Đề thi cuối kỳ và đáp án môn Xử lý tín hiệu K56| Môn Xử lý tín hiệu| Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Bộ môn
ĐỀ THI XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ KTMT
Thời gian 90 phút. Không sử dụng tài liệu và thiết bị nghe nhìn. Sinh A
viên đề nghị cán bộ coi thi và ký vào bài làm đề A hoặc B. Nếu không
bài thi sẽ không điểm. Nộp lại đề cùng bài làm.
Câu 1: a) Có 3 hệ mắc nối tiếp nhau và đáp ứng xung lần lượt của 3 hệ là ℎ ( ) = ( ) − ( −
1), ℎ ( ) = ℎ( ), ℎ ( ) = ( ). Không dùng biến đổi Z, hãy tính toán trong miền thời gian để xác định
đáp ứng xung của toàn hệ ℎ ( ). b) Cho ( ) = ( + 4). Hãy tính .
Câu 2: Cho hàm truyền đạt của 2 bộ lọc như sau: 1 − 1 − 1 + ( ) = , ( ) = . 1 − 2 1 − a) Hãy tính , . b) Giả thiết = 0,8 và = = . Tính và . Nếu > ta nói rằng bộ lọc
thứ nhất có dải thông lớn hơn bộ lọc thứ hai, còn nếu <
thì bộ lọc thứ hai có dải thông lớn hơn. Vậy
so sánh dải thông của 2 bộ lọc trong trường hợp này như thế nào? Câu 3: Cho PT-SP ( ) = ( − 1) + ( ) với =
. Giả thiết ( ) là thực. Như vậy ( ) sẽ là
phức và được biểu diễn theo phần thực và phần ảo như sau: ( ) = ( ) + ( ).
a) Xác định phương trình mô tả hệ với một đầu vào ( ) và 2 đầu ra ( ) và ( ).
b) Vẽ sơ đồ khối thực hiện hệ.
c) Chứng minh rằng nếu ( ) = ( ) thì ( ) = (cos ) ( ), ( ) = (sin ) ( )
d) Hệ này có thể được sử dụng để làm gì?
Câu 4: Cho PT-SP ( ) = ( ) + ( − 10)
a) Xác định và vẽ đáp ứng biên độ của hệ
b) Tính tín hiệu ra ( ) nếu ( ) = cos + 3 sin + , −∞ < < ∞
Câu 5: Xét bộ lọc có quan hệ vào-ra ( ) = 0,9 ( − 1) + 0,1 ( )
a) Xác định tần số sao cho = 1/√2
b) Đây là bộ lọc thông thấp hay thông cao? Vì sao? HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1:
a) Do 3 hệ mắc nối tiếp nhau nên đáp ứng xung toàn hệ là:
ℎ ( ) = ℎ ( ) ∗ ℎ ( ) ∗ ℎ ( ) = ℎ ( ) ∗ [ℎ ( ) ∗ ℎ ( )] Ta có: ℎ ( ) ∗ ℎ ( ) = ℎ ( ). ℎ ( − ) 1, = 0
Do ℎ ( ) = ( ) − ( − 1) = −1, = 1 , nên ta có: 0, còn lại
ℎ ( ) ∗ ℎ ( ) = ℎ (0). ℎ ( − 0) + ℎ (1). ℎ ( − 1) = ℎ ( ) − ℎ ( − 1) = ( ) − ( − 1) 1, ≥ 0 1, ≥ 1 Lại vì ( ) = ; ( − 1) = nên ta có: 0, < 0 0, < 1 1, = 0 ℎ ( ) ∗ ℎ ( ) = = ( ) 0, ≠ 0
Vì vậy: ℎ ( ) = ℎ ( ) ∗ ( ) = ℎ ( ) = ℎ( )
Kết luận: đáp ứng xung toàn hệ là ( ) = ( ) b) Ta có ( ) = ( + 4). 1, ≥ −4 , ≥ 4 Vì ( + 3) = nên ( ) = 0, < −4 0, < 4
Từ đây có biến đổi Fourier của tín hiệu x(n) là: 1 1 = ( ) = = (∗) 4 3 Do
= < 1 nên chuỗi (*) hội tụ, vì thế tồn tại biến đổi Fourier. Ta có: 1 1 256 = 4 = 4 1 1 1 − 1 − 4 4 Kết luận: ( ) = − Câu 2: a) Ta có: 1 − 1 − 1 + ( ) = , ( ) = . 1 − 2 1 − Suy ra: 1 − = ( )| = , 1 − 1 − 1 + = ( )| = . 2 1 − Từ đây có: 1 − |1 − | = = 1 − |1 − | 1 − 1 + |1 − | 1 + = . = . 2 1 − 2 |1 − | Ta có: 1 + = 1 + cos − sin ⇒ 1 + =
(1 + cos ) + (− sin ) = √2 + 2 cos 1 − = 1 − (cos − sin ) = 1 − cos + sin ⇒ 1 − = (1 − cos ) + ( sin ) = 1 + − 2 cos Vì thế: |1 − | = √1 + − 2 cos ( − ) ⇒ ( ) = + − |1 − | √2 + 2 cos = . 2 √1 + − 2 cos ( − ) + ( − ) ( + ) ⇒ ( ) = . = + − ( + − ) b) Với = 0,8; = = , ta có: ⎧ (1 − 0,8) 1 39 ⎪ = 1 + cos 1 1 + 0,8 − 1,6 cos 2 cos = = ⇔ 40 1,64 − 1,6 cos 0,04 ⇔ ⎨ (1 − 0,8) (1 + cos ) 1 40 ⎪ = 1,64 − 1,6 cos = 0,08 cos = ⎩2(1 + 0,8 − 1,6 cos ) 2 41 ≈ 0,2241 + 2 ⇔ ( ∈ ) ≈ 0,2213 + 2
Ta chỉ xét trong đoạn [0; 2 ], do đó ≈ 0,2241; ≈ 0,2213. Dễ thấy >
Kết luận: Bộ lọc thứ nhất có dải thông lớn hơn. Câu 3: a) Ta có: ( ) = ( − 1) + ( ); = , do đó: ( ) = ( − 1) + ( ) Theo công thức Euler: = cos + sin , nên: ( ) = (cos + sin ) ( − 1) + ( ) = ( ) + cos ( − 1) + sin ( − 1) Từ đây ta có: ( ) = ( ) + ( ) với ( ) = ( ) + cos ( − 1) ( ) = sin ( − 1)
b) Vẽ sơ đồ khối thực hiện hệ c) Chứng minh …
d) Hệ này được dùng để:
Câu 4: PT-SP: ( ) = ( ) + ( − 10)
a) Thực hiện biến đổi Fourier cả 2 vế của PT-SP ta được: = + ⇒ = 1 + Đáp ứng tần số: = = 1 + = + = 2 cos(5 ) ( )
Từ đây suy ra đáp ứng biên độ: ( ) = | ( )| Vẽ đáp ứng biên độ: b) Ta có: ( ) = cos + 3sin + 10 3 10
Mà theo giả thiết: ( ) = ( ) + ( − 10), do đó tín hiệu ra y(n) là: ( ) = cos + 3sin + + cos ( − 10) + 3sin ( − 10) + 10 3 10 10 3 10 10 = cos + 3sin + + cos − + 3sin − + 10 3 10 10 3 3 10 = cos + 3sin + − cos 10 3 10 10 10 10 + 3 sin + . cos − cos + . sin 3 10 3 3 10 3 3 3√3 = 3sin + − . sin + − cos + 3 10 2 3 10 2 3 10 3 3√3 7 = sin + − cos + = 3 sin + − = 3 sin − 2 3 10 2 3 10 3 10 3 3 30
Kết luận: Tín hiệu ra y(n) là: ( ) = −
Câu 5: Bộ lọc có quan hệ vào-ra: ( ) = 0,9 ( − 1) + 0,1 ( )
a) Thực hiện biến đổi Fourier cả 2 vế của phương trình sai phân: = 0,9 + 0,1 ⇒ 1 − 0,9 = 0,1 Đáp ứng tần số: 0,1 = = ( ) 1 − 0,9 Đáp ứng biên độ: 0,1 0,1 0,1 = = = |1 + 0,9 | 1 + 0,9 − 1,8 cos √1,81 − 1,8 Để = 1/√2 thì: 0,1 1 179 = ⇔ 181 − 180 cos = 2 ⇔ cos = √1,81 − 1,8 √2 180 ⇔ ≈ , + ( ∈ )
b) Xác định tính chất bộ lọc Vẽ đáp ứng biên độ: Theo định lí Shannon:
≤ , với là tần số lấy mẫu, suy ra: ≤ = =
Do đó ta chỉ xét đáp ứng biên độ trong đoạn [0; ]
Dễ dàng thấy được từ 0 đến pi thì đáp ứng biên độ giảm, nên đây là bộ lọc thông thấp
Kết luận: Bộ lọc thông thấp Bộ môn
ĐỀ THI XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ KTMT
Thời gian 90 phút. Không sử dụng tài liệu và thiết bị nghe nhìn. Sinh B
viên đề nghị cán bộ coi thi và ký vào bài làm đề A hoặc B. Nếu không
bài thi sẽ không điểm. Nộp lại đề cùng bài làm.
Câu 1: a) Có 3 hệ mắc nối tiếp nhau và đáp ứng xung lần lượt của 3 hệ là ℎ ( ) = ℎ( ), ℎ ( ) =
( ), ℎ ( ) = ( ) − ( − 1). Không dùng biến đổi Z, hãy tính toán trong miền thời gian để xác định
đáp ứng xung của toàn hệ ℎ ( ). b) Cho ( ) = ( + 3). Hãy tính .
Câu 2: Cho hàm truyền đạt của 2 bộ lọc như sau: 1 − 1 + 1 − ( ) = . , ( ) = 2 1 − 1 − a) Hãy tính , . b) Giả thiết = 0,7 và = = . Tính và . Nếu > ta nói rằng bộ lọc
thứ nhất có dải thông lớn hơn bộ lọc thứ hai, còn nếu <
thì bộ lọc thứ hai có dải thông lớn hơn. Vậy
so sánh dải thông của 2 bộ lọc trong trường hợp này như thế nào? Câu 3: Cho PT-SP ( ) = ( − 1) + ( ) với =
. Giả thiết ( ) là thực. Như vậy ( ) sẽ là
phức và được biểu diễn theo phần thực và phần ảo như sau: ( ) = ( ) + ( ).
a) Xác định phương trình mô tả hệ với một đầu vào ( ) và 2 đầu ra ( ) và ( ).
b) Vẽ sơ đồ khối thực hiện hệ.
c) Chứng minh rằng nếu ( ) = ( ) thì ( ) = (cos ) ( ), ( ) = (sin ) ( )
d) Hệ này có thể được sử dụng để làm gì?
Câu 4: Cho PT-SP ( ) = ( ) + ( − 4)
a) Xác định và vẽ đáp ứng biên độ của hệ
b) Tính tín hiệu ra ( ) nếu ( ) = cos + + cos , −∞ < < ∞
Câu 5: Xét bộ lọc có quan hệ vào-ra ( ) = −0,9 ( − 1) + 0,1 ( )
a) Xác định tần số sao cho = 1/√2
b) Đây là bộ lọc thông thấp hay thông cao? Vì sao? HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1:
a) Do 3 hệ mắc nối tiếp nhau nên đáp ứng xung toàn hệ là:
ℎ ( ) = ℎ ( ) ∗ ℎ ( ) ∗ ℎ ( ) = ℎ ( ) ∗ [ℎ ( ) ∗ ℎ ( )] Ta có: ℎ ( ) ∗ ℎ ( ) = ℎ ( ). ℎ ( − ) 1, = 0
Do ℎ ( ) = ( ) − ( − 1) = −1, = 1 , nên ta có: 0, còn lại
ℎ ( ) ∗ ℎ ( ) = ℎ (0). ℎ ( − 0) + ℎ (1). ℎ ( − 1) = ℎ ( ) − ℎ ( − 1) = ( ) − ( − 1) 1, ≥ 0 1, ≥ 1 Lại vì ( ) = ; ( − 1) = nên ta có: 0, < 0 0, < 1 1, = 0 ℎ ( ) ∗ ℎ ( ) = = ( ) 0, ≠ 0
Vì vậy: ℎ ( ) = ℎ ( ) ∗ ( ) = ℎ ( ) = ℎ( )
Kết luận: đáp ứng xung toàn hệ là ( ) = ( ) b) Ta có ( ) = ( + 3). 1, ≥ −3 , ≥ 3 Vì ( + 3) = nên ( ) = 0, < −3 0, < 3
Từ đây có biến đổi Fourier của tín hiệu x(n) là: 1 1 = ( ) = = (∗) 3 3 Do
= < 1 nên chuỗi (*) hội tụ, vì thế tồn tại biến đổi Fourier. Ta có: 1 1 27 = 3 = 3 1 1 1 − 1 − 3 3 Kết luận: ( ) = − Câu 2: a) Ta có: 1 − 1 + 1 − ( ) = . , ( ) = 2 1 − 1 − Suy ra: 1 − 1 + = ( )| = . , 2 1 − 1 − = ( )| = 1 − Từ đây có: 1 − 1 + |1 − | 1 + = . = . 2 1 − 2 |1 − | 1 − |1 − | = = 1 − |1 − | Ta có: 1 + = 1 + cos − sin ⇒ 1 + =
(1 + cos ) + (− sin ) = √2 + 2 cos 1 − = 1 − (cos − sin ) = 1 − cos + sin ⇒ 1 − = (1 − cos ) + ( sin ) = 1 + − 2 cos Vì thế: |1 − | √2 + 2 cos = . 2 √1 + − 2 cos ( − ) + ( − ) ( + ) ⇒ ( ) = . = + − ( + − ) |1 − | = √1 + − 2 cos ( − ) ⇒ ( ) = + − b) Với = 0,7; = = , ta có: ⎧ (1 − 0,7) (1 + cos ) 1 140 ⎪ = 1 + cos 1 2(1 + 0,7 − 1,4 cos ) 2 cos = = ⇔ 149 1,49 − 1,4 cos 0,09 ⇔ ⎨ (1 − 0,7) 1 131 ⎪ = 1,49 − 1,4 cos = 0,18 cos = ⎩ 1 + 0,7 − 1,4 cos 2 140 ≈ 0,3493 + 2 ⇔ ( ∈ ) ≈ 0,3605 + 2
Ta chỉ xét trong đoạn [0; 2 ], do đó ≈ 0,3493; ≈ 0,3605. Dễ thấy <
Kết luận: Bộ lọc thứ hai có dải thông lớn hơn. Câu 3: a) Ta có: ( ) = ( − 1) + ( ); = , do đó: ( ) = ( − 1) + ( ) Theo công thức Euler: = cos − sin , nên: ( ) = (cos − sin ) ( − 1) + ( ) = ( ) + cos ( − 1) − sin ( − 1) Từ đây ta có: ( ) = ( ) + ( ) với ( ) = ( ) + cos ( − 1) ( ) = − sin ( − 1)
b) Vẽ sơ đồ khối thực hiện hệ c) Chứng minh …
d) Hệ này được dùng để:
Câu 4: PT-SP: ( ) = ( ) + ( − 4)
a) Thực hiện biến đổi Fourier cả 2 vế của PT-SP ta được: = + ⇒ = 1 + Đáp ứng tần số: = = 1 + = + = 2 cos(2 ) ( )
Từ đây suy ra đáp ứng biên độ: ( ) = | ( )| Vẽ đáp ứng biên độ: b) Ta có: ( ) = cos + + cos 2 7 4
Mà theo giả thiết: ( ) = ( ) + ( − 4), do đó tín hiệu ra y(n) là: ( ) = cos + + cos + cos ( − 4) + + cos ( − 4) 2 7 4 2 7 4 = cos + + cos + cos + − 2 + cos − 2 7 4 2 7 4 = cos + + cos + cos + − cos = 2 cos + 2 7 4 2 7 4 2 7
Kết luận: Tín hiệu ra y(n) là: ( ) = +
Câu 5: Bộ lọc có quan hệ vào-ra: ( ) = −0,9 ( − 1) + 0,1 ( )
a) Thực hiện biến đổi Fourier cả 2 vế của phương trình sai phân: = −0,9 + 0,1 ⇒ 1 + 0,9 = 0,1 Đáp ứng tần số: 0,1 = = ( ) 1 + 0,9 Đáp ứng biên độ: 0,1 0,1 0,1 = = = |1 + 0,9 | 1 + 0,9 + 1,8 cos √1,81 + 1,8 Để = 1/√2 thì: 0,1 1 179 = ⇔ 181 + 180 cos = 2 ⇔ cos = − √1,81 + 1,8 √2 180 ⇔ ≈ , + ( ∈ )
b) Xác định tính chất bộ lọc Vẽ đáp ứng biên độ: Theo định lí Shannon:
≤ , với là tần số lấy mẫu, suy ra: ≤ = =
Do đó ta chỉ xét đáp ứng biên độ trong đoạn [0; ]
Dễ dàng thấy được từ 0 đến pi thì đáp ứng biên độ tăng, nên đây là bộ lọc thông cao
Kết luận: Bộ lọc thông cao