Đề thi học kỳ 1 Toán lớp 12 năm học 2017 - 2018 trường THPT chuyên Long An (có đáp án)

Trọn bộ Đề thi học kỳ 1 môn TOÁN 12 năm học 2017 - 2018 trường THPT chuyên Long An có đáp án. Đề thi gồm 5 trang với 50 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!

23 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề HK1 Toán 12

Môn: Toán 12

Thông tin:

13 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile M. Hậu
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LONG AN – ĐỀ THI HỌC KỲ 1
MÔN: TOÁN 12 – Không chuyên Toán
Câu 1. Đồ thị hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị?
A.
= + −
4 2
2 1
y x x
. B.
= − − −
4 2
2 1
y x x
. C.
= − −
4 2
2 1
y x x
. D.
= + +
4 2
2 4 1
y x x
.
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số
(
)
2
x
f x
?
A.
(
)
−
′
=
1
.2 ln 2
x
f x x
. B.
(
)
−
′
=
1
.2
x
f x x
. C.
(
)
−
1
2 ln 2
x
f x
. D.
(
)
2 ln 2
x
f x
.
Câu 3. Số nghiệm của phương trình
(
)
− =
2
log 1 2
x
là:
A. Kết quả khác. B.
1
. C.
0
. D.
2
.
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình
(
)
(
)
− + < −
2
1 1
3 3
log 2 1 log 1
x x x
là:
A.
(
)
1;2
. B.
(
)
+∞
3;
. C.
(
)
+∞
2;
. D.
(
)
+∞
1;
.
Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
+
=
− +
2 1
1
x
y
x
trên đoạn
[
]
2;3
?
A.
0
. B.
1
. C.
−
5
. D.
−
2
.
Câu 6. Cho lăng trụ đứng
′ ′ ′
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
,
′
= =
2 , 2
BC a AA a
. Tính
thể tích
V
của lăng trụ
′ ′ ′
.
ABC A B C
.
A.
=
3
8
3
a
V
. B.
=
3
2
3
a
V
. C.
=
3
2
V a
. D.
=
3
4
V a
.
Câu 7. Cho hàm số
+
=
−
2 3
1
x
y
x
có đồ thị
(
)
C
. Tiếp tuyến của
(
)
C
tại điểm có hoành độ bằng
2
cắt các trục
Ox
và
Oy
tại các điểm
(
)
(
)
;0 , 0;
A a B b
. Khi đó, giá trị của
= +
P a b
bằng:
A.
=
17
5
P
. B.
=
0
P
. C.
17
P
. D.
34
P
.
Câu 8. Gọi
1 2
,
x x
là các nghiệm của phương trình
( )
− + + =
2
1 3
3
log 3 1 log 3 0
x x
. Khi đó, tích
1 2
x x
:
A.
3
. B.
3
3
. C.
3 1
3
+
. D.
3
3
−
.
Câu 9. Hàm số
= − +
3 2
1 1 1
3 2 2
y x mx
đạt cực tiểu tại
=
2
x
khi
m
nhận giá trị nào sau đây?
A.
=
2
m
. B.
=
4
m
. C.
=
1
m
. D.
=
3
m
.
Câu 10. Số điểm cực đại của hàm số
= +
4
100
y x
là:
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
0
.
Câu 11. Cho khối chóp
S ABC
có
(
)
⊥
SA ABC
,
=
SA a
, đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
a
. Tính thể
tích
V
của khối tứ diện
S ABC
.
A.
=
3
3
4
a
V
. B.
=
3
3
12
a
V
. C.
=
3
3
7
a
V
. D.
=
3
3
3
a
V
.
Câu 12. Cho lăng trụ đứng
′ ′ ′
.
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
a
. Tính thể tích khối tứ diện
′ ′
A B AC
?
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
6
a
. D.
3
3
6
a
.
Câu 13. Một người gửi tiền vào ngân hàng 100 triệu đồng thể thức lãi kép, kỳ hạn là 1 tháng với lãi suất
0,5% một tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu đồng?
A. 44 tháng. B. 45 tháng. C. 47 tháng. D. 46 tháng.
Câu 14. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
= = =
3 , 4 , 12
AB a BC a SA a
và
SA
vuông góc mặt đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
.
S ABCD
.
A.
π
25
S
. B.
π
=
289
S
. C.
π
=
169
S
. D.
π
=
144
S
.
Câu 15. Tìm hàm số
+
=
+
ax b
y
cx d
biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm
(
)
0;1
M
vào giao điểm hai
đường tiệm cận của hàm số là
(
)
−
1; 1
I
.
A.
=
− −
2
2
x
y
x
. B.
+
=
−
1
1
x
y
x
. C.
−
=
−
2 1
1
x
y
x
. D.
+
=
−
1
1
x
y
x
.
Câu 16. Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
− +
=
2
2
3 2
4
x x
y
x
.
A.
= −
2
x
. B.
= = −
2, 2
x x . C.
=
4
x
. D.
=
2
x
.
Câu 17. Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
○
60
. Tính
thể tích khối chóp
.
S ABCD
?
A.
3
6
3
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
6
2
a
. D.
3
6
6
a
.
Câu 18. Hàm số nào sau đây có đồ thị nhận đường thẳng
=
2
x
làm tiệm cận đứng?
A.
=
+
1
1
y
x
. B.
=
+
2
2
y
x
. C.
= − +
+
1
2
1
y x
x
. D.
=
−
5
2
x
y
x
.
Câu 19. Đồ thị hàm số
−
=
+ +
2
2 3
4 4
x
y
x x
có tiệm cận đứng
=
x a
và tiệm cận ngang
=
y b
. Khi đó giá trị
của
+
2
a b
bằng:
A.
2
. B.
−
2
. C.
−
4
. D.
4
.
Câu 20. Cho khối chóp tam giác
S ABC
. Gọi
′ ′ ′
, ,
A B C
lần lượt là trung điểm của cạnh
, ,
SA SB SC
. Khi đó
thể tích khối chóp
S ABC
gấp bao nhiêu lần thể tích khối chóp
′ ′ ′
.
S A B C
?
A.
6
. B.
4
. C.
8
. D.
2
.
Câu 21. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
= − + +
2
2 4
y x x
trên đoạn
[
]
2;4
là:
A.
−
1
. B.
−
4
. C.
4
. D.
2
.
Câu 22. Cho các số thực dương
,
a b
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
=
2
2 2
1
log log
2
a a
. B.
+ +
≥ ⇔ ≤
2 2
1 1
log log
a a
a b a b
.
C.
(
)
(
)
+ = +
2 2
2 2
log 2 log
a b a b
. D.
< ⇔ >
3 3
4 4
log log
a b a b
.
Câu 23. Cho hàm số
= − +
4 2
2 1
y x x
biết
(
)
;
a b
là khoảng nghịch biến dài nhất của hàm số với
a b
∈
ℤ
.
Tính giá trị của
−
a b
là:
A.
−
1
. B.
6
. C.
−
5
. D.
2
.
Câu 24. Thể tích khối hộp chữ nhật có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh lần lượt có độ dài
, ,
a b c
là:
A.
=
1
6
V abc
. B.
=
1
3
V abc
. C.
=
V abc
. D.
=
4
3
V abc
.
Câu 25. Số nghiệm nguyên của bất phương trình
(
)
− + ≤
2
log 2 11 25 1
x x
là:
A.
4
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 26. Tập xác định của hàm số
(
)
−
= −
1
2
1
y x
là:
A.
(
)
= −∞
D ;1
. B.
[
)
= +∞
D 1;
. C.
(
)
D 0;1
. D.
(
)
= +∞
D 1;
.
Câu 27. Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau?
A. Đồ thị hàm số logarit không nằm bên dưới trục hoành.
B. Đồ thị hàm số mũ với cơ số dương nhỏ hơn 1 thì nằm dưới trên trục hoành.
C. Đồ thị hàm số logarit luôn nằm bên phải trục tung.
D. Đồ thị hàm số mũ với số mũ âm luôn có hai tiệm cận.
Câu 28. Cho hình chóp đều
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa mặt bên và đáy bằng
○
60
. Tính diện tích
xung quanh
xq
S
của hình nón có đỉnh
S
và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy
ABC
.
A.
π
=
2
10
8
xq
a
S . B.
π
=
2
7
6
xq
a
S
. C.
π
=
2
3
3
xq
a
S
. D.
π
=
2
7
4
xq
a
S
.
Câu 29. Hàm số
−
=
+
1
2
x
y
x
có đồ thị
(
)
H
. Tiếp tuyến của
(
)
H
tại giao điểm của
(
)
H
với trục hoành là:
A.
= −
1 1
3 3
y x . B.
= −
3
y x
. C.
3
y x
. D.
= −
3 3
y x
.
Câu 30. Cho khối hộp chữ nhật
′ ′ ′ ′
.
ABCD A B C D
có
′
= = =
8, 6, 12
AD CD AC
. Tính diện tích toàn phần
của khối trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình chữ nhật
ABCD
và
′ ′ ′ ′
A B C D
.
A.
(
)
π
= +
5 4 11 5
tp
S
. B.
π
=
26
tp
S
. C.
π
576
tp
S
. D.
(
)
π
= +
10 2 11 5
tp
S
.
Câu 31. Đồ thị hàm số
= − − +
3 2
3 9 2
y x x x
có tâm đối xứng là:
A.
(
)
−
2; 20
I
. B.
(
)
−
1;7
I
. C.
(
)
−
2;0
I
. D.
(
)
−
1; 9
I
.
Câu 32. Cho hình lăng trụ đứng
′ ′ ′ ′
.
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình thang cân với cạnh
= =
,
AB BC a
2
AD a
. Chiều cao của hình lăng trụ bằng
2
a
. Tính tổng thể tích
V
khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A.
π
=
2
3
V a
. B.
π
=
2
4
V a
. C.
π
=
3
V a
. D.
π
3
2
V a
.
Câu 33. Cho hàm số
(
)
=
y f x
xác định trên
{
}
−
ℝ
\ 1
và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là
−
4
. B. Hàm số đạt cực đại tại
= −
1
x
.
C. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu
=
0
x
. D. Đồ thị hàm số chỉ có hai tiệm cận.
Câu 34. Tìm số các giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
(
)
(
)
= + + − +
4 2
1 3 10 2
y m x m x
có ba cực trị?
A.
3
. B.
5
. C.
4
. D.
0
.
Câu 35. Gọi
,
n d
lần lượt số tiệm ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
+
=
2
1
x
y
x
. Tính giá trị của
= +
2 3
T n d
?
A.
7
T
=
. B.
=
4
T
. C.
=
5
T
. D.
=
8
T
.
Câu 36. Cho đồ thị hàm số
= − +
3 2
3 4y x x
có hai điểm cực trị là
,A B
. Tính diện tích tam giác
OAB
?
A.
= 4S
. B.
= 8S
. C.
= 2 5S
. D.
= 2S
.
Câu 37. Cho hình vuông
ABCD
có cạnh bằng 4. Tính tỉ số thể tích của hai khối tròn xoay sinh ra khi lần
lượt quay hình vuông đã cho quanh các đường thẳng chứa cạnh
AB
và đường chéo
AC
của hình vuông?
A.
3 2
. B.
3 2
2
. C.
3
. D.
3
2
.
Câu 38. Cho hàm số
( )
−
= −
2
2
x
y x x e
. Xác định tổng các nghiệm của phương trình
′
− = 0y y
?
A.
−3
. B.
−3 5
. C.
3
. D.
+3 5
.
Câu 39. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật
ABCD
có
= 24cmAD
. Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnh
,MN QP
vào phía trong đến khi
,AB CD
trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.
Tìm
x
để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?
A.
= 8x
. B.
=10x
. C.
= 9x
. D.
= 6x
.
Câu 40. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
= +
2 2
sin cos
2 2
x x
y
lần lượt là
,m M
. Tính giá trị
= .P M m
?
A.
= 4 2P
. B.
= 3 2P
. C.
= 6P
. D.
= 6 2P
.
Câu 41. Cho hình trụ có trục =' 2 7,
OO ABCD
là hình vuông có cạnh bằng 8 sao cho các đỉnh nằm trên
đường tròn đáy và tâm hình vuông trùng với trung điểm
′
OO
. Thể tích khối trụ là:
A.
π
25 7
. B.
π
50 7
. C.
π
16 7
. D.
π25 14
.
Câu 42. Người ta nối trung điểm các cạnh của hình hộp chữ nhật rồi cắt bỏ
các hình chóp tam giác ở các góc của hình hộp như hình vẽ bên. Hình còn lại
là một đa diện có số đỉnh và số cạnh là:
A. 12 đỉnh, 24 cạnh.
B. 10 đỉnh, 24 cạnh.
C. 10 đỉnh, 48 cạnh.
D. 12 đỉnh, 20 cạnh.
Câu 43. Hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số
α β γ
= = =, ,y x y x y x
với điều
kiện
> 0x
và α β γ, , là các số thực cho trước. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. γ β α> > .
B. β α γ> > .
C. α β γ> > .
D. β γ α> > .
Câu 44. Tìm tập hợp các giá trị của tham số
m
để phương trình
+ + − − =
2 2
5 5
log 2 log 1 2 0
x x m
có nghiệm
thuộc đoạn
3
1;5
?
A.
[
]
−
2;3
. B.
[
]
2;6
. C.
[
]
0;5
. D.
[
]
−
1;6
.
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
− + − <−
3
3
1
3 2x mx
x
nghiệm đúng
với mọi
≥
1
x
?
A.
(
)
∈ −∞
;1
m
. B.
∈ −∞
2
;
3
m
. C.
∈
2
;1
3
m
. D.
∈ +∞
2
;
3
m
.
Câu 46. Cho hàm số
(
)
=
y f x
xác định trên
{
}
\ 1
và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Hỏi khi đó đồ thị hàm số
(
)
=
y f x
có bao nhiêu tiệm cận?
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Câu 47. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật có
= =
, 3
AB a BC a
và
(
)
⊥
SA ABCD
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
SAB
. Tính khoảng cách từ
G
đến mặt phẳng
(
)
SAC
bằng:
A.
10
a
. B.
10
3
a
. C.
10
2
a
. D.
10
10
a
.
Câu 48. Cắt hình nón
(
)
N
có đỉnh
S
bởi một mặt phẳng chứa trục hình nón ta được một tam giác vuông
cân có cạnh huyền bằng
2
a
;
BC
là một dây cung của hình tròn đáy của
(
)
N
sao cho mặt phẳng
(
)
SBC
tạo với đáy góc
○
60
. Tính diện tích
S
của tam giác
SBC
.
A.
=
2
2
2
a
S
. B.
=
2
3
3
a
S
. C.
=
2
2
3
a
S
. D.
=
2
3
a
S
.
Câu 49. Cho khối chóp
.
S ABCD
có thể tích bằng 81. Gọi
, , ,
M N P Q
lần lượt là trọng tâm các mặt bên
(
)
(
)
(
)
(
)
, , ,
SAB SBC SCD SDA
. Tính thể tích
V
của khối chóp
S MNPQ
?
A.
18
V
. B.
=
24
V
. C.
12
V
. D.
=
54
V
.
Câu 50. Cho hình chóp
S ABC
có
=
SA a
,
2
SB a
,
3
SC a
. Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối chóp
đã cho.
A.
3
max
6.
V a
B.
=
3
max
6
.
2
a
V
C.
=
3
max
6
.
3
a
V
D.
=
3
max
6
.
6
a
V
1. C 2. D
3. D
4. C 5. C 6. C 7. D
8. C 9. A 10. D
11. B
12. B
13. B
14. C
15. B
16. A
17. D
18. D
19. B
20. C
21. B
22. D
23. A
24. C
25. D
26. D
27. C
28. B
29. A
30. D
31. D
32. D
33. D
34. C
35. A
36. A
37.A
38. C
39. A
40. D
41. B
42. A
43. D
44. C
45. B
46. B
47. D
48. C
49. C
50. C
Câu 1. Chọn C.
Hàm trùng phương
(
)
4 2
0
y ax bx c a
= + + ≠
có ba điểm cực trị
. 0
a b
⇔ <
(trái dấu).
Câu 2. Chọn D.
Đạo hàm của
x
y a
=
là
.ln
x
y a a
′
=
.
Câu 3. Chọn D.
ĐKXĐ:
( )
2
1 100 101
1 1 100
1 100 99
PT
x x
x x
x x
− = ⇔ =
≠ ←→ − = ⇔ →
− = − ⇔ = −
PT có 2 nghiệm.
Câu 4. Chọn C.
ĐKXĐ:
( )
2
1
1
1 0
x
x
x
>
⇔ >
− >
.
BPT
2 2
2
2 1 1 3 2 0
1
x
x x x x x
x
>
⇔ − + > − ⇔ − + > ⇔
<
→
ÑKXÑ
2
x
>
.
Câu 5. Chọn C.
(
)
2
3
0,
1
y x D
x
′
= > ∀ ∈ →
− +
hàm đồng biến trên TXĐ
[ ]
(
)
2;3
min 2 5
y y
→ = = −
.
Câu 6. Chọn C.
2
3
1
. . 2
2
2
lang tru day
BC
V S h AA a
′
= = =
.
Câu 7. Chọn D.
(
)
(
)
( )
( ) ( )
2
2
2 5
5
: 5 2 7 5 17
2 7
1
x
y
y tt y x x
y
x
=
′
= −
−
′
= → → = − − + = − +
=
−
.
( )
,
17 17
;0 , 0;17 5 17 34
5 5
Ox Oy
A B P
∩
→ → = + =
.
Câu 8. Chọn C.
PT
(
)
(
)
2
3 3
log 3 1 log 3 0
x x
⇔ − + + =
.
(
)
(
)
(
)
3 1
3 1 3 2 3 1 2 1 2
log log log 3 1 3x x x x x x
+
+ = = + → =
.
Câu 9. Chọn A.
(
)
2
2 4 2 0 2
y x mx y m m
′ ′
= − → = − = ⇔ =
.
Do không có đáp án “Không tồn tại
m
” chọn
2
m
=
.
Câu 10. Chọn D.
3
4 0 0
y x x
= = ⇔ =
. Vẽ nhanh trục số thấy
y
′
chuyển dấu từ âm sang dương khi qua
0 0
x x
= ⇒ =
là
cực tiểu duy nhất, nên không có cực đại.
Câu 11. Chọn B.
2 3
1 1 3 3
. . .
3 3 4 12
SABC ABC
a a
V S SA a= = =
.
Câu 12. Chọn B.
2 3
.
3 3
. .
4 4
ABC
ABC A B C
a a
V S AA a
′ ′ ′
′
= = =
.
Tứ diện có 4 đỉnh là 4 đỉnh của lăng trụ tam giác thì có
3
.
1 3
3 12
ABC A B C
a
V V
′ ′ ′
= =
.
Câu 13. Chọn B.
Công thức lãi kép:
(
)
. 1
n
n
T a r
= +
.
( )
1 0,005
125
100. 1 0,005 125 log 44,74
100
n
n
T n
+
= + = ⇒ = = →
sau ít nhất 45 tháng.
Câu 14. Chọn C.
Hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy
2
2
4
day
h
R R
⇒ = +
với
2 2
5
,
2 2
day
AB BC a
h SA R
+
= = =
.
2
2 2
5 13
36 4 169
2 2
a a
R a S R
π π
→ = + = → = =
.
Câu 15. Chọn B.
Đồ thị đi qua điểm
(
)
0;1
M
Loại D. Đồ thị có tiệm cận đứng
1
I
x x
= =
Loại A.
Đồ thị có tiệm cận ngang
1
I
y y
= = −
Loại C.
Câu 16. Chọn A.
Mẫu số có nghiệm
2, 2
x x
= = −
mà nghiệm
2
x
=
là nghiệm của tử nên loại.
Vậy chỉ có
2
x
= −
là tiệm cận đứng.
Câu 17. Chọn D.
Hình chóp đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
60
○
.
Đường cao
3
2
2 6 1 1 6 6
.tan 60 .tan 60 . .
2 2 2 3 3 2 6
day
AC a a a a
h V S h a
= = = → = = =
○ ○
.
Câu 18. Chọn D.
Với tiệm cận đứng
2x
= →
hàm số có mẫu là dạng
" 2", "2 "
x x
− −
.
Câu 19. Chọn B.
Nghiệm của mẫu
(
)
2
2
4 4 2 0 2
x x x x
+ + = + = ⇔ = −
(không là nghiệm tử)
2
x
→ = −
là TCĐ.
2
3
2
1
lim lim . 0 0
4 4
1
x x
x
y y
x
x x
→∞ →∞
−
= = → =
+ +
là TCN
2
2 2
0
a
a b
b
= −
→ → + = −
.
Câu 20. Chọn C.
3
.
.
.
.
1 1
. . 8
2 8
S A B C
S ABC
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V V
V SA SB SC
′ ′ ′
′ ′ ′
′ ′ ′
= = = → =
.
Câu 21. Chọn B.
[
]
[ ]
(
)
2;4
2 2 0 1 2;4 min 4 4
y x x y
′
= − + = ⇔ = ∉ → = = −
.
Câu 22. Chọn D.
Câu 23. Chọn A.
3
0
4 4 0
1
x
y x x
x
=
′
= − = ⇔
= ±
. Dựa vào trục số
(
)
0;1
→
là khoảng nghịch biến cần tìm
0, 1 5 1
a b a b
→ = = → − = −
.
Câu 24. Chọn C.
Câu 25. Chọn D.
ĐKXĐ:
2
2 11 25 0
x x
− + >
(luôn đúng)
BPT
2 2
5
2 11 25 10 2 11 15 0 ;3 3
2
x
x x x x x x
∈
⇔ − + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ∈ → =
ℤ
.
Câu 26. Chọn D.
Hàm số lũy thừa
(
)
y u x
α
=
với số mũ không nguyên, hay số mũ âm thì ĐKXĐ là:
(
)
0
u x
>
.
Khi đó
(
)
1 0 1;x x
− > ⇔ ∈ +∞
.
Câu 27. Chọn C.
A sai vì đồ thị hàm số logarit
log
a
y x
=
có thể nằm dưới trục hoành.
B sai vì đồ thị hàm số mũ
x
y a
=
luôn nằm trên trục hoành và nhận trục
Ox
làm tiệm cận ngang.
C đúng vì đồ thị hàm số logarit
log
a
y x
=
luôn nằm bên phải trục tung, nhận trục
Oy
là tiệm cận đứng.
D sai vì đồ thị hàm số mũ
x
y a
=
luôn có một tiệm cận duy nhất là trục
Ox
.
Câu 28. Chọn B.
Xác định nhanh góc giữa mặt bên với đáy là
60
SMG
=
○
.
1 1 3 3
.tan 60
3 3 2 6 2
a a a
MG CM SG h MG
= = = ⇒ = = =
○
.
2 2 3 3
.
3 3 2 3
a a
R CG CM= = = =
.
2
2 2
7
. . . .
6
xq
a
S R l R R h
π
π π
= = + =
.
Câu 29. Chọn A.
(
)
(
)
1;0
H Ox A
∩ =
và
(
)
( )
2
3 1
1
3
2
y k y
x
′ ′
= ⇒ = =
+
.
Suy ra
( ) ( )
1 1 1
: 1
3 3 3
tt y x x
= − = −
.
Câu 30. Chọn D.
2 2
10 5
AC AD CD R
= + = ⇒ =
.
(
)
2
2 2 2
tp
S R Rh R R h
π π π
= + = +
2 2
2 11
CC AC AC h
′ ′
= − = =
.
(
)
10 5 2 11
tp
S π⇒ = +
.
Câu 31. Chọn D.
(
)
2
3 6 9 6 6 0 1 1; 9
y x x y x x
′ ′′
= − − ⇒ = − = ⇔ = → −
là điểm uốn cũng là tâm đối xứng hàm bậc ba.
Câu 32. Chọn D.
Hình thang
ABCD
với kích thước như đề bài là nửa lục giác đều.
AD
R a
= =
và
2 3
2 . . 2
tru
h a V R h a
π π
= ⇒ = =
.
Câu 33. Chọn D.
A sai vì không tồn tại giá trị
x
để hàm số đạt giá trị
4
−
.
B sai vì hàm số không xác định tại
1
x
= −
nên không là điểm cực đại.
C sai vì đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là
(
)
0;1
.
D đúng vì
( )
1
lim 4, lim
x
x
y y
−
→±∞
→ −
= − = +∞ ⇒
4
y
= −
là TCN,
1
x
= −
là TCĐ Hàm số có 2 tiệm cận.
Câu 34. Chọn C.
Hàm trùng phương
(
)
4 2
0
y ax bx c a
= + + ≠
có ba điểm cực trị
. 0
a b
⇔ <
(trái dấu).
( )( )
{ }
1 0
10
1; 0;1;2;3
1 3 10 0
3
m
m
m m
m m
∈
+ ≠
⇔ ∈ − → ∈ →
+ − <
ℤ
có 4 giá trị
m
.
Câu 35. Chọn A.
0
lim 0
x
y x
→
= ∞ → =
là TCN
1
d
→ =
.
2 2
1 1
1 1
lim lim lim 1 1
1
x x x
x
x x
y y
x
→+∞ →+∞ →+∞
+ +
= = = → =
là TCN.
( )
2 2
1 1
1 1 1
lim lim lim 1 1
1
x x x
x
x x
y y
x
→−∞ →−∞ →−∞
+ − +
= = = − → = −
là TCN.
2 2.2 3.1 7
n T
→ = → = + =
.
Câu 36. Chọn A.
(
)
( )
2
0 0;4
1
3 6 0 . 4
2
2 2;0
OAB
x A
y x x S OA OB
x B
= ⇒
′
= − = ⇔ → = =
= ⇒
.
Câu 37. Chọn A.
Quay quanh cạnh
AB
:
2
1
. . 64
tru
V V BC AB
π π
= = =
.
Quay quanh đường chéo
AC
:
2
2
2 32 2
2 . . .
3 2 2 3
non
BD AC
V V
π
π
= = =
.
1
2
3 2
V
V
→ =
.
Câu 38. Chọn C.
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2 2 4 2
x x x
y x e x x e x x e
− − −
′
= − − − = − + −
.
(
)
2 2
1 2
0
2 6 2 0 2 6 2 0 3
x
b
y y x x e x x x x
a
−
>
′
− = − + − = ⇔ − + − = → + = − =
.
Câu 39. Chọn C.
Đáy là tam giác cân có cạnh bên là
(
)
cm
x
, cạnh đáy là
24 2
NP x
= −
với
12
x
<
.
Đường cao từ đỉnh
A
:
( )
2
2
12 24 144
A
h x x x= − − = −
với
24 144 0 6
x x
− ≥ ⇔ ≥
.
( ) ( )
1
24 2 . 24 144
2
ANP
S S x x x= = − −
.
.
ANP
V S AB
=
, do
AB
không đổi nên
V
đạt GTLN
(
)
S x
⇔
đạt GTLN trên
[
)
6;12
.
Cách 1. Đạo hàm
( ) ( )
[
)
6;12
1 12
2 24 144 24 2 0 8
2
24 144
SOLVE
For X
S x x x x
x
∈
′
= − − + − = → =
−
Chọn luôn A.
Để chắc chắn ta thử lại với
(
)
(
)
(
)
6 0, 8 16 3 , 12 0
S S S
−
= = =
(thỏa mãn).
Cách 2. Bất đẳng thức AM – GM (Cauchy).
( ) ( ) ( ) ( )
3
2 2
2
2 2
1 1 1 144 12 144 12 24 144
24 2 24 144 144 12 24 144
4 4.6 4.6 3
x x x
S x x x x
− + − + −
= − − = − − ≤
768 16 3
S
≤ =
. Dấu bằng xảy ra
144 12 24 144 8
x x x
⇔ − = − ⇔ =
.
Câu 40. Chọn D.
2
sin
2
x
t
=
với
[ ] ( )
2 2
cos 1 sin
2 2
1;2 2 2
x x
t y f t t
t t
−
∈ ⇒ = = → = = +
.
Cách 1. Dùng đạo hàm giải.
( )
[ ]
1;2
2
2
2
1 0 2 2
t
f t t t
t
∈
′
= − = ⇔ = → =
.
(
)
(
)
(
)
1 3, 2 2 2, 2 3 min 2 2, max 3 . 6 2
f f f m y M y M m= = = → = = = = ⇒ =
.
Nếu dùng bất đẳng thức Cô–si
( )
2
2 2 2
t
t
f t = + ≥
ta chỉ tìm được min.
Câu 41. Chọn B.
,
H K
lần lượt là trung điểm
,
CD AB
. Suy ra
HK
đi qua tâm
M
của
hình vuông
ABCD
và ta có được
1
4
MK AB
= =
Mục tiêu tính bán kính
OA OB R
= =
của hình trụ?
OO
′
là trục hình trụ suy ra
OO
′
vuông góc 2 đáy.
Suy ra
OO OK
(
OK
∈
đáy)
2 2
3
OK MK MO
⇒ = − =
OK
đi qua tâm hình tròn đáy và qua trung điểm dây
AB OK AB
⇒ ⊥
2 2 2 2
3 4 5
OB OK KB R
⇒ = + = + = =
(
OKB
vuông tại
K
)
Thể tích hình trụ là
2
. . 50 7
V R h
π π
= =
.
Câu 42. Chọn A.
Hình hộp chữ nhật có tất cả 12 cạnh Số đỉnh (trung điểm mỗi cạnh) hình cần biết là 12 đỉnh.
Loại B, C.
Mỗi mặt của hình hộp chữ nhật chứa 4 cạnh của hình cần biết mà hình hộp chữ nhật có 6 mặt.
Số cạnh của hình cần biết là 24 cạnh.
Câu 43. Chọn D.
Đồ thị hàm số lũy thừa
y x
α
từ trái qua phải, đi xuống số mũ
0
α
<
.
Đồ thị hàm số lũy thừa
,
y x y x
γ β
= =
từ trái qua phải, đi lên số mũ
, 0
β γ
>
.
Kẻ đường thẳng
1
x m
= >
cắt
,
y x y x
β γ
= =
lần lượt tại
,
A B
.
Ta thấy
A B
y y
β γ β γ α
> → > → > >
.
Câu 44. Chọn C.
Đặt
2
5
log 1
t x
= +
với
3 2
5
1 5 1 log 1 4 1 2
x x t
≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤
.
Pt
⇔
(
)
2
2 3
f t
t t m
+ − =
có nghiệm trên đoạn
[
]
1;2
.
Cách 1. Lập bảng biến thiên:
(
)
[
]
2 2 0 1 1;2
f t t t
′
= + = ⇔ = − ∉
. Tính
(
)
(
)
1 0, 2 5
f f
= =
.
Dựa vào BBT:
[
]
0;5
ycbt
m
→ ∈
.
Cách 2. Dùng điều kiện có nghiệm.
[ ]
1 1;2
2
D
b
x
a
= − = − ∉
và hệ số
2
t
dương nên hàm số đồng biến trên đoạn
[
]
1;2
.
Để phương trình
(
)
f t m
=
có nghiệm trên đoạn
[
]
1;2
[ ]
(
)
[ ]
(
)
(
)
(
)
[
]
1;2
1;2
min max 1 2 0;5
f t m f t f m f m
⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ∈
.
Câu 45. Chọn B.
( )
3 2
3 4
1 2 1
3 2 , 1 3 , 1
f x
mx x x m x x
x x x
< + − ∀ ≥ ⇔ < + − ∀ ≥
(*)
( )
2
3
6 3
2 5 5 5
1 7
2
2 4 2 2 4
2 2
2 0, 1
x
x x
f x x x
x x x x
− +
− +
′
= − + = = > ∀ ≥
.
( )
[ )
( ) ( )
1;
2
* 3 min 1 2
3
m f x f m
+∞
⇔ < = = ⇔ <
.
Câu 46. Chọn B.
Từ
(
)
f x
suy ra đồ thị
(
)
f x
:
(
)
=
Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò beân phaûi truïc
Laáy ñoái xöùng phaàn treân qua truïc 0
Oy
Oy x
.
Vậy đồ thị hàm số
(
)
y f x
=
có tất cả 3 tiệm cận.
D
ự
a vào b
ả
ng bi
ế
n thiên:
( )
(
)
1
lim 1
x
f x x
+
→ −
= −∞ ⇒ = −
là TCĐ.
(
)
1
lim 1
x
f x x
−
→
= −∞ ⇒ =
là TCĐ.
(
)
lim 3 3
x
f x y
→±∞
= ⇒ =
là TCN.
Câu 47. Chọn D.
Gọi
N
trung điểm
SA
thì
BG
cắt
(
)
SAC
tại
N
(
)
(
)
;
1
3
;
d G SAC
GN
BN
d B SAC
⇒ = =
(*)
(
)
BH AC H AC
⊥ ∈
mà
(
)
BH SA BH SAC
⊥ ⇒ ⊥
với
(
)
H SAC
∈
.
( )
(
)
2
2
. .3 3 10
;
10
3
BA BC a a a
d B SAC BH
AC
a a
⇒ = = = =
+
.
( ) ( )
10
* ;
10
a
d G SAC
⇒ =
.
Câu 48. Chọn C.
SAD
là tam giác vuông đề cập trong đề.
1 2
,
2 2
a
SO OB OA AD SA SB a
⇒ = = = = = =
.
Gọi
M
là trung điểm của
BC
⇒
Góc
(
)
,
SBC ñaùy
60
SMO
= =
○
.
2 2
6 2 3
2 2
sin 60 3 3
SO a a
SM BC MB SB SM⇒ = = ⇒ = = − =
○
.
2
1 2
.
2 3
SBC
a
S BC SM⇒ = =
.
Giải thích thêm. Góc
(
)
,
SBC ñaùy
?
Ta có:
(
)
SBC
∩
đáy
BC
=
.
Gọi
M
là trung điểm của
BC
⇒
BC OM
⊥
mà
(
)
BC SO BC SOM BC SM
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
.
(
)
(
)
⊃ ⊥
⇒
⊃ ⊥
SBC SM BC
ñaùy OM BC
Góc
(
)
=
,
SBC ñaùy SMO
.
Câu 49. Chọn C.
Ở đây ta lấy tổng quát đáy
ABCD
là một tứ giác.
Gọi
, , ,
E F G H
thứ tự là trung điểm
, , ,
AB BC CD DA
.
Tính chất:
. .
1 1
2 2
EFGH ABCD S EFGH S ABCD
S S V V= → =
.
3
. .
.
.
2 8
. .
1
3 27
2
S MQN S MQN
S EHF
S EFGH
V V
SM SQ SN
V SE SH SF
V
= = = =
.
3
. .
.
.
2 8
. .
1
3 27
2
S PQN S PQN
S GHF
S EFGH
V V
SP SQ SN
V SG SH SF
V
= = = =
.
. . .
. . .
. .
8 8 16 8 4
12
1 1
27 27 27 27 27
2 2
S MQN S PQN S MNPQ
S MNPQ S EFGH S ABCD
S EFGH S EFGH
V V V
V V V
V V
+
= = + = ⇒ = = =
.
Câu 50. Chọn C.
= ≤
1 1
. .sin .
2 2
SBC
S SB SC BSC SB SC
.
Gọi
H
là hình chiếu của
A
lên mặt
(
)
SBC
thì
AH AS
.
= ≤ = =
3
max
1 1 6
. . .
3 3 3
SABC SBC
a
V S AH SB SC SA V
.
Tính chất câu 49. Cho tứ giác
ABCD
. Gọi
, , ,
E F G H
lần lượt là trung điểm của
, , ,
AB BC CD DA
.Chứng
minh rằng:
1
2
EFGH ABCD
S S=
?
Ta có
EF
là đường trung bình
ABC
1
EF AC
⇒ =
.
Gọi
,
I J
lần lượt là hình chiếu của
,
E F
lên
AC
.
Gọi
,
K L
lần lượt là giao điểm của
,
EH FG
với
AC
.
(
)
IEK JFL IEK EFJK JFL EFJK
S S hai nhau S S S S
= ∆= ⇒ + = +
1 1 1
. .
2 2 2
EFLK EFJI ABC
S S EF EI AC BH S
⇒ = = = =
(1).
Chứng minh tương tự cho
ADC
∆
1
2
HGLK ADC
S S⇒ =
(2)
(1) + (2)
1
EFGH ABCD
S S⇒ =
.
| 1/13
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LONG AN ĐỀ THI HỌC KỲ 1 –
MÔN: TOÁN 12 Không chuyên Toán –
Câu 1. Đồ thị hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị? A. y = 4 x + 2 2x −1. B. y = − 4 x − 2 2x −1 . C. y = 4 x − 2 2x −1 . D. y = 4 x + 2 2 4x +1 .
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số ( )= 2x f x ? A. f (x) x− ′ = 1 x.2 ln 2 . B. ( ) − ′ = 1 .2x f x x . C. f (x) x− ′ = 1 2 ln 2 . D. ′( )= 2x f x ln 2 .
Câu 3. Số nghiệm của phương trình (x − )2 log 1 = 2 là: A. Kết quả khác. B. 1. C. 0 . D. 2 .
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình log x 2x 1 log x 1 là: 1 ( 2 − + )< 1 ( − ) 3 3 A. (1;2) . B. (3;+ ) ∞ . C. (2;+ ) ∞ . D. (1;+ ) ∞ .
Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x +1 y = trên đoạn [2;3]? −x +1 A. 0 . B. 1. C. −5. D. −2 .
Câu 6. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC = 2a, AA′ = 2a . Tính
thể tích V của lăng trụ ABC.A′B′C ′ . 3 3 A. 8a 2a V = . B. V = . C. V = 3 2a . D. V = 3 4a . 3 3 Câu 7. Cho hàm số 2x + 3 y =
có đồ thị (C ). Tiếp tuyến của (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2 cắt các trục x −1
Ox và Oy tại các điểm A(a ;0), B (0;b). Khi đó, giá trị của P = 5a +b bằng: A. 17 P = . B. P = 0 . C. P =17 . D. P = 34 . 5  2
Câu 8. Gọi x , x là các nghiệm của phương trình   log x − . Khi đó, tích  3 1 log x 3 0 x x : 1  ( + ) + = 1 2   3 1 2  3  A. 3. B. 3 3 . C. 3 1 3 + . D. 3 3− . Câu 9. Hàm số 1 1 1 y = 3 x − 2
mx + đạt cực tiểu tại x = 2 khi m nhận giá trị nào sau đây? 3 2 2 A. m = 2 . B. m = 4 . C. m =1. D. m = 3 .
Câu 10. Số điểm cực đại của hàm số y = 4 x +100 là: A. 3. B. 1. C. 2 . D. 0 .
Câu 11. Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC),SA = a , đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Tính thể
tích V của khối tứ diện S.ABC . 3 3 3 3 A. a 3 a 3 a 3 a 3 V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 12 7 3
Câu 12. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có tất cả các cạnh bằng a . Tính thể tích khối tứ diện A′B′AC ? 3 3 3 3 A. a 3 . B. a 3 . C. a . D. a 3 . 4 12 6 6
Câu 13. Một người gửi tiền vào ngân hàng 100 triệu đồng thể thức lãi kép, kỳ hạn là 1 tháng với lãi suất
0,5% một tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu đồng? A. 44 tháng. B. 45 tháng. C. 47 tháng. D. 46 tháng.
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a,SA = 12a và SA
vuông góc mặt đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD .
A. S = 25π .
B. S = 289π .
C. S =169π .
D. S =144π .
Câu 15. Tìm hàm số ax + b y =
biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm M (0; ) 1 vào giao điểm hai cx + d
đường tiệm cận của hàm số là I (1;− ) 1 . A. x − 2 x 1 2x 1 x 1 y = . B. + y = . C. − y = . D. + y = . −x −2 1− x x −1 x −1 2
Câu 16. Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x −3x + 2 y = . 2 x − 4 A. x = −2 .
B. x = 2, x = −2 . C. x = 4 . D. x = 2 .
Câu 17. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ○ 60 . Tính
thể tích khối chóp S.ABCD ? 3 3 3 3 A. a 6 . B. a 3 . C. a 6 . D. a 6 . 3 6 2 6
Câu 18. Hàm số nào sau đây có đồ thị nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận đứng? A. 1 2 1 5x y = . B. y = .
C. y = x −2 + . D. y = . x +1 x + 2 x +1 2 − x
Câu 19. Đồ thị hàm số 2x −3 y =
có tiệm cận đứng x = a và tiệm cận ngang y = b . Khi đó giá trị 2 x + 4x + 4
của a +2b bằng: A. 2 . B. −2 . C. −4 . D. 4 .
Câu 20. Cho khối chóp tam giác S.ABC . Gọi A′, B′,C ′ lần lượt là trung điểm của cạnh S ,
A SB,SC . Khi đó
thể tích khối chóp S.ABC gấp bao nhiêu lần thể tích khối chóp S.A′B′C ′ ? A. 6 . B. 4 . C. 8 . D. 2 .
Câu 21. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − 2
x + 2x + 4 trên đoạn [2;4] là: A. −1 . B. −4 . C. 4 . D. 2 .
Câu 22. Cho các số thực dương ,
a b . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 2 log a = log a . B. log a log b a b . 2 ≥ 2 ⇔ ≤ 2 2 2 a +1 a +1 C. log ( 2 a + 2 b 2 log a b .
D. log a < log b ⇔ a > b . 2 )= 2 ( + ) 3 3 4 4
Câu 23. Cho hàm số y = 4 x − 2
2x +1 biết (a ;b) là khoảng nghịch biến dài nhất của hàm số với a,b ∈ ℤ .
Tính giá trị của 5a −b là: A. −1 . B. 6 . C. −5. D. 2 .
Câu 24. Thể tích khối hộp chữ nhật có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh lần lượt có độ dài a,b,c là: A. 1 1 4 V = abc .
B. V = abc .
C. V = abc .
D. V = abc . 6 3 3
Câu 25. Số nghiệm nguyên của bất phương trình ( 2
log 2x −11x + 2 ) 5 ≤1 là: A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1. 1
Câu 26. Tập xác định của hàm số y (x )− = − 2 1 là: A. D =(−∞; ) 1 . B. D =[1;+ ) ∞ . C. D = (0; ) 1 . D. D =(1;+ ) ∞ .
Câu 27. Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau?
A. Đồ thị hàm số logarit không nằm bên dưới trục hoành.
B. Đồ thị hàm số mũ với cơ số dương nhỏ hơn 1 thì nằm dưới trên trục hoành.
C. Đồ thị hàm số logarit luôn nằm bên phải trục tung.
D. Đồ thị hàm số mũ với số mũ âm luôn có hai tiệm cận.
Câu 28. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và đáy bằng ○ 60 . Tính diện tích
xung quanh S của hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC . xq 2 2 2 2 A. πa 10 a 7 a 3 a 7 S = . B. π S = . C. π S = . D. π S = . xq 8 xq 6 xq 3 xq 4 Câu 29. Hàm số x −1 y =
có đồ thị (H ). Tiếp tuyến của (H ) tại giao điểm của (H ) với trục hoành là: x + 2 A. 1 1 y = x − .
B. y = x −3 .
C. y = 3x .
D. y = 3x −3 . 3 3
Câu 30. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có AD = 8,CD = 6, AC ′ = 12 . Tính diện tích toàn phần
của khối trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD và A′B′C ′D′ . A. S = 5
. B. S = 26π .
C. S = 576π . D. S =10 . tp (2 11+ ) 5 π tp (4 11+ ) 5 π tp tp
Câu 31. Đồ thị hàm số y = 3 x − 2
3x −9x + 2 có tâm đối xứng là: A. I (2;−20). B. I (−1;7). C. I (−2;0). D. I (1;−9).
Câu 32. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh AB = BC = a,
AD = 2a . Chiều cao của hình lăng trụ bằng 2a . Tính tổng thể tích V khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A. V = π 2 3 a .
B. V = π 2 4 a . C. = π 3 V a .
D. V = π 3 2 a .
Câu 33. Cho hàm số y = f (x) xác định trên ℝ \{− }
1 và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là −4 .
B. Hàm số đạt cực đại tại x = −1 .
C. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu x = 0 .
D. Đồ thị hàm số chỉ có hai tiệm cận.
Câu 34. Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =(m + ) 4 x +( m − ) 2 1 3
10 x + 2 có ba cực trị? A. 3 . B. 5. C. 4 . D. 0 . 2 Câu 35. Gọi x 1 ,
n d lần lượt số tiệm ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số + y = . Tính giá trị của x
T = 2n + 3d ? A. T = 7 . B. T = 4 . C. T = 5 . D. T = 8 .
Câu 36. Cho đồ thị hàm số y = 3 x − 2
3x + 4 có hai điểm cực trị là ,
A B . Tính diện tích tam giác OAB ? A. S = 4 . B. S = 8 . C. S = 2 5 . D. S = 2 .
Câu 37. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4. Tính tỉ số thể tích của hai khối tròn xoay sinh ra khi lần
lượt quay hình vuông đã cho quanh các đường thẳng chứa cạnh AB và đường chéo AC của hình vuông? A. 3 2 . B. 3 2 . C. 3. D. 3 . 2 2 Câu 38. Cho hàm số ( 2 2 ) − = − x y x x e
. Xác định tổng các nghiệm của phương trình y′ − y = 0 ? A. −3 . B. 3− 5 . C. 3. D. 3+ 5 .
Câu 39. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 24cm . Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnh MN ,QP
vào phía trong đến khi AB,CD trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.
Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? A. x = 8 . B. x =10 . C. x = 9 . D. x = 6 .
Câu 40. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 = sin x + cos 2 2 x y lần lượt là , m M . Tính giá trị
P = M .m ? A. P = 4 2 . B. P = 3 2 . C. P = 6 . D. P = 6 2 .
Câu 41. Cho hình trụ có trục OO ' = 2 7, ABCD là hình vuông có cạnh bằng 8 sao cho các đỉnh nằm trên
đường tròn đáy và tâm hình vuông trùng với trung điểm OO′ . Thể tích khối trụ là: A. 2 π 5 7 . B. 50π 7 . C. 16π 7 . D. 2 π 5 14 .
Câu 42. Người ta nối trung điểm các cạnh của hình hộp chữ nhật rồi cắt bỏ
các hình chóp tam giác ở các góc của hình hộp như hình vẽ bên. Hình còn lại
là một đa diện có số đỉnh và số cạnh là:
A. 12 đỉnh, 24 cạnh.
B. 10 đỉnh, 24 cạnh.
C. 10 đỉnh, 48 cạnh.
D. 12 đỉnh, 20 cạnh.
Câu 43. Hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số α β γ
y = x , y = x , y = x với điều
kiện x > 0 và α,β,γ là các số thực cho trước. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. γ > β > α .
B. β > α > γ .
C. α > β > γ .
D. β > γ > α .
Câu 44. Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình 2 log x + 2
2 log x +1 − m − 2 = 0 có nghiệm 5 5 thuộc đoạn  3  1;5  ?   A. [−2;3]. B. [2;6]. C. [0;5]. D. [−1;6].
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 1
m để bất phương trình − 3
x + 3mx − 2 < − nghiệm đúng 3 x với mọi x ≥1?  2 2  2 
A. m ∈(−∞; ) 1 . B. m ∈  −∞  ; . C. m ∈  ;1 . D. m ∈  ;+∞ .       3   3    3  
Câu 46. Cho hàm số y = f (x) xác định trên ℝ \{ }
1 và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Hỏi khi đó đồ thị hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu tiệm cận? A. 4 . B. 3. C. 1. D. 2 .
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 3a và SA ⊥(ABCD). Gọi
G là trọng tâm tam giác SAB . Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAC ) bằng: A. a a a a 10 . B. 10 . C. 10 . D. 10 . 3 2 10
Câu 48. Cắt hình nón (N ) có đỉnh S bởi một mặt phẳng chứa trục hình nón ta được một tam giác vuông
cân có cạnh huyền bằng a 2 ; BC là một dây cung của hình tròn đáy của (N ) sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc ○
60 . Tính diện tích S của tam giác SBC . 2 2 2 2 A. a 2 a 3 a 2 a S = . B. S = . C. S = . D. S = . 2 3 3 3
Câu 49. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 81. Gọi M , N , P,Q lần lượt là trọng tâm các mặt bên
(SAB),(SBC ),(SCD),(SDA) . Tính thể tích V của khối chóp S.MNPQ ? A. V =18 . B. V = 24 . C. V =12 . D. V = 54 .
Câu 50. Cho hình chóp S.ABC có SA = a , SB = a 2 , SC = a 3 . Tính thể tích lớn nhất V của khối chóp max đã cho. 3 3 3 A. a 6 a 6 a 6 V = 3 a 6. B. V = . C. V = . D. V = . max max 2 max 3 max 6 1. C 2. D 3. D 4. C 5. C 6. C 7. D 8. C 9. A 10. D 11. B 12. B 13. B 14. C 15. B 16. A 17. D 18. D 19. B 20. C 21. B 22. D 23. A 24. C 25. D 26. D 27. C 28. B 29. A 30. D 31. D 32. D 33. D 34. C 35. A 36. A 37.A 38. C 39. A 40. D 41. B 42. A 43. D 44. C 45. B 46. B 47. D 48. C 49. C 50. C Câu 1. Chọn C. Hàm trùng phương 4 2
y = ax + bx + c (a ≠ 0) có ba điểm cực trị ⇔ .
a b < 0 (trái dấu). Câu 2. Chọn D. Đạo hàm của x y = a là x
y′ = a .ln a . Câu 3. Chọn D. x − = ⇔ x = ĐKXĐ: PT x ≠ ← →(x − )2 1 100 101 1 1 = 100 ⇔   → PT có 2 nghiệm. x −1= 1 − 00 ⇔ x = −99  Câu 4. Chọn C. x >1 ĐKXĐ:  ⇔ x > 1 . (  x −  )2 1 > 0  x > 2 BPT 2 2
⇔ x −2x +1> x −1 ⇔ x −3x + 2 > 0 ⇔   Ñ KXÑ  → x > 2 . x <1  Câu 5. Chọn C. 3 y′ =
> 0, ∀x ∈ D 
→ hàm đồng biến trên TXĐ 
→ min y = y(2) = 5 − . (−x + )2 1 [2;3] Câu 6. Chọn C. 2 1  BC  3 V = S .h   = 
 . AA′ = 2a . lang tru day 2  2  Câu 7. Chọn D. y′ − (2)= −5 5 x=2 y  ′ =  → 
→ tt : y = −5 x −2 +7 = −5x +17 . 2 ( ) ( ) (x − ) 1 y  (2) = 7      O ∩ x Oy 17 17 ,  → A ;0  , B (0 ;17)  → P = 5   +17 = 34 .  5      5  Câu 8. Chọn C.
PT ⇔ (log x)2 − 3 +1 log x + 3 = 0 . 3 ( ) 3
log (x ) log (x ) log (x x ) 3 1 3 1 x x 3 + + = = +  → = . 3 1 3 2 3 1 2 1 2 Câu 9. Chọn A. 2
y′ = x −mx 
→ y′(2) = 4 −2m = 0 ⇔ m = 2 .
Do không có đáp án “Không tồn tại m ” chọn m = 2 . Câu 10. Chọn D. 3
y′ = 4x = 0 ⇔ x = 0 . Vẽ nhanh trục số thấy y′ chuyển dấu từ âm sang dương khi qua x = 0 ⇒ x = 0 là
cực tiểu duy nhất, nên không có cực đại. Câu 11. Chọn B. 2 3 1 1 a 3 a 3 V = S .SA = . .a = . SABC 3 ABC 3 4 12 Câu 12. Chọn B. 2 3 a 3 a 3 V = S . AA′ = .a = . ABC .A B ′ C ′ ′ ABC 4 4 3
Tứ diện có 4 đỉnh là 4 đỉnh của lăng trụ tam giác thì có 1 a 3 V = V = . ABC . 3 A B ′ C ′ ′ 12 Câu 13. Chọn B. Công thức lãi kép: n T = . a + r . n (1 ) n 125 T = 100. + = ⇒ n =     =  → sau ít nhất 45 tháng. n (1 0,00 ) 5 125 log 44,74 1+0,005 100 Câu 14. Chọn C. 2 2 2
Hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy h AB + BC 5a 2 ⇒ R = + R với h = S , A R = = . 4 day day 2 2 2 5a  13a 2 2  → R = 36a +    = 
→S = 4πR = 169π .  2  2 Câu 15. Chọn B.
Đồ thị đi qua điểm M (0; ) 1 Loại D.
Đồ thị có tiệm cận đứng x = x =1 Loại A. I
Đồ thị có tiệm cận ngang y = y = 1 − Loại C. I Câu 16. Chọn A.
Mẫu số có nghiệm x = 2, x = −2 mà nghiệm x = 2 là nghiệm của tử nên loại.
Vậy chỉ có x = −2 là tiệm cận đứng. Câu 17. Chọn D.
Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60○ . 3   Đường cao AC ○ a 2 ○ a 6 1 1 a 6 a 6   2 h = .tan 60 =  .  tan 60 = 
→ V = S .h = a . = .   2  2  2 3 day 3 2 6   Câu 18. Chọn D.
Với tiệm cận đứng x = 2 
→ hàm số có mẫu là dạng " x −2 ", "2 − x " . Câu 19. Chọn B.
Nghiệm của mẫu x + x + = (x + )2 2 4 4 2 = 0 ⇔ x = 2
− (không là nghiệm tử)  → x = 2 − là TCĐ.  3   2  − 1  a  = −2 lim = lim . x y    = 0  → y = 0   là TCN  →  → a + 2b = 2 − . x →∞ x→∞ x 4 4   b  = 0 1   + +     2    x x Câu 20. Chọn C. 3 V
SA′ SB′ SC ′ 1 1
S. A′B C ′ ′ = . . =     =  → V = 8V . S .ABC S . V SA SB SC 2 8 A′B C ′ ′ S .ABC Câu 21. Chọn B. y′ = 2
− x + 2 = 0 ⇔ x = 1∉ [2;4]  → min = y (4) = 4 − . [2;4] Câu 22. Chọn D. Câu 23. Chọn A.x = 0 3
y′ = 4x − 4x = 0 ⇔  . Dựa vào trục số x = 1 ±   →(0; )
1 là khoảng nghịch biến cần tìm 
→ a = 0, b = 1  →5a −b = 1 − . Câu 24. Chọn C. Câu 25. Chọn D. ĐKXĐ: 2
2x −11x + 25 > 0 (luôn đúng)   BPT 5 2 2 ⇔ 2 −11 + 25 ≤10 ⇔ 2 −11 +15 ≤ 0 ⇔ ∈  ;3 x x x x x x ∈   ℤ→ x = 3 .  2    Câu 26. Chọn D. Hàm số lũy thừa α
y = u(x ) với số mũ không nguyên, hay số mũ âm thì ĐKXĐ là: .   u(x)> 0
Khi đó x −1> 0 ⇔ x ∈(1;+∞). Câu 27. Chọn C.
A sai vì đồ thị hàm số logarit y = log x có thể nằm dưới trục hoành. a
B sai vì đồ thị hàm số mũ x
y = a luôn nằm trên trục hoành và nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.
C đúng vì đồ thị hàm số logarit y = log x luôn nằm bên phải trục tung, nhận trục Oy là tiệm cận đứng. a
D sai vì đồ thị hàm số mũ x
y = a luôn có một tiệm cận duy nhất là trục Ox . Câu 28. Chọn B.
Xác định nhanh góc giữa mặt bên với đáy là SMG = 60○ . 1 1 a 3 a 3 ○ a MG = CM = =
⇒ SG = h = MG. tan 60 = . 3 3 2 6 2 2 2 a 3 a 3
R = CG = CM = . = . 3 3 2 3 2 πa 7 2 2 S = . π . R l = . π . R R + h = . xq 6 Câu 29. Chọn A. 3 1
(H )∩Ox = A(1;0) và y′ =
⇒ k = y′ 1 = . 2 ( ) (x + 2) 3 Suy ra 1 1 1
(tt): y = (x − ) 1 = x − . 3 3 3 Câu 30. Chọn D. 2 2
AC = AD +CD = 10 ⇒ R = 5 . 2
S = 2πR + 2πRh = 2πR R + h tp ( ) 2 2
CC ′ = AC ′ − AC = 2 11 = h .
⇒S = 10π(5+ 2 11 . tp ) Câu 31. Chọn D. 2
y′ = 3x − 6x − 9 ⇒ y′ = 6x − 6 = 0 ⇔ x = 1 
→(1;−9) là điểm uốn cũng là tâm đối xứng hàm bậc ba. Câu 32. Chọn D.
Hình thang ABCD với kích thước như đề bài là nửa lục giác đều. AD R = = a và 2 3
h = 2a ⇒ V = .
π R .h = 2πa . 2 tru Câu 33. Chọn D.
A sai vì không tồn tại giá trị x để hàm số đạt giá trị −4 .
B sai vì hàm số không xác định tại x = 1
− nên không là điểm cực đại.
C sai vì đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (0; ) 1 .
D đúng vì lim y = 4
− , lim y = +∞ ⇒ y = −4 là TCN, x = 1
− là TCĐ Hàm số có 2 tiệm cận. x − →±∞ x ( → − ) 1 Câu 34. Chọn C. Hàm trùng phương 4 2
y = ax + bx + c (a ≠ 0) có ba điểm cực trị ⇔ .
a b < 0 (trái dấu). m  +1≠ 0  10  ⇔ m ∈ 1 − ; m∈  ℤ    → m ∈ {0;1;2; } 3 
→ có 4 giá trị m . (  m + ) 1 (3m −10)< 0  3   Câu 35. Chọn A. lim y = ∞ 
→ x = 0 là TCN  → d = 1 . x →0 1 1 x 1+ 1+ 2 2 x x lim y = lim = lim = 1  → y = 1 là TCN. x →+∞ x →+∞ x x →+∞ 1 1 1 x 1+ −1 1+ 2 ( ) 2 x x lim y = lim = lim = −1  → y = −1 là TCN. x →−∞ x→−∞ x x →−∞ 1  → n = 2 
→ T = 2.2 + 3.1 = 7 . Câu 36. Chọn A.
x = 0 ⇒ A(0;4) 1 2 y 3x 6x 0  ′ = − = ⇔  → S = O . A OB = 4 . OABx = 2 ⇒B  (2;0) 2  Câu 37. Chọn A. Quay quanh cạnh AB : 2 V =V = .
π BC . AB = 64π . 1 tru
Quay quanh đường chéo AC : 2 2
BD   AC  32π 2 V = 2V = . . π     .    = . 2 non 3  2      2  3 V1  → = 3 2 . V2 Câu 38. Chọn C. ′ = ( − ) −x −( 2 − ) −x =( 2 2 2 2 − + 4 −2) −x y x e x x e x x e . y′ − y = ( − b 2
−2x + 6x − 2) x 2 e
= 0 ⇔ −2x + 6x − 2 = 0 
→ x + x = − = 3 . 1 2 0 > a Câu 39. Chọn C.
Đáy là tam giác cân có cạnh bên là x (cm), cạnh đáy là NP = 24−2x với x <12 .
Đường cao từ đỉnh A : h = x −( − x)2 2 12
= 24x −144 với 24x −144 ≥ 0 ⇔ x ≥ 6 . A 1 S = S x = − x x − . ANP ( ) (24 2 ). 24 144 2 V = S
. AB , do AB không đổi nên V đạt GTLN ⇔ S (x ) đạt GTLN trên [6;12). ANP Cách 1. Đạo hàm 1  12 
S ′(x) = −2 24x −144 +(24 −2x)  = 0 SOLVE
→ x = 8 Chọn luôn A. For X [ ∈ 6;12) 2  24x 144   − 
Để chắc chắn ta thử lại với S (6) 0, S (8) 16 3 , S (12− = = )= 0 (thỏa mãn).
Cách 2. Bất đẳng thức AM GM (Cauchy). – 3 1 1
1 144 −12x +144 −12x + 24x −144 
S = (24 −2x)2 (24x −144) = (144 −12x)2 2 (24x −144)≤     2 2 4 4.6 4.6  3 
S ≤ 768 = 16 3 . Dấu bằng xảy ra ⇔ 144 −12x = 24x −144 ⇔ x = 8 . Câu 40. Chọn D. 2 x − x 2 2 sin 2 2 2 x t = với t ∈[1;2] cos 1 sin ⇒2 = 2 = 
→ y = f (t) = t + . t t
Cách 1. Dùng đạo hàm giải. 2 f ′(t) 2 t [ ∈ 1;2] = 1−
= 0 ⇔ t = 2   → t = 2 . 2 t f ( )
1 = 3, f ( 2) = 2 2, f (2)= 3 
→ m = min y = 2 2, M = max y = 3 ⇒ M .m = 6 2 .
Nếu dùng bất đẳng thức Cô si t 2 f (t) = 2 +
≥ 2 2 ta chỉ tìm được min. – 2t Câu 41. Chọn B.
H , K lần lượt là trung điểm CD, AB . Suy ra HK đi qua tâm M của
hình vuông ABCD và ta có được 1 MK = AB = 4 2
Mục tiêu tính bán kính OA OB R = = của hình trụ?
OO′ là trục hình trụ suy ra OO′ vuông góc 2 đáy.
Suy ra OO′ ⊥ OK (OK ∈ đáy) 2 2
⇒ OK = MK − MO = 3
OK đi qua tâm hình tròn đáy và qua trung điểm dây AB ⇒ OK ⊥ AB 2 2 2 2
⇒ OB = OK + KB = 3 + 4 = 5 = R ( O
∆ KB vuông tại K ) Thể tích hình trụ là 2
V = π. R .h = 50π 7 . Câu 42. Chọn A.
Hình hộp chữ nhật có tất cả 12 cạnh Số đỉnh (trung điểm mỗi cạnh) hình cần biết là 12 đỉnh. Loại B, C.
Mỗi mặt của hình hộp chữ nhật chứa 4 cạnh của hình cần biết mà hình hộp chữ nhật có 6 mặt.
Số cạnh của hình cần biết là 24 cạnh. Câu 43. Chọn D.
Đồ thị hàm số lũy thừa y x α =
từ trái qua phải, đi xuống số mũ α < 0 .
Đồ thị hàm số lũy thừa y x γ , y x β = =
từ trái qua phải, đi lên số mũ β,γ > 0 .
Kẻ đường thẳng x = m >1 cắt y x β , y x γ = = lần lượt tại , A B .
Ta thấy y > y 
→ β > γ 
→ β > γ > α . A B Câu 44. Chọn C. Đặt 2
t = log x +1 với 3 2 1 ≤ x ≤ 5
⇔ 1≤ log x +1≤ 4 ⇔ 1≤ t ≤ 2 . 5 5 Pt ⇔ 2
t + 2t −3 = m có nghiệm trên đoạn [1;2]. f (t)
Cách 1. Lập bảng biến thiên: f ′(t)= 2t +2 = 0 ⇔ t = −1∉ [1;2]. Tính f ( ) 1 = 0, f (2) = 5 . Dựa vào BBT: ycbt → m ∈[0;5].
Cách 2. Dùng điều kiện có nghiệm. b x = − = −1 ∉ và hệ số 2
t dương nên hàm số đồng biến trên đoạn [1;2]. D [1;2] 2a
Để phương trình f (t)= m có nghiệm trên đoạn [1;2]
⇔ min f (t)≤ m ≤ max f (t) ⇔ f ( )
1 ≤ m ≤ f (2) ⇔ m ∈[0;5] . [1;2] [1;2] Câu 45. Chọn B. 1 2 1 3 2
3mx < x + 2 −
, ∀x ≥1 ⇔ 3m < x + − , ∀x ≥1 (*) 3 4 x x x f (x ) 2  1 7 3 2x  −   + 6 3 2 4 2x − 2x + 4     f ′(x) 2 2 = 2x − + = = > 0, ∀x ≥1 . 2 5 5 5 x x x x 2
(*) ⇔ 3m < min f (x)= f ( ) 1 = 2 ⇔ m < . [1;+∞) 3 Câu 46. Chọn B.
Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò beân phaûi truïc Oy
Từ f (x) suy ra đồ thị f ( x ) : .
Laáy ñoái xöùng phaàn treân qua truïc Oy (x = ) 0
Dựa vào bảng biến thiên: lim f = −∞ ⇒ = − là TCĐ. + ( x ) x 1 x ( → − ) 1 lim f = −∞ ⇒ = là TCĐ. − ( x ) x 1 x 1 →
lim f ( x ) = 3 ⇒ y = 3 là TCN. x →±∞
Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) có tất cả 3 tiệm cận. Câu 47. Chọn D. d G  ;(SAC) Gọi GN 1
N trung điểm SA thì BG cắt (SAC ) tại N   ⇒ = = (*)
d B ;(SAC ) BN 3  
BH ⊥ AC (H ∈ AC ) mà BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ (SAC ) với H ∈(SAC ) . B . A BC . a 3a 3a 10
⇒ d B ;(SAC ) = BH = = = .   AC a +( a)2 2 10 3 a 10 (*)⇒d G  ;(SAC ) = .   10 Câu 48. Chọn C. S
∆ AD là tam giác vuông đề cập trong đề. 1 a 2
⇒ SO = OB = OA = AD =
, SA = SB = a . 2 2
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ Góc (SBC)  ○ . 
, ñaùy = SMO = 60   SO a 6 2a 3 2 2 ⇒SM = =
⇒ BC = 2MB = 2 SB −SM = . sin 60○ 3 3 2 1 a 2 ⇒ S = BC.SM = . SBC 2 3
Giải thích thêm. Góc (SBC)   , ñaùy ?  
Ta có: (SBC )∩ đáy= BC .
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ BC ⊥OM mà BC ⊥ SO ⇒ BC ⊥ (SOM )⇒ BC ⊥ SM . (
 SBC) ⊃ SM ⊥  BC  ⇒ Góc (SBC) 
, ñaùy = SMO . (     ñaù )
y ⊃ OM ⊥ BC  Câu 49. Chọn C.
Ở đây ta lấy tổng quát đáy ABCD là một tứ giác.
Gọi E, F ,G, H thứ tự là trung điểm AB, BC,CD, DA . Tính chất: 1 1 S = S  → V = V . EFGH ABCD S .EFGH S . 2 2 ABCD 3 V V   S MQN S MQN SM SQ SN 2 8 . . = = . . =     = . V 1 SE SH SF 3 27 S .EHF VS. 2 EFGH 3 V V   S PQN S PQN SP SQ SN 2 8 . . = = . . =     = . V 1 SG SH SF 3 27 S .GHF VS. 2 EFGH V +V V S MQN S PQN S MNPQ 8 8 16 8 4 . . . = = + = ⇒V = V = V = 12 . S .MNPQ S .EFGH S . 1 1 27 27 27 27 27 ABCD V V S .EFGH S. 2 2 EFGH Câu 50. Chọn C. 1 1 S
= SB.SC.sin BSC ≤ SB.SC . SBC 2 2
Gọi H là hình chiếu của A lên mặt (SBC )thì AH ≤ AS . 3 1 1 a 6 V = S
. AH ≤ SB.SC.SA = =V . SABC SBC max 3 3 3
Tính chất câu 49. Cho tứ giác ABCD . Gọi E, F ,G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC,CD, DA .Chứng minh rằng: 1 S = S ? EFGH 2 ABCD
Ta có EF là đường trung bình A ∆ BC 1 ⇒ EF = AC . 2
Gọi I , J lần lượt là hình chiếu của E, F lên AC .
Gọi K, L lần lượt là giao điểm của EH , FG với AC . S = S
hai ∆= nhau ⇒ S +S = S + S IEK JFL ( ) IEK EFJK JFL EFJK 1 1 1 ⇒ S = S = EF . EI = AC. BH = S (1). EFLK EFJI 2 2 2 ABC
Chứng minh tương tự cho A ∆ DC 1 ⇒ S = S (2) HGLK 2 ADC (1) + (2) 1 ⇒ S = S . EFGH 2 ABCD