
2
1
1
xx
y
x

và
1y x x m
(
m
là tham số thực) có đồ thị lần lượt là
1
C
và
2
C
. Số các giá trị nguyên của tham số
m
thuộc khoảng
10;10
để
1
C
và
2
C
cắt nhau tại ba điểm phân biệt là
Trang 22
A.
6
. B.
7
. C.
8
. D.
9
.
Lời giải
Chọn B
Xét phương trình
2
2
1
1
1
xx
x x m
x

. Điều kiện
1x 
.
PT trên
1 1 1
11
2 1 1
x x m
xx




.
Xét hàm số
2
1 1 1
11
2 1 1
f x x x
xx




với
1x 
.
Ta có
2 2 2 2
11
1
1 1 1 1 1 1
' 1 '
2 1 2 1
1 1 1 1
xx
x
f x f x
xx
x x x x

Do
11xx
, suy ra
' 0, 1.f x x
BBT:
Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
2m
.
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số
m
.
Câu 49: Cho hàm số
fx
có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn
0;1
, thỏa mãn
2
11
2 2 1 . 0 0;1 , 1
22
f x f x f x xf x x f x x f f
.
Biết
1
2
0
d ( ,
a
f x x a b
b

là các số nguyên dương và
a
b
là phân số tối giản). Giá trị của
ab
bằng:
A.
181
. B.
25
. C.
10
. D.
26
.
Lời giải
Chọn B
Biến đổi phương trình:
2
2
2
2
2 2 1 . 0
2 1 . 2
2 2 1 . 2
1 . 2 1
f x f x f x xf x x f x
f x f x xf x x f x f x f x f x
x f x x f x f x f x f x
x f x f x f x




Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được:
2
2
1
1.x f x f x f x C I
Theo giả thuyết,
11
1 1 9 1
12
2 2 4 4
f f C C
Phương trình
I
trở thành
2
2
1
1.
4
x f x f x f x
Tiếp tục biến đổi phương trình trên, ta được như sau:
2
2
1
0
1
1
4
fx
fx
x
f x f x


Trang 23
Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được:
2
22
d
1 1 1
d
1
1
1
1
2
2
f x x
xC
x
x
fx
fx





Theo giả thuyết,
2
1 1 1 1
10
1
2 2 1
2
f f C
x
fx
1
23
11
2
00
0
1 1 1 1 13
dd
2 2 3 2 12
f x x f x x x x x




Vậy ta có được
13; 12.ab
Kết luận
25ab
Câu 50: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
1; 5;2 , 3;3; 2AB
và đường thẳng
3 3 4
:
1 1 1
x y z
d

; hai điểm
,CD
thay đổi trên
: 6 3d CD
. Biết rằng khi
; ; ( 2)C a b c b
thì tổng diện tích tất cả các mặt của tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
abc
.
A.
2abc
. B.
1abc
. C.
4abc
. D.
7abc
.
Lời giải
Chọn D
Vì
,,AM BN CD
không đổi nên tổng diện tích toàn phần của tứ diện nhỏ nhất khi tổng diện tích
hai tam giác
,ABC ABD
nhỏ nhất.
Cách 1: Gọi
3 ; 3 ; 4 , 3 ; 3 ; 4C t t t D t t t
, từ
63CD
suy ra
6tt

.
TH1:
6 9 ;3 ;2t t D t t t
. Do vậy
, 40 12 ; 8 8 ;24 4 , , 32 12 ;40 8 ;48 4AC AB t t t AD AB t t t
Suy ra
22
2 14 2 6 4 6 2 14 36 24 4 210
ABC ABD
S S t t
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2 4 1 2; 4; 5 , 8;2;1t t t C D
(thỏa mãn). Vậy
7abc
.
TH2:
6tt

trường hợp này đổi vai trò của
,CD
cho nhau trong TH1 nên loại.
Cách 2: Tổng diện tích toàn phần của hai tam giác nhỏ nhất khi
CH DK
nhỏ nhất.
P
là mặt phẳng đi qua
,AB
và song song với
d
:
Trang 24
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
4
sin sin 4 sin 4
CH DK CI IH DJ JK IH JK CI
EI EJ CI IJ CI
Vì
, , , ,CI DJ d AB d IJ CD AB d
không đổi nên
CH DK
nhỏ nhất khi dấu bằng
xảy ra khi
CI JK IH DJ JK IH
, khi đó
,EF
là trung điểm của
,IJ CD
.
EF
là đoạn
vuông góc chung của
,AB CD
.
Phương trình
1
: 5 2 1 ; 5 2 ;2
2
xs
AB y s E s s s
zs

và
3 ; 3 ; 4F t t t
.
Từ đó suy ra
3 7 2
3 2 0 3
t s t
t s s



do vậy nếu
3 ; 3 ; 4C t t t
và
33FC
thì
5 8;2;1 ( )
1 2; 4; 5 ( )
t C l
t C tm

---------- HẾT ----------
| 1/24
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐỀ 5
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022
BÁM SÁT ĐỀ MINH HỌA MÔN TOÁN Thời gian: 90 phút 3 5 5 Câu 1:
Cho hàm số y f x liên tục trên 0;5. Nếu f
 xdx  6, f
 xdx  1
 0 thì f xdx  0 3 0 bằng A. 4 . B. 4  . C. 60  . D. 16 . Câu 2:
Tập xác định của hàm số y  log x là 5 A. . B. 0;. C. 0; .
D. 0;  \   1 . 4 4 Câu 3: Cho f
 xdx  5. Tính I  1  3 f  tdt 2 2 A. 18  . B. 65  . C. 65. D. 18 . Câu 4:
Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau x ∞ 1 3 +∞ y' + 0 0 + 0 +∞ y ∞ -2
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên  ;   1 3; .
B. Hàm số có giá trị lớn nhất là 0 khi x 1.
C. Hàm số có giá trị cực tiểu là 2
 khi x  3. D. Hàm số nghịch biến trên đoạn 0;2. Câu 5:
Số phức z  6  21i có số phức liên hợp z là
A. z  21 6i . B. z  6   21i . C. z  6   21i.
D. z  6  21i . Câu 6:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? x 1 A. x x 1 5 dx . x 5    C  . B. 5  .5x dxC  . ln 5 C. 5x  5x dxC  . D. 5x  5 .x dx ln 5  C  . Câu 7:
Số phức z  6  9i có phần ảo là A. 9  . B. 9i . C. 9 . D. 6 . Câu 8: Cho hàm số 3 2
y  2x  2x  7x 1. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  1
 ;0 lần lượt là M và m . Giá trị của M m là A. 10  . B. 1. C. 11  . D. 9  . Câu 9:
Thể tích của khối cầu có bán kình bằng 2 cm là 32 32 A. 3   3 8 cm . B.   3 8 cm . C.  3 cm . D.  3 cm . 3 3
Câu 10: Cho cấp số cộng u có u  2,u  40 . Tính tổng 15số hạng đầu tiên của cấp số cộng này. n  1 15 A. S  300 . B. S  285 . C. S  315. D. S  630 .
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số x  1 2t
y  2  3t t R . Đường thẳng d không đi qua điểm nào dưới đây? z 1 4tA. Q 2; 3  ;4 . B. N 3; 1  ;5. C. P 5; 4  ;9 . D. M 1; 2  ;1 .
Câu 12: Cho z  3  6i, z  9  7 .
i Số phức z z có phần thực là 1 2 1 2 Trang 1 A. 27. B. 12. C. 1.  D. 1. 2x 1
Câu 13: Cho hàm số y
, tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là x  2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng   đi qua điểm A2;1;  1 và
vuông góc với trục tung là A. x  2 .
B. 2x y z  4  0. C. z  1. D. y  1.
Câu 15: Tính đạo hạm của hàm số y   x x  3 2 2 2 1 3 3 A. y 
.2x x  5 2 2 1 . B. y  .4x   2 1
2x x 1. . 2 2 2 2 C. y 
.2x x  5 2 2 1 . D. y  .4x  
1 2x x  1 2 2 1 . 5 3 7  
Câu 16: Cho a, b, c  0, a  1 và log b  2022 . Tính 4 6 log  a . b . a 6 a   2022 7 21 2 A. 42  . B.  6 2022 . C.  2022 . D.  2022 . 6 4 2 21
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i 1 4i  3 .
z Tính z . 17 17 13 13 A. z  . B. z  . C. z  . D. z  . 13 13 17 17
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng  P đi qua A2;0;6 và nhận n 1; 2;3 là
một vectơ pháp tuyến có phương trình là x  2  t
A. y  2tt  .
B. 2x  6 y  20  0. z  63tx  2 y  0 z  6
C. x  2 y  3z  20  0. D.   . 1 2 3
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho u 2; 4;  
1 . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau?
A. u  2i  4 j k. B. u  2
i  4 j k.
C. u  2  4 1. D. 2 2 2 u  2  4 1 .
Câu 20: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình 2 f x 17 có bao nhiêu nghiệm phân biệt? A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Câu 21: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số y  cos 4x 1
A. cos 4x dx  4sin 4x  . C
B. cos 4x dx  sin 4x C.  4 Trang 2 1
C. cos 4x dx  sin 4x  . C
D. cos 4x dx   sin 4x C.  4
Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình 2x  4 là: A.  ;  2 B. 0; 2 C.  ;  2 D. 0; 2
Câu 23: Nghiệm của phương trình log x  2 là 3
A. x  9
B. x  5
C. x  6
D. x  8 2 4  x
Câu 24: Đồ thị hàm số y
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x  8x 15 A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 0 .
Câu 25: Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , SA   ABCD , SA  2a .
Tính thể tích khối chóp . S ABCD 3 4a 3 4 a A. V  . B. V  . C. 3 V  4a . D. 3 V  4 a . 3 3 log 243
Câu 26: Tính  5 8 2 29 A. 27 . B. 9 . C. 3 3 . D. 8 .
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng AB .
C A' B 'C ' có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CC '. a 3 3 A. . B. a 3 . C. 3 . D. . 2 2
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu
S có phương trình
x  2  y  2 z  2 2 1 3
 9. Xác định tọa độ tâm I.
A. I 2;1;3. B. I 2; 1  ;3. C. I  2  ;1; 3  . D. I  2  ; 1  ; 3  .
Câu 29: Đồ thị hàm số 3 2
y x  6x 11x  6 cắt trục hoành tại đúng bao nhiêu điểm phân biệt? A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 30: Thể tích của khối nón có đường kính đường tròn đáy là 4, đường cao bằng 6 là A. 8. B. 32. C. 24. D. 96.
Câu 31: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên? x 1 x 1 x 1 x A. y  . y  . y  . y  2  x B. 1 2x C. 1 2x D. . 1 2  x 1
Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a , SB   ABC ,
SB a 2 . Gọi góc giữa SC và SAB là  . Tính tan . 1 1 3 A. tan   . B. tan   . C. tan   . D. tan  3 . 3 2 2 Trang 3 Câu 33: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0
B. a  0, b  0, c  0, d  0.
C. a  0, b  0, c  0, d  0.
D. a  0, b  0, c  0, d  0. 2 2 x c    2 x   
Câu 34: Biết F xxax b e  
là một nguyên hàm của hàm số    1 x f xx e   . Giá trị  x   x  của biểu thức 2
P a  2bc bằng: A. 3.  B. 4. C. 1. D. 5.
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2; 4; 5
  . Viết phương trình mặt phẳng
 qua M và cắt các trục tọa độ lần lượt tại A , B , C (không trùng gốc tọa độ) sao cho tam
giác ABC nhận M làm trực tâm. x y z x  2 y  4 z  5 A.    1. B.   . 2 4 5 2 4 5 
C. x y z 1  0 .
D. 2x  4 y  5z  45  0 .
Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn z  3  5i  10 và w  2z 1 3i  9 14i . Khẳng định nào đúng
trong các khẳng định sau?
A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I  3  3; 1  4 .
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm I 33;14 .
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm I  3  3;14.
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có bán kính R 10.
Câu 37: Đội văn nghệ của trường THPT X có 10 học sinh khối 12 , 9 học sinh khối 11 và 11 học sinh
khối 10. Nhà trường cần chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các
khối. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm học sinh như thế? A. 3309438. B. 5852925. C. 2543268 . D. 5448102.
Câu 38: Cho số phức z thỏa mãn z  5  7i  197 . Giá trị lớn nhất của z  4  7i z  6  21i
thuộc tập hợp nào sau đây? A. 20; 197 . B. 30;40. C.  197; 2 394    D. 2 394;40.
Câu 39: Cho  P : x  3y z  9  0, A2;4;5, B 3;1; 
1 . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong
P, đi qua điểm A và d  ;
B d  là nhỏ nhất.
x  2  5t
x  2  5t
x  2  5t
x  2  5t    
A. y  4  7t t  . B. y  4  7t t  . C. y  4  7t t  . D. y  4  7t t  .     z  5 16tz  5 16tz  5 16tz  5 16t
Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại , B AB  2 , a BC  , a SB a 10, SCB  90 ,
SAB  90 . Tính V ? S . ABC 3 a 5 3 a 5 3 2a 5 A. V  . B. 3 V a 5. C. V  . D. V  . 3 6 3 Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình log
 6 9  1  32 3 2  3m x x x x x
 2m 1 có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng 3 Trang 4  2  ;2 A. 4. B. 3. C. 1. D. 0.
Câu 42: Cho A1;2;3, B2;3;4 . Mặt cầu S  có bán kính R và S  tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt
phẳng Oxy, Oyz, Oxz . Khối cầu S  chứa đoạn thẳng AB (nghĩa là mọi điểm thuộc đoạn thẳng
AB đều thuộc khối cầu  S  ). Tính tổng các giá trị nguyên mà R có thể nhận được? A. 7. B. 3 C. 1 D. 5
Câu 43: Có bao nhiêu số nguyên m 1;202 
3 để bất phương trình sau có nghiệm
x  2 m. x 1  m  4. A. 2020. B. 2021. C. 2022. D. Đáp án khác.
Câu 44: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc 0 60 được thiết
diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 4. Tính thể tích của khối nón ban đầu. 10 3  5 3 3  5 3  A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 3 3 3 3
Câu 45: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y f x 3 2
 2x 12x  9x m  8  9x (với m là tham số)
trên đoạn 0;5 bằng 78. Tính tổng các giá trị của tham số m ? A. 6 . B. 12 . C. 7 . D. 8 . Câu 46:
Cho hàm số y f x 3 2
ax bx cx d a  0 có đồ thị như hình vẽ.   
Số nghiệm thuộc khoảng  ; 4   của phương trình 2
f cos x  5 f cos x  6  0 là:  2  A. 13. B. 9. C. 7. D. 12.
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình x 1 2   log
x  2  2m m có nghiệm 4   x  1  ;6. A. 30. B. 29.
C. Đáp án khác. D. 28. 2 x x 1
Câu 48: Cho hai hàm số y
và y x x 1  m ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là 2 x 1
C và C . Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng  1
 0;10 để C và C 2  1  2  1 
cắt nhau tại ba điểm phân biệt là A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 .
Câu 49: Cho hàm số f x có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn 0;  1 , thỏa mãn    
f  x  f xf  x  xf  x   x  2 f   x  x    1 1 2 2 1 . 0 0;1 , f   f 1     .  2   2  1 Biết     2 a f x  dx  (a,b
là các số nguyên dương và a là phân số tối giản). Giá trị của a b b b 0 bằng: A. 181. B. 25 . C. 10 . D. 26 . Trang 5
Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1  ; 5  ;2, B3;3; 2   và đường thẳng x  3 y  3 z  4 d :  
; hai điểm C, D thay đổi trên d : CD  6 3 . Biết rằng khi 1 1 1 C  ; a ;
b c(b  2) thì tổng diện tích tất cả các mặt của tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
a b c .
A. a b c  2 .
B. a b c  1  .
C. a b c  4  .
D. a b c  7  .
---------- HẾT ---------- ĐÁP ÁN 1.B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.B 7.C 8.D 9.D 10.C 11.A 12.B 13.B 14.D 15.B 16.C 17.B 18.C 19.A 20.D 21.B 22.A 23.A 24.D 25.A 26.A 27.A 28.B 29.A 30.A 31.B 32.A 33.C 34.C 35.D 36.B 37.D 38.B 39.C 40.A 41.C 42.A 43.C 44.D 45.D 46.A 47.C 48.B 49.B 50.D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 3 5 5 Câu 1:
Cho hàm số y f x liên tục trên 0;5. Nếu f
 xdx  6, f
 xdx  1
 0 thì f xdx  0 3 0 bằng A. 4 . B. 4  . C. 60  . D. 16 . Lời giải Chọn B 5 3 5 Ta có f
 xdx f
 xdxf
 xdx  4  . 0 0 3 Câu 2:
Tập xác định của hàm số y  log x là 5 A. . B. 0;. C. 0; .
D. 0;  \   1 . Lời giải Chọn C 4 4 Câu 3: Cho f
 xdx  5. Tính I  1  3 f  tdt 2 2 A. 18  . B. 65  . C. 65. D. 18 . Lời giải Chọn B 4 Ta có I  1  3 f  tdt  1  3.5  6  5. 2 Câu 4:
Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau x ∞ 1 3 +∞ y' + 0 0 + 0 +∞ y ∞ -2
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên  ;   1 3; .
B. Hàm số có giá trị lớn nhất là 0 khi x 1.
C. Hàm số có giá trị cực tiểu là 2  khi x  3. Trang 6
D. Hàm số nghịch biến trên đoạn 0; 2. Lời giải Chọn C
Từ bảng biến thiên ta có
+) Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;1 
, 3; và nghịch biến trên khoảng 1;3
+) Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
+) Hàm số có giá trị cực tiểu là 2
 khi x  3. Hàm số có giá trị cực đại là 0 khi x 1. Câu 5:
Số phức z  6 21i có số phức liên hợp z là
A. z  21 6i . B. z  6   21i . C. z  6   21i.
D. z  6  21i . Lời giải Chọn D
Số phức liên hợp của z  6 21i là z  6  21i Câu 6:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? x 1 A. x x 1 5 dx . x 5    C  . B. 5  .5x dxC  . ln 5 C. 5x  5x dxC  . D. 5x  5 .x dx ln 5  C  . Lời giải Chọn B Câu 7:
Số phức z  6  9i có phần ảo là A. 9  . B. 9i . C. 9 . D. 6 . Lời giải Chọn C Câu 8: Cho hàm số 3 2
y  2x  2x  7x 1. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  1
 ;0 lần lượt là M và m . Giá trị của M m là A. 10  . B. 1. C. 11  . D. 9  . Lời giải Chọn D Ta có 2 2
y  6x  4x  7  y  0  6x  4x  7  0 (vô nghiệm). Khi đó y   1  1
 0 , y0 1 do vậy M 1 và m  10  .
Vậy M m  9  . Câu 9:
Thể tích của khối cầu có bán kình bằng 2 cm là 32 32 A. 3   3 8 cm . B.   3 8 cm . C.  3 cm . D.  3 cm . 3 3 Lời giải Chọn D
Thể tích của khối cầu là: 4 32 3 V  . .2   3 cm . 3 3
Câu 10: Cho cấp số cộng u có u  2,u  40 . Tính tổng 15số hạng đầu tiên của cấp số cộng này. n  1 15 A. S  300 . B. S  285 . C. S  315. D. S  630 . Lời giải Chọn C 15.2  40
Tổng 15số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: S   315. 15 2
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số x  1 2t
y  2  3t t R . Đường thẳng d không đi qua điểm nào dưới đây? z 1 4t Trang 7 A. Q 2; 3  ;4 . B. N 3; 1  ;5. C. P 5; 4  ;9 . D. M 1; 2  ;1 . Lời giải Chọn A
Thay tọa độ Q2; 3
 ;4 vào phương trình đường thẳng không thỏa.
Câu 12: Cho z  3  6i, z  9  7 .
i Số phức z z có phần thực là 1 2 1 2 A. 27. B. 12. C. 1.  D. 1. Lời giải Chọn B
Ta có: z z  3  6i  9  7i  12  i 1 2    
Vậy phần thực của z z là 12 . 1 2 2x 1
Câu 13: Cho hàm số y
, tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là x  2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn B 1 1 2  2  2x 1 2x 1 Ta có lim  lim  lim x y  2; lim  lim  lim x y  2 nên đường x
x x  2 x 2 x
x x  2 x 2 1 1 x x
thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2x 1 lim y  lim   ;
 lim y    đường thẳng x  2
 là tiệm cận đứng của đồ thị    x 2  x 2   x 2 x 2  hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng   đi qua điểm A2;1;  1 và
vuông góc với trục tung là A. x  2 .
B. 2x y z  4  0. C. z  1. D. y  1. Lời giải Chọn D
Mặt phẳng   đi qua điểm A2;1; 
1 và vuông góc với trục tung nhận vectơ j  0;1;0 là
vectơ pháp tuyến nên mặt phẳng   có phương trình: y 1  0  y  1.
Câu 15: Tính đạo hạm của hàm số y   x x  3 2 2 2 1 3 3 A. y 
.2x x  5 2 2 1 . B. y  .4x   2 1
2x x 1. . 2 2 2 2 C. y 
.2x x  5 2 2 1 . D. y  .4x  
1 2x x  1 2 2 1 . 5 3 Lời giải Chọn B 3 1 1 3  3 Ta có: y   2 2x x   1  y  . 2 2x x   1 . 2 2x x   1  .4x   1  2 2 2
2x x  2 1 . 2 2 7  
Câu 16: Cho a, b, c  0, a  1 và log b  2022 . Tính 4 6 log  a . b . a 6 a   2022 7 21 2 A. 42  . B.  6 2022 . C.  2022 . D.  2022 . 6 4 2 21 Lời giải Chọn C Trang 8 7 7   7 21 Ta có: 4 6 4 6 log
a . b   log a  log b  6.  2022   2022. 6 6 6 a a a 4 2  
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i 1 4i  3 .
z Tính z . 17 17 13 13 A. z  . B. z  . C. z  . D. z  . 13 13 17 17 Lời giải Chọn B i
Ta có z   i   i z z   i 1 4 14 5 1 3 1 4 3
2 3  1 4i z     i 2   3i 13 13 2 2 14 5  14   5  17  z    i     .     13 13  13  13  13
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng  P đi qua A2;0;6 và nhận n 1; 2;3 là
một vectơ pháp tuyến có phương trình là x  2  t
A. y  2t
t  . B. 2x  6y  20  0. z  63tx  2 y  0 z  6
C. x  2 y  3z  20  0. D.   . 1 2 3 Lời giải Chọn C
Phương trình mặt phẳng P đi qua A2;0;6 và có vectơ pháp tuyến n  1;2;3 là
1. x  2  2 y  0  3 z  6  0  x  2y  3z  20  0.
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho u 2; 4;  
1 . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau?
A. u  2i  4 j k. B. u  2
i  4 j k.
C. u  2  4 1. D. 2 2 2 u  2  4 1 . Lời giải Chọn A
Ta có u  2; 4;  
1  u  2i  4 j k.
Câu 20: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình 2 f x 17 có bao nhiêu nghiệm phân biệt? A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn D
Ta có f x   f x 17 2 17   8,5 2
Từ đồ thị ta thấy phương trình có 1 nghiệm phân biệt
Câu 21: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số y  cos 4x Trang 9 1
A. cos 4x dx  4sin 4x  . C
B. cos 4x dx  sin 4x C.  4 1
C. cos 4x dx  sin 4x  . C
D. cos 4x dx   sin 4x C.  4 Lời giải Chọn B 1
Ta có cos 4x dx  sin 4x C.  4
Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình 2x  4 là: A.  ;  2 B. 0; 2 C.  ;  2 D. 0; 2 Lời giải Chọn A
Ta có 2x  4  x  2  Tập nghiệm của bất phương trình là  ;  2 .
Câu 23: Nghiệm của phương trình log x  2 là 3
A. x  9
B. x  5
C. x  6
D. x  8 Lời giải Chọn A 2
log x  2  x  3  x  9 . 3 2 4  x
Câu 24: Đồ thị hàm số y
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x  8x 15 A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 0 . Lời giải Chọn D  2   x  2 
Điều kiện x  5  x  3   Vì x  3  và x  5
 không thỏa mãn điều kiện 2
4  x  0 nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Từ điều kiện của hàm số suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. 2  Vậy đồ thị hàm số 4 x y
không có đường tiệm cận. 2 x  8x 15
Câu 25: Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , SA   ABCD , SA  2a .
Tính thể tích khối chóp . S ABCD 3 4a 3 4 a A. V  . B. V  . C. 3 V  4a . D. 3 V  4 a . 3 3 Lời giải Chọn A Trang 10 S A D B C
Diện tích hình vuông ABCD là: S  a 2 2 2  2a ABCD 3 1 1 4a Thể tích khối chóp . S ABCD là: 2 VS . A S  .2a .2a S . ABCD 3 ABCD 3 3 5 8log 243 2 Câu 26: Tính 29 A. 27 . B. 9 . C. 3 3 . D. 8 . Lời giải Chọn A 1 5 log 243 2 .log 3 2 3 Ta có:  5 8 log 3 log 3 5 2  8  8   2 2  3  3  27
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng AB .
C A' B 'C ' có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CC '. a 3 3 A. . B. a 3 . C. 3 . D. . 2 2 Lời giải Chọn A
Gọi H là trung điểm của AB CH AB (1).
Mặt khác CC  CH (2) a
Từ (1) và (2) suy ra d AB CC 3 ;  CH  . 2
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu
S có phương trình
x  2  y  2 z  2 2 1 3
 9. Xác định tọa độ tâm I.
A. I 2;1;3. B. I 2; 1  ;3. C. I  2  ;1; 3  . D. I  2  ; 1  ; 3  . Lời giải Trang 11 Chọn B I 2; 1  ;3
Phương trình  x  22   y  2 1   z  32    9   R  3
Câu 29: Đồ thị hàm số 3 2
y x  6x 11x  6 cắt trục hoành tại đúng bao nhiêu điểm phân biệt? A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn A x 1 Phương trình hoành độ  giao điểm 3 2
x  6x 11x  6  0  x  2  . x  3 
Do phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm.
Câu 30: Thể tích của khối nón có đường kính đường tròn đáy là 4, đường cao bằng 6 là A. 8. B. 32. C. 24. D. 96. Lời giải Chọn A 1 1 2 2
V   hR   .6.2  8 3 3
Câu 31: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên? x 1 x 1 x 1 x A. y  . y  . y  . y  2  x B. 1 2x C. 1 2x D. . 1 2  x 1 Lời giải Chọn B  Đồ x 1 thị đi qua điểm  1  ;0 nên y 2x 1
Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a , SB   ABC ,
SB a 2 . Gọi góc giữa SC và SAB là  . Tính tan . 1 1 3 A. tan   . B. tan   . C. tan   . D. tan  3 . 3 2 2 Lời giải Chọn A Trang 12 S B C AAC AB Ta có: 
AC  SAB AC SB
Suy ra, hình chiếu của SC lên mặt phẳng SAB là SA  SC;SAB  SC; SA  ASC  
Tam giác ABC vuông cân tại A nên AC AB a
Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác SAB ta có: 2 2 SA
SB AB a 3 AC a 1 1
Tam giác SAC vuông tại A có: tan ASC     tan  SA a 3 3 3 Câu 33: Cho hàm số 3 2
y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0
B. a  0, b  0, c  0, d  0.
C. a  0, b  0, c  0, d  0.
D. a  0, b  0, c  0, d  0. Lời giải Chọn C Ta có 2
y  3ax  2bx  ;
c y  6ax  2b Từ đồ thị suy ra
+) lim y    a  0 x
+) Hàm số có hai cực trị trái dấu  y có hai nghiệm trái dấu  ac  0 , mà a  0  c  0 .
+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng có hoành độ dương suy ra y có nghiệm dương b    0  b  0 . 3a 2 2 x c    2 x   
Câu 34: Biết F xxax b e  
là một nguyên hàm của hàm số    1 x f xx e   . Giá trị  x   x  của biểu thức 2
P a  2bc bằng: A. 3.  B. 4. C. 1. D. 5. Lời giải Chọn C 2 2 x c    2 x    Vì F xxax b e   là nguyên hàm của    1 x f xx e   nên ta có  x   x
F x  f x Trang 13 Mà 2 2 2           F  xx c c 2 x 2c xa e
a x b   e       
b c 1   a c 1 x x 1 . 2 2 x
a x a b e 2 2  3 2   x   x  x   x x x  2 2 x c    2 x    Vì F xxax b e   là nguyên hàm của    1 x f xx e   nên ta có  x   x  c  0
2b c  0 a 1  
F  x  f x 2
 2a c  2  b
  0  a  2bc  1.   a  1 c  0   a b  1 
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2; 4; 5
  . Viết phương trình mặt phẳng
 qua M và cắt các trục tọa độ lần lượt tại A , B , C (không trùng gốc tọa độ) sao cho tam
giác ABC nhận M làm trực tâm. x y z x  2 y  4 z  5 A.    1. B.   . 2 4 5 2 4 5 
C. x y z 1  0 .
D. 2x  4 y  5z  45  0 . Lời giải Chọn D Giả sử x y z A ;
a 0; 0 , B 0; ;
b 0 và C 0;0;c nên mặt phẳng  ABC  :   1. a b c
Ta có BC  0;  ;
b c , CA   ;
a 0; c và AM  2  ; a 4; 5
  , BM  2;4  ; b 5   .  5 b   c
AM.BC  0  4
b  5c  0  4
Vì M là trực tâm ABC  nên ta có hệ:      .  
2a  5c  0 5 BM .CA 0 a   c  2  45 a   Ta lại có 2
M   ABC  2 4 5 4 16 5     1   
  1 c  9 nên  . a b c 5c 5c c 45 b   4 Vậy   2x 4y x ABC : 
  1  2x  4y  5z  45  0 . 45 45 9
Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn z  3  5i  10 và w  2z 1 3i  9 14i . Khẳng định nào đúng
trong các khẳng định sau?
A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I  3  3; 1  4 .
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm I 33;14 .
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm I  3  3;14.
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có bán kính R 10. Lời giải Chọn B w  9 14i
Ta có w  2z 1 3i  9 14i w  9 14i  21 3i   z z  2  . 6i
w  9 14i
Khi đó z  3  5i  10   3 5i  10 2  6i Trang 14
w  9 14i  3  5i2  6i   10 2  6i
w3314i  20
Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I 33;14 , bán kính R  20 .
Câu 37: Đội văn nghệ của trường THPT X có 10 học sinh khối 12 , 9 học sinh khối 11 và 11 học sinh
khối 10. Nhà trường cần chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các
khối. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm học sinh như thế? A. 3309438. B. 5852925. C. 2543268 . D. 5448102. Lời giải Chọn D
Đặt A: “Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho trong đó có đủ học sinh các khối”.
Suy ra A : “Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 1 khối hoặc 2 khối”.
+) Trường hợp 1: “Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 1 khối”. Có 8 8 8
C C C  219 cách chọn. 10 9 11
+) Trường hợp 2: “Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối”.
- Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 10 và 11 Có 1 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 1
C C C C C C C C C C C C C C  125796 cách chọn. 11 9 11 9 11 9 11 9 11 9 11 9 11 9
- Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 11 và 12 Có 1 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 1
C C C C C C C C C C C C C C  75528 cách chọn. 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10
- Chọn 8 bạn để tham gia tốp ca sao cho học sinh chỉ được chọn từ 2 khối 10 và 12 Có 1 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 1
C C C C C C C C C C C C C C  203280 cách chọn. 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10
Suy ra n A  219 125796  75528  203280  404823 cách. Vậy nA 8
C  404823  5448102 30 cách chọn.
Câu 38: Cho số phức z thỏa mãn z  5  7i  197 . Giá trị lớn nhất của z  4  7i z  6  21i
thuộc tập hợp nào sau đây? A. 20; 197 . B. 30;40. C.  197; 2 394    D. 2 394;40. Lời giải Chọn B Gọi M  ;
x y là điểm biểu diễn số phức z 2 2
Suy ra, M  C  :  x  5   y  7  197 có tâm I 5; 7  
Gọi A4;7, B6; 2   1 . Ta thấy ,
A B  C
Mặt khác, AB  2 197  2R AB là đường kính của đường tròn C . M  C  2 2 2
: MA MB AB  788 2
Ta có: MA MB   2 2
2 MA MB   2.788  1576
MAMB  1576  2 394
Ta có: z  4  7i z  6  21i MA MB  2 394
Vậy giá trị lớn nhất của z  4  7i z  6  21i bằng 2 394  39,69.
Dấu "  " xảy ra khi MA MB
Câu 39: Cho  P : x  3y z  9  0, A2;4;5, B 3;1; 
1 . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong
P, đi qua điểm A và d  ;
B d  là nhỏ nhất. Trang 15
x  2  5t
x  2  5t  
A. y  4  7t t  . B. y  4  7t t  .   z  5 16tz  5 16t
x  2  5t
x  2  5t  
C. y  4  7t t  . D. y  4  7t t  .   z  5 16tz  5 16tLời giải Chọn C
Hạ BH   P, HK d . Nên: d   BHK   d BK . Do B
HK vuông tại H nên: BK BH d  , B d   BH . min
Do H là hình chiếu vuông góc của B trên  P nên: H 3  t;1 3t;1 t   
Do H  P nên:   t     t     t  4 37 23 7 3 3 1 3 1  9  0  t   H ; ;   11  11 11 11   Từ đó: 15 21 48 AH  ; ;  
 , chọn u  5 ;  7
 ;16 cùng phương AH . d   11 11 11 
x  2  5t
Vậy phương trình đường thẳng: d  :  y  4  7t t  .
z  5 16t
Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại , B AB  2 , a BC  , a SB a 10, SCB  90 ,
SAB  90 . Tính V ? S . ABC 3 a 5 3 a 5 3 2a 5 A. V  . B. 3 V a 5. C. V  . D. V  . 3 6 3 Lời giải Chọn A Trang 16
Dựng hình hộp chữ nhật và chọn đỉnh S, ,
A B,C, D như hình vẽ. Ta có: 2 2 2 2 AC BD
AB BC a 5, SD
SB BD a 5 3 1 a 5 Vậy: V  .S . D SS . ABC 3 ABC 3 Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình log
 6 9  1  32 3 2  3m x x x x x
 2m 1 có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng 3  2  ;2 A. 4. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải Chọn C Ta có log
x 6x 9x 1 xx32 3 2
 3m  2m 1 3  2log  3 2
x  6x  9x   3 2
1  x  6x  9x 1  3m  2m 3 Đặt  log  3 2  6  9   3 2 1   6  9 1 3t t x x x x x x . Khi đó ta có 3 2log  3 2  6  9   3 2 1 
 6  9 1 3m  2  3t  2  3m x x x x x x m t  2m. 3 Xét hàm số    3u f u
 2u là hàm đồng biến u   nên suy ra      3 2     6  9 1 3m f t f m t m x x x .
Xét hàm số f x 3 2
x  6x  9x 1 trên khoảng  2  ;2 có bbt: 0  3m  3 m 1
Để thỏa mãn ycbt thì    . 3m  5 m  log 5   3
Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của m thỏa ycbt.
Câu 42: Cho A1;2;3, B2;3;4 . Mặt cầu S  có bán kính R và S  tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt
phẳng Oxy, Oyz, Oxz . Khối cầu S  chứa đoạn thẳng AB (nghĩa là mọi điểm thuộc đoạn thẳng
AB đều thuộc khối cầu  S  ). Tính tổng các giá trị nguyên mà R có thể nhận được? A. 7. B. 3 C. 1 D. 5 Trang 17 Lời giải Chọn A
Vì mặt cầu S  có bán kính R và S  tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt phẳng Oxy,Oyz,Oxz
nên tọa độ tâm I a, a, a và a R .
Để khối cầu S  chứa đoạn thẳng AB thì ta cần có:      2 2 2 3 2 a 3 2 IA R
a  6a  7  0  9  23        a  3 2   . 2 2 2 9 23 9 23 IB R
2a 18a  29  0 2   a   2 2 Vì a  nên a 3; 
4 . Tức là R 3; 
4 , suy ra tổng các giá trị nguyên mà R có thể nhận được bằng 7 .
Câu 43: Có bao nhiêu số nguyên m 1;202 
3 để bất phương trình sau có nghiệm
x  2 m. x 1  m  4. A. 2020. B. 2021. C. 2022.
D. Đáp án khác. Lời giải Chọn C
Điều kiện: x 1. x  2 x 1  4
Ta có  x  2  m. x 1  m  4.  m1 x 1  x  2  
x 1  4  m  . 1 x 1
Đặt t x 1,t  0 . Bất phương trình trở thành t  2 t   3 1  4 t t  4 m   m  * 1 t t  1 t t
Xét hàm số f t  3 4  ,t  0 t  . 1 3 2 2t  3t  5
Ta có f t  
, f t  0  t  1. 2   t   1 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra bất phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m  2 . Do m và m 1;202 
3 nên m2;3;...;202 
3  có 2022 giá trị m thỏa mãn.
Câu 44: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc 0 60 được thiết
diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 4. Tính thể tích của khối nón ban đầu. 10 3  5 3 3  5 3  A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D Trang 18
Giả sử hình nón đỉnh S  tâm O , thiết diện qua đỉnh ở giả thiết là tam giác vuông cân SAB .
Gọi K là trung điểm của AB , suy ra góc giữa SAB và mặt đáy là SKO  60 . 1
Ta có AB  4  SK
AB  2 và SA SB  2 2 . 2
Tam giác SKO vuông tại O : SO SK.tan SKO  3 .
Tam giác SAO vuông tại 2 2
O : AO SA SO  5 . 1 5 3 Thể tích khối nón 2
V   .AO .SO   . 3 3
Câu 45: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y f x 3 2
 2x 12x  9x m  8  9x (với m là tham số)
trên đoạn 0;5 bằng 78. Tính tổng các giá trị của tham số m ? A. 6 . B. 12 . C. 7 . D. 8 . Lời giải Chọn D
Do giá trị lớn nhất của hàm số y f x 3 2
 2x 12x  9x m 8  9x ( m là tham số) trên đoạn 0;5 là 78 nên 3 2
2x 12x  9x m  8  9x  78 x  0; 
5 và dấu bằng phải xảy ra tại ít nhất một điểm 3 2
 2x 12x  9x m  8  78  9x x  0;5 
78  9x  0 dung x  0;5   3 2 9
x  78  2x 12x  9x m  8  78  9x 3 2 3 2  2
x 12x  86  m  2x 12x 18x  70 x  0;5  m  max  3 2 2
x 12x 86     x   0;5 m 22     m   3 2
x x x    m  30 min 2 12 18 70 x    0;5 m  22 
Và dấu bằng phải xảy ra nên 
. Vậy tổng tất cả giá trị m là 8  m  30
Câu 46: Cho hàm số y f x 3 2
ax bx cx d a  0 có đồ thị như hình vẽ. Trang 19   
Số nghiệm thuộc khoảng  ; 4   của phương trình 2
f cos x  5 f cos x  6  0 là:  2  A. 13. B. 9. C. 7. D. 12. Lời giải Chọn A    x   ; 4  cos x     1  ; 
1  f cos x  1  ;  3 .  2 
Phương trình đã cho tương đương: 2
f cos x  5 f cos x  6  0
f cos x  2  VN  
f cos x  2
f cos x  2
f cos x  2 .      
f cos x  3
f cos x  3
f cos x  3  VN      f  cos x  3 cos x a 1   a  0 , 1
TH1: f cos x      2   .
cos x b 0  b   1, 2 Phương trình số  
1 có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn.
Phương trình số 2 có 5 nghiệm phân biệt thỏa mãn.
TH2: f cos x  3  cos x  0, 3 .  
Phương trình số 3 có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn (lưu ý không lấy nghiệm tại x  ). 2 Trang 20
Vậy kết hợp cả hai trường hợp, phương trình đã cho có tổng cộng 13 nghiệm
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình x 1 2   log
x  2  2m m có nghiệm 4   x  1  ;6. A. 30. B. 29.
C. Đáp án khác. D. 28. Lời giải Chọn C
Do m là số nguyên dương và x  1
 ;6.nên x  2 m  0. x 1
2   log  x  2  2mx2  m  2
x  2  x  2  2m  log x  2  2m 4 2   x2 log x22m 2    2  x  2  2
 log x  2  2m 2   Xét hàm số    2t f tt với t t
có f t   2 .ln 2 1  0, t   .
Suy ra hàm số y f t  đồng biến trên .Ta có
f t  2t t
ft0
x  2  log x  2  2mx2 x2
x  2  2m  2  2m  2  x  2 2  f
  x  2  f
log x  2 2m 2  
Xét hàm số g xx2  x    gxx2 2 2  1   2 .ln 2  0 x   1  ;6 . Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 6  2m  248  3  m 124 .
Mà m  0 và m nên m 3;4;...;12  4 .
Vậy có 122 giá trị nguyên dương của tham số m thoả mãn phương trình có nghiệm x  1  ;6. 2 x x 1
Câu 48: Cho hai hàm số y
và y x x 1  m ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là 2 x 1
C và C . Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng  1
 0;10 để C và C 2  1  2  1 
cắt nhau tại ba điểm phân biệt là Trang 21 A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 . Lời giải Chọn B 2   Xét phương trình x
x 1  x x 1  m . Điều kiện x  1  . 2 x 1 1  1 1  PT trên  
1 x x 1  m   . 2  x 1 x 1  1  1 1 
Xét hàm số f x  
1 x  x    2 1 với x  1  . 2  x 1 x 1  Ta có   x  
x   x f ' x 1 1 1   1 1 1 1 1 1      1
f ' x       2 2     2   x   1 x   1  x 1 2   x  2 1 x     2 1  x 1 
Do x 1   x  
1 , suy ra f ' x  0, x   1  . BBT:
Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m  2 .
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m .
Câu 49: Cho hàm số f x có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn 0;  1 , thỏa mãn    
f  x  f xf  x  xf  x   x  2 f   x  x    1 1 2 2 1 . 0 0;1 , f   f 1     .  2   2  1 Biết     2 a f x  dx  (a,b
là các số nguyên dương và a là phân số tối giản). Giá trị của a b b b 0 bằng: A. 181. B. 25 . C. 10 . D. 26 . Lời giải Chọn B
Biến đổi phương trình:
f  x  2 f xf  x  2xf  x   x  2
1 . f   x  0
f x  f x  2xf x  x  2
1 . f   x  2 f xf  x  f  x
 2x  2 f x  x  2
1 . f   x  2 f xf  x  f  x     x  2
1 . f  x  2 f   
x 1 f    x
Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được: x  2
1 . f  x 2
f x  f x  C I 1    1   1  9 1
Theo giả thuyết, f   f
1  2  C C      1 1  2   2  4 4 Phương trình  2 1
I  trở thành  x  
1 . f  x 2
f x  f x  4
Tiếp tục biến đổi phương trình trên, ta được như sau: f  x 1  f x  0 2     1 2 
f x  f x  x  1 4 Trang 22
Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được:
f  xdx 1 1  1   dx    C   2 2    1 x   1  f x f x  1 x  2 1     2  2   1   1  1 1
Theo giả thuyết, f   f 1 C  0       2  2   2   f x 1 x 1  2 1 1 1 2 3      f x 1
x    f  x 2 1 1 1 13  dx x  dx x        2  2  3  2  12 0 0 0
Vậy ta có được a 13; b 12. Kết luận a b  25
Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1  ; 5  ;2, B3;3; 2   và đường thẳng x  3 y  3 z  4 d :  
; hai điểm C, D thay đổi trên d : CD  6 3 . Biết rằng khi 1 1 1 C  ; a ;
b c(b  2) thì tổng diện tích tất cả các mặt của tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
a b c .
A. a b c  2 .
B. a b c  1  .
C. a b c  4  .
D. a b c  7  . Lời giải Chọn D
Vì AM , BN ,CD không đổi nên tổng diện tích toàn phần của tứ diện nhỏ nhất khi tổng diện tích
hai tam giác ABC, ABD nhỏ nhất.
Cách 1: Gọi C 3  t; 3   t; 4
  t, D3t ; 3   t ; 4
  t , từ CD  6 3 suy ra t t  6 .
TH1: t  t  6  D 9  t;3  t;2  t  . Do vậy
AC, AB  40 12t; 8
  8t;24  4t , AD, AB   32
 12t;40  8t;48  4t      2 2 Suy ra SS
 2 14  2t 6  t 4 6 2 14 3624  4 210 . ABC ABD
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2  t t  4  t  1   C 2; 4  ; 5  , D8;2;  1 (thỏa mãn). Vậy
a b c  7  .
TH2: t t  6 trường hợp này đổi vai trò của C, D cho nhau trong TH1 nên loại.
Cách 2: Tổng diện tích toàn phần của hai tam giác nhỏ nhất khi CH DK nhỏ nhất.
P là mặt phẳng đi qua ,
A B và song song với d : Trang 23
CH DK CI IH DJ JK   IH JK 2 2 2 2 2 2  4CI
 EI sin  EJ sin 2 2 2 2 2
 4CI IJ sin   4CI
Vì CI DJ d AB, d , IJ CD,   AB, d  không đổi nên CH DK nhỏ nhất khi dấu bằng
xảy ra khi CI JK IH DJ JK IH , khi đó E, F là trung điểm của IJ ,CD . EF là đoạn
vuông góc chung của AB,CD . x  1   s
Phương trình AB : y  5
  2s E  1   ; s 5   2 ;
s 2  s  và F 3  t; 3   t; 4   t. z  2 st   3s  7 t   2 Từ đó suy ra   
do vậy nếu C 3  t ; 3   t ; 4
  t và FC  3 3 thì 3
t  2s  0 s  3
t  5  C 8;2;  1 (l)  t  1   C  2; 4  ; 5  (t ) m
---------- HẾT ---------- Trang 24