Đề thi HSG huyện Toán 9 năm 2019 – 2020 phòng GD&ĐT Yên Thành – Nghệ An

PHÒNG GD-ĐT YÊN THÀNH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC: 2019 - 2020 MÔN: TOÁN 9 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (3.0 điểm)
1. Tồn tại hay không các số nguyên tố b
a  2011  c .
2. Tìm các giá trị nguyên của x ,y thỏa mãn: x2 – 4xy + 5y2 = 2 (x - y).
Bài 2. (6.0 điểm) a) Giải phương trình: 2
x  x    x   2 10 3 1 6 1 x  3 .
b) Cho a, b, c thỏa mãn 2a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 3 3 3
2a  b  c  3a a  bc  b . Bài 3. (3.0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: bc ca ab 1 1 1      . 2
a b  c 2
b c  a 2
c a  b 2a 2b 2c
Bài 4. (6.0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm EF
và AH. Đường thẳng qua I và song song với BC cắt AB, BE lần lượt tại P và Q.
a) Chứng minh AEF  A  BC . b) Chứng minh IP = IQ.
c) Gọi M là trung điểm của AH chứng minh I là trực tâm của tam giác BMC. Bài 5. (2.0 điểm)
Trong mặt phẳng cho 6 điểm A , A , A , A , A , A trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Với ba 1 2 3 4 5 6
điểm bất kỳ trong sáu điểm này luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giửa chúng nhỏ hơn 673.
Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh một tam giác có chu vi nhỏ hơn 2019.
---------- HẾT ----------
https://thcs.toanmath.com/
Họ và tên thí sinh: …………………………………………………….…. Số báo danh: …………….