SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I HÀ NAM
Năm học 2017 – 2018
(Đề thi gồm 02 trang) Môn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút Mã đề 124 I.
PHẦN TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)
Câu 1: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số 3
y  2x  3x  2 và Parabol 2
y   x 10x  4. A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 2: Cho hàm số g  x  log 2x  4. Tính g  1 .
A. g  1 1  .
B. g  1 1   . 2ln10 ln10
C. g  1 1   .
D. g  1 1  . 2ln10 ln10
Câu 3: Cho hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng 16 và độ dài đường sinh bằng
8. Tính bán kính đường tròn đáy r của hình nón đã cho. 1 A. r  4. B. r  . C. r  2.
D. r  1. 2 1 1 Câu 4: Hàm số 4 2
y  x  x  có bao nhiêu điểm cực trị ? 4 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 5: Cho hàm số  x y  e .sin .
x Khẳng định nào sau đây là đúng ? y y y y 2  2 2  2 2  2 2  2 A. 2 x y   e . B. x y   e . C. x y   e . D. 2 x y   e . 2 2 4 4 2 2x 1
Câu 6: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  . 2 2x  5x  2 A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. a
Câu 7: Cho khối chóp S.ABC có ,
SA SB, SC đôi một vuông góc; SA  a, SB  , SC  2 . a 2
Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 1 1 1 A. 3 V  a . B. 3 V  a . C. 3 V  a . D. 3 V  a . 2 3 6
Câu 8: Biết log 3  a, log 5  . b Tính log 27 theo a, . b 2 3 1000 b a ab 1 A. . B. . C. . D. . 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab
Câu 9: Biết hàm số 3 2
y  x  5x  3x  4 nghịch biến trên khoảng  ;
a b với a  ; b a, b  
và đồng biến trên các khoảng  ;  a,  ;
b  . Tính S  3a  3 . b A. S  6. B. S  9. C. S  10.
D. S  12.
Câu 10: Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh .
a Biết SA vuông góc với
mặt phẳng  ABC và SA  .
a Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC theo . a a 7 7 a 7 a 7 A. R  .
B. R  a . C. R  . D. R  . 4 12 3 12  x  2 x 1
Câu 11: Gọi x , x là các nghiệm của phương trình x 1 9 x  27
. Tính T  x x . 1 2 1 2 A. T  2. B. T   2. C. T  6.
D. T   6.
Câu 12: Tìm tập xác định D của hàm số y   2
ln  x  5x  4.
A. D  1;4.
B. D  4; .
C. D    ;1 .
D. D    
;1  4; .
II. PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm)
Bài 1 (1,5 điểm). Cho hàm số 3 2
y  x  4x  5x  2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số. 11  b) Gọi ,
A B là các điểm cực trị của C. Cho C ; 1 . 
 Chứng minh rằng các điểm  2  ,
A B, C thẳng hàng.
Bài 2 (1,5 điểm). Giải các phương trình sau: x x  1 a) 1 9  4.3   0. b) log  4 2
x  6x  9  log 5  x . 4  2   3
Bài 3 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AD  2a,
CD  a 2. Biết SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD và SA  3a 2. Gọi K là trung điểm của đoạn A . D
a) Tính thể tích khối chóp S.BCK theo . a
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AD theo . a
c) Chứng minh rằng SBK  vuông góc với SAC.
Bài 4 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 9 P   . 2 2 2
a  b  c  4 a  b a  2cb  2c
---------- HẾT ----------
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT MÃ ĐỀ 124
THỰC HIỆN BỞI NGUYỄN THẾ DUY
https://www.facebook.com/theduy1995 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM 1. C 2. D 3. C 4. A 5. D 6. B 7. D 8. B 9. C 10. B 11. A 12. A
Câu 1: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số 3
y  2x  3x  2 và Parabol 2
y   x 10x  4. A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
HD: Phương trình hoành độ giao điểm của C và P là 3 2
2x  3x  2   x 10x  4
x  2; x  3 3 2 2x x 13x 6 0
2x 1x 2x 3 0             1 . x   2
Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt. Chọn C.
Câu 2: Cho hàm số g  x  log 2x  4. Tính g  1 .
A. g  1 1  .
B. g  1 1   . 2ln10 ln10
C. g  1 1   .
D. g  1 1  . 2ln10 ln10 1 1
HD: Ta có g  x  log 2  log x  2  g x       Chọn D. x   g   1 . 2 .ln10 ln10
Câu 3: Cho hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng 16 và độ dài đường sinh bằng
8. Tính bán kính đường tròn đáy r của hình nón đã cho. 1 A. r  4. B. r  . C. r  2.
D. r  1. 2 S 16   rl   xq 16 16 HD: Ta có     r   2. Chọn C. l   8 l   8 8 1 1 Câu 4: Hàm số 4 2
y  x  x  có bao nhiêu điểm cực trị ? 4 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
HD: Hàm số trùng phương 4 2
y  ax  bx  c a  0 với tích ab  0 có 1 điểm cực trị. 1 1 Vậy hàm số 4 2
y  x  x  có duy nhất 1 điểm cực trị là x  0. Chọn A. 4 2 Câu 5: Cho hàm số  x y  e .sin .
x Khẳng định nào sau đây là đúng ? y y y y 2  2 2  2 2  2 2  2 A. 2 x y   e . B. x y   e . C. x y   e . D. 2 x y   e . 2 2 4 4 HD: Ta có  x    .sin  x 
.cos  cos  sin  x y e x e x x x e      y
sin  cos  x  cos  sin  x   2 x y x x e x x e e .cos x   x  e .cos . x 2 2  y 2 2  Khi đó 2 y      x e
x   x  e x   2 2 x  x 2x 2 .sin .cos sin cos x e
 e . Chọn D.  2  2 2x 1
Câu 6: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  . 2 2x  5x  2 A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. u  x
HD: Hàm số đã cho dạng phân thức y 
và có đồ thị C ta thấy rằng: v  x
 deg u x  deg vx (với deg là bậc của đa thức)  C có tiệm cận ngang là y  0.  1  1 x  x 
 Phương trình vx  0  
2  C  có hai tiệm cận đứng là  2 .   x  2 x  2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận. Chọn B. a
Câu 7: Cho khối chóp S.ABC có ,
SA SB, SC đôi một vuông góc; SA  a, SB  , SC  2 . a 2
Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 1 1 1 A. 3 V  a . B. 3 V  a . C. 3 V  a . D. 3 V  a . 2 3 6 . SA . SB SC
HD: Khối chóp S.ABC có ,
SA SB, SC đôi một vuông góc  V  . S.ABC 6 a a . a .2a 3 a
Với SA  a, SB  , SC  2a   Thể tích 2 V   . Chọn D. 2 S.ABC 6 6
Câu 8: Biết log 3  a, log 5  . b Tính log 27 theo a, . b 2 3 1000 b a ab 1 A. . B. . C. . D. . 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab 3 1 1 log 27 1 log 3 HD: Ta có 2 2 log 27  log 27  log 27  .  . . 3 1000 10 10 3 3 log 10 3 log 2.5 2 2   1 3.log 3 1 3.log 3 1 3a a 2 2  .  .  .  . Chọn B.
3 1 log 5 3 1 log 3.log 5 3 1 ab 1 ab 2 2 3
Câu 9: Biết hàm số 3 2
y  x  5x  3x  4 nghịch biến trên khoảng  ;
a b với a  ; b a, b  
và đồng biến trên các khoảng  ;  a,  ;
b  . Tính S  3a  3 . b A. S  6. B. S  9. C. S  10.
D. S  12. HD: Xét hàm số 3 2
y  x  5x  3x  4 trên , có 2
y  3x 10x  3; x   .   1 x  Phương trình 2
y  0  3x 10x  3  0  3x   1  x  3  0   3.  x  3  1   1 
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ;  
 và 3;  ; hàm số nghịch biến trên ;3 .    3   3  1 1
Do đó a  ; b  3 
 S  3a  3b  3.  3.3  10. Chọn C. 3 3
Câu 10: Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh .
a Biết SA vuông góc với
mặt phẳng  ABC và SA  .
a Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC theo . a a 7 7 a 7 a 7 A. R  .
B. R  a . C. R  . D. R  . 4 12 3 12
HD: “ Tứ diện ABCD có một cạnh vuông góc với một mặt, chẳng hạn có đường thẳng AB
vuông góc với mặt phẳng BCD. Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD, r là bán kính
đường tròn ngoại tiếp  B .
CD Khi đó, ta có công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp 2 h tứ diện ABCD là 2 R  r  ” 4 2 2 2 SA  a 3  a 7 Áp dụng CTTN, ta có 2 R  R       a . Chọn B.  ABC 4  3  4 12   x 1 x  2
Câu 11: Gọi x , x là các nghiệm của phương trình x 1 9 x  27
. Tính T  x x . 1 2 1 2 A. T  2. B. T   2. C. T  6.
D. T   6. x  0  x  2  x  2 x 1 x 1 3. 2. 2 x 1 3 x  2 x 1 x 1     HD: Điều kiện:  . Ta có 9 x  27  3 x  3   . x  1 x x 1 x     2x   1  x  
1  3x  x  2 3 7 2 2 2 1
 2x  2  3x  6x  x  6x  2  0   . x  3  7  2
Vậy tích T  x x  2. Chọn A. 1 2
Câu 12: Tìm tập xác định D của hàm số y   2
ln  x  5x  4.
A. D  1;4.
B. D  4; .
C. D    ;1 .
D. D    
;1  4; .
HD: Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 2
 x  5x  4  0  1  x  4.
Vậy tập xác định của hàm số là D  1;4. Chọn A. II. PHẦN TỰ LUẬN
Bài 1 (1,5 điểm). Cho hàm số 3 2
y  x  4x  5x  2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số. 11  b) Gọi ,
A B là các điểm cực trị của C. Cho C ; 1 . 
 Chứng minh rằng các điểm  2  ,
A B, C thẳng hàng.
Lời giải. a) Học sinh tự làm.
x  1  y   1  0  b) Ta có 2
y  3x  8x  5; x   .
 Phương trình y  0   5  5  4 . x   y      3  3  27        9  Khi đó A  5 4 1;0 , B ;     2 4 AB  ;    và AC  ; 1 .    3 27   3 27   2   27  Vậy AC  AB suy ra ba điểm ,
A B, C thẳng hàng. 4
Bài 2 (1,5 điểm). Giải các phương trình sau: x x  1 a) 1 9  4.3   0. b) log  4 2
x  6x  9  log 5  x . 4  2   3 x x  1 2
Lời giải. a) Ta có 1 9  4.3
  0  3.3x   4.3x 1 0  3x   1 3.3x   1  0 3 x x 0 3 1  0 3  3 x  0      . 
Vậy phương trình có tập nghiệm là S  0;   1 . x x 1 3.3 1  0 3  3 x  1 2
b) Điều kiện: x  5. Ta có log x  6x  9  log 5  x  log
x  3  log 5  x 4  4 2  2   2 2 2   2   x   log  1 2
x  3  log 5  x 2 2
 x  3  5  x  x  x  2  0  (tmđk). 2 2  x   2
Vậy phương trình có tập nghiệm là S  1;   2 .
Bài 3 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AD  2a,
CD  a 2. Biết SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD và SA  3a 2. Gọi K là trung điểm của đoạn A . D
a) Tính thể tích khối chóp S.BCK theo . a
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AD theo . a
c) Chứng minh rằng SBK  vuông góc với SAC.
Lời giải. a) Ta có 2 S  S  S  S  a 2.  BKC ABCD  ABK  KCD S
Suy ra thể tích khối chóp S.BCK là 1 1 2 3 V  .S . A S
 .3a 2.a 2  2a (đvtt). S.BCK 3  BCK 3
b) Vì AD // BC  AD // SBC  d  ;
SB AD  d  ; A SBC H K D
Kẻ AH vuông góc với SB H  SB  AH  SBC A 1 1 1
Tam giác SAB vuông tại , A có   B C 2 2 2 AH SA AB . SA AB 3a 2.a 2 3a Suy ra d S ; B AD    . 2 2 SA  AB
 a 2 a 2 5 3 2 2          
c) Ta có AC.BK   AB  AD.BA BD   AB  AD.2 AB  AD
2   2
  AB  AB AD  AD  AD  AB   a2 2 2 2 . 2 2
 2.a 22  0.  
Suy ra AC.BK  0  AC  BK mà SA  BK  BK  SAC  SBK   SAC.
Bài 4 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 9 P   . 2 2 2
a  b  c  4 a  b a  2cb  2c
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 2 2          
 cb  c  a  b a b 4c a b 2ab 4ac 4bc a b a 2 2 .   2 2 2 2
a  b  c . 2 2 4 9 Đặt 2 2 2
t  a  b  c  4, suy ra t  2 và P   t 2 . 2 t  4 4 9 4 9t
Xét hàm số f t  
với t  2. Ta có f t     0  t  4. t 2 2t  4 2 t  2t 42 5
Tính các giá trị f 4  ; lim f t   và lim f t  0. 2 8 t t 4 5
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số f t là . Dấu "  " xảy ra  a  b  c  2. 8 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là . 8