SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012- 2013
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
Môn: Toán lớp 10 Nâng cao
Dành cho tất cả các lớp
Buổi thi: … ngày …/…/2012
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 01 trang ---------------------- 2 4  x
Câu 1. (1 điểm) Cho hàm số f (x)  . 3 9x  x
a. Tìm tập xác định của hàm số.
b. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.
Câu 2. (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình:  1 2   2   x x  y a. 2
x  x  2  4x  2 . b.  . 5 3   1
 x  y 2 x 
Câu 3. (2,5 điểm) Cho hàm số 2
y  (2m  5)x  2(m 1)x  3 có đồ thị C . m 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  2 . b. Chứng minh rằng khi 5 m 
thì C luôn cắt đường thẳng (d) : y  3  x  3 tại m  2
hai điểm có tọa độ không đổi. Câu 4. (4 điểm)
1. Cho tam giác ABC , lấy các điểm M , N sao cho MA  2MB  0,3NA  2NC  0 .
a. Biểu thị AM , AN theo A , B AC .
b. Chứng minh M , N,G thẳng hàng, trong đó G là trọng tâm tam giác ABC . c. Giả sử AB  , a AC  5 ,
a MN  2 3a với a  0 , tính số đo góc BAC của tam giác ABC .
2. Trong mặt phẳng tọa độ cho ( A 1;1), B( 1  ;3), H(0;1). a. Chứng minh , A ,
B H không thẳng hàng.
b. Tìm tọa độ điểm C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . Câu 5. (0,5 điểm)
 x  xy  y  2  x  y 
Giải hệ phương trình  x  xz  z   3 x  z 
 y  yz  z  4  y  z 
------------------ HẾT ------------------
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 1 – MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2012 – 2013 Câu Đáp án Điểm 1. a. (0,5 điểm) (1,0  2   x  2 0,25 2 điểm)       
Hàm số xác định khi 4 x 0 2 x 2   x  0   3 9
 x  x  0  x  0 x  3  
Vậy hàm số có tập xác định D   2  ;00;2 . 0,25 b. (0,5 điểm) x  D 0,25 Ta có x   D thì  .
 f (x)   f (x)
Vậy f (x) là hàm số lẻ. 0,25 2. a. (1,0 điểm) (2,0  y  1  0,5
điểm) Đặt y  x  2 , y  0. Ta có 2
y  y  2  0 
 y  2 (vì y  0).   y  2      Từ đó x 2 2 x 4 0,5 x  2  2    
. Vậy tập nghiệm S {0;4}. x  2  2  x  0
(Học sinh có thể dùng cách phá dấu giá trị tuyệt đối) b. (1,0 điểm)
Điều kiện x  0, x  y  0 . 0,25  1 2  1   0,5 2 1    x x  y  x x 1 x 1        . 5 3 1 1   x  y  4 y  3  1   x  y x  x  y 2 2   Vậy hệ có nghiệm ( ; x y)  (1;3) . 0,25 3. a. (1,5 điểm) (2,5 Khi m  2 thì 2
y  x  2x  3 . Tập xác định D  R . 0,25
điểm) Bảng biến thiên 0.5 x  1   4 y  
Đồ thị: giao với trục tung tại (0 A ;3) , giao với 0,25 trục hoành tại ( B 3
 ;0),C(1;0) , trục đối xứng có phương trình x  1  . 0,5 b. (1,0 điểm)
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 0,25 2 2
(2m  5)x  2(m 1)x  3  3
 x 3  (2m 5)(x  ) x  0 5 Khi m 
phương trình trên luôn có hai nghiệm x  0, x 1. 0,25 2
Từ đó C luôn cắt (d) tại hai điểm có tọa độ không đổi là 0,5 m 
M (0;3), N(1;0) với 5 m  . 2 4. 1a. (0,5 điểm) (4,0
Từ giả thiết rút ra được 2   . 0,5 điểm AM 2AB, AN AC 5 1b. (1,0 điểm) 2 2 Ta có 0.5
MN  AN  AM  AC  2AB  AC5AB, 5 5 1 MG 
MAMBMC 1
  MA MB  AC 1 2   5
 AB  AC . 3 3 3 Từ đó 5 3MG 
MN . Vậy M , N,G thẳng hàng. 0.5 2 1c. (1,0 điểm) 2 Ta có 0.25
AM  2AB  2a, AN 
AC  2a . Từ đó áp dụng Định lí cos cho 5 tam giác AMN : 2 2 2
AM  AN  MN 1 0.5 cos MAN    . 2AM .AN 2 Vậy 0
BAC  MAN  120 . 0.25 2a. (0,5 điểm) 1  0 Ta có 0,5 AH  ( 1  ;0), BH  (1; 2  ), mà 
nên AH, BH không cùng 1 2  phương. Từ đó , A ,
B H không thẳng hàng. 2b. (1,0 điểm) Giả sử C( ;
x y) , ta có AC  (x 1; y 1), BC  (x 1; y  3) . 0,25   0,25 Để AH.BC 0
H là trực tâm tam giác ABC thì 
BH.AC  0 x 1  0 x  1   0,5    . Vậy C( 1  ;0) .
x  2y 1  0 y  0 5.
Điều kiện (x  y)(y  z)(z  x)  0. Hệ tương đương với 0,5 (0,5 1 1 1 7  12 điểm   1   x  x y   x 12 7
xy  x  y     1 1 1  1 5  12
xz  2(x  z)         y  x z 2 y 12 5    
yz  3( y  z)   1 1 1  z  1  2 1 1        y z 3   z 12 
(Dễ thấy xy  0, xz  0, yz  0 ). Vậy hệ có một nghiệm 12 12  ( ; x ; y z)  ; ; 1  2   .  7 5 