Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: Toán – Lớp: 9 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm: 01 trang) Câu 1: ( 3,0 điểm )   a  4 1) Cho 3 P 7 4 3 a 3 a 3a 1:        
 với a  0; a  1; a  4.  a  1 3 2     Rút gọn biểu thức . P 1
2) Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện 2 x  2 y  x  3 z  y   z 17. 2 Câu 2. (5,0 điểm) 1) Giải phương trình 3 3 3
6x 2x  7  6x  2x  22  4 2x  7. 2 2 xy  3x  2y
2) Giải hệ phương trình  2 2 x y  y  2  . x Câu 3. (3,0 điểm)
1) Tính tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn 2
x  x  a  0 với a là số nguyên tố.
2) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình  x  y2 2  y  3x  z 1.
Câu 4. (7,0 điểm) Trên đường tròn O lấy ba điểm ,
A B,C sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi
AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC; đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại P . Qua
D kẻ đường thẳng song song với đường thẳng EF cắt đường thẳng AC và AB lần lượt tại Q và R,
M là trung điểm của BC .
1) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh hai tam giác EPM và DEM đồng dạng.
3) Giả sử BC là dây cung cố định không đi qua tâm O , A di động trên cung lớn BC của đường
tròn O. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. (2,0 điểm)
1) Cho 2021 số tự nhiên từ 4 đến 2024 trên bảng, mỗi lần thay một hoặc một vài số bởi tổng các
chữ số của nó cho đến khi trên bảng chỉ còn lại các số từ 1 đến 9. Hỏi cuối cùng, trên bảng có
bao nhiêu số 3, bao nhiêu số 7?
2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 3 3 3
x  y  z  24. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức xyz   x  y  z2 2 8 M   . xy  yz  zx xy  yz  zx 1 ------------Hết------------
Họ và tên thí sinh:..................................................... Số báo danh:...........................Ký tên: ............................
Họ, tên và chữ ký của GT 1:.....................................Họ, tên và chữ ký của GT 2:.............................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM NAM ĐỊNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: Toán – Lớp: 9 Câu Đáp án Điểm 1.1   (1,5) (1,5) a  4 Rút gọn 3 P 7 4 3 a 3 a 3a 1:           a  1 3 2     0,5 Tính được     2 7 4 3 2 3  2  3 0,25
Tính được a   a  a   a a  a  a    a  3 3 3 3 3 3 1 3 3 1 1  a 1 a  4 a  2 a 1 0, 5     3 a  2 1 1 3 3 a  0,25 Suy ra P     a   1 2 3 1 :
 2  3  3  5  3 . 3 1.2 1 (1,5)
(1,5) Tìm tất cả các số thực ;
x y; z thỏa mãn điều kiện 2 x  2 y  x  3 z  y   z 17 . 2 x  0 0,5 
Điều kiện: y  x  0 hay 0  x  y  z . z  y  0  1 0,25
Ta có 2 x  2 y  x  3 z  y   z 17  4 x  4 y  x  6 z  y  z 17 2
 4 x  4 y  x  6 z  y  z  y  9  y  x  4  x  4 0,25   0,25
z  y  2   y  x  2   x  2 3 2 2  0  x  2  0,25 x  4  
  y  x  2  y  8 (thỏa mãn điều kiện)  z 17 z  y  3   KL:… 2.1 Giải phương trình 3 3 3
6x 2x  7  6x  2x  22  4 2x  7 . (2,5) (2,5) 7 0,5 Điều kiện 3 2x  7  0 hay 3 x   2 3 3 3 x x   x  x   x    x   3 3 6 2 7 6 2 22 4 2 7 6 4 2x  7  6x  2x  22 0,25 Đặt 3
t  2x  7 t  0 thì 3 2 2x  t  7
Phương trình trên trở thành  x  t   2 6 4 3 t  7  2x  22 0,25 t  2x 1 0,5 2 3t 23x 2t 2x 1 0         1 t   3 1 1 1 31 0,25 TH1: t  ta được 3 3 3
2x  7   2x  7   x   3 3 9 9
TH2: t  2x 1 ta được 0,5  1 2x 1  0 x   3 2x  7  2x 1     2 3 2 2x  7  4x  4x 1 3 2
2x 4x 4x 6  0  1  1 x  1 x   x     2 2      1 13  3 2    x  2x  2x  3  0   1   2  3  0 x x x x  2
Đối chiếu điều kiện kết luận phương trình đã cho có ba nghiệm… 0,25 2.2 2 2 xy  3x  2y (2,5)
(2,5) Giải hệ phương trình  . 2 2 x y  y  2  x
Nếu x  0 tính được y  0
Nếu y  0 tính được x  0 0,25 Do đó ta được  ;
x y  0;0 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. Với x và y khác 0. Ta có 0,5 2  x xy  3  2 2 2 xy 3x 2y      y    2 2 2 x y  y  2  x  y xy   2  x 2 2 x y ab  3a  2   1 Đặt  a;
 b ta có hệ phương trình trên trở thành  y x ab  b  2   2 Suy ra b  3a  4  hay b  3a  4 0,5 2
Thay b  3a  4 vào  
1 ta có a 3a  4  3a  2 , tìm được a  1 hoặc a   3
TH1: với a  1 thì b  1 0,5 2  x 1  y x  1     2   y  1 y  1   x 2 0,5
TH 2: với a   thì b  6 3 2  x 2    2  3  y 3 x   9     3 2  y  3  6   y  2  3  x  2  0,25
Kết luận: vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm là 0;0;  1  ;  3 3 1 ;  9; 2 3    3  3.1
Tính tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn 2
x  x  a  0 với a là số nguyên tố. (1,5) (1,5) Từ giả thiết suy ra 2
a  x  x hay a  x  x  
1 mà x và x 1 là hai số nguyên liên tiếp nên 0, 5 x x  
1 là số chẵn, do đó a là số chẵn.
Mặt khác a là số nguyên tố nên 0,5 a  2 x  1 0, 5 Khi đó ta được 2 x  x  2  0   x  2
KL: tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là 1 2  1 
3.2 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình x  y2 2  y  3x  z 1. (1,5) (1,5)
x  y2  y  x  z   x  y2 2 2 3 1.  3x  y 1  z (*) 0,5
Mà 3x  y 1  0 với mọi x, y nguyên dương     2 2 z x y   1
Ta lại có  x  y  2  z   x  y  2   x  y2 2 2 2  3x  y 1 0,5
 x  y2  x  y    x  y2 4 4
 3x  y 1  x  3y  5  0 với mọi x, y nguyên dương Nên  x  y  2 2 2  z 2 Từ  
1 và 2 suy ra z   x  y  2 2 1 0,25
Thay vào (*) ta được  x  y2  x  y   x  y  2 3 1 1  x  y  2 Do đó z  2y  3
Vậy tất cả các nghiệm nguyên dương  ;
x y; z của phương trình có dạng k  2;k;2k  3 0,25
với k là số nguyên dương. 4
Trên đường tròn O lấy ba điểm ,
A B,C sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi AD, BE, CF (7,0) (7,0)
là các đường cao của tam giác ABC; đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại P . Qua
D kẻ đường thẳng song song với đường thẳng EF cắt đường thẳng AC và AB lần lượt
tại Q và R, M là trung điểm của BC .
1) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh hai tam giác EPM và DEM đồng dạng.
3) Giả sử BC là dây cung cố định không đi qua tâm O , A di động trên cung lớn
BC của đường tròn O. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định. A E F Q O P B D M C R 4.1
Chứng minh rằng tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp. (2,5) (2,5)
Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp. 0,5 Suy ra  AFE   BCQ 0,5 Chỉ ra  AFE   BRQ 0,5 Suy ra  BRQ   BCQ 0,5
Chỉ ra tứ giác BQCR nội tiếp 0,5 4.2
Chứng minh hai tam giác EPM và DEM đồng dạng. (2,5) (2,5)
Chỉ ra tam giác ECM cân tại M 0,5 Chứng minh được  EMD  2 ACB 0,5
Tứ giác BCEF; ACDF nội tiếp nên  ACB   AFE   BFD 0,5 Suy ra  EMD   ACB   AFE   BFD   EMD   0 2 DFE  180
Chỉ ra tứ giác DMEF nội tiếp, suy ra  BDF   PEM 0, 5 Mà  BDF   BAC   MDE nên  MDE  
PEM . Suy ra tam giác EPM và DEM đồng dạng 0,5 4.3
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định. (2,0) (2,0)
Do tứ giác DMEF nội tiếp, suy ra  PFD   EMD 0,5 PD ED 0,5 Mà  PDF  
EDM nên tam giác PFD đồng dạng với tam giác EMD suy ra  DF MD Do  RFD   ACB   AFE  
FRD nên tam giác FDR cân tại D suy ra FD  DR 0,5
Chứng minh tương tự tam giác DEQ cân tại D nên DE  DQ . PD DQ 0,25
Ta có FD  DR; DE  DQ suy ra  DR MD
Chỉ ra hai tam giác PDR và QDM đồng dạng, suy ra  PRQ   PMQ
Chỉ ra tứ giác PRMQ nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua điểm M 0,25 cố định 5.1
Cho 2021 số tự nhiên từ 4 đến 2024 trên bảng, mỗi lần thay một hoặc một vài số bởi tổng (1,0)
(1,0) các chữ số của nó cho đến khi trên bảng chỉ còn lại các số từ 1 đến 9. Hỏi cuối cùng, trên
bảng có bao nhiêu số 3, bao nhiêu số 7?
Một số chia cho 9 dư k thì tổng các chữ số của nó chia 9 cũng dư k 0,25
Do đó sau khi thay đủ số lần, mà mỗi lần thay một hoặc một vài số bởi tổng các chữ số của 0,25
nó thì cuối cùng trên bảng chỉ còn lại các số dư k tương ứng của các số đã cho.
Các số chia 9 dư 3 trong dãy từ 4 đến 2024 là: 12; 21; 30; … ; 2019. 0,25 2019 12 Dãy trên có
1  224 (số), do đó trên bảng có 224 số 3 9
Các số chia 9 dư 7 trong dãy từ 4 đến 2024 là: 7; 16; 25; … ; 2023. 0,25 2023  7 Dãy trên có
1  225 (số), do đó trên bảng có 225 số 7 9
Vậy cuối cùng trên bảng có 224 số 3, có 225 số 7. 5.2
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 3 3 3
x  y  z  24. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu (1,0) (1,0) xyz   x  y  z2 2 8 thức M   . xy  yz  zx xy  yz  zx 1 Ta có 3 3 3
x  8  8  3. x .8.8  12x hay 3 x 16  12x 0,25 Tương tự 3 y 16  12y ; 3 z 16  12z
Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta được x  y  z 3 3 3 12
 x  y  z  48  72  x  y  z  6 Có 3 3 3 3 3 3 3
24  x  y  z  3 x .y .z  3xyz  xyz  8 0,25 Có 3 3 3
 xyz  x  y  z  xyz  z  y  z 2 2 2 24 3 3
x  y  z  xy  yz  zx 0,25   2 2 2
6 x  y  z  xy  yz  zx
  xyz  x  y  z  xy  yz  zx   x  y  z2 2 2 2 8 2 2
 3 xy  yz  zx
 xyz   x  y  z2 2
 8  6xy  yz  zx
  xy  yz  zx  xyz  x  y  z2 2 8 6 2  8  2.6  80
 0  xy  yz  zx 12 8  6 xy  yz  zx 8 8 8 0,25 Có M    6    f t xy  yz  zx xy  yz  zx 1 t t 1
với t  xy  yz  zx; t 0;12 8 8 236 Khi đó f t  6     t t   6 1 1212   1 39 236
Kết luận: giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là khi x  y  z  2. 39 Chú ý:
- Nếu thí sinh làm đúng mà cách giải khác với đáp án và phù hợp kiến thức của chương trình THCS thì
tổ chấm thống nhất cho điểm thành phần đảm bảo tổng điểm như hướng dẫn quy định.
- Tổng điểm toàn bài không làm tròn.
------------------Hết----------------