Đề thi Giải tích 1 Cuối kỳ | Đại học Bách khoa Hà Nội

lOMoARcPSD|36442750 Mảng Học tập và NCKH REACH THE TOP - STOP THE F BCH LCĐ-LCH http://bit.ly/gochoctapSAMI
Viện Toán Ứng dụng và Tin học
Thời gian làm bài 60 phút - Ngày 23/01/2022
ĐỀ THI THỬ CUỐI KÌ GIẢI TÍCH I 20211 Câu 1: Cho hàm số:  −x cos x khi x < 0    x2 f (x) = khi 0 ≤ x < 1 1 + x    x3 khi x ≥ 1
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ x = 0
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ x = 1
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ x = 0 và x = 1
D. Hàm số liên tục tại ∀x ∈ R E. Đáp án khác Câu 2:
Tính tổng sau: P (x) = 1 + 2x + 3x2 + ... + nxn−1 1 − (n + 1)xn + nxn−1 A. (1 − x)2 1 − (n + 1)xn + nxn+1 B. (1 − x)2 1 − (n + 1)xn + xn−1 C. (1 − x)2 1 − (n + 1)xn + xn+1 D. (1 − x)2 Câu 3: " √ # √ ( 5)n + 2n+1 + 1 2n2 + 3 a 5 Biết rằng lim √ + = + c (a, b, c ∈ Z) n→+∞ 5 · 2n + ( 5)n+1 − 3 n2 − 1 b Tính S = a2 + b2 + c2 =? A. 26 B. 21 C. 25 D. 30 E. 31 F. Đáp án khác
Chú ý: Đề thi có 10 trang. Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu. Trang 1 trên 10 Chúc các bạn thi tốt!
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 Câu 4:
Cho các tích phân suy rộng: +∞ Z x2 + arctan x − 1 I1 = dx p(x − 1)(x7 + 2) 1 +∞ Z dx I2 = x(ln3 x + ln2 x + ln x) e 2 Z 1 + sin x I3 = dx x3 − 4x2 + 4x 1
Mệnh đề nào sau đây đúng: A. I B.
3 hội tụ; I1, I2 phân kì.
I2 hội tụ; I1, I3 phân kì. C. I D.
1, I2 hội tụ, I3 phân kì.
I2, I3 hội tụ, I1 phân kì. E. I F. 1, I2, I3 hội tụ. Đáp án khác. Câu 5: √ √ m cos ax − n cos bx Tính H = lim x→0 sin2 x a b A. b a a − B. b − C. − 2m 2n 2n 2m n m a b D. m − 2 − E. F. Đáp án khác m n n2 Câu 6 :
Diểm uốn của đồ thị hàm số y = x sin x nằm trên đường cong nào sau đây: y2(4 − x2) = 4x2 A. y2(4 + x2) = 4x2 B. (y2 − 4)x2 = 4y2 C. (y2 + 4)x2 = 4y2 D. E. Đáp án khác Câu 7: n π 1 Tính X lim sin n→∞ n kπ k=1 2 + cos n √ π A. π B. 3 √ C. √ π D. 3π E. Đáp án khác 2 3 2
Chú ý: Đề thi có 10 trang. Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu. Trang 2 trên 10 Chúc các bạn thi tốt!
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 Câu 8: √2x  − 4 + 3 khi x ≥ 2 Tìm m để hàm số f(x) = x − 8 liên tục trên R khi x < 2  x2 − 2mx + 3m + 2 A. m = 1 B. m = 8 C. m = 5 D. m = 0 E. m = 2 F. Đáp án khác Câu 9: Z n+2022 sin x
Cho dãy số {un}∞ xác định bởi: n=1 un = dx. Hỏi lim un n x n→∞ A. 1 B. e C. 0 D. 2022 E. Đáp án khác Câu 10 : (x2 + x + 1 x ≤ 0 Z 1 b Cho hàm số y = f(x) = . Biết
f (x)dx = ae2 − (a, b, c ∈ N∗). 4e2x − 3 x ≥ 0 c −1
Tính giá trị nhỏ nhất của a + b + c. A. 23 B. 27 C. 33 D. 42 E. Đáp án khác Câu 11:
Cho hàm f liên tục trên đoạn [0, 1] khả vi trong khoảng (0, 1) thỏa mãn Z 1 2 Z 1 f (1) = 0; (f ′(x))2dx = ; (x + f ′(x))2dx = 3. 0 3 0 Z 1 Tính 2f (x)dx 0 A. -1 B. 0 C. 2 D. 1 E. -2 F. Đáp án khác Câu 12: 1 Tính lim (1 + x2 + y2) x + 2y (x,y)→(0+,0+) A. 0 B. 1
C. Không tồn tại giới hạn D. +∞ E. Đáp án khác
Chú ý: Đề thi có 10 trang. Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu. Trang 3 trên 10 Chúc các bạn thi tốt!
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 Câu 13:  √ 3 xy   khi (x, y) 6= (0, 0) Cho f(x, y) = x2 + y2
Nhận định nào sau đây đúng?  0 khi (x, y) = (0, 0)
A. Hàm số liên tục theo x, không liên tục theo y
B. Hàm số liên tục theo y, không liên tục theo x
Hàm số liên tục theo từng biến nhưng không liên tục trên R2 C.
D. Tất cả các đáp án đều sai Câu 14: √7 + x − 3
Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số f(x) = x2 − 4
A. x = 2 là điểm gián đoạn loại 1
B. x = −2 là điểm gián đoạn loại 1
C. x = ±2 đều là điểm gián đoạn loại 2
D. x = ±2 đều là điểm gián đoạn loại 1 E. Đáp án khác Câu 15: Cho hàm số f(x, y) = 3
px4 + y2. Nhận định nào sau đây đúng? A. f′x(0, 0) = a (a ∈ R)
B. Hàm số không khả vi tại (0, 0)
C. Hàm số khả vi tại (0, 0) D. f′y(0, 0) = a (a ∈ R) E. Đáp án khác Câu 16:
Hệ số của y2 trong khai triển taylor của hàm số f(x, y) = 2x2 − xy − y2 − 6x − 3y + 5 trong lân cận của điểm M(1; −2) A. -1 B. 2 C. 0 D. 1 E. -2
Chú ý: Đề thi có 10 trang. Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu. Trang 4 trên 10 Chúc các bạn thi tốt!
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 Câu 17: tan ax 1
Cho a, b, c là các số thực khác 0, 3b−2c 6= 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c để: lim √ √ = x→0 1 + bx − 3 1 + cx 2 a 1 A. a 1 1 = B. a = C. = 3b − 2c 6 3b − 2c 10 5b − 2c 10 a 1 D. a 1 1 = E. a = F. = 5b − 2c 6 3b − 2c 2 3b − 2c 12 Câu 18:
Thể tích lớn nhất của hình trụ nội tiếp trong quả cầu bán kính R là: πR3 A. 4πR3 √ B. 3πR3 √ C. 2πR3 √ D. √ E. Đáp án khác 3 3 2 3 2 5 3 3 Câu 19: 1 + x2 1 + x2 ax b c cos x
Đạo hàm của hàm số y = √ có dạng: y′ = √ − − . 3 x4 sin7 x 3 x4 sin7 x 1 + x2 x sin x
Kết luận nào sau đây là đúng: A. a + 3 + c = 13 B. a2 + b2 + c2 = 13 C. a, b, c đều lớn hơn 0 D. a 6= b E. abc < 0 F. a = b 6= c Câu 20:
Cho hàm số: x3 − 3xy2 = R(x2 + y2). Hàm số đã cho có bao nhiêu tiệm cận: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 F. Đáp án khác. Câu 21: +∞ Z dx
Có bao nhiêu số nguyên m để: √ hội tụ? (xm − 1) 2x2 − 5x + 2 2 A. 1 B. 5 C. 0 D. 3 E. Vô số F. Đáp án khác Câu 22: h i Tính giới hạn: L = lim p n
(x − a1)(x − a2) . . . (x − an) − x x→+∞ a1 + a2 + · · · + an A. a1 + a2 + · · · + an B. a √ C. − 1 + a2 + · · · + an n n n n a1 + a2 + · · · + an D. a E. − 1 + a2 + · · · + an √ F. Đáp án khác 2n n n
Chú ý: Đề thi có 10 trang. Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu. Trang 5 trên 10 Chúc các bạn thi tốt!
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 Câu 23: Z 1 ln x
A là tập hợp các giá trị của α để : dx hội tụ. p 0 x(1 − x)α √ Z +∞ 1 + x2
B là tập hợp tất cả các giá trị của β để: dx hội tụ. 0 xβ(1 + xβ+1)
Mệnh đề nào sau đây đúng: A. 1 A ∩ B = ∅ B. A ∪ B = ; 2 3 1 C. A = −∞; ∪ (1, 2) D. A ∪ B = (−∞, 2) 3 1 1 E. A ∩ B = ; F. Đáp án khác. 2 3 Câu 24: a Tìm giới hạn L = lim 0xn + · · · + an−1x + an (a0, b0 6= 0)
x→+∞ b0xm + · · · + bm−1x + bm a1 + a2 + · · · + an A. a1 + a2 + · · · + an−1 B. b1 + b2 + · · · + bm b1 + b2 + · · · + bm−1 an C. am D. bm bn an−1 E. F. Đáp án khác bm−1 Câu 25:
Tính khối lượng của hình cầu bán kính a. Biết khối lượng riêng tại mỗi điểm của hình cầu tỷ lệ với khoảng
cách của điểm đó đến tâm theo hệ số k. kπa2 A. 3kπa3 B. 4kπa4 C. 2kπa5 D. E. Đáp án khác Câu 26:
Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 − (x + y)2 A. (0,0) 4 4 B. ( , ) 3 3
C. Hàm số không có cực trị 4 4 D. (0,0) và ( , ) 3 3 E. Đáp án khác
Chú ý: Đề thi có 10 trang. Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu. Trang 6 trên 10 Chúc các bạn thi tốt!
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 Câu 27:
Tìm số thực a sao cho hàm số f(x, y) = ln (x + ay) thỏa mãn ∂2f ∂2f ∂2f − 4 + 4 = 0 ∂x2 ∂x∂y ∂y2 A. 1 1 B. C. 0 D. -1 E. Đáp án khác 2 Câu 28:
Cho hàm số z = f(x, y) có f”xx(x, y) = 12x2y + 2, f′y(x, y) = x4 − 30xy5, f(0, 0) = 1, f(1, 1) = −2.
Biết z có chứa ax4y + bxy6 + c với a, b, c ∈ R. Tính a + b + c A. 1 B. -2 C. -3 D. 2 E. 0 F. Đáp án khác Câu 29:
Viết công thức Maclaurin đến o(x6) của y = tan x x3 2x5 A. x + + + o(x6) 3 15 x3 3x5 B. x + + + o(x6) 3 20 x3 2x4 5x6 C. 1 + + + + o(x6) 3 15 24 x3 3x4 6x5 D. 1 + + + + o(x6) 3 20 25 E. Đáp án khác Câu 30: 1 √ 1
Cho hàm số y = e−|x| ( 2 + sin )(x 6= 0); y(0) = 0. Kết luận nào sau đây là đúng: x
A. hàm số có một cực đại
B. hàm số có một cực tiểu và một cực đại
C. hàm số không có cực đại
D. hàm số có một cực tiểu
E. hàm số có ba cực trị F. không có đáp án đúng
Chú ý: Đề thi có 10 trang. Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu. Trang 7 trên 10 Chúc các bạn thi tốt!
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 Câu 31: 1 2 k
Cho dãy (xk) được xác định như sau: xk = + + · · · + 2! 3! (k + 1)! √
Tìm lim un với un = n xn1 + xn2 + · · · + xn2011 n→+∞ 1 A. 1 1 − B. 2011! 2011! 1 C. 1 1 − D. 1 − 2012 2011 1 E. 1 − F. Đáp án khác 2012! Câu 32:
Tính đạo hàm cấp n của hàm số: 1 y = xn−1 · ex , (n ∈ N, x 6= 0) 1 1 (−1)n+1 · ex A. (−1)n · ex y(n) = B. y(n) = xn+1 xn+1 1 1 −1 · ex C. −(n + 1)2 · ex y(n) = D. y(n) = xn+1 xn+1 1 (−n)n · ex E. y(n) = F. Đáp án khác xn+1 Câu 33:
Cho y = arctan x. Tính y(n)(0) A. y(2k) = 0 B. y(2k+1) = (2k)! C. y(2k) = (−1)k(2k!) D. y(2k+1) = 0 E. y(2k+1) = (−1)k(2k!) Câu 34: 3x + 3 Cho f(x) = √
. Khai triển Taylor hàm số f(x) tại x0 = 1 đến o((x + 1)2n) 3 − 2x − x2 3 n−1 X 3(2k − 1)!! A. (x + 1) + (x + 1)2k+1 + o((x + 1)2n) 2 23k+1k! k=1 3 n−1 X 3(2k − 1)!! B. (x + 1) + (x + 1)2k+1 + o((x + 1)2n) 2 22k+1k! k=1 5 n−1 X 3(2k − 1)!! C. (x + 1) + (x + 1)2k+1 + o((x + 1)2n) 2 23k+1k! k=1 5 n−1 X 3(2k − 1)!! D. (x + 1) + (x + 1)2k+1 + o((x + 1)2n) 2 22k+1k! k=1 E. Đáp án khác
Chú ý: Đề thi có 10 trang. Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu. Trang 8 trên 10 Chúc các bạn thi tốt!
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 Câu 35: Z π/2022 1 π Ta có: dx =
. A có dạng abcd. Có bao nhiêu mệnh đề đúng: 0 1 + ecos 2022x 2A (I) a = b = c (II) a + b + c − d = 2 (III) a2 + b2 + c2 = 4 (IV) b2 + c2 + d2 = 8 (V) b = c = d
Có bao nhiêu mệnh đề đúng: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. Đáp án khác Câu 36: 1 1
Độ dài đường cong: ϕ = r +
(với 1 ≤ r ≤ 3) có dạng s = a + ln b. Đáp án nào sau đây đúng: 2 r A. a + b = 0 B. a2 + b2 = 3 C. a2 + b2 = 7 D. a + b = 5 E. a + b2 = 5 F. a2 + b = 7 Câu 37:
Hàm số f : [0, 1] −→ (0, +∞) khả vi liên tục trên đoạn [0, 1] thỏa mãn: f(0) = 1, f(1) = 4 và: 1 Z
(f ′(x))2 dx ≤ 4, có dạng f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. f (x) 0 A. a2 + b2 + c2 + d2 = 4 B. a + b + c + d = 6 C. a3 + b2 + c + d = 4 D. a − b + c − d = 2 E. Đáp án khác Câu 38:
Cho hàm số f(x, y) = 1 − x2 − y2 với điều kiện (x − 1)2 + (y − 1)2 − 1 = 0. Nhận định đúng là: √ √ 2 2
A. Hàm số đạt cực đại tại (1 − ; 1 − ) 2 2
B. Hàm số đạt cực đại tại (0,1) C. Hàm số có 1 cực trị √ √ 2 2
D. Hàm số đạt cực tiểu tại (1 − ; 1 + ) 2 2
E. Không có nhận định đúng
Chú ý: Đề thi có 10 trang. Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu. Trang 9 trên 10 Chúc các bạn thi tốt!
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 Câu 39:
Tìm GTLN của hàm số f(x, y) = x2y(2 − x − y) trên miềm đóng giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, y = 6 − x A. 1 1 B. 1 C. 3 D. E. 128 F. Đáp án khác 2 4 2 Câu 40: x z
Cho hàm ẩn z = z(x, y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và được xác định bởi phương trình = ln +1. z y Tính d2f(0, 1) edy2 A. −edx2 B. edx2 + dy2 C. −edx2 + dy2 D. E. e(dx2 + dy2) F. Đáp án khác
Chú ý: Đề thi có 10 trang. Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu. Trang 10 trên 10 Chúc các bạn thi tốt!
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)