Đề thi tốt nghiệp THPT 2021 môn Toán đợt 1 -Mã đề 102 (có đáp án và lời giải chi tiết)
Đề thi tốt nghiệp THPT 2021 môn Toán đợt 1 -Mã đề 102 có đáp án và lời giải chi tiết. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 18 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2021 60 tài liệu
Môn: Toán 2.2 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA – ĐỢT 1 – NĂM 2020 -2021
Môn: Toán – Mã đề 102
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) 5
Câu 1. Trên khoảng (0; )
+ , đạo hàm của hàm số 4 y = x là 9 4 1 4 1 5 1 5 − A. 4 X B. 4 x C. 4 X D. 4 x . 9 5 4 4
Câu 2. Cho khối chóp có diện tích đáy 2
B = 3a và chiều cao h = a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 1 A. 3 a . B. 3 3a C. 3 a . D. 3 a 2 3 4 4 Câu 3. Nếu
f (x)dx = 6 và
g(x)dx = 5 − thì 4
[ f (x) − g(x)] bằng 1 1 1 A. 1 − . B. 11 − . C. 1 . D. 11.
Câu 4. Tập xác định của hàmsố 7x y = là A. \{0}. B. [0; ) + . C. (0; ) + . D. .
Câu 5. Cho hàmsố y = f ( )
x có bảng biến thiên như sau
Giá trị ac đại của hàm số đã cho là .3 A B. 1 − . C. −5 D. 1 .
Câu 6. Diện tích S của mặt cầu bán kính R được tính theo công thức nào dưới đây? 4 A. 2 S = 4 R B. 2 S =16 R C. 2 S = R D. 2 S = R 3
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua M (2;2;1) và có một vectơ chỉ phương
u = (5; 2; −3) . Phương trình của d là: x = 2 + 5t x = 2 + 5t x = 2 + 5t x = 5 + 2t
A. y = 2 + 2t
B. y = 2 + 2t
C. y = 2 + 2t
D. y = 2 + 2t z = −1− 3t z = 1+ 3t z = 1− 3t z = −3 + t
Câu 8. Cho hàm số y = f ( )
x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? Trang 1 A. ( 1 − ;1) B. ( ; − 0). C. (0;1) . D. (0; ) + .
Câu 9. Với n là số nguyên dương bất kì n 5 , công thức nào dưới đây đúng? n! 5! n! (n − 5)! A. 5 A = A = A = A = . n 5!(n − . B. 5 5)! n (n − . C. 5 5)! n (n − . D. 5 5)! n n!
Câu 10. Thể tích của khối lập phương cạnh 4a bằng A. 3 64a . B. 3 32a . C. 3 16a D. 3 8a . Câu 11. Cho hàm số 2
f (x) = x + 3 . Khẳng định nào sau đây đúng? 3 x A. 2
f (x)dx = x + 3x + C B. f (x)dx = + 3x + C . 3 C. 3
f (x)dx = x + 3x + C . D.
f (x)dx = 2x + C .
Câu 12. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M( 3
− ;2) là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A. Z = 3 − 2i
B. z = 3 + 2i . C. z = 3 − − 2i . D. z = 3 − + 2i . 3 4 1 2
Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) P : 2
− x +5y + z −3 = 0. Véctơ nào dưới đây là một
véctơ pháp tuyến của ( ) P ? A. n = − 2 ( 2;5;1) B. 1 n = (2;5;1) C. n = − 4 (2;5; 1) D. n = − 3 (2; 5;1)
Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho điểm (4 A ; 1
− ;3) . Tọa độ vectơ OA là A. ( 4 − ;1;3) B. (4; 1 − ;3) C. ( 4 − ;1; 3 − ) D. (4;1;3) .
Câu 15. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. 3
y = x − 3x +1 B. 4 2 y = 2
− x + 4x +1 C. 3
y = −x + 3x +1. D. 4 2
y = 2x − 4x +1 .
Câu 16. Cho cấp số nhân (u với u = 3 và u = 12 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng n ) 1 2 1 A. 9 B. −9 C. . D. 4 . 4
Câu 17. Cho a 0 và a 1 khi đó 3 log a bằng a 1 1 A. −3 B. C. − D. 3 . 3 3
Câu 18. Đồ thị của hàm số 4 2
y = −x − 2x + 3 cat trục tung tại điểm có tung độ bằng A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 .
Câu 19. Cho hai số phức z = 5 + 2i và w = 1 - 4i . Số phức z + w bằng A. 6 + 2i B. 4 + 6i C. 6 − 2i D. 4 − − 6i .
Câu 20. Cho hàm số ( ) x
f x = e +1 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. 1 ( ) x f x dx e − = + C B. ( ) x
f x dx = e − x + C . C. ( ) x
f x dx = e + x + C . D. ( ) x
f x dx = e + C . Trang 2
Câu 21. Cho hàm số y = f ( )
x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . 3 3 Câu 22. Nếu
f (x)dx = 3 thì 2 f (x)dx bằng 0 0 A. 3 B. 18 C. 2 . D. 6 . x +1
Câu 23. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
là đường thẳng có phương trình x − 2 A. x = 1 − . B. X = 2 − . C. x = 2 . D. X = 1
Câu 24. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (0; 2
− ;1) và bán kính bằng 2 . Phương trình của (S) là A. 2 2 2
x + ( y + 2) + (z −1) = 2 . B. 2 2 2
x + ( y − 2) + (z +1) = 2 C. 2 2 2
x + ( y + 2) + (z +1) = 4 . D. 2 2 2
x + ( y + 2) + (z −1) = 4 .
Câu 25. Phần thực của số phức z = 6 − 2i bằng A. 2 − . B. 2 . C. 6 . D. −6 .
Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình 2x 5 là A. (− ; log 5 . B.(log 5;+ C. ( ; − log 2 . D. (log 2;+ . 5 ) 5 ) 2 ) 2 )
Câu 27. Nghiệm của phương trình log (3x) = 2 là 5 32 25 A. x = 25 B. x = . C. x = 32 D. x = . 3 3
Câu 28. Cho khối trụ có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao h = 3 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng A. 16 B. 48 C. 36 D. 12 .
Câu 29. Cho hình lăng trụ đứng AB . C AB C
có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên).
Góc giữa hai đường thẳng AA và B C bằng A. 90 . B. 45 . C. 30 . D. 60 . Trang 3
Câu 30. Trên không gian Oxyz, cho hai điểm ( A 0;0;1) và (
B 2;1;3) . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc
với AB có phương trình là
A. 2x + y + 2z −11 = 0
B. 2x + y + 2z − 2 = 0 .
C. 2x + y + 4z − 4 = 0
D. 2x + y + 4z −17 = 0 .
Câu 31. Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3
quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng 1 1 3 2 A. B. . C. D. . 6 30 5 5
Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn iz = 6 + 5i . Số phức liên hợp của z là
A. Z = 5 − 6i B. Z = 5 − + 6i
C. Z = 5 + 6i D. Z = 5 − − 6i x + a
Câu 33. Biết hàm số y =
(a là số thực cho trước, a 1
− ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào x +1 dưới đây là đúng?
A. y 0 x
B. y 0 x 1 −
C. y 0 x 1 − .
D. y 0 x
Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho điểm M(2;1; 1 − ) và mặt phẳng ( )
P : x − 3y + 2z +1 = 0 . Đường
thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là: x − 2 y −1 z +1 x − 2 y −1 z +1 A. = = B. = = 1 3 − 1 1 3 − 2 x + 2 y +1 z −1 x + 2 y +1 z −1 C. = = D. = = 1 3 − 1 1 3 − 2
Câu 35. Trên đoạn [ 2 − ;1], hàm số 3 2
y = x − 3x −1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. X = 2 − . B. X = 0 . C. x = 1 − . D. x = 1 .
Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại ,
C AC = 3a và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) bằng 3 3 2 A. a . B. a C. Зa. D. 3 2a 2 2 2 Câu 37. Nếu
f (x)dx = 3
thì (Tex translation failed) bằng 0 A. 6 . B. 4. C. 8 . D. 5 .
Câu 38. Với mọi a, b thỏa mãn 3
log a + log b = 8 . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 2 A. 3 a + b = 64 B. 3 a b = 256 C. 3 a b = 64 D. 3 a + b = 256 Trang 4 2
Câu 39. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn (3x − 9x )log (x + 30) − 5 0? 2 A. 30 B. Vô số. C. 31. D. 29 .
2x −1 khi x 1
Câu 40. Cho hàm số f (x) =
. Giả sử F là nguyên hàm của f trên thỏa mãn 2 3
x − 2 khi x 1
F(0) = 2 . Giá trị của F( 1 − ) + 2 F(2) bằng A. 9 . B. 15 . C. 11 D. 6
Câu 41. Cho hàm số bậc ba y = f ( )
x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt
của phương trình f ( f ( ) x ) =1 là A. 9 . B. 7 . C. 3. D. 6 .
Câu 42. Xét các số phức z, w thỏa mãn ∣ z = 1 và n = 2.Khi z + iw + 6 - 8i đạt giá trị nhỏ nhất, ∣ z − u \} 1 bằng 221 29 A. 5 B. C. 3 . D. 5 5 Câu 43. Cho hàm số 3 2
f (x) = x + ax + bx + C với , a ,
b C là các số thựC. Biết hàm số g(x) f (x) f (x) f = + +
(x) có hai giá trị cực trị là 4
− và 2 . Diện tích hình phẳng giới hạn f (x)
bởi các đường y = y = bằng g(x) + và 1 6 A. 2ln 2. B. ln 6 C. 3ln 2 D. ln 2
Câu 44. Cho khối hộp chữ nhật ABCD AB C
D có đáy là hình vuông, BD = 4a , góc giữa hai mặt
phẳng ( ABD) và (ABC )
D bằng 30 . Thể tích của khối hộp chữ nhậtbằng 16 3 16 3 A. 3 a B. 3 48 3a C. 3 a D. 3 16 3a 9 3 1 2
Câu 45. Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x ; 4
thỏa mãn 3x +xy 12 27 = (1+ )27 x xy ? 3 A. 27 . B. 15 C. 12 D. 14 . x +1 y Z −1
Câu 46. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 1 1 2 ( )
P : 2x + y − z + 3 = 0 . Hình chiếu vuông góc của d trên (P) là đường thẳng có phương trình x +1 y z −1 x+1 y z-1 x-1 y z+1 x-1 y z+1 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 4 5 13 3 -5 1 3 -5 1 4 5 13 Trang 5
Câu 47. Cắt hình nón ( )
bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc 60 ta
được thiết diện là tam giác đều có cạnh 2a . Diện tích xung quanh của ( ) bằng A. 2 7 a . B. 2 13 a . C. 2 2 7 a D. 2 2 13 a
Câu 48. Trên tập hợp số phức, xét phương trình 2 2
z − 2(m +1)z + m = 0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị của tham số m để phương trình đó có nghiệm z thỏa mãn z = 5 ? 0 0 A. 2 B. 3 . C. 1 D. 4
Câu 49. Cho hàm số y = f ( )
x có đạo hàm f x = x − ( 2 ( ) ( 8) x − 9), x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của tham số m để hàmsố g x = f ( 3 ( )
x + 6x + m) có ít nhất 3 điểm ac trị? A. 5 B. 8 . C. 6 D. 7 .
Câu 50. Trong không gian, cho hai điểm ( A 1; 3 − ;2) và ( B 2 − ;1; 3
− ) . Xét hai điểm M và N thay đổi
thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MN = 1. Giá trị lớn nhất của | AM − BN | bằng A. 17 B. 41 . C. 37 D. 61 .
-----------HẾT----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ĐÁP ÁN 1-C 2-D 3-D 4-D 5-A 6-A 7-C 8-C 9-C 10-A 11-B 12-D 13-A 14-A 15-D 16-D 17-B 18-D 19-C 20-C 21-D 22-D 23-C 24-D 25-C 26-A 27-D 28-B 29-B 30-B 31-A 32-C 33-C 34-B 35-B 36-C 37-B 38-B 39-C 40-A 41-B 42-B 43-A 44-C 45-D 46-A 47-A 48-B 49-D 50-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. C 5 1 5 4 4
x = x 4 Câu 2. D 1 1
Thể tích của khối chóp đã cho bằng 2 3
V = B h =
3a a = a . 3 3 Câu 3. D 4 4 4
[ f (x) − g(x)] = f (x)dx − g(x)dx = 6 − ( 5 − ) =11 1 1 1 Câu 4. D Câu 5. A
Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là y = f ( 1 − ) = 3. Câu 6. A
Công thức diện tích mặt cầu: 2 S = 4 R Câu 7. C
Phương trình của d đi qua M(2;2;1) và có một vectơ chỉ phương u = (5; 2; −3) là: Trang 6 x = 2 + 5t
y = 2 + 2t z −1 z =1−3 Câu 8. C
Nhìn đồ thị ta thấy hàmsố đã cho đồng biến trên (0;1) . Câu 9. C n! Ta có: 5 A = h (n − 5)! Câu 10. A
Thể tích của khối lập phương cạnh 4a là 3 3
V = (4a) = 64a . Câu 11. B f x dx = (x + ) 3 x 2 ( ) 3 dx = + 3x + C 3 Câu 12. D
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M ( 3
− ;2) là điểm biểu diễn của số phức z = 3 − + 2i . 2 Câu 13. A Ta có ( ) P : 2
− x +5y + z −3 = 0 VTPT là n = ( 2 − ;5;1) . 2 Câu 14. B Ta có OA = (4; 1 − ;3) Câu 15. D
Đây là đồ thị hàm số bậc 4 với hệ số a 0 . Câu 16. D 12
Ta có u = u q q = = 4 2 1 3 Câu 17. B 1 1 3 log a = log a = a 3 a 3 Câu 18. D Giả sử 4 2
y = −x − 2x + 3C.
Gọi (C) Oy = M ( x ; y x = 0 y = 3 0 0 ) 0 0
Vậy đồ thị của hàm số 4 2
y = −x − 2x + 3 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. Câu 19. C
Ta có : z + w = (5 + 2i) + (1− 4i) = 6 − 2i Câu 20. C Ta có : ( ) = ( x + )1 x f x dx e
dx = e + x + C Trang 7 Câu 21. D
Dựa vào bảng xét dấu suy ra đạo hàm của hàm y = f ( )
x đổi dấu 4 lần nên hàm số đã cho có 4 điểm cực trị. Câu 22. D 3 3
2 f (x)dx = 2
f (x)dx = 2 3 = 6 0 0 Câu 23. C x +1 x +1 Ta có: lim y = lim
= + (hoặc lim y = lim = −. + + x→2 x→2 x − 2 x→2 x→2 x − 2
Vậy x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Câu 24. D
Mặt cầu (S) có tâm I (0; 2
− ;1) và bán kính bằng 2 có phương trình là 2 2 2
x + ( y + 2) + (z −1) = 4 Câu 25. C
Ta có: z = 6 − 2i có phần thực là 6 . Câu 26. A
Ta có: 2x 5 x log 5 2
Vậy tập nghiệm S = (− ; log 5 . 2 ) Câu 27. D
Điều kiện: x 0 . 25
Với điều kiện phương trình đã cho tương đương 2
3x = 5 = 25 x = . 3 Câu 28. B
Thể tích của khối trụ là 2 2
V = r h = 4 3 = 48 . Câu 29. B Ta có: AA’//CC’ nên:
( AA , B C
) = (CC , B C )
Mặt khác tam giác BCC vuông tại C có CC = B C
nên là tam giác vuông cân. Vậy góc giữa hai
đường thẳng AA và B C bằng 45. Câu 30. B Trang 8
Ta có: AB = (2;1; 2) . Mặt phẳng đi qua (
A 0;0;1) và vuông góc với AB nên nhận AB = (2;1; 2) làm vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng là: 2(x −0) +1(y −0) + 2(z −1) = 0 2x + y + 2z − 2 = 0 . Câu 31. A
Lấy ngau nhiên đồng thời 3 quả cầu từ 10 quả bóng đã cho có 3 C cách. 10
Lấy được 3 quả màu xanh từ 6 quả màu xanh đã cho có 3 C cách 6 3 C 1
Vậy xác suất để lấy được 3 quả màu xanh là 6 P = = . 3 C 6 10 Câu 32. C
- Ta có: iz = 6 + 5i z = 5 − 6i Z = 5 + 6i Câu 33. C
Tập xác định D = \{ 1 − }.
Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàmsố nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Do đó y 0 x 1 − . Câu 34. B
Đường thẳng đi qua M(2;1; 1
− ) và vuông góc với (P) nhận VTPT n = (1; 3
− ;2) của (P) làm VTCP nên − − +
có phương trình là: x 2 y 1 z 1 = = . 1 3 − 2 Câu 35. B x = 0 Ta có 2
y = 3x − 6x y = 0
. Ta đang xét trên đoạn [ 2
− ;1] nên loại x = 2 . Ta có x = 2 f ( 2 − ) = 2 − 1; f (0) = 1 − ; f (1) = 3
− . Do đó giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2 − ;1] là 1 − , tại x = 0 . Câu 36. C Ta có ABC
vuông cân tại C nên BC ⊥ AC(1) và AC = BC = 3a .
Mặt khác SA ⊥ (ABC) SA ⊥ BC(2) .
Từ (1) và (2)suyraBC ⊥ (SAC) d( , B (SA )
C ) = BC = 3a .
Vậy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng 3a . Câu 37. B 2 2 2
[2 f (x) −1]dx = 2 f (x)dx − dx = 6 − 2 = 4 0 0 0 Trang 9 Câu 38. B Ta có 3
log a + log b = 8 log ( 3 a b) 3 8 = 8 a b = 2 = 256 2 2 2 Vậy 3 a b = 256 . Câu 39. C 2
Xét hàm số: ( ) = (3x − 9x f x
)log (x+30)−5 , với x 30 − . 2 2 2 x x x 2 3 −9 = 0 3 = 3 x x = 2
Cho: f (x) = 0 5
log (x + 30) − 5 = 0 x + 30 = 2 x = 0 2
Ta có bảng xét dấu như sau: 30 − x 0
Suy ra f (x) 0 x = 2
Mặt khác x nên x { 2 − 9; 2 − 8; 2 − 7; ; 2 − ; 1 − ;0;2}.
Vậy có 31 số nguyên x thỏa mãn. Câu 40. A
Tập xác định: D = .
Với x 1 hay x 1 thì hàm số f (x) là hàm đa thức nên liên tục. Mặt khác: 2
lim f (x) = lim 3x − 2 = 1; lim f ( )
x = lim(2x −1) =1 . − 1 ( ) + + x 1 → x 1 → x 1 → x 1 →
Ta có: lim f (x) = lim f (x) = f (1) = 1 nên hàmsố f (x) liên tục tại điểm x =1 . − + x 1 → x 1 →
Suy ra hàm số f (x) liên tục trên . Với x 1 thì 2
f (x)dx = (2x −1)dx = x − x + C 1 Với x 1 thì f (x)dx = ( 2 3x − 2) 3
dx = x − 2x + C 2
Mà F(0) = 2 nên C = 2 . 2 2
x − x + C khi x 1 Khi đó 1 F (x) = 3
x − 2x + 2 khi x 1
Đồng thời F(x) cũng liên tục trên
nên: lim F (x) = lim F (x) = F (1) = 1 C = 1 Do đó − + 1 x 1 → x 1 → 2
x − x +1 khi x 1 F (x) = 3
x − 2x + 2 khi x 1 2
x − x +1 khi x 1
Do đó F(x) = 3
x − 2x + 2 khi x 1 Vậy: F( 1
− ) + 2 F(2) = 3+ 2.3 = 9. Câu 41. B Trang 10
f (x) = a(a 1 − )
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( )
x suy ra f ( f (x)) = 1 f (x) = 0
f (x) = b(1 b 2) TH1 f ( ) x = ( a a 1
− ) phương trình có một nghiệm TH2 Trang 11 f ( )
x = 0 phương trình có ba nghiệm phân biệt TH3 f ( ) x = (
b 1 b 2) phương trình có ba nghiệm phân biệt
Các nghiệm của (1);(2); (3) là đôi một khác nhau. Vậy f ( f ( )
x ) =1 có 7 nghiệmnghiệm phân biệt Câu 42. B
Ta có | z + iw + 6 − 8i | |
6 −8i | − | z | − | iw |=10 −1− 2 = 7 Dấu " " " xảy ra khi 1 1 1
z = t(6 − 8i) z = − (6 − 8i) z = − (6 − 8i) z = − (6 − 8i) 10 10 10 iw
= t (6 −8i), t,t 0 2 1 1
| z |= 1,| w |= 2 iw = − (6 − 8i) w = (8 + 6i) w = (8 − 6i) 10 5 5 Khi đó 221 | Z − w |= 5 Trang 12 Câu 43. A Ta có: 3 2 2 f (x) x ax bx c f (x) 3x 2ax ; b f = + + + = + +
(x) = 6x + 2a và f (x) = 6 . Phương trình hoành độ f (x)
giao điểm của các đường y = y = là: g(x) + và 1 6 f (x)
= 1 f (x) = g(x) + 6 g(x) + 6 3 2
x + ax + bx + c = ( 3 2
x + ax + bx + c) + ( 2
3x + 2ax + b) + (6x + 2a) + 6 2
3x + (2a + 6)x + 2a + b + 6 = 0(*)
Gọi 2 nghiệm của phương trình (*) là x và x . 1 2
Nhận xét: g(x) f (x) f (x) f = + + (x) g (x) f (x) f (x) f = + + (x) g x = ( 2
x + ax + b) 2 ( ) 3 2
+ (6x + 2a) + 6 = 3x + (2a + 6)x + 2a + b + 6 x = x1
g (x) = 0 x = x 2 f (x)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = y = là g(x) + và 1 6 x f (x) x − − x x f (x) g(x) 6 2 g (x) x2 S = −1 dx = dx = dx |
= ln | g(x) + G ∣ x x x x 1 + + + 1 1 1 g(x) 6 g(x) 6 g(x) 6 |
= ln | g (x + 6 | −ln | g x + 6‖ = ln8 − ln 2 = 2ln 2 2 ) ( 1) Câu 44. C
- Theo giả thiết ABCD là hình vuông nên có 2 2
2AB = BD AB = 2 2a . Do đó 2 2 S = AB = 8a ABCD 1
- Gọi O là tâm của đáy ABCD OA ⊥ BD và OA = BD = 2a . 2
AA ⊥ (ABC )
D AA ⊥ BD BD ⊥ ( AAO) . Do đó góc giữa ( ABD) và mặt phẳng (ABC ) D là góc A O A A O A = 30 Trang 13 2a 3
- Tam giác A\prime OA vuông tại A có AA = OA tan A O A = . 3 2a 3 16 3 Vậy 2 3 V = 8a = a
ABCD. ABCD 3 3 Câu 45. D 2 Xét 3x +xy 1 − 2 ( ) = 27 x f x −(1+ xy) .
Áp dụng bất đẳng thức: x
a x(a −1) +1, ta có f x
( 2x + xy− x) 2 ( ) 26 3 12
+1− (1+ xy) = 78x + (25y − 312)x 0, y 13 Do đó y 12 . = 2 x 0 3x 1 − 2x 2 y = 0 27
=1 3x −12x = 0 x = 4 y 3 − xy 1
− VP 0 (loại) y = 1 − , y = 2 − : thỏa mãn Xét y 0 có 4 (4) = 27 y f
− (1+ 4y) 0, y 0 và 1 − y y 11 f = f (x) = 3 − −1 0, y {1;2; ; 12} 3 3 Do đó phương trình 1 f ( )
x = 0 có nghiệm x ; 4 , y {1;2; ; 12} 3 Vậy y { 2 − ; 1 − ;0;1;2; ; 12}. Câu 46. A
Đường thẳng d qua điểm ( A 1
− ;0;1) và có véc-tơ chỉ phương u = d (1;1; 2) .
Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến n = − P ) (2;1; 1) . Gọi ( )
Q là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P) , khi đó ( )
Q có một véc-tơ pháp tuyến là n = = − − (Q) ud , ( n P) ( 3;5; 1)
Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và ( )
Q suy ra là hình chiếu của d trên (P) .
Khi đó có một véc-tơ chỉ phương là u = n = P ), n(Q) (4;5;13) .
Ta có Ad ( ) Q A( )
Q và dễ thấy tọa độ A thỏa phương trình ( ) P A( ) P .Do đó A . x +1 y z −1
Vậy phương trình đường thẳng là = = . 4 5 13 Câu 47.A Trang 14 Giả sử hình nón( )
có S là đỉnh và O là tâm đường tròn đáy.
Giả sử mặt phẳng đề cho cắt nón theo thiết diện là tam giác đều SAB , khi đó ta có l = SA = 2a . 3
Gọi H là trung điểm AB SH = 2a = a 3 2
Ta có góc giữa ( SAB ) và mặt phẳng chứa đáy là góc SHO = 60 . 1 a 3 Xét S
HO vuông tại O có OH = SH.cos60 = a 3 = 2 2
Xét OAH vuông tại H có bán kính đường tròn đáy là 2 3a a 7 2 2 2 R = OA = AH + OH = a + = 4 2 a 7
Vậy diện tích xung quanh của hình nón ( ) là 2 S = R = 2a = 7a xq 2 Câu 48. B Cách 1. Ta có 2 2
= (m +1) − m = 2m +1. 1 1
Nếu = 0 m = −
thì phương trình có nghiệm z = z = (không thỏa mãn). 2 1 2 2 1
Nếu 0 m −
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt z = m +1+ 2m +1 và 2 1
z = m +1− 2m +1 2 4 − m 0
Trường hợp 1. z = 5 m +1+ 2m +1 = 5 2m +1 = 4 − m 1 2
2m +1 = (4 − m) m 4 m 4 m 4 m = 5 + 10 m = 5 − 10 2 2
2m +1 = (4 − m) m −10m +15 = 0 m = 5 − 10 2 m = l
m +1− 2m +1 = 5
Trường hợp 2. z = 5 |
m +1− 2m +1 |= 5 2
m +1− 2m +1 = 5 − Trang 15 m 4 m +1− 2m +1 = 5 2m +1 = m − 4 2 2m +1 = (m − 4) m 4 m = 5 + 10 2 m −10m +15 = 0 m 6 − m +1− 2m +1 = 5
− 2m +1 = m + 6 2 2m +1 = (m + 6) m 6 − (vô nghiệm). 2
m +10m + 35 = 0 1
Nếu 0 m −
thì phương trình ban đầu có hai nghiệmphức z , z và z = z = 5 2 1 2 1 2 m = 5 (Loai) Theo giả thiết, ta có 2
z z = z z = 25 m = 25 . 1 2 1 2 m = 5 −
Vậy có 3 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2. Đặt z = x + yi(x, y ) là nghiệm của phương trình ban đầu. 0 Theo giả thiết, ta có 2 2
z = 5 x + y = 25(1) . 0
Thay Z vào phương trình ban đầu, ta có 0 2 2 x + yi − m +
x + yi + m = ( 2 2 2 ( ) 2( 1)( ) 0
x − y − 2mx − 2x + m ) + (2xy − 2my − 2y)i = 0 2 2 2 2 2 2
x − y − 2mx − 2x + m = 0
x − y − 2mx − 2x + m = 0
2xy − 2my − 2y = 0
y(x − m −1) = 0 y = 0 (3) x = m +1 Trường hợp 1 . Với 2
y = 0 (1) x = 25 x = 5 . Nếu 2
x = 5 (2) m −10m +15 = 0 m = 5 10 Nếu 2 x = 5
− (2) m +10m + 35 = 0 (vô nghiệm). Trường hợp 2. 2 2
x = m +1 (1) y = 25 − (m +1) ( 6 − m 4) . m = 5 − 2 2 2 2
(2) (m +1) − 25 + (m +1) − 2m(m +1) − 2(m +1) + m = 0 m − 25 = 0 m = 5(L)
Vậy có 3 giá trị của tham số m thỏa mãn. Câu 49. D Cách 1: g x = f ( 3
x + x + m) g x = ( 3
x + x + m) f ( 3 ( ) 6 ( ) 6
x + 6x + m) ( 3x +6x)( 2 3x + 6) =
f ( 3x + 6x + m 3 ) x + 6x
Ta thấy x = 0 là một điểm tới hạn của hàm số g( ) x .
x + 6x + m = 8
x + 6x = 8 − m
Mặt khác f ( x + 6x + m) 3 3 3 = 0 3 3
x + 6x + m = 3
x + 6x = 3− m Xét hàm số 3
h(x) = x + 6x , vì 2 h (
x) = 3x + 6 0, x nên ( h )
x đồng biến trên . Ta có bảng biến thiên của hàm số 3 k(x) |
= h(x) |= x + 6x như sau: Trang 16
Hàm số g x = f ( 3 ( )
x + 6x + m) có ít nhất 3 điểm cực trị khi phương trình f ( 3
x + 6x + m) = 0 có ít nhất
hai nghiệm khác 0 . Điều này xảy ra khi và chỉ khi 8 − m 0 hay m 8 . Kết hợp điều kiện m nguyên dương ta đượC m { 1;2;3 ;
7}. Vậy có 7 giá trị của m thoả mãn. Cách 2:
Nhận thấy hàm g x = f ( 2 ( )
x + 6) | x | +m) là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Để hàm g x = f ( 3 ( )
x + 6x + m) có ít nhất 3 điểm cực trị thì hàm số h x = f ( 3 ( )
x + 6x + m) có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ dương, tức h x = ( 2 x + ) f ( 3 ( ) 3 6
x + 3x + m) = 0 có nghiệm dương hay 3
x + 3x + m = 8 3
x + 3x − 8 = −m 3
x + 3x + m = 3 3
x + 3x − 3 = −
m có nghiệm dương. 3
x + 3x + m = −3 3 x + 3x + 3 = − m Ta có bảng biến thiên m 0
Từ bảng biến thiên suy ra 0 m 8 . −m 8 − Câu 50. C Trang 17
Nhận xét: Avà B nằmkhác phía so với mặt phẳng (Oxy).
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và song song với mặt phẳng (Oxy) ( ) P : z = 2 .
B đối xứng với (P) qua mặt phẳng (Oxy) B ( 2 − ;1;3).
B là hình chiếu của B\prime trên mặt phẳng( P) B ( 2 − ;1;2) . 1 AA = 1 Gọi A = T . A MN
AA / /(Oxy)
A thuộc đường tròn (C) có tâm A và bán kinhR =1,(C) nằm trên mặt phẳng (P) .
Ta có: | AM − BN |= AN − BN = AN − BN AB
AB = 5 R B nằm ngoài đường tròn (C) . 1 1 Do A( ) P , B( ) P mà ( )
P / /(Oxy) suy ra AB luôn cắt mặt phẳng (Oxy) . Ta lại có: 2 2
AB = B B + AB mà BB = 1; AB = 5 AB AB = AB + R = 6 1 1 1 1 max 1max 1 |
AM − BN | = 37 Dấu = " "xảy ra khi A là giao điểm của AB với đường tròn (C) max 1
A ở giữa A và B và N là giao điểm của AB với mặt phẳng (Oxy) . 1 Trang 18