Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH ĐĂK LĂK
NĂM HỌC 2020 – 2021
MÔN: TOÁN LỚP 9 – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30/3/2021 Bài 1: (4 điểm) 9 2 x  5 x 1
1) Cho biểu thức A   
. với x  0 và x  4 x  x  2 x 1 x  2
Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A nhận giá trị nguyên 2) Cho phương trình 2
x  2m  3 x  m  0 với m là tham số. Tìm m để phương trình
có hai nghiệm phân biệt x , x sao cho 2 2 x  x  9 1 2 1 2 Bài 2: (4 điểm) 1) Cho parabol  P 2
: y  x và đường thẳng d  : y  x  b . Tìm b để đường thẳng d  13
cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho OI 
(với I là trung điểm của 2 AB ).
2) Giải phương trình x   x   x     x  2 2 1 1 3 15 2 1 Bài 3: (4 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương  x; y thỏa mãn: 2 2
x  3xy  2 y  6  0
2) Cho x, y, z là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
  5    5    5 x y y z z
x chia hết cho 5 x  y y  z  z  x
Bài 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF
của ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh AF  AB  AE  AC
2) Chứng minh DH là tia phân giác của  EDF 3) Giả sử  0
ACB  60 . Chứng minh 2EF  BF  3  CF .
Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có  0  0
BAD  60 , BCD  120 tia phân giác của  BAD cắt
BD tại E. Tia phân giác của 
BCD cắt BD tại F. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 3 1      AB BC CD DA AE CF
Bài 6: (2 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  2 y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 1 1 3x y của biểu thức: P   2 2 x  4 y xy
-------------------- Hết --------------------
GV: Nguyễn Dương Hải
i i – THCS Nguyễn Chí Thanh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầ tầ t m và giớ iớ i th thiệu) trang 1 BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm)
9  2 x  5 x  2   x   1  x x x     1 9 2 5 1 1) A     x  x  2 x 1 x  2
 x  1 x  2 x  x  x   x  x  x  x  1 x  x 2 2 9 2 10 1 2       1  x   1  x  2  x  
1  x  2  x   1  x  2 x  2 x  2 x  2
Do đó A nhận giá trị nguyên với x nguyên khi x  2 Ư 2  1;   2  x 1; 3; 0; 
4  x 1; 9; 0;1  6 (TMĐK)
2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt   
  m  2  m   m  m     m  2 2 0 2 3 4 0 4 8 9 0 4
1  8  0 luôn đúng với mọi m
x  x  2m  3 Theo Vi ét, ta có: 1 2  x x  m  1 2 m  0 Khi đó x x 9  x x 2 2x x 9 2m 32 2 2 2m 9 m 2m 5 0                1 2 1 2 1 2   5 m    2 Bài 2: (4 điểm)
1) Phương trình hoành độ giao điểm của d  và P là 2 2
x  x  b  x  x  b  0   *
Đường thẳng d  cắt parabol P tại hai điểm phân biệt ,
A B  * có hai nghiệm phân 1
biệt    0  1 4b  0  b   4
 x  x  1 Theo Vi ét, ta có: A B x x  b  A B  x  x 1 A B x   I   2 2
Vì I là trung điểm AB, nên có:  y  y x  x   x  x  x x  b A B A B A B 2 2 2 2 A B 1 2 y     I   2 2 2 2 2 2  1   1 2b  13 Do đó 2 2 OI  x  y    I I      2   2  2 2 2b  2b 1 13  b  3 l 2    
 b  b  6  0  b  3b  2  0   2 2 b  2 n  Vậy b  2
2) x   x  x     x  2 2 4 3 2 1 1 3 15 2 1
 x  4x  56x  56x 12  0   4 3 2 x 
x  x    3 2 x  x  x    2 10 6 6 60 36
2x  20x 12  0 2  x  2 x 
x    x 2 x  x     2 10 6 6 10 6
2 x 10x  6  0   2 x  x   2 10 6
x  6x  2  0 2
x 10x  6  0
 x  5  19; x  5  19 1 2     2
x  6x  2  0 
x  3  11; x  3   11  3 4
GV: Nguyễn Dương Hải
i i – THCS Nguyễn Chí Thanh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầ tầ t m và giớ iớ i th thiệu) trang 2 Bài 3: (4 điểm) 1) 2 2 2 2
x  3xy  2 y  6  0  x  3 yx  2 y  6  0 *
Ta có    y2   2 y   2 3 4 2
6  y  24 . * có nghiệm nguyên dương 2 2
 y  24  k k  N  x
  y  k  y  k   24 . Vì y Z  
, k  N  0  y  k  y  k 
  y  k   y  k   24 Mặt khác
 y  k; y  k cùng chẵn, nên có các trường hợp sau:   y  k 
   y  k   2y 
 y  k  2  x  8 TH1: 2 
 y  7  x  21x 104  0   x  8 x 13  0   y  k  12  x  13 
 y  k  4 x  7 TH2: 2 
 y  5  x 15x  56  0   x  7 x  8  0   y  k  6  x  8 
Vậy các cặp số nguyên dương  x; y cần tìm là: 8;7, 13;77;5, 8;5
2) Đặt x  y  a, y  z  b  z  x  a  b   a  b .
Có  x  y5   y  z5   z  x5  a  b  a  b5 5 5 5 5
 a  b   5 4 3 2 2 3 4 5
a  5a b  10a b 10a b  5ab  b    ab  3 2 2 3
a  a b  ab  b    ab a  b 2 2
a  ab  b   x  y y  z z  x 2 2 5 2 2 5 5
a  ab  b 
Vì x, y, z đôi một khác nhau, nên  x  y y  z z  x  0
Vậy   5    5    5 x y y z z
x chia hết cho 5 x  y y  z  z  x
Bài 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF
của ABC cắt nhau tại H. A
1) Chứng minh AF  AB  AE  AC Xét ABE và ACF: F   0
AEB  AFC  90  gt  ;  BAE (góc chung). E H Vậy ABE ACF (g.g) AB AE  
 AF  AB  AE.AC (đpcm) AC AF O
2) Chứng minh DH là tia phân giác của  EDF Tứ giác BDHF có: B D C   0 BDH  BFH   gt    0 90
 BDH  BFH  180
Vậy tứ giác BDHF nội tiếp  
 HDF  HBF a Tứ giác CDHE có:   0 CDH  CEH   gt    0 90
 CDH  CEH  180
Vậy tứ giác CDHE nội tiếp  
 HDE  HCE b Lại có ABE ACF  
 HBF  HCE c Từ a), b), c)  
 HDF  HDE . Vậy DH là tia phân giác của  EDF 3) Giả sử  0
ACB  60 . Chứng minh 2EF  BF  3 CF . Tứ giác AEHF có:   0 AEH  AFH   gt    0 90
 AEH  AFH  180
Vậy tứ giác AEHF nội tiếp  
 EFC  EAD (góc nội tiếp cùng chắn cung  HE ) Xét EFC và EAD:  
EFC  EAD cmt  ;  
ECF  EDA (tứ giác CDHE nội tiếp).
GV: Nguyễn Dương Hải
i i – THCS Nguyễn Chí Thanh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầ tầ t m và giớ iớ i th thiệu) trang 3 EF AE Vậy EFC EAD (g.g)   d  CF AD Xét AEH và ADC:   0
AEH  ADC  90  gt ;  EAH (góc chung). AE HE Vậy AEH ADC (g.g)   e AD CD Mặt khác AEH:  0 AEH   gt    0 90
, AHE  ACB  60 (tứ giác CDHE nội tiếp)
Vậy AEH là nửa tam giác đều cạnh AH  AH  2HE  f  Xét BFC và HDC:   0
BFC  HDC  90  gt  ;  BCF (góc chung). BF HD Vậy BFC HDC (g.g)    g  CF CD AD Lại có ACD:  0 ADC   gt  0 90 
 tan ACD  tan 60  3 h CD EF BF AH HD AD
Từ d), e), f), g), h) ta có: 2    
 3  2EF  BF  3CF (đpcm) CF CF CD CD CD Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có  0  0
BAD  60 , BCD  120 tia phân giác của  BAD cắt BD tại B E. Tia phân giác của 
BCD cắt BD tại F. Chứng minh C rằng: E 1 1 1 1 3 1      F AB BC CD DA AE CF O A D Ta có S  S  S ABD ABE ADE 1  1  1  
AB  DA  sin BAD 
AB  AE  sin BAE 
DA  AE  sin DAE 2 2 2 3 1 0 0 0
 AB  DA sin 60  AB  AE  sin 30  DA AE  sin 30  AB  DA
  AB  DA AE  2 2 3 AB  DA 1 1       1 AE AB  DA AB DA 1 1 1 Tương tự    S  S  S 
BC CD  sin BCD 
BC  CF  sin BCF 
CD CF  sin DCF BCD BCF DCF 2 2 2 3 3 0 0 0
 BC CD sin120  BC CF sin 60  CD CF sin 60  BC CD 
  BC  CD CF  2 2 1 BC  CD 1 1     2 CF BC CD BC CD 1 1 1 1 3 1 Từ 1), 2) suy ra      (đpcm). AB BC CD DA AE CF
Bài 6: (2 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  2 y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 1 1 3x y của biểu thức: P   2 2 x  4 y xy
GV: Nguyễn Dương Hải
i i – THCS Nguyễn Chí Thanh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầ tầ t m và giớ iớ i th thiệu) trang 4 2 2 1 1 3x y 1 1  1 1   1  P      3xy    3
16xy  45xy 2 2 2 2  2 2    x  4 y xy x  4 y xy x  4 y 4xy 4xy     1 1 4 4 Lại có     4
0  x  2 y  1 2 2 2 2 2   x  4 y 4xy
x  4 y  4xy  x  2y  1  1 1 45 ; 3 16xy  3  2
16xy  3 2  2  12  
; 1  x  2 y  2 2xy  0  xy   45xy   4xy 4xy   8 8 45 83
Do đó P  4 12   8 8
 x  0, y  0   1  1 x  2 y  1 x    x  83  Dấu “=” xảy ra khi    2 2 2 2
x  4 y  4xy  
. Vậy Min  P    1  8 1 1  y   y    16xy   4   4  4xy 
GV: Nguyễn Dương Hải
i i – THCS Nguyễn Chí Thanh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầ tầ t m và giớ iớ i th thiệu) trang 5