Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Yên

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Yên giúp bạn ôn tập kiến thức, chuẩn bị tốt kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem.

22 11 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 9

Môn: Toán 9

Thông tin:

5 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ YÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 30/3/2021
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-----------
Câu 1.(5,00 điểm)
a) Chứng minh rằng:
3 3
5 2 13 5 2 13 1
.
b) Biết đa thức
4 3 2
4 6 4
x x px qx r
chia hết cho đa thức
3 2
3 9 3
. Tính giá
trị biểu thức
p q r
.
Câu 2.( 3,50 điểm) Giải hệ phương trình:
5
5
2 2
10
2 4.
xy
x y xy
x y xy
xy
Câu 3.(2,50 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2 2
2 5 13
x y
.
Câu 4.(3,00 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C cắt
nhau ở D. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của DA với (O) và DA với BC; H là giao điểm của OD
với BC.
a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA.
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) tại K (khác A). Chứng minh rằng E, H, K
thẳng hàng.
Câu 5.(3,00 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 3
P x y
với
2 2
1 1 1 1 1 1
0, 0,x y
xy x y x xy y
Câu 6.( 3,00 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, (I) là đường tròn nội tiếp. Gọi D,
E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với BC, CA, AB. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên
EF.
a) Chứng minh rằng
FKB EKC
.
b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của HB, HC với EF.
Chứng minh đẳng thức: EK.FP = FK .EQ.
c) Chứng minh rằng KD là phân giác của
HKI
.
---------Hết---------
Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………………;Số báo danh:…………………….....…
Chữ kí giám thị 1:……….………………..;Chữ kí giám thị 2:………..………………………...
2. Đáp án và thang điểm
ĐỀ CHÍNH THỨC
CÂU
ĐÁP ÁN ĐIỂM
1
5,00 đ
a) Chứng minh rằng:
3 3
5 2 13 5 2 13 1
A
.
2,50 đ
Ta thấy:
3
3 3
10 9 5 2 13 5 2 13 10 9
A A
1,00 đ
2
1 10 0
A A A
.
0,50 đ
Vì
2
2
1 39
10 0
2 4
A A A
nên suy ra
1 0 1.
A A
1,00 đ
b) Biết đa thức
4 3 2
4 6 4
x x px qx r
chia hết cho đa thức
3 2
3 9 3
x x x
. Tính giá trị biểu thức
Q p q r
.
2,50 đ
Giả sử
4 3 2
4 6 4
x x px qx r
3 2
3 9 3
x a x x x
0,50 đ
4 3 2
3 3 9 9 3 3 .
x a x a x a x a
0,50 đ
Đồng nhất các hệ số cùng bậc hai vế, ta được:
4 3 1
6 3 9 2
4 9 3 3
3 3.
a a
p a p
q a q
r a r
1,00 đ
Suy ra
15.
p q r
0,50 đ
2
Giải hệ phương trình:
5
5
2 2
10
2 4.
xy
x y xy
x y xy
xy
3,50 đ
Điều kiện
0,2 0
xy x y xy
.
0,25 đ
Đặt
, 2 , 0
u xy v x y xy u v
, hệ phương trình đã cho trở thành
5
5 (1)
2
10
4 (2).
u
v
v
u
0,50 đ
Từ
10
(2) 4v
u
hay
4 10
u
v
u
. Thay vào (1) ta được
0,50 đ
2
2
5
5 10 25 0 5 0 5 2.
2 4 10
u u
u u u u v
u
1,00 đ
Ta được hệ phương trình:
5 5
2 2 2 7
xy xy
x y xy x y
0,50 đ
2
1
5
7 2 5
2 7 5 0
5
7 2
7 2
2
2
x
y
x x
x x
y x
y x
x
y
.
0,50 đ
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là
5
1;5 , ;2
2
.
0,25 đ
3
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2 2
2 5 13
x y
(*)
2,50 đ
Ta có: (*)
2( 1) 5(3 )
x y
.
0,50 đ
Do
(2,5) 1
nên
2
1 5
x
và
2
3 2
y
.
0,50 đ
Đặt
2 2
1 5 ,3 2
x k y l
, ta có:
10 10 ,k l k l k l
.
0,50 đ
Do đó:
2
2
1
5 1 0
5
1.
3
3 2 0
2
k
x k
k l
y l
l
0,50 đ
Vậy
2, 1
x y
.
Phương tr
ình có các nghi
ệm nguy
ên: (
-
2
;
-
1), (
-
2
;1), (2
;
-
1) và
(2
;1).
0,50 đ
4
3,00 đ
a) Ch
ứng minh
∆OAH
∆ODA
1,00 đ
Theo tính chất tiếp tuyến thì
BC OD
.
K
H
E
F
D
O
C
A
B
0,25 đ
Áp dụng HTL vào tam giác vuông
OCD, với CH là đường cao ta có:
2
.
OC OH OD
2
.
OA OH OD
OA OD
OH OA
0,50 đ
∆OAH
∆ODA
.
0,25 đ
b) Chứng minh rằng E, H, K thẳng hàng 2,00 đ
Từ câu a) ta có ∆OAH ∆ODA
OHA OAD OEA
(1)
OAEH nội tiếp
EHD EAO OAD
(2).
Từ (1) và (2)
EHD OHA
(3).
1,00 đ
Dễ thấy ∆ABH=∆KCH (c.g.c)
HA = HK hay AKH cân tại H (4).
Vì OH
BC, AK//BC
OH
AK (5).
Từ (4) và (5) suy ra OH là phân giác
AHK
hay
OHA OHK
(6).
0,50 đ
Kết hợp (3) và (6) suy ra
OHK EHD
;
Suy ra
0
180
EHO OHK EHO EHD
, hay 3 điểm E, H, K thẳng hàng.
0,50 đ
5
Tìm GTLN của biểu thức:
3 3
P x y
với
2 2
1 1 1 1 1 1
0, 0,x y
xy x y x xy y
3,00 đ
Giả thiết:
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
x y x xy y
xy x y x xy y
(do
0, 0
x y
).
0,50 đ
Do đó:
2
3 3 2 2
.
P x y x y x xy y x y
0,50 đ
Để ý rằng
2
2 2
3
x y x xy y x y xy
và
2
4
x y
xy
0,50 đ
Suy ra
2 2
3
4 0
4
x y x y x y x y x y
0,50 đ
Hay
2
0 4 0 16.
x y x y
0,50 đ
Vậy Max P = 16. Dấu đẳng thức xảy ra khi
2.
x y
0,50 đ
6
3,00 đ
a) Chứng minh
FKB EKC
P
K
N
M
Q
H
C
B
A
I
D
E
F
1,00 đ
Gọi M, N theo thứ tự là hình
chiếu của B, C lên EF.
Khi đó:
BFM AFE AEF CEN
BFM CEN
BM BF BD
CN CE CD
0,50 đ
Mặt khác, BM//DK//CN nên theo định lí Thales ta có:
BD MK BM MK
BMK
CD NK CN NK
CNK
(c.g.c)
FKB EKC
.
0,50 đ
b) Ch
ứng minh đẳng thức:
EK
.
FP
=
FK
.
EQ
.
1,00 đ
Dễ chứng minh được
,
BFP CEQ FBP ECQ
(cùng phụ
BAC
).
Do đó BFP CEQ (g.g)
(1)
FB FP
EC EQ
0,50 đ
Theo a)
FKB EKC
. Kết hợp với
BFK CEK
BFK CEK (g.g);
suy ra
(2)
FB FK
EC EK
0,25 đ
Từ (1) và (2) suy ra
. .
FP FK
EK FP FK EQ
EQ EK
(đpcm).
0,25 đ
c) Chứng minh KD là phân giác của
HKI
1,00 đ
Theo b):
FP FK FP FK KP
EQ EK EQ EK KQ
(3)
EK FK EK FK EF
QK PK QK PK QP
0,25 đ
Hơn nữa, do IE//HP, IF//HQ, IE=IF nên
IEF HPQ IFE HQP
.
Do đó
IEF
HQP
(g.g).
0,25 đ
Ta có IEF HQP
(4)
IE EF
HQ QP
0,25 đ
Từ (3) và (4) ta có
EK IE
IKE
QK HQ
HKQ
(c.g.c)
IKE HKQ
Suy ra
0 0
90 90
IKD IKE HKQ HKD
, hay KD là phân giác
IKH
.
0,25 đ
| 1/5
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TỈNH PHÚ YÊN
LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2021
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ----------- Câu 1.(5,00 điểm) a) Chứng minh rằng: 3 3
5  2 13  5  2 13  1. b) Biết đa thức 4 3 2
x  4x  6 px  4qx  r chia hết cho đa thức 3 2
x  3x  9x  3 . Tính giá
trị biểu thức  p  q r .
Câu 2.( 3,50 điểm) Giải hệ phương trình:  xy 5   5  2 2x  y  xy  10 2x  y  xy   4.  xy
Câu 3.(2,50 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2x  5y  13 .
Câu 4.(3,00 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C cắt
nhau ở D. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của DA với (O) và DA với BC; H là giao điểm của OD với BC.
a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA.
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) tại K (khác A). Chứng minh rằng E, H, K thẳng hàng.
Câu 5.(3,00 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1  1 1  1 1 1 3 3
P  x  y với x  0, y  0,        2 2 xy  x y  x xy y
Câu 6.( 3,00 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, (I) là đường tròn nội tiếp. Gọi D,
E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với BC, CA, AB. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên EF. a) Chứng minh rằng  FKB   EKC .
b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của HB, HC với EF.
Chứng minh đẳng thức: EK.FP = FK .EQ.
c) Chứng minh rằng KD là phân giác của  HKI . ---------Hết---------
Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………………;Số báo danh:…………………….....…
Chữ kí giám thị 1:……….………………..;Chữ kí giám thị 2:………..………………………...
2. Đáp án và thang điểm CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 5,00 đ a) Chứng minh rằng: 3 3
A  5  2 13  5  2 13  1. 2,50 đ Ta thấy: 3 A   3 3 10 9
5  2 13  5  2 13  109A 1,00 đ   A   2 1 A  A 10  0 . 0,50 đ 2  1  39 Vì 2 A  A 10  A    0  
nên suy ra A 1  0  A  1. 1,00 đ  2  4 b) Biết đa thức 4 3 2
x  4x  6 px  4qx  r chia hết cho đa thức 3 2
x  3x  9x  3 . Tính giá trị biểu thức Q   p  q r . 2,50 đ Giả sử 4 3 2
x  4x  6 px  4qx  r   x  a 3 2 x  3x  9x  3 0,50 đ 4  x  a   3 x   a   2 3 3
9 x  9a  3 x  3 . a 0,50 đ 4  a  3 a 1  6 p 3a 9     p  2
Đồng nhất các hệ số cùng bậc hai vế, ta được:    1,00 đ 4q  9a  3 q  3   r  3a r  3.
Suy ra  p  q r 15. 0,50 đ  xy 5   5  2 2x  y  xy 2
Giải hệ phương trình:  3,50 đ 10 2x  y  xy   4.  xy
Điều kiện xy  0, 2x  y  xy  0 . 0,25 đ
Đặt u  xy, v  2x  y  xy u,v  0 , hệ phương trình đã cho trở thành 0,50 đ u 5   5 (1) 2 v  10 v   4 (2).  u  Từ 10 u (2)  v  4  hay 4 10 v  . Thay vào (1) ta được 0,50 đ u u u 5u 
 5  u 10u  25  0  u 52 2
 0  u  5  v  2. 1,00 đ 2 4u 10 xy  5 xy  5
Ta được hệ phương trình:    0,50 đ 2x  y  xy  2 2x  y  7 x 1        y  x 7 2x 5 2 5 2x  7x  5  0       5 . y  7  2x  y  7  2x x  0,50 đ  2   y  2
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là    5  1;5 , ;2   . 0,25 đ  2  3
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2x  5y  13 (*) 2,50 đ Ta có: (*) 2 2
 2(x 1)  5(3 y ) . 0,50 đ Do (2,5)  1 nên  2 x   1 5 và  2 3  y 2 . 0,50 đ Đặt 2 2
x 1  5k,3  y  2l , ta có: 10k  10l  k  l k,l  . 0,50 đ  1 2 k 
x  5k 1 0  Do đó: 5     k  l  1. 0,50 đ 2 y  3 2l  0 3 l    2 Vậy x  2  , y  1  . 0,50 đ
Phương trình có các nghiệm nguyên: (-2 ;-1), (-2 ;1), (2 ;-1) và (2 ;1). 4 3,00 đ a) Chứng minh ∆OAH ∆ODA 1,00 đ
Theo tính chất tiếp tuyến thì BC  OD . A K 0,25 đ
Áp dụng HTL vào tam giác vuông
OCD, với CH là đường cao ta có: 2 OC  OH.OD  2 OA  OH.OD 0,50 đ O OA OD   OH OA  B ∆OAH ∆ODA . F H C 0,25 đ
b) Chứng minh rằng E, H, K thẳng hàng 2,00 đ E
Từ câu a) ta có ∆OAH ∆ODA   OHA   OAD   OEA (1)  OAEH nội tiếp 1,00 đ D   EHD   EAO   OAD (2). Từ (1) và (2)   EHD   OHA (3).
Dễ thấy ∆ABH=∆KCH (c.g.c)  HA = HK hay AKH cân tại H (4).
Vì OH  BC, AK//BC  OH  AK (5). 0,50 đ
Từ (4) và (5) suy ra OH là phân giác  AHK hay  OHA   OHK (6).
Kết hợp (3) và (6) suy ra  OHK   EHD ; 0,50 đ Suy ra  EHO   OHK   EHO   0
EHD  180 , hay 3 điểm E, H, K thẳng hàng. 1 1 1 1 1 1 5 Tìm GTLN của biểu thức: 3 3
P  x  y với x0, y 0,        3,00 đ 2 2 xy x y x xy y 1  1 1  1 1 1 Giả thiết: 2 2      x  y  x  xy  y  
(do x  0, y  0 ). 0,50 đ 2 2 xy  x y  x xy y
Do đó: P  x  y   x  yx  xy  y    x  y2 3 3 2 2 . 0,50 đ x  y2
Để ý rằng x  y  x  xy  y   x  y2 2 2  3xy và xy  0,50 đ 4 3
Suy ra x  y   x  y2   x  y2   x  y x  y  4  0 0,50 đ 4 
Hay  x  y     x  y2 0 4 0  16. 0,50 đ
Vậy Max P = 16. Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y  2. 0,50 đ 6 3,00 đ a) Chứng minh  FKB   EKC A 1,00 đ
Gọi M, N theo thứ tự là hình N chiếu của B, C lên EF. P E Khi đó: K  BFM   AFE   AEF   M F CEN 0,50 đ Q  BFM CEN I H BM BF BD     CN CE CD B D C
Mặt khác, BM//DK//CN nên theo định lí Thales ta có: BD MK BM MK      0,50 đ BMK CNK (c.g.c)   FKB   EKC . CD NK CN NK
b) Chứng minh đẳng thức: EK.FP = FK .EQ. 1,00 đ Dễ chứng minh được  BFP   CEQ,  FBP   ECQ (cùng phụ  BAC ). FB FP 0,50 đ Do đó BFP CEQ (g.g)   (1)  EC EQ Theo a)  FKB   EKC . Kết hợp với  BFK   CEK BFK CEK (g.g); FB FK 0,25 đ suy ra  (2)  EC EK FP FK Từ (1) và (2) suy ra   EK.FP  FK.EQ (đpcm). 0,25 đ EQ EK
c) Chứng minh KD là phân giác của  HKI 1,00 đ FP FK FP  FK KP EK FK EK  FK EF Theo b):        (3) 0,25 đ EQ EK EQ  EK KQ QK PK QK  PK QP
Hơn nữa, do IE//HP, IF//HQ, IE=IF nên  IEF   HPQ   IFE   HQP . 0,25 đ Do đó IEF HQP (g.g). IE EF Ta có IEF HQP   (4)  0,25 đ HQ QP EK IE Từ (3) và (4) ta có   IKE HKQ (c.g.c)   IKE   HKQ QK HQ 0,25 đ Suy ra  0 IKD    0 90 IKE  90   HKQ   HKD , hay KD là phân giác  IKH .