Đề thi giữa kì Giải tích 1 năm 2017 - Đề số 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

TỔNG HỢP ĐỀ THI GI A K Ữ
Ỳ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Biên so n: Lê Xuân V ạ ương Đề 1-20171 Câu 1. Tìm t nh c ập xác đị a hàm s ủ
ố y  6arccot x  5 . 5
Giải:Ta có: 6 arccot x 5  0  arccot x  6 ( arccot x o chi là hàm ngược nên đả ều c a b ủ ình) ất phương tr 5  x  cot   3 6
 TXĐ: D   ;   3 .
Câu 2. Tìm tất cả hàm s liên t ố
ục f  x th a mãn ỏ
f x   x , x   . Giải: f
 c  c  c   , R f   c  c  
f c   c  
 Với c .c  0  f c . f c  0 (vì f  x liên t c và ụ
f  x  0, x   0 ) 1 2  1  2   Có 4 hàm s ố th a mãn: ỏ f  x  ,
x f  x   ,
x f  x  x , f  x   x . ln 1  4sin x
Câu 3. Tính I  lim .  0 3x x  1 VCB 4sin VCB x 4x 4
Giải: I  lim  lim  . l x n 3 x 0 x 0 e  1 x ln 3 ln 3 3
x  x khi x  1,
Câu 4. Tìm a, b  để hàm s ố y  
khả vi tại x  1 .
ax  b khi x  1 
Giải:- Điều kiện cần là: f  x liên t c t ụ ại x 1
 lim f x lim f x f 1 a  b  2.   x 1  x 1 
f (x)  f (1)
f (x)  f (1) f '(1)  lim  lim x 1  x 1 x 1   x 1 3 ax  a x  x  2  lim  lim
 a  4  b  2   x 1   x 1 x 1  x 1 Vậy a=4 ;b=-2  
Câu 5. Tính đạo hàm cấp cao 5
y  x với y   2 ln 2x   x .
Giải: y  ln 2x 1  ln x Ta có:  4 5  1  4!
 ln x       5  x  x
TỔNG HỢP ĐỀ THI GI A K Ữ
Ỳ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Biên so n: Lê Xuân V ạ ương 4 5 5  2  2 .4!
 ln 2 x1        2 x 1   2x15 5 4! 2 .4!  y   . 5 x 2x 15 2 cot x  x 
Câu 6. Tính I  lim  . x 0   sin x  Giải: 2 cot x 2  x  lim cot x ln  x    x0  sin I  lim x  e   
x 0  sin x   x s  in x  ln 1    sin x  lim 2 x 0 tan x  e  x s  in x x s  in x VCB lim VCB lim 2 3 0 0 sinx .tan  x x x x e  e  L 1 c  os x 1 lim 2 x  0 3 x 6  e  e . 2x  3
Câu 7. Tính tích phân dx  . 3 x 1 2x 3dx (2x  3)dx
Giải: I     3 2 x  1
(x  1)(x  x  1)
(Phân tách + đồng nhất)  1 1 1 2x 1 5     .  .   dx  2
 3 x 1 6 x  x 1 2 2 x  x   1  1  d x    1 1    x  
 2x  x  5 2 ln 1 ln 1   2 2 3 6 2 1  3    x       2  2   1 1   x  
 2x  x  5 2 2 x 1 ln 1 ln 1  . arctan  C 3 6 2 3 3 . 1 1  2 5 2 x 1
 ln(x 1)  ln(x  x 1)  arctan  C 3 6 3 3
Câu 8. Tính tích phân 2 tan  x dx  . Giải:Đặt 2 t 
x  x  t  dx  2tdt 2
 I  2 t.tan tdt  2 td 
 tant t Trang 2
TỔNG HỢP ĐỀ THI GI A K Ữ
Ỳ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Biên so n: Lê Xuân V ạ ương  1  2 1 tan x    2  cos x 
 2 t tan t  t  tant tdt   2  t  2 2
 2t tant  2t  2ln cost  2.
 C  2t.tant  2ln | cost |1.t C   2  
 2 x tan x  2ln cox x 1.x  C . Câu 9. Sử d ng ụ
khai triển Maclaurin của hàm s ố 3
y  1 x đến 3
x để tính gần đúng 3 1, 09 , (quy tròn đến 6 10 ). 1 1 5 Giải:Ta có: 3 2 3 1 x  1 x  x  x 3 9 81 1 1 2 5 3 3
 1  0,09 1  .0,09  .0,09  .0, 09 3 9 81  1,029145 .
Câu 10. Bơm nước vào một bể chứa hình cầu bán kính 4m với tốc độ 3
1m /1 phút. Tính tốc độ tăng lên
tức thời của chiều cao m c khi chi ực nướ ều cao m c là 3 ực nướ m.
Giải:Gọi R là bán kính bể ch a,
ứ h là chiều cao mực nước . Khi đó thể ực nướ tích m c là: 1 2 3 V     . Rh  h    3  dV     2 2Rh  h  dh  dV    2
2Rh  h  dh dV     dh 2 2Rh  h  dt dt dV Tại t nào đó
 t  1, h  3 m 0 0 dt dh  dh 1 1   2 2.4.3 3  t  t  m/phút. 0  0  dt dt 15 Trang 3
TỔNG HỢP ĐỀ THI GI A K Ữ
Ỳ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Biên so n: Lê Xuân V ạ ương Trang 4