Đề thi mẫu giữa kỳ môn Đại số tuyến tính có hướng dẫn giải

Đề thi mẫu giữa kỳ môn Đại số tuyến tính có hướng dẫn giải giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng ôn tập và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

82 41 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số tuyến tính (Linear Algebra)

Trường: Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh

Thông tin:

4 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Tiến Dũng
lOMoARcPSD|36782889
Câu 1: Cho tham số 𝑚 và hệ phương trình tuyến tính sau
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 =3
{4𝑥
1
+3𝑥
2
−2𝑥
3
+ 𝑚𝑥
4
=7
6𝑥
1
+4𝑥
2
−2𝑥
3
+(𝑚+1)𝑥
4
=11
a) Giải hệ phương trình khi 𝑚=2.
b) Tìm iều kiện của 𝑚 ể hệ phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn:
a)
Với 𝑚=2. Áp dụng Gauss-Jordan ta có
𝑑
𝑑
→
Vậy ta có
𝑥 = 4− 𝛼
𝑥 =−1+2𝛼
{
𝑥
𝑥
b)
Áp dụng Gauss ta có
1 1 −1 0 1 1 −1 0
4 3 −2 𝑚 | → &[0 −1 2
𝑚
Hệ phương trình vô
nghiệm thì
1−𝑚=0
⇒𝑚 =1
Vậy với 𝑚=1 thì hệ
phương trình vô nghiệm.
1 1 −1 0
0 −1 2 𝑚
2 1 2
Câu 2: Cho ma trận 𝐴=[1 1 1].
1 3 0
a) Chứng tỏ 𝐴 khả nghịch và tìm ma trận nghịch ảo của 𝐴.
b) Tìm ma trận 𝑋 thỏa iều kiện 𝑋𝐴 .
Hướng dẫn:
a)
Cách 1: Dùng biến ổi sơ cấp
lOMoARcPSD|36782889
𝑑
→
𝑑
→
Vậy ma trận 𝐴 khả nghịch và
3 −6 1
𝐴
−1
=[−1 2 0]
−2 5 −1
Cách 2: Dùng ịnh thức
Ta có
det𝐴=|
Vậy . Nên ma trận 𝐴 khả nghịch.
Xét ma trận phụ hợp của 𝐴 bằng cách tìm các giá trị 𝑐
𝑖𝑗
như sau
𝑐𝑖𝑗 𝑖+𝑗 det𝐴
𝑐 |=−3 𝑐
23
=(−1)
2+3
|
2 1
|=−5
1 3
𝑐 |=1 𝑐
31
=(−1)
3+1
|
1 2
1 1|=−1
⇒𝑐 |=2 𝑐
32
=(−1)
3+2
|
2 2
|=0
1 1
𝑐 |=6 𝑐
33
=(−1)
3+3
|
2 1
|=1
1 1
𝑐
⇒𝐶=[
⇒adj
lOMoARcPSD|36782889
⇒𝐴
b)
𝑋𝐴
⇒𝑋𝐴
⇒𝑋 =
⇒𝑋 =
⇒𝑋 =
⇒𝑋 =
Hướng dẫn:
Ta có
1 1 1 2
det𝐵=| |
3 4 5 𝑚 0 1 2 𝑚−6
|=||
1 2 𝑚−6 1 2 𝑚−6
(𝑚−6)
Để ma trận không khả nghịch thì
det𝐵 =0
⇒2𝑚−10=0
⇒𝑚 =5
Câu 4: Cho hai ma trận 𝐶=[
1 1 2
] và 𝐷=[
𝑚 1 3
]. Tìm giá trị của 𝑚 ể 𝐶 tương ương dòng
1 2 2 1 0 2
với 𝐷.
Hướng dẫn:
Ta có
Câu 3
:
Tìm giá tr
ị
c
ủ
a
𝑚
ể
ma tr
ậ
n
𝐵=[
1112
2322
2441
345
𝑚
]
không kh
ả
ngh
ị
ch.
lOMoARcPSD|36782889
𝐶=[
Để 𝐷 là ma trận tương ương dòng của 𝐶 thì
𝑚=
Câu 5: Cho 𝐴 là một ma trận thỏa iều kiện 𝐴
⊤
𝐴=𝐴. Chứng minh rằng 𝐴 là ma trận ối xứng và 𝐴
3
=𝐴.
Hướng dẫn:
Ta có
𝐴
⊤
=(𝐴
⊤
𝐴)
⊤
=𝐴
⊤
(𝐴
⊤
)
⊤
=𝐴
⊤
𝐴=𝐴
Vậy 𝐴 là ma trận ối xứng. Vậy suy ra
𝐴
⊤
𝐴 =𝐴
⇒𝐴∙𝐴=𝐴
⇒𝐴
2
=𝐴
Ta lại có
VT =𝐴
3
=𝐴
2
∙𝐴=𝐴∙𝐴=𝐴
2
=𝐴= VP (pcm)
| 1/4
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoARcPSD| 36782889
Câu 1: Cho tham số 𝑚 và hệ phương trình tuyến tính sau 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 =3 {4𝑥1 +3𝑥2 −2𝑥3 + 𝑚𝑥4 =7
6𝑥1 +4𝑥2 −2𝑥3 +(𝑚+1)𝑥4 =11
a) Giải hệ phương trình khi 𝑚=2.
b) Tìm iều kiện của 𝑚 ể hệ phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn: a)
Với 𝑚=2. Áp dụng Gauss-Jordan ta có 𝑑 𝑑 → Vậy ta có Hệ phương trình vô nghiệm thì 𝑥 = 4− 𝛼 𝑥 =−1+2𝛼 1−𝑚=0 { 𝑥 ⇒𝑚 =1 𝑥 Vậy với 𝑚=1 thì hệ b) phương trình vô nghiệm. Áp dụng Gauss ta có 1 1 −1 0 1 1 −1 0 1 1 −1 0 4 3 −2 𝑚 | → &[0 −1 2 𝑚 0 −1 2 𝑚 2 1 2
Câu 2: Cho ma trận 𝐴=[1 1 1]. 1 3 0
a) Chứng tỏ 𝐴 khả nghịch và tìm ma trận nghịch ảo của 𝐴.
b) Tìm ma trận 𝑋 thỏa iều kiện 𝑋𝐴 . Hướng dẫn: a)
Cách 1: Dùng biến ổi sơ cấp lOMoARcPSD| 36782889 𝑑 → 𝑑 →
Vậy ma trận 𝐴 khả nghịch và 3 −6 1 𝐴−1 =[−1 2 0] −2 5 −1
Cách 2: Dùng ịnh thức Ta có det𝐴=| Vậy
. Nên ma trận 𝐴 khả nghịch.
Xét ma trận phụ hợp của 𝐴 bằng cách tìm các giá trị 𝑐𝑖𝑗 như sau 𝑐𝑖𝑗 𝑖+𝑗 det𝐴 𝑐
|=−3 𝑐23 =(−1)2+3 |2 1|=−5 1 3 𝑐
|=1 𝑐31 =(−1)3+1 |1 21 1|=−1 ⇒𝑐 |=2 𝑐32 =(−1)3+2 |2 2|=0 1 1 𝑐 |=6 𝑐33 =(−1)3+3 |2 1|=1 1 1 𝑐 ⇒𝐶=[ ⇒adj lOMoARcPSD| 36782889 ⇒𝐴 b) 𝑋𝐴 ⇒𝑋𝐴 ⇒𝑋 = ⇒𝑋 = ⇒𝑋 = ⇒𝑋 = 1112 2322
Câu 3 : Tìm giá tr ị c ủ a 𝑚 ể ma tr ậ n 𝐵=[ ] không kh ả ngh ị ch. 2441 345 𝑚 Hướng dẫn: Ta có 1 1 1 2 det𝐵=| | 3 4 5 𝑚 0 1 2 𝑚−6 |=|| 1 2 𝑚−6 1 2 𝑚−6 (𝑚−6)
Để ma trận không khả nghịch thì det𝐵 =0 ⇒2𝑚−10=0 ⇒𝑚 =5
Câu 4: Cho hai ma trận 𝐶=[1 1 2] và 𝐷=[𝑚 1 3]. Tìm giá trị của 𝑚 ể 𝐶 tương ương dòng 1 2 2 1 0 2 với 𝐷. Hướng dẫn: Ta có lOMoARcPSD| 36782889 𝐶=[
Để 𝐷 là ma trận tương ương dòng của 𝐶 thì 𝑚=
Câu 5: Cho 𝐴 là một ma trận thỏa iều kiện 𝐴⊤𝐴=𝐴. Chứng minh rằng 𝐴 là ma trận ối xứng và 𝐴3 =𝐴. Hướng dẫn: Ta có
𝐴⊤ =(𝐴⊤𝐴)⊤ =𝐴⊤(𝐴⊤)⊤ =𝐴⊤𝐴=𝐴
Vậy 𝐴 là ma trận ối xứng. Vậy suy ra 𝐴⊤𝐴 =𝐴 ⇒𝐴∙𝐴=𝐴 ⇒𝐴2 =𝐴 Ta lại có
VT =𝐴3 =𝐴2 ∙𝐴=𝐴∙𝐴=𝐴2 =𝐴= VP ( pcm)