Đề thi HSG tỉnh Toán 9 năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH
KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021
Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN LỚP 9 THCS
SỐ BÁO DANH:……………
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề gồm có 01 trang và 05 câu
Câu 1 (2,0 điểm).  x + 2
11+ x   3 x + 2 +1 1 
a. Rút gọn biểu thức A =  +  : − 
x + 2 + 3 7 − x
x − 3 x + 2 + 2 x +    2  (với x > 2 − và x ≠ 7)
b. Giải phương trình x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = 4.
Câu 2 (2,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y = ax + b (a ≠ 0) đi qua điểm ( A 1;4)
và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại B và C (khác O ).
a. Viết phương trình đường thẳng (d ) sao cho biểu thức OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất.
b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức . OB OC P = . BC
Câu 3 (3,0 điểm).
Trong mặt phẳng, cho hai điểm B, C cố định với BC = 2a(a > 0) và A thay đổi sao cho
tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng đi qua A vuông góc với
AM cắt các đường phân giác của các góc  AMB và 
AMC lần lượt tại P và Q. Gọi D là giao
điểm của MP với AB và E là giao điểm của MQ với AC.
a. Giả sử AC = 2AB , tính số đo góc  BQC . 3   b. PD MP Chứng minh rằng =   . QE  MQ 
c. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP theo . a
Câu 4 (1,0 điểm). Cho a, ,
b c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2. 2
 ( a − ) ( b − )2 ( c  a b b c c a − + + +  )2 1 1 1 Chứng minh rằng 4  + + ≤ + + . a b b c c a  b c a  + + +    
Câu 5 (2,0 điểm).
a. Số nguyên dương n được gọi là số điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước dương
của nó (kể cả 1và n) bằng (n + )2
3 . Chứng minh rằng nếu pq (với p, q là các số nguyên tố khác
nhau) là số điều hòa thì pq + 2 là số chính phương.
b. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn 3 3 2 2
x + y = x + y + 42x . y
-------------HẾT------------
SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH
KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021
Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN LỚP 9 THCS
Đáp án này gồm có 05 trang YÊU CẦU CHUNG
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập
luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước
giải sau có liên quan. Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi câu nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần
là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng câu.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu. Câu Nội dung
a. Rút gọn biểu thức  x + 2
11+ x   3 x + 2 +1 1  A =  +  : −  1
x + 2 + 3 7 − x
x − 3 x + 2 + 2 x +    2  2,0 điểm (với x > 2
− và x ≠ 7)
b. Giải phương trình x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = 4. Đặt 2
x + 2 = t (t > 0, t ≠ 3) ⇒ x = t − 2 0,25 Khi đó 2 2 t
t + 9  3t +1 1
t(3 − t) + t + 9  3t +1− t + 3 A     = 0,25  :    :  + − =  2 2 2  2
 t + 3 9 − t   t − 3t t   9 − t   t − 3t  1a  3(t + 3) t(t − 3) 3 − = . t =
(3 − t)(3 + t) 2(t + 2) 2(t + 2) 0,25 3 − x + 2 Vậy A = 0,25 2( x + 2 + 2)
Điều kiện: x ≥ 4
Ta có x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = 4.
⇔ x − 4 + 4 x − 4 + 4 + x − 4 − 4 x − 4 + 4 = 4 0,5 2 2
⇔ ( x − 4 + 2) + ( x − 4 − 2) = 4 1b
⇔ x − 4 + 2 + x − 4 − 2 = 4
Nhận xét x − 4 + 2 + x − 4 − 2 ≥ x − 4 + 2 + 2 − x − 4 = 4 Đẳng thức xảy ra khi 0,25
( x − 4 + 2)(2 − x − 4) ≥ 0 ⇔ 2 − x − 4 ≥ 0 (Do x − 4 + 2 > 0)
⇔ x − 4 ≤ 2 ⇔ x ≤ 8
Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 1
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là 4 ≤ x ≤ 8 0,25
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y = ax + b (a ≠ 0) đi qua điểm (
A 1; 4) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại B và C (khác O ). 2
a. Viết phương trình đường thẳng (d ) sao cho biểu thức OA + OB + OC 2,0
đạt giá trị nhỏ nhất. điểm
b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức . OB OC P = . BC
Do (d ) đi qua điểm A nên a + b = 4 ⇒ (d ) : y = ax + 4 − a a − 4  > 0 0,25 Ta có  a − 4 B ;0  C
− a theo bài ra thì  a ⇒ a < 0 a  , (0;4 )   4− a > 0 a − 4 OB = , OC = 4 − a a 0,25 2a
Ta cóOA + OB + OC nhỏ nhất khi OB + OC nhỏ nhất (vì OA không đổi) a − 4 4 − 4 OB OC − + = + 4 − a = 5 + + (−a) ≥ 5 + 2 .(−a) ≥ 9 a a a
OA + OB + OC nhỏ nhất bằng 9 + 17 khi và chỉ khi 0,25 4 a − − = ⇔ a = 2 − (do a < 0) a
Vậy phương trình đường thằng (d ) là: y = 2 − x + 6 . 0,25
Theo câu a với a < 0 đường thằng (d ) cắt tia Ox, Oy lần lượt tại B và C
(khác O ) và đi qua điểm A(1;4) ⇒ OA = 17 y C 4 A H 0,25 d 2b O 1 B x
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng (d ) , ta có 2 BC 1 1 1 1 1 0,25 = + = ≥ = 2 2 2 2 2 2 OB .OC OB OC OH OA 17 . OB OC ⇒ P = ≤ 17 0,25 BC
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H ≡ A, hay d ⊥ OA 0,25
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 17.
Trong mặt phẳng, cho hai điểm B, C cố định với BC = 2a(a > 0) và 3 3,0
A thay đổi sao cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của điểm
Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 2
BC ; đường thẳng qua A vuông góc AM cắt các đường phân giác các góc  AMB và 
AMC lần lượt tại P, .
Q Gọi D là giao điểm của MP với AB và E
là giao điểm của MQ với AC.
a. Giả sử AC = 2AB , tính số đo góc  BQC . 3  
b. Chứng minh rằng PD MP =   . QE  MQ 
c. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP theo . a Q 0,25 A P D E 3a B H M C
Ta có MA = MC và ME là phân giác của góc 
AMC nên ME là đường trung 0,25
trực của đoạn AC ⇒ QA = QC và  0 QEC = 90
vì MQ là đường trung trực của đoạn AC và AM ⊥ AQ nên MC ⊥ QC 0,25
Xét hai tam giác vuông ABC và ECQ có  = 
ACB EQC (cùng phụ góc 
QCE ) và AB = EC (vì 2EC = AC = 2AB ) 0,5 ⇒ ABC ∆ = EC ∆
Q ⇒ CQ = CB hay tam giác BCQ vuông cân tại C, do đó  0 BQC = 45
Ta có MP,MQ là các đường phân giác của các góc  AMB và  AMC nên MP ⊥ MQ 0,25
Tương tự chứng minh câu a ta được AD ⊥ MP, AE ⊥ MQ
Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông APM với đường cao AD ta có 2 . PD PM = PA (1) 3b
Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông AQM với đường cao AE ta có 2
QE.QM = QA (2) 0,25 2
Từ (1) và (2) suy ra PD QM.PA = (3) 2 QE PM.QA
Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông MPQ với đường cao MA Ta có 2 . PA PQ = PM (4) 2 và . QAQP = QM (5) 0,25
Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 3 2
Từ (4) và (5) suy ra PA PM = (6) 2 QA QM 3
Từ (3) và (6) suy ra PD  MP  =   ( P Đ CM ) 0,25 E Q  MQ 
Vì MQ là trung trực của đoạn AC và MP là trung trực của đoạn AB suy ra CQ = ,
QA BP = AP và BCQP là hình thang vuông 0,25 (BP + CQ) 2 .BC Do đó . PQ BC BC 2 S = = ≥ = a 0,25 BCQP 2 (*) 2 2 2
AH.BC AM.BC 3c
Kẻ AH vuông góc BC thì 2 S = ≤ = a ABC (**) 2 2 Từ (*) và (**) suy ra 2 2 2 S + S = S − S
≥ a − a = a ABP ACQ BCQP ABC 2 . 0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H ≡ M , khi đó khi tam giác ABC vuông cân tại A.
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP là 2 a .
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2. CMR:
 ( a − )2 ( b − )2 ( c  1,0 a b b c c a − + + +  )2 1 1 1 4  + + ≤ + + . điểm a b b c c a  b c a  + + +     Ta có b c a a b c + + = + + (1) a + b b + c c + a a + b b + c c + a Thật vậy, xét b c a a b c 0,25 + + − − − a + b b + c c + a a + b b + c c + a
= b − a + c − b + a − c = 0
Ta chứng minh bất đẳng thức sau : Với x, y là các số thực và a,b là các số 2 2 2 x y (x + y) dương , ta có + ≥ (*) a b a + b 0,25 4
Thật vậy ( ) ⇔ (a + b)( 2 2 *
bx + ay ) ≥ ab(x + y)2 ⇔ (ay − bx)2 ≥ 0 (BĐT đúng)
( a − )2 ( b − )2 ( c − )2 1 1 1 Áp dụng BĐT (*), ta có + + b c a 2 2 2  + − + − + −  1 ( a b 2) ( b c 2) ( c a 2) ≥  + + . 2 b + c c + a a +  b  0,25
( a − )2 ( b − )2 ( c − )2 1 1 1 1  c a b  ⇔ + + ≥ + +   (2) b c a 2  b + c c + a a + b 
( vì a + b + c = 2) Từ (1) và (2) suy ra
( a − )2 ( b − )2 ( c − )2 1 1 1 1  b + c c + a a + b  0,25 ⇔ + + ≥ + + b c a 4  b c c a a b  + + + 
Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 4
 ( a − )2 ( b − )2 ( c  a b b c c a − + + + )2 1 1 1 ⇔ + + ≤ 4 + + (ĐPCM ) a + b b + c c + a  b c a   
a. Số nguyên dương n được gọi là số điều hòa nếu tổng các bình phương
của các ước dương của nó (kể cả 1và n) bằng (n + )2 3 .Chứng minh rằng
nếu pq (với p, q là các số nguyên tố khác nhau) là số điều hòa thì pq + 2 5 2,0
là số chính phương. điểm
b. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương(x, y)thỏa mãn 3 3 2 2
x + y = x + y + 42x . y
Ta có pq có các ước dương là 1, p,q và pq 0,25
Vì pq là số điều hòa nên ta có 2 2
1+ p + q + ( pq)2 = ( pq + 3)2 5a 2 2
⇔ p + q = 6 pq + 8 ⇔ ( p − q)2 = 4( pq + 2) 0,25
Vì 4 là số chính phương nên từ đẳng thức trên suy ra pq + 2 cũng là số chính phương. (ĐPCM) 0,25
Gọi d = (x, y) là ước chung lớn nhất của x và y
Suy ra x = da, y = db với *
d,a,b∈  ,(a,b) =1 Ta có 3 3 2 2
x + y = x + y + 42xy 0,25 3 ⇔ d ( 3 3 a + b ) 2 = d ( 2 2
a + b + 42ab)
⇔ d (a + b)( 2 2
a − ab + b ) 2 2
= a + b + 42ab
⇔ (da + db − ) 1 ( 2 2
a − ab + b ) = 43ab
Đặt c = da + db −1,(c ∈ ) Ta viết lại 2 2
a c − abc + b c = 43ab Từ đó suy ra 2 b | ca và 2
a | cb ⇒ b | c và a | c Do đó (ab) *
| c ⇔ c = mab,m∈  0,25 5b 2 2
a − ab + b =1 ⇒ m( 2 2
a − ab + b ) = 43 ⇒ ( 2 2
a − ab + b ) | 43 ⇒  2 2
a − ab + b = 43 TH1: 2 2
a − ab + b =1, khi đó 2
1− ab = (a − b) ≥ 0 0,25
Suy ra a = b =1⇒ d = 22 . Do vậy (x, y) = (22,22) TH2: 2 2
a − ab + b = 43
Do tính đối xứng của x, y , ta giả sử x ≥ y ⇒ a ≥ b 0,25 Do đó 2 2 2
43 = a − ab + b ≥ ab ≥ b ⇒ b ∈{1,2,3,4,5, } 6 .
Thay b =1 thì a = 7 và d =1 suy ra (x, y) = (1,7),(7, ) 1
Thay b = 2,3,4,5, thì không tồn tại số nguyên dương a thỏa mãn.
Thay b = 6 thì a = 7 và 43 d = (không thỏa mãn) 0,25 13
Thử lại, ta có các cặp giá trị cầm tìm là (x, y) = (22,22) ,(1,7),(7, ) 1 .
Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 5
Document Outline

• ĐE TOAN 9- 2020
• DA TOAN 9-2020