Trang 1/4 - Mã đề 0101
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2025
BÀI THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 90 phút
(Đề có 4 trang)
Họ tên : ............................................................... Số báo danh : ...................
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông,
SA
vuông góc với
( )
ABCD
. Vectơ
BD

vuông góc
với vectơ nào sau đây?
S
C
B
A
A.
SB

. B.
CD

. C.
SC

. D.
AD

.
Câu 2: H tất cả các nguyên hàm của hàm số
e cos
x
yx= +
A.
e sin .
x
xC−− +
B.
e sin .
x
xC−+ +
C.
e sin .
x
xC−+
D.
e sin .
x
xC
++
Câu 3: Cho trước 5 chiếc ghế xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp ba bn
,,ABC
vào 5 chiếc ghế đó
sao cho mỗi bạn ngồi một ghế
A.
3
5
C
. B.
15
. C.
6
. D.
3
5
A
.
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
( )
1;0;0A
,
( )
0; 2;0B
( )
0;0;3C
A.
1
1 23
xyz
+ +=
. B.
0
1 23
xyz
+ +=
. C.
1
1 23
xyz
+ +=
. D.
1
123
xyz
++=
.
Câu 5: Nghiệm của phương trình
2
3 27
x
+
=
A.
1x =
. B.
3x =
. C.
2
x =
. D.
1
x =
.
Câu 6: Khảo sát trọng lượng của một số quả mít được trồng trong một nông trường ta có số liệu sau:
Độ lệch chuẩn của mẫu số liu trên bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A.
4,80
. B.
2, 20
. C.
8, 72
. D.
2,19
.
Câu 7: Cho cấp số nhân
( )
n
u
có hai số hạng đầu tiên là
1
3u
=
2
6u =
. Giá trị của
3
u
bằng
A.
3
. B.
18
. C.
12
. D.
15
.
Câu 8: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
22 2
:1 1 29Sx y z+ + ++ =
. Điểm nào dưới đây
thuộc mặt cầu
(
)
S
?
A.
( )
1; 1;2M
. B.
( )
3;1;1P −−
. C.
( )
1;1; 2N −−
. D.
( )
3;1;1Q
.
Câu 9: Cho khối lăng tr đứng diện tích đáy bằng
2
3a
, độ dài cạnh bên bằng
2a
. Th tích khối lăng
tr đã cho bằng
A.
3
2a
. B.
3
6a
. C.
3
3a
. D.
3
a
.
đề 0101
Trang 2/4 - Mã đề 0101
Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
1
6
log 2 1x >−
A.
( )
8; +∞
. B.
13
;
6

+∞


. C.
( )
2;8
. D.
13
2;
6



.
Câu 11: Đồ th hàm số
3
21
1
yx
x
= +−
+
có phương trình đường tiệm cận xiên là
A.
1
yx= +
. B.
21yx= +
. C.
21yx=
. D.
23yx=
.
Câu 12: Cho hàm số
( )
y fx
=
có bảng biến thiên như sau:
Giá tr cực đại của hàm số đã cho là
A. 3. B.
1
. C.
2
. D. 4.
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) mỗi câu, thí sinh chọn đúng
hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số
( )
( )
2
5 1e
x
fx x x= −+
.
a) Hàm s đã cho xác định với mọi
x
.
b) Giá tr
( )
e0f =
.
c) Phương trình
( )
0fx
=
có hai nghiệm phân biệt.
d) m s
( )
fx
đồng biến trên khoảng
( )
1; 4
.
Câu 2. Một quần thể vi khuẩn
( )
A
số ợng cá thể
( )
Pt
, trong đó
t
thời gian tính bằng phút kể từ
khi bắt đầu quan sát. Nghiên cứu cho thấy số ợng vi khuẩn
( )
A
thay đổi vi tc đ
( )
0,1 0,04
300e 200e
tt
Pt
= +
(cá thể/phút). Lúc bắt đầu quan sát, quần thể
( )
A
300000
vi khuẩn. Sau 15
phút, một quần thể vi khuẩn
( )
B
xuất hiện và có tốc đ tăng trưởng là
( )
0,2
500e
u
Qu
=
(cá thể/phút), với
u
thời gian tính bằng phút kể từ khi vi khuẩn
( )
B
xuất hiện. Sau khi vi khuẩn
( )
B
xuất hiện 9 phút thì số
ợng vi khuẩn hai quần th bằng nhau.
a)
( )
00P
=
.
b)
( )
3000000P =
.
c) Sau 24 phút kể từ khi bắt đầu quan sát, số ợng vi khuẩn
( )
A
333155
con (làm tròn đến hàng đơn vị).
d) S ợng vi khuẩn
( )
B
thời điểm bắt đầu xuất hiện không vượt quá
320000
con.
Trang 3/4 - Mã đề 0101
Câu 3. Trong không gian với h trc ta đ
,Oxyz
mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với đ dài
10 .km
Mt trạm theo dõi được đặt gc ta đ và có th phát hiện đưc các vt th cách nó một khoảng không quá
30 .
km
Mt UAV (thiết b bay không người lái) di chuyển theo đường thẳng từ vị trí
( )
4; 2;1A
đến vị trí
17
1; ;
22
B

−−


với với tốc độ không đổi là
80 |km h
.
a) Vectơ
55
5; ;
22
AB

=−−



.
b) Phương trình đường thẳng
AB
42
2, .
1
xt
y tt
zt
= +
=+∈
=
c) Vị trí đầu tiên UAV bị trạm theo dõi phát hiện là
(
)
0; 0;3 .
M
d) UAV bay qua vùng bị phát hiện trong khoảng thời gian ít hơn 18 phút.
Câu 4. Một nhóm nghiên cứu tiến hành khảo sát
10000
người nhận thấy những người hút thuốc
nguy bị ung tphổi cao hơn so với người không hút thuốc lá. Kết quả khảo sát của nhóm nghiên cứu
được trình bày trong bảng dữ liệu thống kê sau đây:
Chn ngẫu nhiên một người trong
10000
người được khảo sát.
a) Xác suất người đó hút thuốc lá là
11,24%.
b) Nếu người đó bị ung thư phổi thì xác suất người đó hút thuốc lá lớn hơn
80%.
c) Xác suất người đó bị ung thư phổi là
14%.
d) Dựa theo kết quả khảo sát trên ta thấy, người hút thuốc nguy mắc bệnh ung thư phi cao gp
khoảng
14
lần (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) so với người không hút thuốc lá.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy hình vuông cạnh bằng 2, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy
10
SA =
. Gọi
α
là số đo góc nhị diện
[ ]
,,S BD C
. Tính
cos
α
(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Câu 2. Để trang trí bc ờng trong một căn phòng, bạn Hoa vẽ lên ng
một hình như sau: Đầu tiên bạn v một hình lục giác đều cạnh bng
2dm
; sau đó, trên mỗi cạnh của hình lục giác v một cánh hoa hình parabol
đi qua hai đầu mút của cạnh, đỉnh parabol nằm phía ngoài hình lục giác
cách cạnh tương ng
3dm
; cuối cùng bạn vẽ một đường tròn đi qua tất c
các đỉnh của sáu parabol ở trên (xem hình vẽ).
Bạn Hoa màu phần nm giữa đường tròn các cánh hoa (phần màu xám
trong hình vẽ). Diện tích phần màu bao nhiêu
2
dm
? (làm tròn kết quả
đến hàng đơn vị).
Trang 4/4 - Mã đề 0101
Câu 3. Bác Hùng một khu vườn hình thang vuông
ABCD
với
45 , 30AB m AD m= =
. Bác ấy đã đào
một cái h để trồng sen, hồ được bao bởi cnh
BC
đường cong
BIC
một phần của parabol đỉnh
I
như hình vẽ.
D
A
I
B
C
Bác Hùng muốn làm một con đường đi từ điểm
M
trên cnh
AD
ra một điểm trên mép h sen ri li t
điểm đó tới một điểm trên cạnh
AB
.
Biết khoảng cách t
I
đến
AB
AD
tương ứng
20m
25m
, hỏi tổng chiều dài con đường đó ngắn
nhất là bao nhiêu mét?
Câu 4. Một công ty dự kiến chi 100 triệu đồng đ sản xuất các thùng đựng sơn hình tr dung tích 8 lít.
Chi phí để làm mặt xung quanh của thùng 125 nghìn đồng mỗi mét vuông, làm mặt đáy của thùng 150
nghìn đồng mỗi mét vuông. Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể, số thùng n tối đa công ty
đó có thể sản xuất được là bao nhiêu?
Câu 5. Xét một chiếc bàn phẳng, hai viên bi hình cầu đưc đặt trên mặt bàn. Gắn hệ trc ta đ
Oxyz
sao cho mặt phẳng
( )
Oxy
trùng với mặt bàn, trc
Oz
hướng thẳng đứng lên trên so với mặt bàn mỗi đơn
vị trên các trục tương ứng với
1
cm
. Ban đầu 2 viên bi này đứng yên trên mặt bàn, tâm của chúng lần lượt
trùng với các điểm
( )
11;5;3
I
( )
13; 2;5J
.
Ti mt thi điểm, người ta đng thi tác động cho 2 viên bi lăn về phía nhau trên mặt bàn theo cùng mt
đường thẳng vi tc đ không đổi
5/cm s
4/cm s
(viên bi nhỏ hơn có tốc đ lớn hơn). Hỏi sau bao
nhiêu giây kể từ khi tác động thì hai viên bi va chạm với nhau? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 6. Theo dõi thời tiết hai huyện k nhau A B người ta nhận thấy trong cùng một ngày, nếu huyện B
không mưa thì khả năng huyện A không mưa
65%
, còn nếu huyện A không mưa thì khả năng huyện B
không mưa là
60%
. Hơn nữa, xác sut c hai huyện A B có a trong ng một ngày
10%
. Hãy tính
xác suất để ít nhất một trong hai huyện có mưa trong một ngày (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
------ HẾT ------
Trang 1/4 - Mã đề 0102
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2025
BÀI THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 90 phút
(Đề có 4 trang)
Họ tên : ............................................................... Số báo danh : ...................
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Nghiệm của phương trình
25
3 27
x+
=
A.
1
x =
. B.
3x =
. C.
1
x
=
. D.
2x =
.
Câu 2: Cho trước 6 chiếc ghế xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp ba bn
,,ABC
vào 6 chiếc ghế đó
sao cho mỗi bạn ngồi một ghế
A.
3
6
A
. B.
15
. C.
3
6
C
. D.
6
.
Câu 3: Cho khối chóp có diện tích đáy bằng
2
3a
, chiều cao bằng
2a
. Thể tích khối chóp đó bằng
A.
3
2a
. B.
3
3a
. C.
3
6
a
. D.
3
a
.
Câu 4: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
22 2
:1 1 29Sx y z+ + ++ =
. Điểm nào dưới đây
thuộc mặt cầu
( )
S
?
A.
( )
3;1;1P −−
. B.
( )
3;1;1Q
. C.
( )
1;1; 2N −−
. D.
( )
1; 1;2M
.
Câu 5: H tất cả các nguyên hàm của hàm số
e sin
x
yx
= +
A.
e sin .
x
xC
−+
B.
e cos .
x
xC
−+
C.
e cos .
x
xC++
D.
e sin .
x
xC
−+ +
Câu 6: Cho cấp số nhân
( )
n
u
có hai số hạng đầu tiên là
1
3u =
2
9u =
. Giá trị của
3
u
bằng
A.
27
. B.
21
. C.
15
. D.
12
.
Câu 7: Trong không gian
Oxyz
, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
( )
1;0;0A
,
( )
0; 2;0B
( )
0;0;3C
A.
0
1 23
xyz
+ +=
. B.
1
123
xyz
++=
. C.
1
1 23
xyz
+ +=
. D.
1
1 23
xyz
+ +=
.
Câu 8: Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng biến thiên như sau:
Giá tr cực tiểu của hàm số đã cho là
A.
1
. B. 4. C.
2
. D. 3.
Câu 9: Đồ thị hàm số
3
21
1
yx
x
= −−
+
có phương trình đường tiệm cận xiên là
A.
21yx=
. B.
21yx= +
.
C.
1yx= +
. D.
23yx=
.
Mã đề 0102
Trang 2/4 - Mã đề 0102
Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
1
7
log 3 1x >−
A.
22
3;
7



. B.
( )
10;+∞
. C.
( )
3; +∞
. D.
( )
3;10
.
Câu 11: Thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các học sinh trong một lớp học ta có bảng số liệu sau:
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).
A.
5, 97
. B.
34,47
. C.
35,66
. D.
5,87
.
Câu 12: Cho hình chóp đều
.,S ABCD
gọi
O
là giao điểm của
AC
.BD
Phát biểu nào sau đây là sai?
O
A
D
B
C
S
A.
AC SD
. B.
AC SB
. C.
AB SO
. D.
AC SC
.
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) mỗi câu, thí sinh chọn đúng
hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số
( )
( )
2
3 3e
x
fx x x= −−
.
a) Hàm số đã cho xác định với mọi
x
.
b) Giá trị
( )
e0 3f
=
.
c) Phương trình
( )
0fx
=
có hai nghiệm phân biệt.
d) Hàm số
( )
fx
đồng biến trên khoảng
( )
2;3
.
Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,Oxyz
mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với độ dài
10 .km
Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá
30 .km
Một UAV (thiết bị bay không người lái) di chuyển theo đường thẳng từ vị trí
( )
2; 1; 4A −−
đến vị trí
( )
6; 3; 0B
với tốc độ không đổi là
80 |km h
.
a) Vectơ
( )
8; 4; 4 .AB =

b) Phương trình đường thẳng
AB
22
1, .
4
xt
y tt
zt
=−+
=−+
=
c) Vị trí đầu tiên UAV bị trạm theo dõi phát hiện là
( )
2;1; 2 .M
d) UAV bay qua vùng bị phát hiện trong khoảng thời gian nhiều hơn 19 phút.
Trang 3/4 - Mã đề 0102
Câu 3. Một quần thể vi khuẩn
( )
A
số lượng cá thể
( )
Pt
, trong đó
t
thời gian tính bằng phút kể t
khi bắt đầu quan sát. Nghiên cứu cho thấy số lượng vi khuẩn
( )
A
thay đổi với tốc độ
( )
0,1 0,03
200e 150e
tt
Pt
= +
(cá thể/phút). Lúc bắt đầu quan sát, quần thể
( )
A
200000
vi khuẩn. Sau 12
phút, một quần thể vi khuẩn
( )
B
xuất hiện và có tốc độ tăng trưởng là
( )
0,2
400e
u
Qu
=
(cá thể/phút), với
u
thời gian tính bằng phút kể từ khi vi khuẩn
(
)
B
xuất hiện. Sau khi vi khuẩn
(
)
B
xuất hiện 8 phút thì số
lượng vi khuẩn hai quần thể bằng nhau.
a)
( )
0
0P
=
.
b)
( )
2000000P =
.
c) Sau 20 phút kể từ khi bắt đầu quan sát, số lượng vi khuẩn
( )
A
215034
con (làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Số lượng vi khuẩn
(
)
B
ở thời điểm bắt đầu xuất hiện không vượt quá
207000
con.
Câu 4. Một nhóm nghiên cứu tiến hành khảo sát
10000
người nhận thấy những người hút thuốc
nguy bị ung tphổi cao hơn so với người không hút thuốc lá. Kết quả khảo sát của nhóm nghiên cứu
được trình bày trong bảng dữ liệu thống kê sau đây:
Chọn ngẫu nhiên một người trong
10000
người được khảo sát.
a) Xác suất người đó hút thuốc lá là
11, 2%.
b) Nếu người đó bị ung thư phổi thì xác suất người đó hút thuốc lá nhỏ hơn
80%
.
c) Xác sut đ người đó bị ung thư phổi là
13,92%.
d) Dựa theo kết quả khảo sát trên ta thấy, người hút thuốc nguy mắc bệnh ung thư phổi cao gp
khoảng 14 lần (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) so với người không hút thuốc lá.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác
.
S ABCD
đáy hình vuông cạnh bằng
2
, cạnh bên
SA
vuông góc với
đáy và
3SA =
. Gọi
α
là số đo góc nhị diện
[ ]
,,S BD C
. Tính
cos
α
(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Câu 2. Để trang trí bức tường trong một căn phòng, bạn Hoa vẽ lên tường một hình như sau: Đầu tiên bạn
vẽ một hình lục giác đều cạnh bằng
2 dm
; sau đó, trên mỗi cạnh của hình lục
giác vẽ một cánh hoa hình parabol đi qua hai đầu mút của cạnh, đỉnh parabol
nằm phía ngoài hình lục giác cách cạnh tương ứng
4 dm
; cuối cùng bạn vẽ
một đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của sáu parabol ở trên (xem hình vẽ).
Bạn Hoa màu phần nằm giữa đường tròn các cánh hoa (phần màu m
trong hình vẽ). Diện tích phần màu bao nhiêu
2
dm
? (làm tròn kết quả đến
hàng đơn vị).
Trang 4/4 - Mã đề 0102
Câu 3. Bác Hùng một khu vườn hình thang vuông
ABCD
với
35 , 30AB m AD m
= =
. Bác ấy đã đào
một cái hồ để trồng sen, hồ được bao bởi cạnh
BC
đường cong
BIC
một phần của parabol đỉnh
I
như hình vẽ.
I
B
C
D
A
Bác Hùng muốn làm một con đường đi từ điểm
M
trên cạnh
AD
ra một điểm trên mép hồ sen rồi lại từ
điểm đó tới một điểm trên cạnh
AB
.
Biết khoảng cách từ
I
đến
AB
AD
tương ứng
20 m
15m
, hỏi tổng chiều dài con đường đó ngắn
nhất là bao nhiêu mét?
Câu 4. Một công ty dự kiến chi 100 triệu đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ dung tích 5 lít.
Chi phí để làm mặt xung quanh của thùng 100 nghìn đồng mỗi mét vuông, làm mặt đáy của thùng 120
nghìn đồng mỗi mét vuông. Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể, số thùng sơn tối đa công ty
đó có thể sản xuất được là bao nhiêu?
Câu 5. Xét một chiếc bàn phẳng, hai viên bi hình cầu được đặt trên mặt bàn. Gắn hệ trc ta đ
Oxyz
sao cho mặt phẳng
( )
Oxy
trùng với mặt bàn, trục
Oz
hướng thẳng đứng lên trên so với mặt bànmỗi đơn
vị trên các trục tương ứng với
1 cm
. Ban đầu 2 viên bi này đứng yên trên mặt bàn, tâm của chúng lần lượt
trùng với các điểm
( )
5; 8;3
I
( )
3;7;4J
.
Tại một thời điểm, người ta đồng thời tác động cho 2 viên bi lăn v phía nhau trên mặt bàn theo cùng một
đường thẳng vi tc đ không đổi
5/cm s
3/
cm s
(viên bi nhỏ hơn tốc độ lớn hơn). Hỏi sau bao
nhiêu giây kể từ khi tác động thì hai viên bi va chạm với nhau? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 6. Theo dõi thời tiết hai huyện kề nhau A B người ta nhận thấy trong cùng một ngày, nếu huyện B
không mưa thì khả năng huyện A không mưa
60%
, còn nếu huyện A không mưa thì khả năng huyện B
không mưa
55%
. Hơn nữa, xác suất cả hai huyện A B mưa trong cùng một ngày
10%
. Hãy tính
xác suất để ít nhất một trong hai huyện có mưa trong một ngày (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
------ HẾT ------
NG DN - ĐÁP ÁN ĐỀ L
PHN II. Thí sinh tr li t câu 1 đến câu 4. Trong mi ý a), b), c), d) mi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
Câu 1. Cho hàm s
( )
( )
2
5 1e
x
fx x x= −+
.
a) Hàm s đã cho xác định vi mi
x
.
b) Giá tr
( )
e0f =
.
c) Phương trình
( )
0fx
=
có hai nghim phân bit.
d) m s
( )
fx
đồng biến trên khong
( )
1; 4
.
Li gii
a) Đúng.
b) Sai.
Ta có:
( )
10f =
c) Đúng.
Ta có:
(
)
( )
2
4
3 4e 0
1
x
x
fx x x
x
=
= −− =
=
.
Vậy phương trình có hai nghiệm thc phân bit.
d) Sai.
Lp bảng xét dấu ca
( )
fx
ta đưc hàm s
( )
fx
nghch biến trên
( )
1; 4
.
Câu 2. Mt qun th vi khun
( )
A
có s ợng thể
( )
Pt
, trong đó
t
là thi gian tính bằng phút kể
t khi bt đầu quan sát. Nghiên cứu cho thy s ng vi khun
( )
A
thay đổi vi tc đ
(
)
0,1 0,04
300e 200e
tt
Pt
= +
(cá thể/phút). Lúc bắt đầu quan sát, quần th
( )
A
300000
vi
khun. Sau 15 phút, một qun th vi khun
( )
B
xuất hin và có tc đ tăng trưởng là
( )
0,2
500e
u
Qu
=
(cá thể/phút), với
u
thi gian tính bằng phút kể t khi vi khun
( )
B
xuất
hin. Sau khi vi khun
( )
B
xuất hiện 9 phút thì số ng vi khun hai qun th bng nhau.
a)
( )
00P
=
.
b)
( )
3000000P =
.
c) Sau 24 phút kể t khi bt đầu quan sát, số ng vi khun
( )
A
333155
con (làm tròn đến
hàng đơn vị).
d) S ng vi khun
(
)
B
thời điểm bắt đầu xuất hin không vượt quá
320000
con.
Li gii
a) Sai.
( )
0 500P
=
.
b) Đúng.
( )
0 300 000P =
.
c) Đúng.
( ) ( )
( )
0,1 0,04 0,1 0,04
d e 200e 3000e 5000d 0e
30
tt t t
Pt P t t Ct
−−
==+−
= +
∫∫
.
Li có
( )
0 300 000P =
suy ra
2000 300 000 302000CC += =
.
Do đó
( )
0,1 0,04
3000e 5000e 302000
tt
Pt
=−+
.
Vy
( )
0,1.24 0,04.24
24 3000e 5000e 302000 333155P
= +≈
.
d) Sai.
Sau 9 phút vi khuẩn
( )
B
xuất hin thì s ng vi khun hai qun th bng nhau. Suy ra s ng
qun th
( )
A
phút thứ 24 (tính t khi quan sát) bằng s ng qun th
( )
B
phút thứ 9 (tính
t khi xuất hin). Tc là
( ) ( )
24 9PQ=
.
Ta có
( ) ( )
0,2 0,2
d 500e 2500d e
uu
Qu Q u u cu
= = = +
∫∫
( )
1,8
9 2500eQc⇒= +
.
( ) ( ) ( )
1,8
24 9 24 2500e 318031P Q cP= ⇒=
( )
0,2
2500e 318031
u
Qu⇒= +
( )
0 320531Q⇒=
.
Câu 3. Trong không gian vi h trc ta đ
,Oxyz
mỗi đơn vị trên các trục tương ng vi đ dài
10 .km
Mt trạm theo dõi được đt gc ta đ và có th phát hiện đưc các vt th cách nó một khong
không quá
30 .km
Mt UAV (thiết b bay không người lái) di chuyn theo đường thng t v trí
( )
4; 2;1A
đến v trí
17
1; ;
22
B

−−


vi tốc độ không đổi là
80 |km h
.
a) Vectơ
55
5; ;
22
AB

=−−



.
b) Phương trình đường thng
AB
42
2, .
1
xt
y tt
zt
= +
=+∈
=
c) V trí đu tiên UAV b trạm theo dõi phát hiện là
( )
0; 0; 3 .M
d) UAV bay qua vùng b phát hiện trong khong thời gian ít hơn 18 phút.
Li gii
a) Đúng.
55
5; ;
22
AB

=−−



b) Đúng.
(
)
55
5; ; 2; 1; 1
22
AB
AB u

=−− =


 
nên phương trình đường thng
AB
42
2, .
1
xt
y tt
zt
= +
=+∈
=
c) Sai.
Phương trình mặt cu
( )
S
tâm O bán kính
30 km
(
3
đơn vị) là:
2 22
9xyz++=
.
To độ giao điểm của đường thng
AB
và mt cu
( )
S
là nghim ca h
2 22
2
1
42
2
2
1
0
9
0
3
x
y
xt
z
yt
zt
x
xyz
y
z
=
=
= +
=
= +

=
=
++=
=
=
Nhn thy
( )
21
55
5; ; , 2; 1;1
22
AB M M

−− −−


 
cùng hướng.
Vy có v trí đu tiên v tinh do thám bị trạm theo dõi phát hiện là
( )
2
2;1; 2 .M
d) Sai.
Ta có
( ) ( )
1 2 12
0; 0; 3 ; 2;1; 2 6M M MM⇒=
, nên quãng đường v tinh do thám bay qua vùng bị
phát hiện là
10 6
( )
.km
V tinh do thám bay qua vùng bị phát hiện cn
60 15 6
.10 6 18, 4
80 2
=
phút.
Câu 4. Mt nhóm nghiên cu tiến hành kho sát
10000
người và nhn thy những người hút thuốc
nguy bị ung thư phổi cao hơn so với người không hút thuốc lá. Kết qu kho sát ca nhóm
nghiên cứu được trình bày trong bảng d liu thng kê sau đây:
Chn ngu nhiên một người trong
10000
người được khảo sát.
a) Xác suất người đó hút thuốc lá
11, 24%.
b) Nếu người đó bị ung thư phổi thì xác suất người đó hút thuốc lá lớn hơn
80%.
c) Xác suất người đó bị ung thư phổi
14%.
d) Da theo kết qu kho sát trên ta thấy, người hút thuốc nguy mắc bệnh ung thư phổi
cao gp khong
14
ln (kết qu làm tròn đến hàng đơn vị) so với người không hút thuốc lá.
Li gii
Gi
A
:” Chọn được một người hút thuốc lá”;
B
:” Chọn được một người b ung thư phổi”
a) Sai.
( ) ( )
2250
1124 1126 2250 0,225 22,5%
10000
nA PA=+= = = =
.
b) Đúng.
(
)
( )
( )
1124
80,3%
1400
nA B
P AB
nB
= =
.
c) Đúng.
( )
1124 276
14%
10000
PB
+
= =
.
d) Đúng.
(
)
( )
( )
(
)
562
.
1125
P AB P B
P BA
PA
= =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
9 31 69
;1 ; 1
40 40 350
138
3875
P AB P B
P BA P A P AB P AB
PA
P BA
= =−= = =
⇒=
Do đó:
( )
(
)
8711
14.
621
P BA
P BA
=
PHN III. Thí sinh tr li t câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hình chóp t giác
.S ABCD
đáy hình vuông cnh bng 2, cnh bên
SA
vuông góc vi
đáy
10SA =
. Gi
α
là s đo góc nhị din
[ ]
,,S BD C
. Tính
cos
α
(làm tròn kết qu đến
hàng phần mười).
Li gii
Đáp án: –0,4
cos cos cos
AO
SOC SOC SOA
SO
αα
=⇒= = =
.
Tính được
2, 2 3AO SO= =
nên
1
cos 0, 4
6
α
=− ≈−
.
O
A
B
C
D
S
Câu 2. Để trang trí bức tường trong một căn phòng, bạn Hoa v lên tường một hình như sau: Đầu tiên bn
v một hình lục giác đu có cnh bng
2 dm
; sau đó, trên mỗi cnh của hình lục giác v mt cánh
hoa hình parabol đi qua hai đầu mút của cạnh, đỉnh parabol nằm phía ngoài hình lục giác cách
cạnh tương ng
3
dm
; cui cùng bn v một đường tròn đi qua tất c các đnh ca sáu parabol
trên (xem hình vẽ).
Bn Hoa tô màu phn nm giữa đường tròn các cánh hoa (phần màu xám trong hình vẽ). Din
tích phn tô màu là bao nhiêu
2
dm
? (làm tròn kết qu đến hàng đơn vị).
Li gii
Đáp án: 36
Xét cánh hoa hình parabol
( )
P
đi qua các đim
( ) ( ) ( )
0; 3 , 1; 0 , 1; 0
AB C
vi
A
đnh ca
( )
P
,BC
là hai đầu mút thỏa mãn
2BC =
là độ dài cnh của hình lục giác đều.
Gọi phương trình parabol
( )
P
2
y ax bx c= ++
. Vì
( ) ( )
,,ABC P P∈⇒
:
2
33yx=
.
T đó diện tích mỗi cánh hoa là
1
2
1
1
33 d 4S xx
=−=
.
(Ta có th tính din tích mi cách hoa theo công thc nhanh
1
22
.2.3 4,
33
S ah= = =
vi
a
là cnh
lc giác,
h
là khong cách t đỉnh cánh hoa đến cnh lc giác)
Lục giác gồm 6 tam giác đều cnh bng 2, din tích mi tam giác là
2
2
23
3
4
S
= =
.
Đường tròn có bán kính
3
3 2. 3 3
2
R
=+=+
.
Vy din tích phn tô màu là
( )
2
2
6.4 6. 3 33 6)3 (S dm
π
−≈+=
.
Câu 3. Bác Hùng một khu vườn hình thang vuông
ABCD
vi
45 , 30AB m AD m= =
. Bác ấy đã đào
mt cái h để trng sen, h được bao bi cnh
BC
đường cong
BIC
là mt phn ca parabol
đỉnh
I
như hình vẽ.
Bác Hùng muốn làm một con đường đi từ điểm
M
trên cnh
AD
ra một điểm trên p h sen
ri li t điểm đó tới một điểm trên cnh
AB
.
D
A
I
B
C
Biết khong cách t
I
đến
AB
AD
tương ng là
20 m
25m
, hi tng chiu dài con
đường đó ngắn nhất là bao nhiêu mét?
Li gii
Đáp án: 40
Chn h trc
Oxy
như hình vẽ, mỗi đơn vị trên các trc ng vi
10 m
.
Khi đó
5
2;
2
I



9
0;
2
B



nên parabol có phương trình
2
19
2
22
yxx= −+
.
Gọi con đường đường gấp khúc
MEN
. Để chiều dài con đường ngn nht thì
E
phi nm trên
đường cong
BI
.
E
nằm trên đường cong
BIC
nên
2
19
;2
22
Ex x x

−+


vi
02x≤≤
.
Tổng độ dài con đường là:
(
)
2
2
1 91
2 1 44
2 22
EM EN EH EK x x x x

+ + = + += +≥


.
Vì đơn vị mi trc ng với 10 mét nên độ dài con đường ngn nhất là 40 mét.
Câu 4. Mt công ty d kiến chi 100 triệu đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 8 lít.
Chi phí để làm mặt xung quanh của thùng 125 nghìn đồng mỗi mét vuông, làm mặt đáy của
thùng 150 nghìn đồng mỗi mét vuông. Giả s chi phí cho các mối nối không đáng kể, s thùng
sơn tối đa mà công ty đó có thể sản xuất được là bao nhiêu?
Li gii
Đáp án: 3399
Gi chiều cao và bán kính đáy của thùng hình trụ lần lượt là
h
r
(đơn vị mét,
0, 0hr>>
).
Th tích ca thùng là 8 lít (bng
8
1000
3
m
) nên
2
2
81
1000 125
V rh h
r
π
π
= = ⇒=
(m).
Din tích mặt xung quanh là
2
2
125
xq
S rh
r
π
= =
(
2
m
).
Diện tích hai đáy là
2
2
đ
Sr
π
=
(
2
m
).
S tin cn thiết để sản xuất một thùng sơn là
( )
2
2
300fr r
r
π
= +
(nghìn đồng).
Ta có:
( )
( )
2
3
21
600 ; 0
300
fr rfr r
r
π
π
′′
= + =⇔=
.
Lp BBT ca
( )
fr
trên
( )
0;+∞
suy ra
( )
3
1
min
300
fr f
π

=


.
Do đó với s tin 100 triệu đồng t công ty thể sản xuất không vượt quá
5
3
10
3399,813047
1
300
f
π



thùng.
Vy s thùng sơn tối đa sn xuất được là 3399 thùng.
Câu 5. Xét mt chiếc bàn phng, hai viên bi hình cầu được đt trên mt bàn. Gn h trc ta đ
Oxyz
sao cho mt phng
( )
Oxy
trùng vi mt bàn, trc
Oz
hướng thẳng đứng lên trên so vi mt bàn
và mỗi đơn vị trên các trục tương ng vi
1 cm
. Ban đầu 2 viên bi này đứng yên trên mt bàn,
tâm của chúng lần lượt trùng với các điểm
( )
11;5;3I
(
)
13; 2;5J
.
Ti mt thi điểm, người ta đng thi tác động cho 2 viên bi lăn về phía nhau trên mt bàn theo
cùng mt đưng thng vi tc đ không đổi là
5/cm s
4/cm s
(viên bi nh hơn tc đ ln
hơn). Hỏi sau bao nhiêu giây k t khi tác động thì hai viên bi va chạm vi nhau? (làm tròn kết
qu đến hàng phn trăm).
Li gii
Đáp án: 1,92
Nhận xét: Bán kính viên bi chính khoảng cách t tâm đến mặt bàn, điểm tiếp xúc chính hình
chiếu vuông góc ca tâm trên mt bàn.
Viên bi th nhất có bán kính
1
3( )r cm
=
và tiếp xúc với mt bàn ti đim
( )
11;5;0A
.
Viên bi th hai có bán kính
2
5( )r cm=
và tiếp xúc với mt bàn ti đim
( )
13; 2;0B
.
Vì 2 viên bi lăn thẳng v phía nhau trên mặt bàn nên điểm tiếp xúc của 2 viên bi vi mt bàn luôn
chạy trên đoạn thng
AB
.
Gi s ti thời điểm
t
giây thì hai viên bi va chạm vi nhau.
Khi đó viên bi thứ nht di chuyn được quãng đường
5( )AA t cm
=
, viên bi th 2 di chuyển được
quãng đường
4( )BB t cm
=
.
Ta có
22
AB IH IJ JH
′′
= =
( ) ( )
22
12 21
2 15
rr rr= + −− =
.
22
24 7 25AB = +=
25 2 15AA BB
′′
⇒+=
.
Do đó
25 2 15
5 4 25 2 15 1,92
9
tt t
+ = ⇒=
giây.
Vy sau khong
1, 92
giây thì hai viên bi va chạm.
Câu 6. Theo dõi thi tiết hai huyn k nhau A và B người ta nhn thy trong cùng mt ngày, nếu huyn B
không mưa tkhả năng huyện A không mưa
65%
, còn nếu huyện A không mưa thì khả năng
huyện B không mưa là
60%
. Hơn na, xác sut c hai huyện A và B có mưa trong cùng một ngày
10%
. Hãy tính xác suất đ ít nht mt trong hai huyện mưa trong một ngày (làm tròn kết
qu đến hàng phn trăm).
Li gii
Đáp án: 0,59
Gi
A
B
ln lưt là biến c huyện A và B có mưa trong một ngày.
Ta có
( ) ( )
| 0,65; | 0, 6PAB PBA= =
( )
0,1PA B∩=
.
Suy ra
( )
| 0,35
PAB=
( )
| 0, 4PBA=
.
Đặt
(
)
a PA=
( )
b PB=
vi
[ ]
, 0;1ab
.
Khi đó ta có:
( )
( )
( )
(
) ( )
(
)
( )
0,1
0,35 20 7 9 1
11
PA B
PA PA B
a
PAB a b
PB b
P B
−∩
= = = = +=
−−
J
I
H
I'
A'
B'
J'
A
B
Tương tự:
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
(
)
0,1
0, 4 2 5 2,5 2
11
PB A
PB PA B
b
PBA
A
ab
PA a
P
−∩
= = = = +=
−−
T (1) và (2) suy ra
55 16
,
172 43
ab= =
.
Vậy xác suất để ít nht mt trong hai huyện có mưa trong một ngày là
( ) ( ) ( ) ( )
55 16
0,1 0, 59
172 43
PA B PA PB PA B∪= + ∩= +
.
NG DN - ĐÁP ÁN ĐỀ CHN
PHN II. Thí sinh tr li t câu 1 đến câu 4. Trong mi ý a), b), c), d) mi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
Câu 1. Cho hàm s
( )
(
)
2
3 3e
x
fx x x= −−
.
a) Hàm s đã cho xác định vi mi
x
.
b) Giá tr
( )
e0 3
f =
.
c) Phương trình
( )
0fx
=
có hai nghim phân bit.
d) m s
( )
fx
đồng biến trên khong
( )
2;3
.
Li gii
a) Đúng.
b) Sai.
Ta có:
( )
( )
2
3 3e
x
fx x x
= −−
( )
30f⇒=
.
c) Đúng.
Ta có:
( )
( )
2
3
6e 0
2
x
x
fx x x
x
=
= −− =
=
.
Vậy phương trình có hai nghiệm thc phân bit.
d) Sai.
Lp bảng xét dấu ca
( )
fx
ta đưc hàm s
( )
fx
nghch biến trên
( )
2;3
.
Câu 2. Mt qun th vi khun
( )
A
có s ợng thể
( )
Pt
, trong đó
t
là thi gian tính bằng phút kể
t khi bt đầu quan sát. Nghiên cứu cho thy s ng vi khun
( )
A
thay đổi vi tc đ
( )
0,1 0,03
200e 150e
tt
Pt
= +
(cá thể/phút). Lúc bắt đầu quan sát, quần th
( )
A
200000
vi
khuẩn. Sau 12 phút, một qun th vi khun
( )
B
xuất hin và có tc đ tăng trưởng là
( )
0,2
400e
u
Qu
=
(cá thể/phút), với
u
thi gian tính bằng phút kể t khi vi khun
( )
B
xuất
hin. Sau khi vi khun
( )
B
xuất hiện 8 phút thì số ng vi khun hai qun th bng nhau.
a)
( )
00P
=
.
b)
( )
2000000
P =
.
c) Sau 20 phút kể t khi bt đầu quan sát, số ng vi khun
( )
A
215034
con (làm tròn đến
hàng đơn vị).
d) S ng vi khun
( )
B
thời điểm bắt đầu xuất hiện không vượt quá
207000
con.
Li gii
a) Sai.
( )
0 350P
=
.
b) Đúng.
( )
0 200 000P =
.
c) Đúng.
(
) ( )
( )
0,1 0,03 0,1 0,03
d e 150e 2000e 5000d 0e20
tt t t
Pt P t t Ct
−−
==+−
= +
∫∫
.
Li có
( )
0 200 000
P =
suy ra
3000 200000 203000CC += =
.
Do đó
( )
0,1 0,03
2000e 5000e 203000
tt
Pt
=−+
.
Vy
( )
0,1.20 0,03.20
20 2000e 5000e 203000 215034P
= +≈
.
d) Sai.
Sau 8 phút vi khuẩn
( )
B
xuất hin thì s ng vi khun hai qun th bng nhau. Suy ra s ng
qun th
( )
A
phút thứ 20 (tính t khi quan sát) bằng s ng qun th
( )
B
phút thứ 8 (tính
t khi xuất hin). Tc là
( ) ( )
20 8PQ=
.
Ta có
( ) ( )
0,2 0,2
d 400e 2000d e
uu
Qu Q u u cu
= = = +
∫∫
(
)
1,6
8 2000eQc⇒= +
.
( ) (
) ( )
1,6
20 8 20 2000e 205128
P Q cP
= ⇒=
( )
0,2
2000e 205128
u
Qu⇒= +
( )
0 207128Q⇒=
.
Câu 3. Trong không gian vi h trc ta đ
,Oxyz
mỗi đơn vị trên các trục tương ng vi đ dài
10 .km
Mt trạm theo dõi được đt gc ta đ và có th phát hiện đưc các vt th cách nó một khong
không quá
30 .km
Mt UAV (thiết b bay không người lái) di chuyển theo đường thng t v trí
( )
2; 1; 4
A −−
đến v trí
( )
6; 3; 0B
vi tốc độ không đổi là
80 |
km h
.
a) Vectơ
( )
8; 4; 4 .AB
=

b) Phương trình đường thng
AB
22
1, .
4
xt
y tt
zt
=−+
=−+
=
c) V trí đu tiên UAV b trạm theo dõi phát hiện là
( )
2;1; 2 .M
d) UAV bay qua vùng b phát hiện trong khong thi gian nhiều hơn 19 phút.
Li gii
a) Đúng.
( )
8; 4; 4AB =

.
b) Đúng.
( ) ( )
8; 4; 4 2;1; 1
AB
AB u= −⇒ =
 
.
nên phương trình đường thng
AB
22
1,
4
xt
y tt
zt
=−+
=−+
=
.
c) Sai.
Phương trình mặt cu
( )
S
tâm O bán kính
30 km
(
3
đơn vị) là
2 22
9xyz++=
.
To độ giao điểm ca đường thng
AB
và mt cu
( )
S
là nghim ca h
2 22
2
1
22
2
1
4
0
9
0
3
x
y
xt
z
yt
zt
x
xyz
y
z
=
=
=−+
=
=−+

=
=
++=
=
=
.
Gi
( )
( )
12
0; 0; 3 ; 2;1; 2MM
.
Nhn thy
( ) (
)
12
8; 4; 4 , 2;1; 1AB M M−−
 
cùng hướng.
Vy có v trí đu tiên v tinh do thám bị trạm theo dõi phát hiện là
( )
1
0; 0; 3 .M
d) Sai.
Ta có
( ) ( )
1 2 12
0; 0; 3 ; 2;1; 2 6M M MM⇒=
, nên quãng đường v tinh do thám bay qua vùng bị
phát hiện là
10 6
( )
.km
V tinh do thám bay qua vùng bị phát hiện cn
60 15 6
.10 6 18, 4
80 2
=
phút.
Câu 4. Mt nhóm nghiên cu tiến hành kho sát
10000
người và nhn thy những người hút thuốc
nguy bị ung thư phổi cao hơn so với người không hút thuốc lá. Kết qu kho sát ca nhóm
nghiên cứu được trình bày trong bảng d liu thng kê sau đây:
Chn ngu nhiên một người trong
10000
người được khảo sát.
a) Xác suất người đó hút thuốc lá là
11, 2%.
b) Nếu người đó bị ung thư phổi thì xác suất người đó hút thuốc lá nh hơn
80%
.
c) Xác sut đ người đó bị ung thư phổi là
13,92%.
d) Da theo kết qu kho sát trên ta thấy, người hút thuốc nguy mắc bệnh ung thư phổi
cao gp khong 14 ln (kết qu làm tròn đến hàng đơn vị) so với người không hút thuốc lá.
Li gii
Gi
A
:” Chọn được một người hút thuốc lá”;
B
:” Chọn được một người b ung thư phổi”
a) Sai.
(
)
( )
2250
1120 1130 2250 0, 225 22,5%.
10000
nA PA=+= = = =
b) Sai.
( )
( )
( )
1120 1120
80,5%.
1120 272 1392
nA B
P AB
nB
= = =
+
c) Đúng.
( )
1120 272
13,92%.
10000
PB
+
= =
d) Đúng.
( )
( )
( ) 1120 1120
.
1120 1130 2250
n AB
P BA
nA
= = =
+
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
272 7478 7750 272
;1
10000 10000 1392
272 1392
.
272
1392 10000
7750
7750
10000
P A P AB P AB
P AB P B
P BA
PA
+
= = =−=
⇒= = =
Do đó:
( )
( )
1120 272
: 14.183.....
2250 7750
P BA
P BA
= =
PHN III. Thí sinh tr
li t câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác
.
S ABCD
đáy hình vuông cạnh bng
2
, cnh bên
SA
vuông góc
với đáy
3SA =
. Gi
α
là s đo góc nhị din
[ ]
,,S BD C
. Tính
cos
α
(làm tròn kết qu đến
hàng phần mười).
Li gii
Đáp án: –0,3
cos cos cos
AO
SOC SOC SOA
SO
αα
=⇒= = =
.
Tính được
1, 10AO SO= =
nên
1
cos 0, 3
10
α
=− ≈−
.
Câu 2. Để trang trí bức tường trong một căn phòng, bạn Hoa v lên tường một hình như sau: Đầu tiên bn
v một hình lục giác đu có cnh bng
2 dm
; sau đó, trên mi cnh của hình lục giác v mt cánh
O
A
B
C
D
S
hoa hình parabol đi qua hai đầu mút của cạnh, đỉnh parabol nằm phía ngoài hình lục giác cách
cạnh tương ng
4 dm
; cui cùng bn v một đường tròn đi qua tất c các đnh ca sáu parabol
trên (xem hình vẽ).
Bn Hoa tô màu phn nm giữa đường tròn các cánh hoa (phần màu xám trong hình vẽ). Din
tích phn tô màu là bao nhiêu
2
dm
? (làm tròn kết qu đến hàng đơn vị).
Li gii
Đáp án: 61
Xét cánh hoa hình parabol
( )
P
đi qua các đim
(
) ( ) ( )
0; 4 , 1; 0 , 1; 0AB C
vi
A
đnh ca
( )
P
,BC
là hai đầu mút thỏa mãn
2BC =
là độ dài cnh của hình lục giác đều.
Gọi phương trình parabol
( )
P
2
y ax bx c= ++
. Vì
( ) ( )
,,ABC P P∈⇒
:
2
44yx=
.
T đó diện tích mỗi cánh hoa là
1
2
1
1
16
44 d
3
S xx
=−=
. (Có th tính
1
2 2 16
. .4.2
33 3
S ah= = =
)
(Ta có th tính din tích mi cách hoa theo công thc nhanh
1
2 2 16
.2.4 ,
33 3
S ah= = =
vi
a
cnh lc giác,
h
là khong cách t đỉnh cánh hoa đến cnh lc giác)
Lục giác gồm 6 tam giác đều cnh bng 2, din tích mi tam giác là
2
2
23
3
4
S
= =
.
Đường tròn có bán kính
3
4 2. 4 3
2
R =+=+
.
Vy din tích phn tô màu là
( )
2
2
16
6. 6. 3 61 ( )
3
43S dm
π
+= −−
.
Câu 3. Bác Hùng một khu vườn hình thang vuông
ABCD
vi
35 , 30AB m AD m
= =
. Bác ấy đã đào
mt cái h để trng sen, h được bao bi cnh
BC
đường cong
BIC
là mt phn ca parabol
đỉnh
I
như hình vẽ.
Bác Hùng muốn làm một con đường đi từ điểm
M
trên cnh
AD
ra một điểm trên p h sen
ri li t điểm đó tới một điểm trên cnh
AB
.
Biết khoảng cách từ
I
đến
AB
AD
tương ứng là
20 m
15m
, hi tng chiều dài con đường
đó ngắn nhất là bao nhiêu mét?
Li gii
I
B
C
D
A
Đáp án: 30
Chn h trc
Oxy
như hình vẽ, mỗi đơn vị trên các trc ng vi
10 m
.
Khi đó
3
2;
2
I



7
0;
2
B



nên parabol có phương trình
2
17
2
22
yxx= −+
.
Gọi con đường đường gấp khúc
MEN
. Để chiều dài con đường ngn nht thì
E
phi nm trên
đường cong
BI
.
E
nằm trên đường cong
BI
nên
2
17
;2
22
Ex x x

−+


vi
02x≤≤
.
Tổng độ dài con đường là:
( )
2
2
1 71
2 1 33
2 22
EM EN EH EK x x x x

+ + = + += +≥


.
Vì đơn vị mi trc ng với 10 mét nên độ dài con đường ngn nhất là 30 mét.
Câu 4. Mt công ty d kiến chi 100 triệu đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít.
Chi phí để làm mặt xung quanh của thùng 100 nghìn đồng mỗi mét vuông, làm mặt đáy của
thùng 120 nghìn đồng mỗi mét vuông. Giả s chi phí cho các mối nối không đáng kể, s thùng
sơn tối đa mà công ty đó có thể sản xuất được là bao nhiêu?
Li gii
Đáp án: 5813
Gi chiều cao và bán kính đáy của thùng hình trụ lần lượt là
h
r
(đơn vị mét,
0, 0hr
>>
).
Th tích ca thùng là 5 lít (bng
5
1000
3
m
) nên
2
2
51
1000 200
V rh h
r
π
π
= = ⇒=
(m).
Din tích mặt xung quanh là
1
2
100
xq
S rh
r
π
= =
(
2
m
).
Diện tích hai đáy
2
2
đ
Sr
π
=
(
2
m
).
S tin cn thiết để sản xuất một thùng sơn là
( )
2
1
240fr r
r
π
= +
(nghìn đồng).
Ta có:
(
) ( )
2
3
11
480 ; 0
480
fr rfr r
r
π
π
′′
= + =⇔=
.
Lp BBT ca
(
)
fr
trên
( )
0;
+∞
suy ra
( )
3
1
min
480
fr f
π

=


.
Do đó với s tin 100 triệu đồng t công ty thể sản xuất không vượt quá
5
3
10
5813,598533
1
480
f
π



thùng.
Vy s thùng sơn tối đa sn xuất được là 5813 thùng.
Câu 5. Xét mt chiếc bàn phng, hai viên bi hình cầu được đt trên mt bàn. Gn h trc ta đ
Oxyz
sao cho mt phng
( )
Oxy
trùng vi mt bàn, trc
Oz
hướng thẳng đứng lên trên so vi mt bàn
và mỗi đơn vị trên các trục tương ng vi
1 cm
. Ban đầu 2 viên bi này đứng yên trên mt bàn,
tâm của chúng lần lượt trùng với các điểm
( )
5; 8;3I
( )
3;7;4J
.

Preview text:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2025 HÀ TĨNH BÀI THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 90 phút
(Đề có 4 trang)
Họ tên : ............................................................... Số báo danh : ................... Mã đề 0101
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. 
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với ( ABCD) . Vectơ BD vuông góc
với vectơ nào sau đây? S A D B C     A. SB . B. CD . C. SC . D. AD .
Câu 2: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số = ex y + cos x
A. −ex − sin x + C.
B. −ex + sin x + C.
C. ex − sin x + C.
D. ex + sin x + C.
Câu 3: Cho trước 5 chiếc ghế xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp ba bạn ,
A B, C vào 5 chiếc ghế đó
sao cho mỗi bạn ngồi một ghế là A. 3 C . B. 15. C. 6 . D. 3 A . 5 5
Câu 4: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;0;0) , B(0;− 2;0) và C (0;0;3) là A. x y z + + = 1. B. x y z + + = 0 . C. x y z + + = 1 − . D. x y z + + = 1. 1 2 − 3 1 2 − 3 1 2 − 3 1 2 3
Câu 5: Nghiệm của phương trình x+2 3 = 27 là A. x = 1 − . B. x = 3. C. x = 2 . D. x =1.
Câu 6: Khảo sát trọng lượng của một số quả mít được trồng trong một nông trường ta có số liệu sau:
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 4,80. B. 2,20 . C. 8,72 . D. 2,19 .
Câu 7: Cho cấp số nhân (u có hai số hạng đầu tiên là u = 3
− và u = 6 . Giá trị của u bằng n ) 1 2 3 A. 3. B. 18 − . C. 12 − . D. 15.
Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) (x + )2 + ( y − )2 + (z + )2 : 1 1
2 = 9. Điểm nào dưới đây
thuộc mặt cầu (S )? A. M (1; 1; − 2) . B. P( 3 − ; 1 − ;− ) 1 . C. N ( 1; − 1;− 2) . D. Q(3;1 ) ;1 .
Câu 9: Cho khối lăng trụ đứng có diện tích đáy bằng 2
3a , độ dài cạnh bên bằng 2a . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng A. 3 2a . B. 3 6a . C. 3 3a . D. 3 a . Trang 1/4 - Mã đề 0101
Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình log x − 2 > 1 − là 1 ( ) 6 A. (8;+ ∞) . B. 13;  +∞    . C. (2;8). D. 13  2; . 6      6 
Câu 11: Đồ thị hàm số 3 y = 2x +1−
có phương trình đường tiệm cận xiên là x +1
A. y = x +1.
B. y = 2x +1.
C. y = 2x −1.
D. y = 2x − 3 .
Câu 12: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là A. 3. B. 1 − . C. 2 − . D. 4.
PHẦN II.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số ( ) = ( 2 −5 + ) 1 ex f x x x .
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x∈ .
b)
Giá trị f (0) = e .
c) Phương trình f ′(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
d) Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng ( 1; − 4) .
Câu 2. Một quần thể vi khuẩn ( A) có số lượng cá thể là P(t), trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ
khi bắt đầu quan sát. Nghiên cứu cho thấy số lượng vi khuẩn ( A) thay đổi với tốc độ là ′( ) 0,1t 0,04 300e 200e t P t − = +
(cá thể/phút). Lúc bắt đầu quan sát, quần thể ( A) có 300000 vi khuẩn. Sau 15
phút, một quần thể vi khuẩn (B) xuất hiện và có tốc độ tăng trưởng là ′( ) 0,2 = 500e u Q u
(cá thể/phút), với u
là thời gian tính bằng phút kể từ khi vi khuẩn (B) xuất hiện. Sau khi vi khuẩn (B) xuất hiện 9 phút thì số
lượng vi khuẩn hai quần thể bằng nhau.
a) P′(0) = 0 .
b) P(0) = 300000 .
c) Sau 24 phút kể từ khi bắt đầu quan sát, số lượng vi khuẩn ( A) là 333155 con (làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Số lượng vi khuẩn (B) ở thời điểm bắt đầu xuất hiện không vượt quá 320000 con. Trang 2/4 - Mã đề 0101
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với độ dài 10k . m
Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá 30k .
m Một UAV (thiết bị bay không người lái) di chuyển theo đường thẳng từ vị trí A(4;2; ) 1 đến vị trí 1 7 B 1; ;  − − 
với với tốc độ không đổi là 80km | h. 2 2     a) Vectơ 5 5 AB  5; ;  = − −  . 2 2    x = 4 + 2t
b) Phương trình đường thẳng AB là y = 2 + t ,t ∈ .  z =1−  t
c) Vị trí đầu tiên UAV bị trạm theo dõi phát hiện là M (0;0;3).
d) UAV bay qua vùng bị phát hiện trong khoảng thời gian ít hơn 18 phút.
Câu 4. Một nhóm nghiên cứu tiến hành khảo sát 10000 người và nhận thấy những người hút thuốc lá có
nguy cơ bị ung thư phổi cao hơn so với người không hút thuốc lá. Kết quả khảo sát của nhóm nghiên cứu
được trình bày trong bảng dữ liệu thống kê sau đây:
Chọn ngẫu nhiên một người trong 10000 người được khảo sát.
a)
Xác suất người đó hút thuốc lá là 11,24%.
b) Nếu người đó bị ung thư phổi thì xác suất người đó hút thuốc lá lớn hơn 80%.
c) Xác suất người đó bị ung thư phổi là 14%.
d) Dựa theo kết quả khảo sát trên ta thấy, người hút thuốc lá có nguy cơ mắc bệnh ung thư phổi cao gấp
khoảng 14 lần (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) so với người không hút thuốc lá.
PHẦN III.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, cạnh bên SA vuông góc với đáy
SA = 10 . Gọi α là số đo góc nhị diện [S , BD,C]. Tính cosα (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Câu 2.
Để trang trí bức tường trong một căn phòng, bạn Hoa vẽ lên tường
một hình như sau: Đầu tiên bạn vẽ một hình lục giác đều có cạnh bằng
2dm ; sau đó, trên mỗi cạnh của hình lục giác vẽ một cánh hoa hình parabol
đi qua hai đầu mút của cạnh, đỉnh parabol nằm phía ngoài hình lục giác và
cách cạnh tương ứng 3dm ; cuối cùng bạn vẽ một đường tròn đi qua tất cả
các đỉnh của sáu parabol ở trên (xem hình vẽ).
Bạn Hoa tô màu phần nằm giữa đường tròn và các cánh hoa (phần màu xám
trong hình vẽ). Diện tích phần tô màu là bao nhiêu 2
dm ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Trang 3/4 - Mã đề 0101
Câu 3. Bác Hùng có một khu vườn hình thang vuông ABCD với AB = 45 ,
m AD = 30m . Bác ấy đã đào
một cái hồ để trồng sen, hồ được bao bởi cạnh BC và đường cong BIC là một phần của parabol đỉnh I như hình vẽ. B C I A D
Bác Hùng muốn làm một con đường đi từ điểm M trên cạnh AD ra một điểm trên mép hồ sen rồi lại từ
điểm đó tới một điểm trên cạnh AB .
Biết khoảng cách từ I đến AB AD tương ứng là 20m và 25m , hỏi tổng chiều dài con đường đó ngắn nhất là bao nhiêu mét?
Câu 4. Một công ty dự kiến chi 100 triệu đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 8 lít.
Chi phí để làm mặt xung quanh của thùng là 125 nghìn đồng mỗi mét vuông, làm mặt đáy của thùng là 150
nghìn đồng mỗi mét vuông. Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể, số thùng sơn tối đa mà công ty
đó có thể sản xuất được là bao nhiêu?
Câu 5. Xét một chiếc bàn phẳng, có hai viên bi hình cầu được đặt trên mặt bàn. Gắn hệ trục tọa độ Oxyz
sao cho mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt bàn, trục Oz hướng thẳng đứng lên trên so với mặt bàn và mỗi đơn
vị trên các trục tương ứng với 1 cm . Ban đầu 2 viên bi này đứng yên trên mặt bàn, tâm của chúng lần lượt
trùng với các điểm I ( 11; − 5;3) và J (13; 2 − ;5).
Tại một thời điểm, người ta đồng thời tác động cho 2 viên bi lăn về phía nhau trên mặt bàn theo cùng một
đường thẳng với tốc độ không đổi là 5 cm/s và 4 cm/s (viên bi nhỏ hơn có tốc độ lớn hơn). Hỏi sau bao
nhiêu giây kể từ khi tác động thì hai viên bi va chạm với nhau? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 6. Theo dõi thời tiết hai huyện kề nhau A và B người ta nhận thấy trong cùng một ngày, nếu huyện B
không mưa thì khả năng huyện A không mưa là 65% , còn nếu huyện A không mưa thì khả năng huyện B
không mưa là 60% . Hơn nữa, xác suất cả hai huyện A và B có mưa trong cùng một ngày là 10% . Hãy tính
xác suất để ít nhất một trong hai huyện có mưa trong một ngày (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
------ HẾT ------ Trang 4/4 - Mã đề 0101
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2025 HÀ TĨNH BÀI THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 90 phút
(Đề có 4 trang)
Họ tên : ............................................................... Số báo danh : ................... Mã đề 0102
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Nghiệm của phương trình 2x+5 3 = 27 là A. x =1. B. x = 3. C. x = 1 − . D. x = 2 .
Câu 2: Cho trước 6 chiếc ghế xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp ba bạn ,
A B, C vào 6 chiếc ghế đó
sao cho mỗi bạn ngồi một ghế là A. 3 A . B. 15. C. 3 C . D. 6 . 6 6
Câu 3: Cho khối chóp có diện tích đáy bằng 2
3a , chiều cao bằng 2a . Thể tích khối chóp đó bằng A. 3 2a . B. 3 3a . C. 3 6a . D. 3 a .
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) (x + )2 + ( y − )2 + (z + )2 : 1 1
2 = 9. Điểm nào dưới đây
thuộc mặt cầu (S )? A. P( 3 − ; 1 − ;− ) 1 . B. Q(3;1 ) ;1 . C. N ( 1; − 1;− 2) . D. M (1; 1; − 2) .
Câu 5: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số = ex y + sin x
A. ex − sin x + C.
B. ex − cos x + C.
C. ex + cos x + C.
D. −ex + sin x + C.
Câu 6: Cho cấp số nhân (u có hai số hạng đầu tiên là u = 3
− và u = 9 . Giá trị của u bằng n ) 1 2 3 A. 27 − . B. 21. C. 15. D. 12 − .
Câu 7: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;0;0) , B(0;− 2;0) và C (0;0;3) là A. x y z + + = 0 . B. x y z + + = 1. C. x y z + + = 1 − . D. x y z + + = 1. 1 2 − 3 1 2 3 1 2 − 3 1 2 − 3
Câu 8: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là A. 1 − . B. 4. C. 2 − . D. 3.
Câu 9: Đồ thị hàm số 3 y = 2x −1−
có phương trình đường tiệm cận xiên là x +1
A. y = 2x −1.
B. y = 2x +1.
C. y = x +1.
D. y = 2x − 3 . Trang 1/4 - Mã đề 0102
Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình log x − 3 > 1 − là 1 ( ) 7 A.  22 3;   . B. (10;+ ∞) . C. (3;+∞) . D. (3;10) . 7   
Câu 11: Thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các học sinh trong một lớp học ta có bảng số liệu sau:
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm). A. 5,97 . B. 34,47 . C. 35,66. D. 5,87 .
Câu 12: Cho hình chóp đều S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC B .
D Phát biểu nào sau đây là sai? S A D O B C
A. AC SD .
B. AC SB .
C. AB SO .
D. AC SC .
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số ( ) = ( 2 −3 −3)ex f x x x .
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x∈ .
b)
Giá trị f (0) = − e 3 .
c) Phương trình f ′(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
d)
Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng ( 2; − 3) .
Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với độ dài 10k . m
Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá 30k .
m Một UAV (thiết bị bay không người lái) di chuyển theo đường thẳng từ vị trí A( 2 − ; 1; − 4) đến vị trí
B(6;3;0) với tốc độ không đổi là 80km | h. 
a) Vectơ AB = (8;4;− 4). x = 2 − + 2t
b) Phương trình đường thẳng AB là y = 1 − + t ,t ∈ .  z = 4−  t
c) Vị trí đầu tiên UAV bị trạm theo dõi phát hiện là M (2;1;2).
d) UAV bay qua vùng bị phát hiện trong khoảng thời gian nhiều hơn 19 phút. Trang 2/4 - Mã đề 0102
Câu 3. Một quần thể vi khuẩn ( A) có số lượng cá thể là P(t), trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ
khi bắt đầu quan sát. Nghiên cứu cho thấy số lượng vi khuẩn ( A) thay đổi với tốc độ là ′( ) 0,1t 0,03 200e 150e t P t − = +
(cá thể/phút). Lúc bắt đầu quan sát, quần thể ( A) có 200000 vi khuẩn. Sau 12
phút, một quần thể vi khuẩn (B) xuất hiện và có tốc độ tăng trưởng là ′( ) 0,2 = 400e u Q u
(cá thể/phút), với u
là thời gian tính bằng phút kể từ khi vi khuẩn (B) xuất hiện. Sau khi vi khuẩn (B) xuất hiện 8 phút thì số
lượng vi khuẩn hai quần thể bằng nhau.
a) P′(0) = 0 .
b) P(0) = 200000.
c) Sau 20 phút kể từ khi bắt đầu quan sát, số lượng vi khuẩn ( A) là 215034 con (làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Số lượng vi khuẩn (B) ở thời điểm bắt đầu xuất hiện không vượt quá 207000 con.
Câu 4. Một nhóm nghiên cứu tiến hành khảo sát 10000 người và nhận thấy những người hút thuốc lá có
nguy cơ bị ung thư phổi cao hơn so với người không hút thuốc lá. Kết quả khảo sát của nhóm nghiên cứu
được trình bày trong bảng dữ liệu thống kê sau đây:
Chọn ngẫu nhiên một người trong 10000 người được khảo sát.
a)
Xác suất người đó hút thuốc lá là 11,2%.
b) Nếu người đó bị ung thư phổi thì xác suất người đó hút thuốc lá nhỏ hơn 80% .
c) Xác suất để người đó bị ung thư phổi là 13,92%.
d) Dựa theo kết quả khảo sát trên ta thấy, người hút thuốc lá có nguy cơ mắc bệnh ung thư phổi cao gấp
khoảng 14 lần (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) so với người không hút thuốc lá.
PHẦN III.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 , cạnh bên SA vuông góc với
đáy và SA = 3. Gọi α là số đo góc nhị diện [S , BD,C]. Tính cosα (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Câu 2.
Để trang trí bức tường trong một căn phòng, bạn Hoa vẽ lên tường một hình như sau: Đầu tiên bạn
vẽ một hình lục giác đều có cạnh bằng 2dm ; sau đó, trên mỗi cạnh của hình lục
giác vẽ một cánh hoa hình parabol đi qua hai đầu mút của cạnh, đỉnh parabol
nằm phía ngoài hình lục giác và cách cạnh tương ứng 4dm ; cuối cùng bạn vẽ
một đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của sáu parabol ở trên (xem hình vẽ).
Bạn Hoa tô màu phần nằm giữa đường tròn và các cánh hoa (phần màu xám
trong hình vẽ). Diện tích phần tô màu là bao nhiêu 2
dm ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Trang 3/4 - Mã đề 0102
Câu 3. Bác Hùng có một khu vườn hình thang vuông ABCD với AB = 35 ,
m AD = 30m . Bác ấy đã đào
một cái hồ để trồng sen, hồ được bao bởi cạnh BC và đường cong BIC là một phần của parabol đỉnh I như hình vẽ. B C I A D
Bác Hùng muốn làm một con đường đi từ điểm M trên cạnh AD ra một điểm trên mép hồ sen rồi lại từ
điểm đó tới một điểm trên cạnh AB .
Biết khoảng cách từ I đến AB AD tương ứng là 20m và 15m , hỏi tổng chiều dài con đường đó ngắn nhất là bao nhiêu mét?
Câu 4. Một công ty dự kiến chi 100 triệu đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít.
Chi phí để làm mặt xung quanh của thùng là 100 nghìn đồng mỗi mét vuông, làm mặt đáy của thùng là 120
nghìn đồng mỗi mét vuông. Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể, số thùng sơn tối đa mà công ty
đó có thể sản xuất được là bao nhiêu?
Câu 5. Xét một chiếc bàn phẳng, có hai viên bi hình cầu được đặt trên mặt bàn. Gắn hệ trục tọa độ Oxyz
sao cho mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt bàn, trục Oz hướng thẳng đứng lên trên so với mặt bàn và mỗi đơn
vị trên các trục tương ứng với 1 cm . Ban đầu 2 viên bi này đứng yên trên mặt bàn, tâm của chúng lần lượt
trùng với các điểm I (5;−8;3) và J ( 3; − 7;4).
Tại một thời điểm, người ta đồng thời tác động cho 2 viên bi lăn về phía nhau trên mặt bàn theo cùng một
đường thẳng với tốc độ không đổi là 5 cm/s và 3 cm/s (viên bi nhỏ hơn có tốc độ lớn hơn). Hỏi sau bao
nhiêu giây kể từ khi tác động thì hai viên bi va chạm với nhau? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 6. Theo dõi thời tiết hai huyện kề nhau A và B người ta nhận thấy trong cùng một ngày, nếu huyện B
không mưa thì khả năng huyện A không mưa là 60% , còn nếu huyện A không mưa thì khả năng huyện B
không mưa là 55%. Hơn nữa, xác suất cả hai huyện A và B có mưa trong cùng một ngày là 10% . Hãy tính
xác suất để ít nhất một trong hai huyện có mưa trong một ngày (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
------ HẾT ------ Trang 4/4 - Mã đề 0102
HƯỚNG DẪN - ĐÁP ÁN ĐỀ LẺ
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số ( ) = ( 2 −5 + ) 1 ex f x x x .
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x∈ .
b) Giá trị f (0) = e .
c)
Phương trình f ′(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
d)
Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng ( 1; − 4) . Lời giải a) Đúng. b) Sai. Ta có: f (0) =1 c) Đúng. x = 4
Ta có: f ′(x) = ( 2
x − 3x − 4)ex = 0 ⇔  . x = 1 −
Vậy phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. d) Sai.
Lập bảng xét dấu của f ′(x) ta được hàm số f (x) nghịch biến trên ( 1; − 4) .
Câu 2. Một quần thể vi khuẩn ( A) có số lượng cá thể là P(t), trong đó t là thời gian tính bằng phút kể
từ khi bắt đầu quan sát. Nghiên cứu cho thấy số lượng vi khuẩn ( A) thay đổi với tốc độ là ′( ) 0,1t 0,04 300e 200e t P t − = +
(cá thể/phút). Lúc bắt đầu quan sát, quần thể ( A) có 300000 vi
khuẩn. Sau 15 phút, một quần thể vi khuẩn (B) xuất hiện và có tốc độ tăng trưởng là ′( ) 0,2 = 500e u Q u
(cá thể/phút), với u là thời gian tính bằng phút kể từ khi vi khuẩn (B) xuất
hiện. Sau khi vi khuẩn (B) xuất hiện 9 phút thì số lượng vi khuẩn hai quần thể bằng nhau.
a) P′(0) = 0 .
b)
P(0) = 300000 .
c)
Sau 24 phút kể từ khi bắt đầu quan sát, số lượng vi khuẩn ( A) là 333155 con (làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Số lượng vi khuẩn (B) ở thời điểm bắt đầu xuất hiện không vượt quá 320000 con. Lời giải a) Sai. P′(0) = 500 . b) Đúng. P(0) = 300000 . c) Đúng. ( ) = ′ ∫ ( ) = ∫( 0,1 0 − ,04 0 30 t t + ) 0,1t 0 − ,04 d e 200e dt = 3000e − 5000e t P t P t t + C .
Lại có P(0) = 300000 suy ra 2000 −
+ C = 300000 ⇒ C = 302000 . Do đó ( ) 0,1t 0,04 3000e 5000e t P t − = − + 302000 . Vậy P( ) 0,1.24 0 − ,04.24 24 = 3000e − 5000e + 302000 ≈ 333155. d) Sai.
Sau 9 phút vi khuẩn (B) xuất hiện thì số lượng vi khuẩn hai quần thể bằng nhau. Suy ra số lượng
quần thể ( A) ở phút thứ 24 (tính từ khi quan sát) bằng số lượng quần thể (B) ở phút thứ 9 (tính
từ khi xuất hiện). Tức là P(24) = Q(9). Ta có ( ) = ′ ∫ ( ) 0,2u 0,2
d = 500e du = 2500e u Q u Q u u + c ∫ ⇒ Q( ) 1,8 9 = 2500e + c .
P( ) = Q( ) ⇒ c = P( ) 1,8 24 9 24 − 2500e ≈ 318031 ⇒ ( ) 0,2 = 2500e u Q u + 318031 ⇒ Q(0) = 320531.
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với độ dài 10k . m
Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá 30k .
m Một UAV (thiết bị bay không người lái) di chuyển theo đường thẳng từ vị trí A(4;2; ) 1 đến vị trí 1 7 B 1; ;  − − 
với tốc độ không đổi là 80km | h. 2 2     a) Vectơ 5 5 AB  5; ;  = − −  . 2 2    x = 4 + 2t
b) Phương trình đường thẳng AB là y = 2 + t ,t ∈ .  z =1−  t
c) Vị trí đầu tiên UAV bị trạm theo dõi phát hiện là M (0;0;3).
d) UAV bay qua vùng bị phát hiện trong khoảng thời gian ít hơn 18 phút. Lời giải a) Đúng.  5 5 AB  5; ;  = − −  2 2    b) Đúng.   5 5  AB 5; ;  = − − ⇒ u = (2;1;−   ) 1  2 2 AB  x = 4 + 2t
nên phương trình đường thẳng AB là y = 2 + t ,t ∈ .  z =1−  t c) Sai.
Phương trình mặt cầu (S ) tâm O bán kính 30km (3 đơn vị) là: 2 2 2
x + y + z = 9 .
Toạ độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt cầu (S ) là nghiệm của hệ x = 2 x = 4 + 2t  y = 1  y = 2 + t z = 2  ⇒  z =1− t  x = 0 2 2 2
x + y + z = 9 y = 0   z =  3   Nhận thấy  5 5 AB 5; ;  − − , M M 2 − ; 1; −   1 cùng hướng. 2 1 ( )  2 2 
Vậy có vị trí đầu tiên vệ tinh do thám bị trạm theo dõi phát hiện là M 2;1;2 . 2 ( ) d) Sai.
Ta có M 0;0;3 ;M 2;1;2 ⇒ M M = 6 , nên quãng đường vệ tinh do thám bay qua vùng bị 1 ( ) 2 ( ) 1 2
phát hiện là 10 6 ( km).
Vệ tinh do thám bay qua vùng bị phát hiện cần 60 15 6 .10 6 = ≈ 18,4 phút. 80 2
Câu 4. Một nhóm nghiên cứu tiến hành khảo sát 10000 người và nhận thấy những người hút thuốc lá có
nguy cơ bị ung thư phổi cao hơn so với người không hút thuốc lá. Kết quả khảo sát của nhóm
nghiên cứu được trình bày trong bảng dữ liệu thống kê sau đây:
Chọn ngẫu nhiên một người trong 10000 người được khảo sát.
a) Xác suất người đó hút thuốc lá là 11,24%.
b) Nếu người đó bị ung thư phổi thì xác suất người đó hút thuốc lá lớn hơn 80%.
c) Xác suất người đó bị ung thư phổi là 14%.
d) Dựa theo kết quả khảo sát trên ta thấy, người hút thuốc lá có nguy cơ mắc bệnh ung thư phổi
cao gấp khoảng 14 lần (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) so với người không hút thuốc lá. Lời giải
Gọi A :” Chọn được một người hút thuốc lá”; B :” Chọn được một người bị ung thư phổi” a) Sai. n( A) = + = ⇒ P( A) 2250 1124 1126 2250 = = 0,225 = 22,5% . 10000 b) Đúng.
P( A B) n( A B) 1124 = = ≈ . n(B) 80,3% 1400 c) Đúng. P(B) 1124 + 276 = = 14% . 10000 d) Đúng.
P(B A) P( A B) P(B) 562 = = P( A) . 1125
P(B A) P( A B)P(B) 9 31 69 = = − = = − = P( A) ; P( A) 1
; P(A B) 1 P(A B) 40 40 350 ⇒ P(B A) 138 = 3875 P(B A) Do đó: 8711 = ≈ P(B A) 14. 621
PHẦN III.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, cạnh bên SA vuông góc với
đáy và SA = 10 . Gọi α là số đo góc nhị diện [S , BD,C]. Tính cosα (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Lời giải Đáp án: –0,4 S A D O B C Có α =  ⇒ α =  = −  cos cos cos AO SOC SOC SOA = − . SO
Tính được AO = 2, SO = 2 3 nên 1 cosα = − ≈ 0, − 4 . 6
Câu 2. Để trang trí bức tường trong một căn phòng, bạn Hoa vẽ lên tường một hình như sau: Đầu tiên bạn
vẽ một hình lục giác đều có cạnh bằng 2dm ; sau đó, trên mỗi cạnh của hình lục giác vẽ một cánh
hoa hình parabol đi qua hai đầu mút của cạnh, đỉnh parabol nằm phía ngoài hình lục giác và cách
cạnh tương ứng 3dm ; cuối cùng bạn vẽ một đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của sáu parabol ở
trên (xem hình vẽ).
Bạn Hoa tô màu phần nằm giữa đường tròn và các cánh hoa (phần màu xám trong hình vẽ). Diện
tích phần tô màu là bao nhiêu 2
dm ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải Đáp án: 36
Xét cánh hoa hình parabol (P) đi qua các điểm A(0;3), B( 1;
− 0),C (1;0) với A là đỉnh của (P)
B,C là hai đầu mút thỏa mãn BC = 2 là độ dài cạnh của hình lục giác đều.
Gọi phương trình parabol (P) là 2
y = ax + bx + c . Vì ,
A B,C ∈(P) ⇒ (P) : 2 y = 3− 3x .
Từ đó diện tích mỗi cánh hoa là 1 2 S = 3− 3x dx = 4 1 ∫ . 1 −
(Ta có thể tính diện tích mỗi cách hoa theo công thức nhanh 2 2
S = ah = .2.3 = 4, với a là cạnh 1 3 3
lục giác, h là khoảng cách từ đỉnh cánh hoa đến cạnh lục giác) 2
Lục giác gồm 6 tam giác đều cạnh bằng 2, diện tích mỗi tam giác là 2 3 S = = 3 . 2 4
Đường tròn có bán kính 3 R = 3+ 2. = 3+ 3 . 2
Vậy diện tích phần tô màu là S = π (3+ 3)2 2
− 6.4 − 6. 3 ≈ 36 (dm ) .
Câu 3. Bác Hùng có một khu vườn hình thang vuông ABCD với AB = 45 ,
m AD = 30m . Bác ấy đã đào
một cái hồ để trồng sen, hồ được bao bởi cạnh BC và đường cong BIC là một phần của parabol
đỉnh I như hình vẽ. B C I A D
Bác Hùng muốn làm một con đường đi từ điểm M trên cạnh AD ra một điểm trên mép hồ sen
rồi lại từ điểm đó tới một điểm trên cạnh AB .
Biết khoảng cách từ I đến AB AD tương ứng là 20m và 25m , hỏi tổng chiều dài con
đường đó ngắn nhất là bao nhiêu mét? Lời giải Đáp án: 40
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, mỗi đơn vị trên các trục ứng với 10m . Khi đó 5 I  2;   1 9  và 9
B0; nên parabol có phương trình 2
y = x − 2x + . 2      2  2 2
Gọi con đường là đường gấp khúc MEN . Để chiều dài con đường ngắn nhất thì E phải nằm trên đường cong BI .
E nằm trên đường cong BIC nên  1 2 9 E x; x 2x  − +  với 0 ≤ x ≤ 2. 2 2   
Tổng độ dài con đường là:  1 2 9  1
EM + EN EH + EK = x − 2x + + x = (x − )2 1 + 4 ≥   4 .  2 2  2
Vì đơn vị mỗi trục ứng với 10 mét nên độ dài con đường ngắn nhất là 40 mét.
Câu 4. Một công ty dự kiến chi 100 triệu đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 8 lít.
Chi phí để làm mặt xung quanh của thùng là 125 nghìn đồng mỗi mét vuông, làm mặt đáy của
thùng là 150 nghìn đồng mỗi mét vuông. Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể, số thùng
sơn tối đa mà công ty đó có thể sản xuất được là bao nhiêu? Lời giải Đáp án: 3399
Gọi chiều cao và bán kính đáy của thùng hình trụ lần lượt là h r (đơn vị mét, h > 0, r > 0 ).
Thể tích của thùng là 8 lít (bằng 8 3 m ) nên 2 8 1 V = π r h = ⇒ h = (m). 1000 2 1000 125π r
Diện tích mặt xung quanh là 2 S = π rh = ( 2 m ). xq 2 125r Diện tích hai đáy là 2 S = π r ( 2 m ). đ 2
Số tiền cần thiết để sản xuất một thùng sơn là f (r) 2 2
= + 300π r (nghìn đồng). r Ta có: f ′(r) 2 − 1 =
+ 600π r; f r = 0 ⇔ r = . 2 ( ) 3 r 300π
Lập BBT của f (r) trên (0;+ ∞) suy ra f (r)  1 min f  =  . 3 300π   
Do đó với số tiền 100 triệu đồng thì công ty có thể sản xuất không vượt quá 5 10 ≈ 3399,813047 thùng.  1 f   3 300π   
Vậy số thùng sơn tối đa sản xuất được là 3399 thùng.
Câu 5. Xét một chiếc bàn phẳng, có hai viên bi hình cầu được đặt trên mặt bàn. Gắn hệ trục tọa độ Oxyz
sao cho mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt bàn, trục Oz hướng thẳng đứng lên trên so với mặt bàn
và mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 cm . Ban đầu 2 viên bi này đứng yên trên mặt bàn,
tâm của chúng lần lượt trùng với các điểm I ( 11; − 5;3) và J (13; 2 − ;5).
Tại một thời điểm, người ta đồng thời tác động cho 2 viên bi lăn về phía nhau trên mặt bàn theo
cùng một đường thẳng với tốc độ không đổi là 5 cm/s và 4 cm/s (viên bi nhỏ hơn có tốc độ lớn
hơn). Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi tác động thì hai viên bi va chạm với nhau? (làm tròn kết
quả đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp án: 1,92
Nhận xét: Bán kính viên bi chính là khoảng cách từ tâm đến mặt bàn, điểm tiếp xúc chính là hình
chiếu vuông góc của tâm trên mặt bàn.
Viên bi thứ nhất có bán kính r = 3 (cm) và tiếp xúc với mặt bàn tại điểm A( 11; − 5;0) . 1
Viên bi thứ hai có bán kính r = 5 (cm) và tiếp xúc với mặt bàn tại điểm B(13; 2 − ;0). 2
Vì 2 viên bi lăn thẳng về phía nhau trên mặt bàn nên điểm tiếp xúc của 2 viên bi với mặt bàn luôn
chạy trên đoạn thẳng AB .
Giả sử tại thời điểm t giây thì hai viên bi va chạm với nhau. J' J I I' H A A' B' B
Khi đó viên bi thứ nhất di chuyển được quãng đường AA′ = 5t (cm) , viên bi thứ 2 di chuyển được
quãng đường BB′ = 4t (cm) . Ta có 2 2
AB′ = I H
′ = I J′′ − J H
= (r + r )2 − (r r )2 = 2 15 . 1 2 2 1 Mà 2 2
AB = 24 + 7 = 25 ⇒ AA′ + BB′ = 25 − 2 15 . Do đó 25 2 15 5t 4t 25 2 15 t − + = − ⇒ = ≈ 1,92 giây. 9
Vậy sau khoảng 1,92 giây thì hai viên bi va chạm.
Câu 6. Theo dõi thời tiết hai huyện kề nhau A và B người ta nhận thấy trong cùng một ngày, nếu huyện B
không mưa thì khả năng huyện A không mưa là 65% , còn nếu huyện A không mưa thì khả năng
huyện B không mưa là 60% . Hơn nữa, xác suất cả hai huyện A và B có mưa trong cùng một ngày
là 10% . Hãy tính xác suất để ít nhất một trong hai huyện có mưa trong một ngày (làm tròn kết
quả đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp án: 0,59
Gọi A B lần lượt là biến cố huyện A và B có mưa trong một ngày.
Ta có P( A| B) = 0,65; P(B | A) = 0,6 và P( AB) = 0,1.
Suy ra P( A| B) = 0,35 và P(B | A) = 0,4.
Đặt a = P( A) và b = P(B) với a,b∈[0; ] 1 . P AB
P( A) − P( AB) Khi đó ta có: = P( A B ∣ ) ( ) a − 0,1 0,35 = = = ⇒ + = P(B) − P(B) 20a 7b 9 ( ) 1 1 1− b P B A
P(B) − P( AB) Tương tự: = P(B A ∣ ) ( ) b − 0,1 0,4 = = = ⇒ + = P( a b A) 1− P( A) 2 5 2,5 (2) 1− a Từ (1) và (2) suy ra 55 16 a = , b = . 172 43
Vậy xác suất để ít nhất một trong hai huyện có mưa trong một ngày là
P( AB) = P( A) + P(B) − P( AB) 55 16 = + − 0,1 ≈ 0,59 . 172 43
HƯỚNG DẪN - ĐÁP ÁN ĐỀ CHẴN
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số ( ) = ( 2 −3 −3)ex f x x x .
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x∈ .
b) Giá trị f (0) = − e 3 .
c) Phương trình f ′(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
d)
Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng ( 2; − 3) . Lời giải a) Đúng. b) Sai.
Ta có: ( ) = ( 2 −3 −3)ex f x x xf (0) = 3 − . c) Đúng. x = 3
Ta có: f ′(x) = ( 2
x x − 6)ex = 0 ⇔  . x = 2 −
Vậy phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. d) Sai.
Lập bảng xét dấu của f ′(x) ta được hàm số f (x) nghịch biến trên ( 2; − 3) .
Câu 2. Một quần thể vi khuẩn ( A) có số lượng cá thể là P(t), trong đó t là thời gian tính bằng phút kể
từ khi bắt đầu quan sát. Nghiên cứu cho thấy số lượng vi khuẩn ( A) thay đổi với tốc độ là ′( ) 0,1t 0,03 200e 150e t P t − = +
(cá thể/phút). Lúc bắt đầu quan sát, quần thể ( A) có 200000 vi
khuẩn. Sau 12 phút, một quần thể vi khuẩn (B) xuất hiện và có tốc độ tăng trưởng là ′( ) 0,2 = 400e u Q u
(cá thể/phút), với u là thời gian tính bằng phút kể từ khi vi khuẩn (B) xuất
hiện. Sau khi vi khuẩn (B) xuất hiện 8 phút thì số lượng vi khuẩn hai quần thể bằng nhau.
a) P′(0) = 0 . b) P(0) = 200000.
c) Sau 20 phút kể từ khi bắt đầu quan sát, số lượng vi khuẩn ( A) là 215034 con (làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Số lượng vi khuẩn (B) ở thời điểm bắt đầu xuất hiện không vượt quá 207000 con. Lời giải a) Sai. P′(0) = 350 . b) Đúng. P(0) = 200000 . c) Đúng. ( ) = ′ ∫ ( ) = ∫( 0,1t 0 − ,03 200 t + ) 0,1t 0 − ,03 d e 150e dt = 2000e − 5000e t P t P t t + C .
Lại có P(0) = 200000 suy ra 3000 −
+ C = 200000 ⇒ C = 203000 . Do đó ( ) 0,1t 0,03 2000e 5000e t P t − = − + 203000 . Vậy P( ) 0,1.20 0 − ,03.20 20 = 2000e − 5000e + 203000 ≈ 215034 . d) Sai.
Sau 8 phút vi khuẩn (B) xuất hiện thì số lượng vi khuẩn hai quần thể bằng nhau. Suy ra số lượng
quần thể ( A) ở phút thứ 20 (tính từ khi quan sát) bằng số lượng quần thể (B) ở phút thứ 8 (tính
từ khi xuất hiện). Tức là P(20) = Q(8) . Ta có ( ) = ′ ∫ ( ) 0,2u 0,2
d = 400e du = 2000e u Q u Q u u + c ∫ ⇒ Q( ) 1,6 8 = 2000e + c .
P( ) = Q( ) ⇒ c = P( ) 1,6 20 8 20 − 2000e ≈ 205128 ⇒ ( ) 0,2 = 2000e u Q u + 205128 ⇒ Q(0) = 207128 .
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với độ dài 10k . m
Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá 30k .
m Một UAV (thiết bị bay không người lái) di chuyển theo đường thẳng từ vị trí A( 2 − ; 1;
− 4) đến vị trí B(6;3;0) với tốc độ không đổi là 80km | h. 
a) Vectơ AB = (8;4;− 4). x = 2 − + 2t
b) Phương trình đường thẳng AB là y = 1 − + t ,t ∈ .  z = 4−  t
c) Vị trí đầu tiên UAV bị trạm theo dõi phát hiện là M (2;1;2).
d) UAV bay qua vùng bị phát hiện trong khoảng thời gian nhiều hơn 19 phút. Lời giải a) Đúng.  AB = (8;4; 4 − ). b) Đúng.   AB = (8;4; 4 − ) ⇒ u = − . AB (2;1; )1 x = 2 − + 2t
nên phương trình đường thẳng AB là y = 1
− + t ,t ∈ . z = 4−  t c) Sai.
Phương trình mặt cầu (S ) tâm O bán kính 30km (3 đơn vị) là 2 2 2
x + y + z = 9 .
Toạ độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt cầu (S ) là nghiệm của hệ x = 2 x = 2 − + 2t  y = 1  y = 1 − + t z = 2  ⇒  . z = 4 − t  x = 0 2 2 2
x + y + z = 9 y = 0   z =  3
Gọi M 0;0;3 ;M 2;1;2 . 1 ( ) 2 ( )   Nhận thấy AB(8;4; 4 − ), M M 2;1; 1 − cùng hướng. 1 2 ( )
Vậy có vị trí đầu tiên vệ tinh do thám bị trạm theo dõi phát hiện là M 0;0;3 . 1 ( ) d) Sai.
Ta có M 0;0;3 ;M 2;1;2 ⇒ M M = 6 , nên quãng đường vệ tinh do thám bay qua vùng bị 1 ( ) 2 ( ) 1 2
phát hiện là 10 6 ( km).
Vệ tinh do thám bay qua vùng bị phát hiện cần 60 15 6 .10 6 = ≈ 18,4 phút. 80 2
Câu 4. Một nhóm nghiên cứu tiến hành khảo sát 10000 người và nhận thấy những người hút thuốc lá có
nguy cơ bị ung thư phổi cao hơn so với người không hút thuốc lá. Kết quả khảo sát của nhóm
nghiên cứu được trình bày trong bảng dữ liệu thống kê sau đây:
Chọn ngẫu nhiên một người trong 10000 người được khảo sát.
a) Xác suất người đó hút thuốc lá là 11,2%.
b) Nếu người đó bị ung thư phổi thì xác suất người đó hút thuốc lá nhỏ hơn 80% .
c) Xác suất để người đó bị ung thư phổi là 13,92%.
d) Dựa theo kết quả khảo sát trên ta thấy, người hút thuốc lá có nguy cơ mắc bệnh ung thư phổi
cao gấp khoảng 14 lần (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) so với người không hút thuốc lá. Lời giải
Gọi A :” Chọn được một người hút thuốc lá”; B :” Chọn được một người bị ung thư phổi” a) Sai. n( A) = + = ⇒ P( A) 2250 1120 1130 2250 = = 0,225 = 22,5%. 10000 b) Sai.
P( A B) n( A B) 1120 1120 = = = ≈ n(B) 80,5%. 1120 + 272 1392 c) Đúng. P(B) 1120 + 272 = = 13,92%. 10000 d) Đúng.
P(B A) n(AB) 1120 1120 = = = n( A) . 1120 +1130 2250
P( A) 272+ 7478 7750 = =
P(A B) = − P(A B) 272 ; 1 = 10000 10000 1392 272 1392
P(B A) P( A B) P(B) . 1392 10000 272 = = = P( A) 7750 7750 10000 P(B A) Do đó: 1120 272 = = P(B A) : 14.183..... 2250 7750
PHẦN III. Thí sinh trả̉ lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 , cạnh bên SA vuông góc
với đáy và SA = 3. Gọi α là số đo góc nhị diện [S , BD,C]. Tính cosα (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Lời giải Đáp án: –0,3 S A D O B C Có α =  ⇒ α =  = −  cos cos cos AO SOC SOC SOA = − . SO
Tính được AO =1, SO = 10 nên 1 cosα = − ≈ 0, − 3. 10
Câu 2. Để trang trí bức tường trong một căn phòng, bạn Hoa vẽ lên tường một hình như sau: Đầu tiên bạn
vẽ một hình lục giác đều có cạnh bằng 2dm ; sau đó, trên mỗi cạnh của hình lục giác vẽ một cánh
hoa hình parabol đi qua hai đầu mút của cạnh, đỉnh parabol nằm phía ngoài hình lục giác và cách
cạnh tương ứng 4dm ; cuối cùng bạn vẽ một đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của sáu parabol ở
trên (xem hình vẽ).
Bạn Hoa tô màu phần nằm giữa đường tròn và các cánh hoa (phần màu xám trong hình vẽ). Diện
tích phần tô màu là bao nhiêu 2
dm ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải Đáp án: 61
Xét cánh hoa hình parabol (P) đi qua các điểm A(0;4), B( 1;
− 0),C (1;0) với A là đỉnh của (P)
B,C là hai đầu mút thỏa mãn BC = 2 là độ dài cạnh của hình lục giác đều.
Gọi phương trình parabol (P) là 2
y = ax + bx + c . Vì ,
A B,C ∈(P) ⇒ (P) : 2 y = 4 − 4x .
Từ đó diện tích mỗi cánh hoa là 1 2 16 S = 4 − 4x dx = 2 2 16 S = . a h = .4.2 = ) 1 ∫ . (Có thể tính 1 − 3 1 3 3 3
(Ta có thể tính diện tích mỗi cách hoa theo công thức nhanh 2 2 16 S = ah = .2.4 = , với a là 1 3 3 3
cạnh lục giác, h là khoảng cách từ đỉnh cánh hoa đến cạnh lục giác) 2
Lục giác gồm 6 tam giác đều cạnh bằng 2, diện tích mỗi tam giác là 2 3 S = = 3 . 2 4
Đường tròn có bán kính 3 R = 4 + 2. = 4 + 3 . 2
Vậy diện tích phần tô màu là S = π (4+ 3)2 16 2
− 6. − 6. 3 ≈ 61 (dm ) . 3
Câu 3. Bác Hùng có một khu vườn hình thang vuông ABCD với AB = 35 ,
m AD = 30m . Bác ấy đã đào
một cái hồ để trồng sen, hồ được bao bởi cạnh BC và đường cong BIC là một phần của parabol
đỉnh I như hình vẽ. B C I A D
Bác Hùng muốn làm một con đường đi từ điểm M trên cạnh AD ra một điểm trên mép hồ sen
rồi lại từ điểm đó tới một điểm trên cạnh AB .
Biết khoảng cách từ I đến AB AD tương ứng là 20m và 15m , hỏi tổng chiều dài con đường
đó ngắn nhất là bao nhiêu mét? Lời giải Đáp án: 30
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, mỗi đơn vị trên các trục ứng với 10m . Khi đó 3 I  2;   1 7  và 7
B0; nên parabol có phương trình 2
y = x − 2x + . 2      2  2 2
Gọi con đường là đường gấp khúc MEN . Để chiều dài con đường ngắn nhất thì E phải nằm trên đường cong BI .
E nằm trên đường cong BI nên  1 2 7 E x; x 2x  − +  với 0 ≤ x ≤ 2. 2 2   
Tổng độ dài con đường là:  1 2 7  1
EM + EN EH + EK = x − 2x + + x = (x − )2 1 + 3 ≥   3 .  2 2  2
Vì đơn vị mỗi trục ứng với 10 mét nên độ dài con đường ngắn nhất là 30 mét.
Câu 4. Một công ty dự kiến chi 100 triệu đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít.
Chi phí để làm mặt xung quanh của thùng là 100 nghìn đồng mỗi mét vuông, làm mặt đáy của
thùng là 120 nghìn đồng mỗi mét vuông. Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể, số thùng
sơn tối đa mà công ty đó có thể sản xuất được là bao nhiêu? Lời giải Đáp án: 5813
Gọi chiều cao và bán kính đáy của thùng hình trụ lần lượt là h r (đơn vị mét, h > 0, r > 0 ).
Thể tích của thùng là 5 lít (bằng 5 3 m ) nên 2 5 1 V = π r h = ⇒ h = (m). 1000 2 1000 200π r
Diện tích mặt xung quanh là 1 S = π rh = ( 2 m ). xq 2 100r Diện tích hai đáy là 2 S = π r ( 2 m ). đ 2
Số tiền cần thiết để sản xuất một thùng sơn là f (r) 1 2
= + 240π r (nghìn đồng). r Ta có: f ′(r) 1 − 1 =
+ 480π r; f r = 0 ⇔ r = . 2 ( ) 3 r 480π
Lập BBT của f (r) trên (0;+ ∞) suy ra f (r)  1 min f  =  . 3 480π   
Do đó với số tiền 100 triệu đồng thì công ty có thể sản xuất không vượt quá 5 10 ≈ 5813,598533 thùng.  1 f   3 480π   
Vậy số thùng sơn tối đa sản xuất được là 5813 thùng.
Câu 5. Xét một chiếc bàn phẳng, có hai viên bi hình cầu được đặt trên mặt bàn. Gắn hệ trục tọa độ Oxyz
sao cho mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt bàn, trục Oz hướng thẳng đứng lên trên so với mặt bàn
và mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 cm . Ban đầu 2 viên bi này đứng yên trên mặt bàn,
tâm của chúng lần lượt trùng với các điểm I (5;−8;3) và J ( 3; − 7;4).