Đề thi ôn tập giải tích phần 2 | Đại học Bách khoa Hà Nội

lOMoARcPSD|36442750
ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH I – Học kì 20201
ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH I – Học kì 20201
Mã HP: MI1111. Nhóm ngành 1. Thời gian: 90 phút
Mã HP: MI1111. Nhóm ngành 1. Thời gian: 90 phút
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải kí xác nhận số
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải kí xác nhận số
đề vào bài thi
đề vào bài thi
Câu 1. (1đ) Xét tính chẵ y  ln 2 x 1  x
Câu 1. (1đ) Xét tính tuầ n, lẻ của hàm số .
n hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số 3
y  cos x  cos 2x. ln1  2arcsin x
Câu 2. (1đ) Tính giới hạn lim .  2 0 ex x  cos x 1 tan x 1
Câu 2. (1đ) Tính giới hạn lim .
x  t3  t 2 x 0  x sin x
Câu 3. (1đ) Cho đường cong cho bởi 
. Tính hệ số góc của tiếp
 y  t4  t
Câu 3. (1d) Hàm số y(x) cho bởi phương trình tham số:
tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ bằng 3.
 x 1 4arctan t  . xdx y  4 t  3 2 t  4t  2
Câu 4. (1đ) Tính tích phân   . 3  2x  2 x Tính y' ). 1 (
Câu 5. (1đ) Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi quay hình giới hạn dx
Câu 4. (1đ) Tính tích phân  . bởi các đường 2
y  x , y  1 quanh đường thẳng y  2 một vòng. (2  x) 1 x  arctan xdx 3 Câu 6.
Câu 5. (1đ) Tính diện tích mặt tròn xoay sinh ra khi quay cung y  x ,
(1đ) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng .  3 4 x  0  x  1 0 3 4x
quanh Ox một vòng.
Câu 7. (1đ) Cho hàm số  (cos x  ) 1 dx
Câu 6. (1đ) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng .   2 2 x   x arctan x ln 1 ( 2x)
k hi (x, y)  ( ) 0 , 0 0
f (x, y)   2 x  3 2 y
Câu 7. (1đ) Dùng vi phân toàn phần để 
tính gần đúng giá trị của biểu thức  0
k hi (x, y)  ( ) 0 , 0 3 A  ) 04 , 1 ( 3  ) 97 , 1 ( 2  . 3 f  f  Tính  0, 0 ,  0, 0 . Câu 8. (1đ) Tìm cự  c trị của hàm số 2 x 3 z  e y 8 ( 2
x  6xy  3 2 y ) trên miền x  y   1  2 2 2 Câu 8. (1đ) Tìm cự  D  x y  R x  y 
c trị của hàm số z  e x x  2 2 y  y . (  , ) : .   4 
x  x  x  ...  x
Câu 9. (1đ) Cho lim x  .
a Tính giới hạn lim 1 2 3 n .
Câu 9. (1đ) Cho x  0 với mọi và lim x  . a Tính giới hạn n n n n n n n n
Câu 10. (1đ) Xét tính liên tục đề lim x x ...x . u của hàm số 2
y  sin x trên ℝ. 1 2 n n 1   nếu 2 x (n)
Câu 10. (1đ) Cho hàm số y( )  e x . Tính y ( ). 0  nếu  0
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
ĐỀ THI THỬ CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH I – Học kì 20201
ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH I – Học kì 20193
Mã HP: MI1111. Nhóm ngành 1. Thời gian: 90 phút
Mã HP: MI1111. Nhóm ngành 1. Thời gian: 90 phút
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải kí xác nhận số
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải kí xác nhận số
đề vào bài thi
đề vào bài thi
Câu 1. (2đ) Tính giới hạn:
Câu 1. (1đ) Tìm chu kì của hàm số y  3cos5x  4sin5 . x xy Câu 2. (2đ) Tính lim 2 n (n n 1
x   x ), x  0 lim . a) b) n ( x, y)(0,0) xy  4 3  xy  8 3 cos x 1 a) lim . b) ln 2
x  x  2 . dx
Câu 2. (1đ) Tính giới hạn của tổng sau x0 sin2 x  1 1 1 1  1 x x I  lim n    ... 
Câu 3. (1đ) Xét sự hội tụ, phân kì của tích phân .  dx 2 2  n n (n  )( 1 n  2 ) m (n  )( 2 n  4 ) m 2n 1 (  2 ) m  x 0 1  cos
với m là tham số. 2  4 x Câu 4. (1đ) Tính 2 lim . 2 4 Câu 3. dx ( x, y)(0,0)  (2đ) Tính .  x y
1  sin x  cos x 0
Câu 5. (1đ) Tìm cực trị của hàm số 4 4
z  x  y  2 2 x  2 2 y .
Câu 4. (1đ) Tính thể tích vật thể khi quay hình giới hạn bởi đồ thị
Câu 6. (1đ) Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số (x  ) 2 2 2
 y 1 quanh trục . Oy 1   x  1
Câu 5. (1đ) Xét tính hội tụ, phân kì của tích phân y  arctan  .  x   xdx . 
Câu 7. (1đ) Phương trình (x  y)z  xyz e
 0 xác định hàm ẩn z  z( , x y). 3 2 4 3 5 4  x  x  x  1 2 . 3 . 4 . 5 x Tính dz ). 1 , 0 ( x z
Câu 6. (1đ) Tính vi phân cấp 1 và cấp 2 của hàm số  ln  . 10
Câu 8. (1đ) Cho hàm số f (x) khả tích trên   1 , 0 , f (x)  , 1 x   1 , 0 . z y 2 1 1 05 , 1   Câu 7. 2
(1đ) Tính gần đúng: arctan . Chứng minh rằng
1  f (x)dx  1  f (x)dx .     99 , 0 0  0 
Câu 8. (1đ) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sau:
Câu 9. (1đ) Cho hàm số f (x) liên tục trên   1 , 1
và thỏa mãn điều kiện:
u  x  y  z với 2 2
x  y  z  . 1 1 f (x)  x  2 2  x f  3
x . Tính I  f (x) .  dx   2 1 sin Câu 9. x (1đ) Tính tích phân:  . dx sin x  cos x 0
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH I – Học kì 20193
ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ – Học kì 20201
Mã HP: MI1111. Nhóm ngành 1. Thời gian: 90 phút
Mã HP: MI1141. Nhóm ngành 1. Thời gian: 90 phút
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải kí xác nhận số
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải kí xác nhận số
đề vào bài thi
đề vào bài thi
Câu 1. (1đ) Tìm chu kì của hàm số y  4cos5x  3sin5 . x
Câu 1. Cho ánh xạ ℝ ℝ xác định bởi ( ) , ℝ Câu 2. (2đ) Tính Tìm điề
u kiện cho để ánh xạ là đơn ánh. Câu 2. 3
Giải phương trình phức ( ) cos x 1 a) lim . b) ln 2
x  x  2 . dx Câu 3. x0 tan2 x
Trong không gian , -, cho các vectơ , , 1 Đặt * + Câu 3. (1đ) Xét sự x x
hội tụ, phân kì của tích phân .  dx x
a) Tìm số chiều và một cơ sở của 0 1  cos 3
b) Xác định để vectơ thuộc 4 y
Câu 4. Cho ánh xạ ℝ ℝ xác định bởi Câu 4. (1đ) Tính lim . 4
( x, y)(0,0) x  y2 ( ) ( )
Câu 5. (1đ) Tìm cực trị của hàm số 4 4
z  x  y  2 2 x  2 2 y .
a) Tìm để là phép biến đổi tuyến tính.
Câu 6. (1đ) Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số
b) Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của khi 1  
c) Cho tích vô hướng trong ℝ là tích vô hướng chính tắc. Khi , tìm x  1 y  arctan  . 
một cơ sở trực chuẩn của ℝ để ma trận của theo cơ sở đó là ma trận x 
đường chéo. Chỉ ra ma trận của theo cơ sở đó.
Câu 7. (1đ) Phương trình (x  y)z  xyz e
 0 xác định hàm ẩn z  z( , x y).
Câu 5. Trong không gian Euclide ℝ với tích vô hướng được cho bởi: Tính dz ). 1 , 0 (
〈 〉 ( ) ( ) cho các vectơ
Câu 8. (1đ) Cho hàm số f (x) khả tích trên   1 , 0 , f (x)  , 1 x   1 , 0 . ( ) ( ) ( ) 2 1 1  
a) Tìm một cơ sở của không gian * ℝ + Chứng minh rằng 1 2
 f (x)dx  1 f (x)dx .    
b) Tìm vectơ * + sao cho trực giao với và ‖ ‖ √ 0  0 
Câu 6. Cho ma trận vuông cấp 4: [
Câu 9. (1đ) Cho hàm số ], với và là
f (x) liên tục trên  1 , 1
và thỏa mãn điều kiện:
một giá trị riêng của Chứng minh rằng nếu là số hữu tỉ thì là số 1 f (x)  4 2 2
 x  x f  3
x . Tính I  f (x) .  dx nguyên. 1 
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ – Học kì 20201
ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ – Học kì 20201
Mã HP: MI1141. Nhóm ngành 1. Thời gian: 90 phút
Mã HP: MI1141. Nhóm ngành 1. Thời gian: 90 phút
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải kí xác nhận số
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải kí xác nhận số
đề vào bài thi
đề vào bài thi
Câu 1. Cho ánh xạ xác định bởi ( ) (√ ) Xác định tập
Câu 1. Cho các tập hợp thỏa mãn Chứng minh rằng nghịch ảnh (* +) ( ) ( ) Câu 2. Câu 2.
Cho các tập con của tập và ( ) Chứng minh rằng
Giải phương trình phức: ( ) ( )
Câu 3. Trong ℝ cho các vectơ ( ), ( ),
Câu 3. Trong ℝ cho các vectơ ( ), ( ), ( ), ( ) Đặt * + * + ( ), ( )
a) Tìm hạng của hệ vectơ * +
a) Vectơ có thuộc * + không? Tại sao?
b) Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con
b) Đặt * + * + Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con , với * +
Câu 4. . Cho toán tử tuyến tính , - , - có ma trận [ ]
Câu 4. Cho toán tử tuyến tính , - , - thỏa mãn: theo cơ sở * ( ) + ( ) ,
a) Tìm một cơ sở của , - để ma trận của theo cơ sở đó là ma trận đường ( ) ,
chéo. Chỉ rõ ma trận của theo cơ sở đó. ( ) .
b) Tìm ma trận của theo cơ sở chính tắc * +
a) Tìm ma trận của đối với cơ sở chính tắc của Câu 5. , -
Cho không gian Euclide , - với tích vô hướng xác định bởi:
b) Tìm các giá trị riêng của vectơ riêng của
〈 〉 ( ) ( ) cho các vectơ Câu 5. ( ) ( ) ( )
Cho không gian Euclide , - với tích vô hướng xác định bởi:
a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của * + 〈 〉 ∫ ( ) ( ) b) Tìm vectơ , - sao cho ( ) với mọi
Câu 6. Cho là hai ma trận trực giao cấp thỏa mãn
Tìm hình chiếu trực giao của vectơ lên không gian Chứng minh rằng ( ) * +
Câu 6. Cho là ma trận vuông cấp 2021 thỏa mãn ( ) Chứng
minh rằng là ma trận phân đối xứng, tức là
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
ĐỀ THI THỬ CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ – Học kì 20201
ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ – Học kì 20193
Mã HP: MI1141. Nhóm ngành 1. Thời gian: 90 phút
Mã HP: MI1141. Nhóm ngành 1. Thời gian: 90 phút
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải kí xác nhận số
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải kí xác nhận số
đề vào bài thi
đề vào bài thi
Câu 1. (1đ) Chứng minh hai mệnh đề sau tương đương
Câu 1. (1đ) Cho ánh xạ ℝ ℝ, ( ) và tập * + Xác ( ) ( ) ( ) và định ( ) và ( )
Câu 2. (1đ) Tìm số phức thỏa mãn: | | ( )
Câu 2. (2đ) Cho hệ phương trình { ( )
Câu 3. (1đ) Cho ánh xạ tuyến tính , - được cho bởi:
a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử Gauss với ( ) [ ( ) ]
b) Tìm để hệ phương trình có vô số nghiệm.
a) Tìm để là đơn cấu.
Câu 3. (3đ) Cho ánh xạ tuyến tính ℝ ℝ xác định bởi
b) Cho Tìm cơ sở của ( ) ( ) ( )
Câu 4. (1đ) Giải hệ phương trình sau và tìm số chiều của không gian
a) Tìm ma trận của trong cơ sở chính tắc của ℝ nghiệm: b) Tìm {
c) Véctơ ( ) có thuộc không? Tại sao?
Câu 4. (2đ) Chéo hóa ma trận [ ] biết rằng là các giá trị riêng
Câu 5. (1,5đ) Chéo hóa trực giao ma trận [ ] của nó. Câu 5. (1,5đ)
Câu 6. (1,5đ) Cho ma trậ
Cho không gian Euclide ℝ với vô hướng chính tắc. Cho n [ ] với ℝ *( ) ( ) ( )+
Ma trận có khả nghịch không? Nếu khả nghịch, tìm
a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của .
Câu 7. (1đ) Tính ( ) biết
b) Tìm hình chiếu trực giao của ( ) lên ( )
Câu 6. (0,5đ) Cho là một ma trận thực vuông. Chứng minh rằng {
( ) ở đó là ma trận đơn vị cùng cấp với . [ ]
Câu 8. (1đ) Cho và là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn: ,
và Chứng minh ( ) khả nghịch.
Câu 9. (1đ) Chứng minh rằng nếu là ma trận vuông cấp trong một trườ
ng bất kì thỏa mãn thì: ( ) ( )
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)