SỞ GD&ĐT HÀ NAM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019 - 2020
Môn: TOÁN - Lớp: 9 THCS
Ngày thi: 22 tháng 05 năm 2020
Thời gian làm bài: 150 phút (đề thi gồm có 01 trang) ---------------------------
Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức √ ! √ 10x + 4 5x 8 + 5x x P = √ − √ √ − 1 5x 5x − 8 5x + 2 5x + 4 2 + 5x với x ≥ 0; x 6= 45 a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2,0 điểm) Cho hai đường thẳng d : y = 3 và 1 1 1 2018 2019 2020 d0 : y = + + x + + + m − 1 m m + 1 m − 1 m m + 1
(m là tham số). Tìm điều kiện của tham số m để hai đường thẳng d, d0 cắt nhau. Gọi A là giao
điểm của hai đường thẳng d và d0, tìm m để độ dài đoạn thẳng OA bằng 5. Bài 3: (4 điểm) 2x2 + x √ 1. Giải phương trình √ + 2 = 2x2 + x + 4. 2x2 + x + 10 ((x + y)2 = 2xy(xy + 1) 2. Giải hệ phương trình (x + y)(1 + xy) = 2 (x2 + y2)
Bài 4: (1,5 điểm) Cho hai số m, n nguyên dương thỏa mãn m là ước của 2n2. Chứng minh
rằng n2 + m không phải là số chính phương. Bài 5: (7,0 điểm)
1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R), các đường cao AD, BE, CF của tam
giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là M.
Đường thẳng qua H và vuông góc với OA cắt BC tại K. a) Chứng minh \ BAH = [ OAC.
b) Chứng minh đường thẳng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
c) Giả sử điểm A cố định, các điểm B, C thay đổi trên đường tròn (O; R) thỏa mãn AB.AC =
3R2. Khi tam giác ABC có diện tích lớn nhất, tính độ dài đoạn thẳng OF
2. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ
BC (M không trùng với B và C). Đường tròn (O0, R0) với (R0 > R) tiếp xúc trong với đường
tròn (O; R) tại điểm M . Các đoạn thẳng M A, M B, M C lần lượt cắt đường tròn (O0; R0) tại
điểm thứ hai là D, E, F . Từ A, B, C kẻ các tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn (O0; R0),
trong đó I, J, K là các tiếp điểm. Chứng minh rằng DE song song với AB và AI = BJ +CK
Bài 6: (1,5 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng x2y2 y2z2 z2x2 1 + + ≤ 2x2 + 3x2y2 + y2 2y2 + 3y2z2 + z2 2z2 + 3z2x2 + x2 2
--------------- HẾT --------------- Biên soạn: Long Nguyễn