Đề thi số 1 môn Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội

Đề thi số 1 môn Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống

43 22 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số tuyến tính( MATH 231A)

Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội

Thông tin:

12 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
λ
f λ λ
P
f
(x)
R
3
x
0
1
= x
1
− 2x
2
+ x
3
x
0
2
= x
1
− 2x
2
+ x
3
x
0
3
= x
1
− 2x
2
+ x
3
x
0
1
= 3x
1
+ 2x
2
+ x
3
x
0
2
= 2x
1
+ 2x
2
+ x
3
x
0
3
= x
1
+ x
2
+ x
3
A
det A 6= 0
A
−1
A = (a Mat
ij
) ∈ (n, R)
a
ij
=
b...i 6= j
a...i j=
E
f ∈ End(E), Rankf =
1 , Dim E = n λ ∈ K
f
2
= λf
λ 6= 1 Id f
E
−
B A B
Det (A + B) = Det A
f
V α
1
, α
2
, ..., α
m
λ
1
, λ
2
, ..., λ
m
α
1
, α
2
, ..., α
m
f V
f
2
= f
f
R
3
a
)
x
0
1
= x
1
+ x
2
+ x
3
x
0
2
= x
1
− x
2
+ x
3
x
0
3
= 3x
1
− x
2
+ 3x
3
b
)
x
0
1
= x
1
+ 2x
3
− x
3
x
0
2
= x
1
+ 2x
2
− x
3
x
0
3
= 2x
1
+ 4x
2
+ x
3
A = (a
ij
) ∈ Mat(n, R) a min
ij
= (i, j)
V K
f ∈ End(V ) Dim V =
n ≥ 1, Rank f = 1 λ ∈ K
f
2
= λf
λ 6= 1 Id f−
V
f ∈ End(V )
n
f
n
= Id
V
f
A p
A
p + 1
3x
1
+ 4 + 2 + 2 = 0x
2
+ x
3
x
4
3x
1
+ 5 + 3 + 2x
2
x
3
x
4
= 0
6x
1
+ 8 + 5 + 7 = 0x
2
+ x
3
x
4
3x
1
+ 5 + 3 + 7 + 5 = 0x
2
x
3
x
4
n
1 1 1 1...
0 1 1 1...
0 0 1 1...
. . . ... .
0 0 0 1...
X =
1 2 3 ... n
0 1 2 1... n −
0 0 1 2... n −
. . . ... .
0 0 0 1...
A
=
1 0 0
0 0 4
1 −1 4
C
C
−1
AC
V K
f ∈ End(V )
f
2
= 0
h ∈ End(V ) hf + f h = Id Ker f = Im f
f : V → V
V
Dim V = Dim (Kerf ) +
Dim (Imf)
f K V
f
2
= f
f
V
K, Dim V n= f ∈ End(V )
g ∈ End(V ) fgf f=
2x
1
− 5x
2
+ x
3
+ 2x
4
= 0
5x
1
− 9x
2
+ 2 + 7x
3
x
4
= 0
3 4x
1
− 7x
2
+ x
3
− x
4
= 0
4x
1
+ 6x
2
+ x
3
− λx
4
= 0
A n
ab
1
0
Det A =
n
P
i=0
a
k
b
n−k
a = 1, b = −1
n
(n > 0)
A n B
n
ABA A=
B A
V E, F
V
Dim E Dim F=
V E F
a λ
λx
+ y + x + t = a
3
x
+ λy + z + t = a
2
x
+ y + λz + t = a
2
x + y + z + λt = 1
A
∈ Mat(3, R , A) 6= 0, A
2
= 0
V = M ∈ M at(3, R) : AN + MA = 0
V
n
n
R
Mat(n)
Mat(n)
S(n) A = (a
ij
) ∈ Mat(n)
A
S(n)
R
Mat(n) S(n)
S(n) Mat(n)
V
R
n
End(V )
R
V
Mat(n)
End(V )
f
: R
3
→ R
3
f(x x
1
, x , x
2 3
) = (4x
1
− 5
2
+ 2x x
3
, ,5x x x
1
− 7
2
+ 3
3
6
1
− 9x x
2
+ 4
3
)
f
f
2x
1
− 3x
2
+ 5 + 7x
3
x
4
= 8
11x
1
+ 7 + 2x
2
x
3
+ x
4
= 16
−16x
1
− 23x
2
+ 11 + 19x
3
x
4
= 18
−x
1
− 22x
2
+ 23x
3
+ λx
4
= 40
λ = 3
K
P
n
n P
n
R
R
P
n
d : P
n
→ P
n
R
f
: R R
3
→
3
f(x x x x x
1
, x , x
2 3
) = (
1
+ 2
2
−
3
, 4x
1
+ 3x
2
− 5
3
, 2x x x
1
− 2
2
+ 7
3
)
f
x
0
1
= x
1
+ x
2
+ x
3
x
0
2
= −x
3
x
0
3
= x
2
λ
λx + y + z = 1
x + λy λ+ z =
x
+ y + λz = λ
2
R
3
(
−→
e
1
,
−→
e
2
,
−→
e
3
)
f
: R
3
→ R
3
x
0
1
= x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
x
0
2
= 2x
1
+ 2x
2
+ 4x
3
x
0
3
= x
1
+ x
2
+ 2x
3
Rank f
Ker f Im f
n
A
n
=
0 1 1 1...
1 0 1 1...
1 1 0 1...
. . . ... .
1 1 1 0...
Det A
n
A
n
λx − y − z = 1
−x + λy − z = λ
−
x − y + λz = λ
2
z
+
1
z
m
= 2 cos α
z
m
+
1
z
m
= 2 cos mα
x − y + 2z + 2u + v = 3
2x + y + 5 + 2 + 2z u v = 6
−x + 4y − 6u + v = −3
−2x − −4y − 4z u + v = −3
2x + 4 + 4 + 7y z u − v = 9
P
2
K(R, C)
1
, x, x
2
)
P
2
: f : P
2
→ P
2
f
(a a a+ bx + cx
2
) = + ( + b)x + (2a − 3b)x
2
f
Ker f, I m f
f
R
4
H(α) = xy − 2yt α = (x, y, z, t)
H
H
H
H
f K V
−→
α
1
,
−→
α
2
, ...,
−→
α
m
f
λ
1
, λ
2
, ..., λ
m
−→
α
1
,
−→
α
2
, ...,
−→
α
m
R
4
−→
α
1
=
(2
, 1, 3, −1);
−→
α
2
= (2, ,2 6, −2);
−→
α
3
= (6, , ,3 −9 3);
−→
α
4
= (1, , ,1 1 1);
−→
α
5
=
(2 1), 1, 5,
R
3
f
1 4 6
− − −3 7 7
4 8 7
−→
α
1
= (1, ,−1 1);
−→
α
2
= (1, 2, 0);
−→
α
3
= (0, 0, 1)
−→
α
= (
−→
α
1
,
−→
α
2
,
−→
α
3
)
R
3
f α
f
A n
A
2
− 3A + I
n
= 0
A
A
−1
A
| 1/12
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

λ f λ λ Pf (x) R3  x0  x0  1 = x1 − 2x2 + x3  1 = 3x1 + 2x2 + x3 x02 = x1 − 2x2 + x3 x02 = 2x1 + 2x2 + x3  x0  3 = x1 − 2x2 + x3 x03 = x1 + x2 + x3 A det A 6= 0 A−1 A = (aij) ∈ M at(n, R)  b...i 6= j aij = a...i = j E f ∈ End(E), Rankf = 1 , Dim E = n λ ∈ K f 2 = λf λ 6= 1 IdE − f B A B Det (A + B) = Det A f V α1, α2, ..., αm λ1, λ2, ..., λm α1, α2, ..., αm f V f 2 = f f R3  x0  x0  1 = x1 + x2 + x3  1 = x1 + 2x3 − x3 a) x02 = x1 − x2 + x3 b) x02 = x1 + 2x2 − x3  x0  3 = 3x1 − x2 + 3x3 x03 = 2x1 + 4x2 + x3 A = (aij) ∈ M at(n, R) aij = min(i, j) V K f ∈ End(V ) Dim V = n ≥ 1, Rank f = 1 λ ∈ K f 2 = λf λ 6= 1 Id − f V f ∈ End(V ) n f n = Id V f A p A p + 1
 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 + 2 = 0    3x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 = 0 6x x x  1 + 8 2 + x3 + 5 4 + 7 = 0 
 3x1 + 5x2 + 3x3 + 7x4 + 5 = 0 n  1 1 1 ... 1   1 2 3 ... n   0 1 1 ... 1   0 1 2 ... n − 1       0
0 1 ... 1  X =  0 0 1 ... n − 2       . . . ... .   . . . ... .  0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 1  1 0 0  A = C  0 0 4  1 −1 4 C−1AC V K f ∈ End(V ) f 2 = 0 h ∈ End(V ) hf + f h = Id Ker f = Im f f : V → V V Dim V = Dim (Kerf ) + Dim (Imf ) f K V f 2 = f f V K, Dim V = n f ∈ End(V ) g ∈ End(V ) f gf = f  2x1 − 5x2 + x3 + 2x4 = 0  
 5x1 − 9x2 + 2x3 + 7x4 = 0 3x1 − 7x2 + x3 − 4x  4 = 0 
 4x1 + 6x2 + x3 − λx4 = 0 A n ab 1 0 n Det A = P akbn−k i=0 a = 1, b = −1 n (n > 0) A n B n ABA = A B A V E, F V Dim E = Dim F V E F a λ  λx + y + x + t = a3    x + λy + z + t = a2 x + y + λz + t = a2    x + y + z + λt = 1
A ∈ M at(3, R), A 6= 0, A2 = 0
V = M ∈ M at(3, R) : AN + M A = 0 V n n R M at(n) M at(n) S(n) A = (aij) ∈ M at(n) A S(n) R M at(n) S(n) S(n) M at(n) V R n End(V ) R V M at(n) End(V ) f : R3 → R3
f (x1, x2, x3) = (4x1 − 5x2 + 2x3, 5x1 − 7x2 + 3x3, 6x1 − 9x2 + 4x3) f f
 2x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 = 8    11x1 + 7x2 + 2x3 + x4 = 16
−16x1 − 23x2 + 11x3 + 19x4 = 18  
 −x1 − 22x2 + 23x3 + λx4 = 40 λ = 3 K Pn n Pn R R Pn d : Pn → Pn R f : R3 R → 3
f (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3, 4x1 + 3x2 − 5x3, 2x1 − 2x2 + 7x3) f  x0  1 = x1 + x2 + x3 x02 = −x3  x03 = x2 λ  λx + y + z = 1  x + λy + z = λ  x + y + λz = λ2 R3 (− → e1 , − → e2 , − → e3 )  x0  1 = x1 + 2x2 + 3x3 f : R3 → R3 x02 = 2x1 + 2x2 + 4x3  x03 = x1 + x2 + 2x3 Rank f Ker f Im f  0 1 1 ... 1   1 0 1 ... 1  n A   n =  1 1 0 ... 1     . . . ... .  1 1 1 ... 0 Det An An  λx − y − z = 1  −x + λy − z = λ  −x − y + λz = λ2 z + 1 zm = 2 cos α zm + 1 zm = 2 cos mα  x − y + 2z + 2u + v = 3     2x + y + 5z + 2u + 2v = 6
 −x + 4y − 6u + v = −3 
 −2x − 4y − 4z − u + v = −3  
 2x + 4y + 4z + 7u − v = 9 P 2 K(R, C) 1, x, x2) P 2 : f : P 2 → P 2
f (a + bx + cx2) = a + (a + b)x + (2a − 3b)x2 f Ker f, I m f f R4 H(α) = xy − 2yt α = (x, y, z, t) H H H H f K V − → α1, − → α2, ..., −→ αm f λ − → 1, λ2, ..., λm α1, − → α2, ..., −→ αm R4 − → α1 = (2, 1, 3, −1); − → α2 = (2, 2, 6, −2); − → α3 = (6, 3, −9, 3); − → α4 = (1, 1, 1, 1); − → α5 = (2, 1, 5, 1)  1 4 6  R3 f  −3 −7 −7  4 8 7 − → α1 = (1, −1, 1); − → α2 = (1, 2, 0); − → α3 = (0, 0, 1) − → α = (− → α1, − → α2, − → α3) R3 f α f A n A2 − 3A + In = 0 A A−1 A