Đề thi kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội

Đề thi kết thúc học phần - Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống

64 32 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số tuyến tính( MATH 231A)

Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội

Thông tin:

1 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Đơn vị: Khoa Toán-Tin Môn thi: Đại số tuyến tính
Thời gian làm bài: 90 phút.
Lớp: Math231T
Câu 1. (4 điểm) Cho
U
=
D
~α
1
= (1, 1, ,1 0), ~α , ~α , ~α
2
= (0, ,1 1, 1)
3
= (1, ,2 2, 1)
4
= (1, 0, 0, −1)
E
và
W
=
n
(x x x x x
1
, x , x , x
2 3 4
) ∈ R
4
:
1
+ 2
2
+ 3
3
−
4
= 0
o
là các không gian véctơ con của R−không gian véctơ .R
4
a) Tìm một cơ sở của U và một cơ sở của .W
b) Hãy cho biết U ∪ W có là một không gian véc tơ con của không (có giải thích)?R
4
c) Hãy tìm một cơ sở của U + W.
d) Tìm các phần bù tuyến tính của .W
Câu 2. (3 điểm) Cho ánh xạ f : R R
2
→
2
được cho bởi công thức f (x, y) = (2x + 4y, 3y)
với mọi (x, y .) ∈ R
2
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính và chứng minh f là đẳng cấu tuyến tính.
b) Tìm tất cả các số thực λ và vector ~v(x, y) 6=
~
0 thỏa mãn f(~v ~v.) = λ ·
c) Tìm f
100
trong đó f
100
= f f◦ ◦ · · · ◦ f
| {z }
100 lần
.
Câu 3. (3 điểm) Cho dạng toàn phương H = x
2
+ 2 + 3 + 2 + 2 + 2y
2
z
2
xy xz yz trên không
gian vector R
3
.
a) Hỏi rằng H có là dạng toàn phương xác định dương không?
b) Tìm dạng song tuyến tính đối xứng ϕ : R
3
× R
3
→ R thỏa mãn H(~v) = ϕ(~v, ~v) với
mọi ~v .∈ R
3
c) Cho ψ là một dạng song tuyến tính đối xứng trên R
3
. Hỏi rằng tồn tại hay không
số thực t
0
sao cho dạng song tuyến tính ψ + t
0
ϕ là một tích vô hướng trên R
3
.
Lưu ý: - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
- Đề tự luận mở, cho phép thí sinh sử dụng vở ghi, giáo trình trong quá trình
làm bài, nhưng không được sử dụng internet, mạng xã hội để trao đổi.
——— Hết ———
Người duyệt Người ra đề thi
(Ký và ghi rõ họ tên) (Ký và ghi rõ họ tên)
Trang 1/1
| 1/1
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Đơn vị: Khoa Toán-Tin
Môn thi: Đại số tuyến tính
Thời gian làm bài: 90 phút. Lớp: Math231T Câu 1. (4 điểm) Cho D E U = ~ α1 = (1, 1, 1, 0), ~ α2 = (0, 1, 1, 1), ~ α3 = (1, 2, 2, 1), ~ α4 = (1, 0, 0, −1) và n o
W = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 0
là các không gian véctơ con của R−không gian véctơ R4.
a) Tìm một cơ sở của U và một cơ sở của W .
b) Hãy cho biết U ∪ W có là một không gian véc tơ con của R4 không (có giải thích)?
c) Hãy tìm một cơ sở của U + W.
d) Tìm các phần bù tuyến tính của W .
Câu 2. (3 điểm) Cho ánh xạ f : R2 → R2 được cho bởi công thức f(x, y) = (2x + 4y, 3y) với mọi (x, y) ∈ R2.
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính và chứng minh f là đẳng cấu tuyến tính.
b) Tìm tất cả các số thực λ và vector ~v(x, y) 6= ~0 thỏa mãn f(~v) = λ · ~v.
c) Tìm f100 trong đó f100 = f ◦ f ◦ · · · ◦ f . | {z } 100 lần
Câu 3. (3 điểm) Cho dạng toàn phương H = x2 + 2y2 + 3z2 + 2xy + 2xz + 2yz trên không gian vector R3.
a) Hỏi rằng H có là dạng toàn phương xác định dương không?
b) Tìm dạng song tuyến tính đối xứng ϕ: R3 × R3 → R thỏa mãn H(~v) = ϕ(~v,~v) với mọi ~v ∈ R3.
c) Cho ψ là một dạng song tuyến tính đối xứng trên R3. Hỏi rằng tồn tại hay không
số thực t sao cho dạng song tuyến tính 0
ψ + t0ϕ là một tích vô hướng trên R3.
Lưu ý: - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
- Đề tự luận mở, cho phép thí sinh sử dụng vở ghi, giáo trình trong quá trình
làm bài, nhưng không được sử dụng internet, mạng xã hội để trao đổi. ——— Hết ——— Người duyệt Người ra đề thi (Ký và ghi rõ họ tên) (Ký và ghi rõ họ tên) Trang 1/1