Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán bám sát đề minh họa - Đề 35
Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (Hình 35). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/mét. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2025 340 tài liệu
Môn: Toán 2.2 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ MINH HỌA
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2025 ĐỀ 35 MÔN: TOÁN Thời gian: 90 phút
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số ( ) 4x f x là x 1 4 4x 4x A. C. B. C. C. C. D. x 1 x 4 C. x 1 2 ln 2 x
Câu 2. Xét hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y x 4x 4 , trục tung, trục hoành và đường
thẳng x 3. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox . 33 33 A. 33. B. . C. . D. 33 5 5
Câu 3: Thống kê điểm kiểm tra giữa kỳ môn Toán của 30 học sinh lớp 11C5 được ghi lại ở bảng sau: Điểm 2;4 4;6 6;8 8;10 Số học sinh 4 8 11 7
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu? 73 70 72 73 A. . B. . C. . D. . 10 11 11 12
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A2;1; 3 , B 1;0; 1 , C 1 ;1;2 . Phương
trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC ? x 2 t A. y 1 t .
B. x 2 y z 0 . z 3t x 2 y 1 z 3 x 1 y z 1 C. . D. . 2 1 1 2 1 1
Câu 5. Đường cong trong hình vẽ sau là của đồ thị của hàm số nào ? y 2 -1 x 1 O 2x 1 2 x 3x 1 x 2 A. y . B. 3
y x 3x 2 . C. y y . x 1 x . D. 1 x 1
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình 2x 1 là A. ;0 . B. (;1) . C. (2; ) . D. (1; 7) .
Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
P:2x y z 3 0?
A. n 2; 1; 1 .
B. n 2;1;1 .
C. n 2; 1;3 . D. n 1 ;1;3 . 4 3 2 1
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABCD) . Phát
biểu nào sau đây sai?
A. CD (SBC) .
B. SA ( ABC) .
C. BC (SAB) .
D. BD (SAC) .
Câu 9. Nghiệm của phương trình 2x 1 3 27 là A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 1.
Câu 10. Cho cấp số cộng (u ) có u 8 và công sai d 3. Số hạng u của cấp số cộng là n 1 2 8 A. . B. 24 . C. 5 . D. 11. 3
Câu 11. Cho hình hộp ABCD ABCD
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. AB AC AD . B. AB AD AC . C. AA AC AC .
D. AA AB AD AC .
Câu 12. Cho hàm số y f x có đồ thị như Hình 1.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 0; 1 . B. 1;2 . C. 1 ;0 . D. 1 ; 1 .
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số f x 2sin x x
a) f 0 0; f 2 . 2 2
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f ' x 2 cos x 1.
c) Nghiệm của phương trình 2
f ' x 0 trên đoạn ; là . 2 3
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn ; là 2 . 2 2
Câu 2. Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách
điểm nhập làn 240 m , tốc độ của ô tô là 28,8 km/h . Bốn giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ
v(t) at b (m/s) với (a, b
, a 0) , trong đó là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 16 giây và duy trì sự tăng tốc trong 30 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 208 m.
b) Giá trị của là 8.
c) Quãng đường S (t) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian giây (0 t 30) kể từ khi tăng tốc 30
được tính theo công thức S(t) v(t)dt . 0
d) Sau 30 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là .
Câu 3. Một kho hàng có 85% sản phẩm loại I và 15% sản phẩm loại II, trong đó có 1% sản phẩm loại I
bị hỏng, 4% sản phẩm loại II bị hỏng. Các sản phẩm có kích thước và hình dạng như nhau. Một khách hàng
chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm
a) Xác suất để không chọn được sản phẩm loại I là 0,85 .
b) Xác suất chọn được sản phẩm không bị hỏng trong số các sản phẩm loại I là 0,99.
c) Xác suất chọn được sản phẩm không bị hỏng là 0,9855 .
d) Xác suất chọn được sản phẩm loại I mà không bị hỏng là 0,95 .
Câu 4. Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn
7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi
những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một
hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6630 km so với mực nước
biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6370 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian có gốc
O tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt)
chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm M 6;15; 2
sau một thời gian vị trí đầu
tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm A5;12;0 . x y z
a) Đường thẳng AM có phương trình chính tắc là 5 12 . 1 3 2
b) Trên hệ tọa độ đã cho thiên thạch di chuyển qua điểm N 7;18; 5 .
c) Vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 6 39 82 B ; ; . 7 7 7
d) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi
của hệ thống quan sát là 21915km (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị ki-lô-mét).
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hình lăng trụ AB .
C ABC có đáy là tam giác đều cạnh
3 . Hình chiếu vuông góc của A
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và
BC bằng 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ AB .
C ABC (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). 4
Câu 2. . Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con
sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (Hình 35). Đối với mặt
hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/mét, còn đối với ba mặt
hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật kiệu là 50 000 đồng/mét, mặt giáp bờ sông
không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.
Câu 3. Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera
có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột
cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết
kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1m), các đỉnh của
bốn chiếc cột lần lượt là các điểm M 90;0;30, N 9 ( 0;1 20;30 ,
) P0;120;30, Q0;0;30 (Hình 34).
Giả sử K là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và K M K N K P K Q . Để theo dõi quả 0 0 0 0 0
bóng đến vị trí A , camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm K có cao độ bằng 19 1
(Nguồn: https:⁄/www.abiturloesumg.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie VI).
Biết rằng vecto K K có tọa độ là ( ; a ; b c); a, ,
b c . Khi đó a b c bằng bao nhiêu? 0 1
Câu 4. Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh
như hình vẽ bên dưới. Biết
chi phí để sơn phần tô đậm là
(đồng) và phần còn lại (đồng). Biết , và tứ giác là hình chữ nhật có
. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên (làm tròn đến hàng
phần chục, đơn vị triệu đồng) bằng B2 M N A1 A2 Q P B1
Câu 5. Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một
cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng
100 ti vi mỗi tuần. Nếu hàm chi phí hàng tuần là C x 12000 3x (triệu đồng) trong đó x là số ti vi
bán ra ở tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán (triệu đồng) như thế nào để lợi nhuận lớn nhất?.
Câu 6. Trong một nhà máy có 10% công nhân làm việc ở môi trường ô nhiễm và 15% công nhân mắc
bệnh đường hô hấp. Hơn nữa, có 1
số công nhân mắc bệnh đường hô hấp làm việc trong môi trường ô 3
nhiễm. Chọn ngẫu nhiên một công nhân của nhà máy. Biết người được chọn không mắc bệnh đường hô
hấp, tính xác suất người đó làm việc trong môi trường ô nhiễm (viết kết quả dưới dạng số thập phân và
làm tròn đến hàng phần trăm).
--------------------- HẾT --------------------- ĐÁP ÁN CHI TIẾT
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số ( ) 4x f x là: x 1 4 4x 4x A. C. B. . C C. C. D. x 1 x 4 . C x 1 2ln 2 x Lời giải Chọn B x 4x 4x 4x 4 dx C C C. 2 ln 4 ln 2 2 ln 2
Câu 2: Xét hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y x 4x 4 , trục tung, trục hoành và đường
thẳng x 3. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox . 33 33 A. 33. B. . C. . D. 33 5 5 Lời giải: Chọn C 3 33 Ta có: 4 V ( 2) d x x . 0 5
Câu 3: Thống kê điểm kiểm tra giữa kỳ môn Toán của 30 học sinh lớp 11C5 được ghi lại ở bảng sau: Điểm 2;4 4;6 6;8 8;10 Số học sinh 4 8 11 7
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu? 73 70 72 73 A. . B. . C. . D. . 10 11 11 12 Lời giải
Gọi x ; x ; ...; x là điểm số của 30 học sinh xếp theo thứ tự không giảm. 1 2 30
Ta có: x ,..., x 2; 4 ; x ,..., x 4;6 ; x ,..., x 6;8 ; x ,..., x 8;10 nên trung vị của mẫu số 1 4 5 12 13 23 24 30 liệu 1
x ; x ;...; x là
x x 6;8 . 15 16 1 2 30 2
Ta xác định được: n 30; p 3; n 11; m m 4 8 12; u 6; u 8. 3 1 2 3 4 30 12
Vậy trung vị của mẫu số liệu trên là: M 72 2 6 8 6 . e 11 11
Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A2;1;3 , B1;0; 1 , C 1 ;1;2 . Phương
trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC ? x 2t
A. y 1 t .
B. x 2y z 0 . z 3 t x 2 y 1 z 3 x 1 y z 1 C. . D. . 2 1 1 2 1 1 Lời giải Chọn C
Đường thẳng đi qua A và song song BC nhận BC 2 ;1; 1 làm vectơ chỉ phương x y z
Phương trình đường thẳng cần tìm: 2 1 3 . 2 1 1
Câu 5: Đường cong trong hình vẽ sau là của đồ thị của hàm số nào ? y 2 -1 x 1 O 2x 1 2 x 3x 1 x 2 A. y . B. 3
y x 3x 2 . C. y y . x 1 x . D. 1 x 1 Lời giải Chọn A
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình 2x 1 là: A. ;0 . B. ( ; 1). C. (2; ) . D. (1; 7) . Lời giải Chọn A Ta có: x x 0
2 1 2 2 x 0
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ;0 .
Câu 7: Trong không gian tọa độ Oxyz, vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
P:2x y z 3 0?
A. n 2; 1; 1 .
B. n 2;1;1 .
C. n 2; 1;3 . D. n 1 ;1;3 . 4 3 2 1 Lời giải Chọn A
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC ) D .
Phát biểu nào sau đây sai?
A. CD (SBC) .
B. SA ( ABC) .
C. BC (SAB) .
D. BD (SAC) . Lời giải Chọn A
Vì BC vuông góc với AB và SA nên BC vuông góc với mặt phẳng (SAB)
Câu 9: Nghiệm của phương trình 2x 1 3 27 là A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn D
Câu 10: Cho cấp số cộng (u ) có u 8 và công sai d 3 . Số hạng u của cấp số cộng là n 1 2 8 A. . B. 24 . C. 5 . D. 11. 3 Lời giải Chọn D
Câu 11: Cho hình hộp ABCD ABCD
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. AB AC AD . B. AB AD AC . C. AA AC AC .
D. AA AB AD AC . Lời giải Chọn C
Câu 12: Cho hàm số y f x có đồ thị như Hình 1.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 0; 1 . B. 1; 2 . C. 1 ;0 . D. 1 ; 1 . Lời giải Chọn B
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số f x 2sin x x
a) f 0 0; f 2 . 2 2
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f ' x 2 cos x 1.
c) Nghiệm của phương trình 2
f ' x 0 trên đoạn ; là . 2 3
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn ; là 2 . 2 2 Lời giải
a) Ta có: f 0 0; f 2 a (đúng). 2 2
b) f ' x 2cos x 1 b (sai ). c) f x 1 2 '
0 2cos x 1 0 cos x x
k2 ,k . 2 3 suy ra trên ;
phương trình có một nghiệm 2 . c (đúng ). 2 3 2 2 d) Ta có f 2 ; f 3 ; f
min f x d (sai). 2 2 3 3 ; 2
Câu 2. Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách
điểm nhập làn 240 m , tốc độ của ô tô là 28,8 km/h . Bốn giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ
v(t) at b (m/s) với (a,b , a 0) , trong đó là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 16 giây và duy trì sự tăng tốc trong 30 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 208 m. b) Giá trị của là 8.
c) Quãng đường S(t) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian giây (0 t 30) kể từ khi tăng tốc 30
được tính theo công thức S(t) v(t)dt . 0
d) Sau 30 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là .
Giải: KQ: Đ-Đ-S-Đ.
a) Tốc độ ban đầu của ô tô là 28,8 km/h = 8 m/s.
Quãng đường ô tô đi được trong 4 giây đầu tiên là: S 4.8 32m . 1
Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là: S 240 32 208m . Do đó a 2 đúng.
b) Thời điểm bắt đầu tăng tốc ta có v(0) b 8 b 8 . Do đó b đúng.
c) Quãng đường S(t) ô tô đi được trong thời gian t giây (0 t 30) kể từ lúc bắt đầu tăng tốc được ti hs t
theo công thức S(t) v(t)dt . Do đó c sai. 0
d) T có v(t) at 8(m/s) 16
Biết xe nhập làn sau 16 phút kể từ khi tăng tốc, nên ta có 5
208 (at 8)dt 128a 128 a 8 0 5
v(t) t 8 (m/s) 8 5 107
Tốc độ của ô tô sau 30 giây là v(30) .30 8
(m/s)=96,3(km/h) . Do đó đúng. 8 4
Câu 3. Một kho hàng có 85% sản phẩm loại I và 15% sản phẩm loại II, trong đó có 1% sản phẩm loại
I bị hỏng, 4% sản phẩm loại II bị hỏng. Các sản phẩm có kích thước và hình dạng như nhau. Một khách
hàng chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm
a) Xác suất để không chọn được sản phẩm loại I là 0,85 .
b) Xác suất chọn được sản phẩm không bị hỏng trong số các sản phẩm loại I là 0,99.
c) Xác suất chọn được sản phẩm không bị hỏng là 0,9855 .
d) Xác suất chọn được sản phẩm loại I mà không bị hỏng là 0,95. Lời giải a) S b) Đ c) Đ d) S
A : "Khách hàng chọn được sản phẩm loại ";
B "Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng". Khi đó:
a) Ta có: P A 0,85; P A 0,15; xác suất để không chọn được sản phẩm loại I là 0,15. Mệnh đề sai.
b) Xác suất chọn được sản phẩm không bị hỏng trong số các sản phẩm loại I là
P B | A 1 P B | A 1 0,01 0,99. Mệnh đề đúng.
c) Tìm xác suất chọn được sản phẩm không bị hỏng
P B | A 1 PB | A 1 0,04 0,96 .
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
P B P A.P B | A P A.PB | A 0,85.0,99 0,15.0,96 0,9855 . Mệnh đề đúng
d) Tính xác suất chọn được sản phẩm loại I mà không bị hỏng tức tính P A| B
P A .P B | A
Theo công thức Bayes, ta có: P A B 0,85.0,99 | . Mệnh đề sai. P B 0,854 0,95 0,9855
Câu 4. Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn
7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi
những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một
hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6630 km so với mực nước
biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6370 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian có gốc
O tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt)
chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm M 6;15; 2
sau một thời gian vị trí
đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm A5;12;0 . x y z
a) Đường thẳng AM có phương trình chính tắc là 5 12 . 1 3 2
b) Trên hệ tọa độ đã cho thiên thạch di chuyển qua điểm N 7;18; 5 .
c) Vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 6 39 82 B ; ; . 7 7 7
d) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi
của hệ thống quan sát là 21915km (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị ki-lô-mét). Lời giải a) Đ b) S c) Đ d) Đ
a) Đường thẳng AM có phương trình chính tắc là. Ta có AM 1;3; 2
là vectơ chỉ phương; đường thẳng lại đi qua A5;12;0 nên có phương trình x 5 y 12 z . Mệnh đề đúng. 1 3 2
b) Thiên thạch di chuyển qua điểm N 7;18; 5 .
Thay tọa độ điểm N 7;18; 5
vào phương trình AM ta được 7 5 18 12 5 5 2 2 vô lý. 1 3 2 2 Mệnh đề sai.
c) Vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là x 5 y 12 z B AM :
B5 t;12 3t; 2 t 1 3 2 .
Ngoài thực tế khoảng cách từ tâm trái đất đến vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi
theo dõi của hệ thống quan sát là 6370 6630 13000km ứng với 13 đơn vị trên hệ trục tọa độ, hay 2
OB 13 OB 169 .
t2 t2 t2 5 12 3 2 169 t 0 2
14t 82t 0 41 . t 7
Với t 0 B5;12;0 A vô lý 41 6 39 82 Với t B ; ;
. Mệnh đề đúng. 7 7 7 7
d) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi
của hệ thống quan sát là 21915km (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị ki-lô-mét). 2 2 2 6 39 82 41 14 Ta có AB 5 12 7 7 7 7 41 14
Khoảng cách thực tế là 1000AB 1000
21915km. Mệnh đề đúng. 7
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hình lăng trụ AB .
C ABC có đáy là tam giác đều cạnh
3 . Hình chiếu vuông góc của A
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và
BC bằng 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ AB .
C ABC (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). 4 Hướng dẫn giải M
là trung điểm của BC thì BC AA M . Gọi MH
là đường cao của tam giác A AM thì MH A A và HM BC nên HM là khoảng cách AA và BC . 2 3 3. 3 3 Ta có 2
A A HM A G AM A A A A 4 2 3 2 A A 4 2 A A 2 1 3A A 2 4 A A . 3 4 3
Đường cao của lăng trụ là A G 1 . 3 3 3 3.3 3 Thể tích V 0,75 . LT 3 4 4
Câu 2. Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con
sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (Hình 35). Đối với mặt
hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/mét, còn đối với ba mặt
hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật kiệu là 50 000 đồng/mét, mặt giáp bờ sông
không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào. Đáp số: 6250 Lời giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là y và x , x 0, y 0 .
Diện tích mảnh vườn là S xy .
Chi phí để rào mảnh vườn theo chữ E là : T 3 . x 50000 . y 60000 15000000 500 5x 500 5x
15x 6 y 1500 5x 2 y 500 y
x 100 S x . 2 2
Ta có S 250 5x 0 x 50 . Bảng xét dấu
Để diện tích mảnh vườn thu được sau khi rào lớn nhất thì x 50 y 125 .
Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là 6250 2 m .
Câu 3. Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di
động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử
dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau:
Trong hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm
M 90;0;30, N 9 ( 0;1 20;30 ,
) P0;120;30, Q0;0;30 (Hình 34). Giả sử K là vị trí ban đầu của camera 0 có cao độ
bằng 25 và K M K N K P K Q. Để theo dõi quả bóng đến vị trí A , camera được hạ thấp theo 0 0 0 0 phương thẳng
đứng xuống điểm K có cao độ bằng 19 (Nguồn: https:⁄/www.abiturloesumg.de; Abitur Bayern 2016 1 Geometrie VI).
Biết rằng vecto K K có tọa độ là ( ; a ; b ) c ; , a ,
b c . Khi đó a b c bằng bao nhiêu? 0 1 Lời giải Trả lời: 6 .
Cách 1: Ta có thể mô tả lại nội dung của bài theo hình vẽ sau:
Gọi M , N , P , K lần lượt là hình chiếu của M , N, ,
P K lên mặt phẳng Oxy. 1 1 1 0 Ta thấy MN .
PQ M N PO là hình hộp chữ nhật. Gọi K ' là giao hai đường chéo MP và NQ . 1 1 1
Khi đó K 'Q K ' P K ' N K 'M. Vì K M K N K P K Q và camera được hạ thấp theo phương 0 0 0 0
thẳng đứng từ điểm K xuống điểm K nên các điểm K ', K , K , K thẳng hàng. 0 1 0 1
Khi đó, các điểm K ', K , K , K có hoành độ và tung độ bằng nhau. 0 1
Theo bài ra, cao độ của K và K lần lượt là 25 và 19. Giả sử K ; x ;
y 25 và K ; x ; y 19 . 0 1 0 1 Ta có MN .
PQ M N PO là hình hộp chữ nhật nên K ' K OQ , suy ra cao độ của K ' bằng 30. 1 1 1 Do đó, K ' ; x ; y 30. Ta có K Q
OQ OK 30k xi y j 30k xi y j K Q ; x ; y 0 .
NK OK ' ON xi y j 30k 90i 120 j 30k (x 90)i (y 120) j
NK x 90; y 2 1 0;0.
Vì K ' là giao hai đường chéo của hình chữ nhật MNPQ nên K ' là trung điểm của . NQ
x x 90 x 45 Suy ra K Q
NK y y 120 . y 60 0 0
Do vậy, K 45; 60; 25 ;K 45; 60; 19 nên ta có 0 1
K K OK OK 45i 60 j 19k 45i 60 j 25k 6
k K K 0;0; 6 . 0 1 1 0 0 1
Do đó, a b c 6.
Cách 2: Ta có thể mô tả lại nội dung của bài theo hình vẽ sau:
Trong mặt phẳng OQNF :
Qua điểm K kẻ đường thẳng song song với NQ , đường thẳng này cắt O ,
Q NF lần lượt tại Q ; N . Khi 0 0 0
đó: Q 0;0;25 ; N 90;120;25 . 0 0
Trung điểm K của Q N có tọa độ: K 45;60;25 . 0 0 0 0
Qua điểm K kẻ đường thẳng song song với NQ , đường thẳng này cắt O ,
Q NF lần lượt tại Q ; N . Khi 1 1 1
đó: Q 0;0;19 ; N 90;120;19 . 1 1
Trung điểm K của Q N có tọa độ: K 45;60;19 . 1 1 1 1
Khi đó: K K 0;0; 6
P a bc 6 . 0 1
Cách 3: Từ giả thiết ta có
ngược hướng với vec tơ đơn vị trên trục là vec tơ và do độ dài đoạn nên nên ta có
Câu 4. Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh
như hình vẽ bên dưới. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là
(đồng) và phần còn lại (đồng). Biết , và tứ giác là hình ch ữ nhật có
. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên (làm tròn đến hàng phần
chục, đơn vị triệu đồng) bằng B2 M N A1 A2 Q P B1 Lời giải Đáp án 7, 3. y B2 3 M N 4 A1 O 1
A2 x Q P B1 2 2
Gọi phương trình chính tắc của elip x y E có dạng: 1 2 2 a b
A A 8 2a a 4 Với 1 2 x y 3 E 2 2 2 : 1 y 16 x . B B 6 2b b 3 16 9 4 1 2
Suy ra diện tích của hình elip là S
a b 2 . 12 m . E 3
Vì MNPQ là hình chữ nhật và MQ 3 M ; x E 2
Gọi S ; S lần lượt là diện tích phần bị tô màu và không bị tô màu 1 2 4 4 3 Ta có: 2 2 x4sin 4. 16 d 3 16 d t S x x x
x S 4 6 3 2 m 2 2 4 2 3 2 3 Suy ra: S S
S 8 6 3 . Gọi T là tổng chi phí. Khi đó ta có 1 E 2
T 4 6 3.100 8 6 3.200 7.322.000 (đồng). Từ đó làm tròn thành (triệu đồng).
Chú ý : Trong thực hành học sinh chỉ cần bấm máy tính ra được kết quả.
Câu 5. Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một
cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng
100 ti vi mỗi tuần. Nếu hàm chi phí hàng tuần là C x 12000 3x (triệu đồng) trong đó x là số ti vi
bán ra ở tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán (triệu đồng) như thế nào để lợi nhuận lớn nhất?. Lời giải Đáp án: 8
Sau khi giảm n lần (Mỗi lần 500 nghìn đồng) n 0 thì:
Mỗi ti vi có giá 14 0,5n (triệu đồng)
Số tivi bán ra mỗi tuần x 1000 100n (cái)
Chi phí hàng tuần: C x 12000 3x 12000 31000 100n 3 00n 9000
Lợi nhuận thu được mỗi tuần là: L n n n 2 14 0,5 1000 100 300 9000 5
0n 1200n 5000
Cách 1. Tìm tọa độ đỉnh của parabol S 12;12200
Lợi nhuận lớn nhất là 12200 (triệu đồng) khi n 12
Khi đó, giá mỗi ti vi là: 14 0, 5n 14 0, 5.12 8 (triệu đồng).
Cách 2. L '(x) 1 00n 1200
L '(x) 0 1
00n 1200 0 n 12
Sau đó vẽ bảng biến thiên, ta thấy max y 12200 khi n 12
Khi đó, giá mỗi ti vi là: 14 0,5n 14 0,5.12 8 (triệu đồng).
Câu 6: Trong một nhà máy có 10% công nhân làm việc ở môi trường ô nhiễm và 15% công nhân mắc
bệnh đường hô hấp. Hơn nữa, 1 có
số công nhân mắc bệnh đường hô hấp làm việc trong môi trường ô 3
nhiễm. Chọn ngẫu nhiên một công nhân của nhà máy. Biết người được chọn không mắc bệnh đường hô
hấp, tính xác suất người đó làm việc trong môi trường ô nhiễm (viết kết quả dưới dạng số thập phân và
làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp án : 0,06
Gọi H là biến cố công nhân được chọn mắc bệnh đường hô hấp;
A là biến cố công nhân được chọn làm việc ở môi trường ô nhiễm. 1 P(H) = 0,15; P( )
A 0,1 và P( A | H ) 3
Theo công thức xác suất toàn phần, P( )
A P( A | H )P(H ) P( A | H )P(H ). Tức là 1 0,1
0,15 P(A | H ) 0,85. 3
Biết người được chọn không mắc bệnh đường hô hấp, xác suất người đó làm việc trong môi trường ô nhiễm là 1
P( A | H ) . 17