Đề thi tuyển sinh 10 THPT năm 2023-2024 môn toán Sở GD Đăk Lăk (có đáp án và lời giải chi tiết)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 ĐẮK LẮK
NĂM HỌC: 2023 – 2024 Môn: TOÁN
Khoá thi ngày: 10/6/2023
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (1,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: E  3 5  20  5 . b) Giải phương trình: 2
x  4x  3  0 . 3
 x  y  3
c) Giải hệ phương trình:  .
2x  y  7 2  x 1   x 1 x 1  Câu 2.
(1,5 điểm) Cho biểu thức A          
 với x  0 và x 1. 2 2 x x 1 1 x    
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A  0. Câu 3.
(1,5 điểm) Cho hàm số 2
y  x có đồ thị là đường parabol  P và hàm số y  4mx  5 có đồ thị
là đường thẳng d  , với m là tham số.
a) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d  và đường thẳng () song song với nhau,
với () là đồ thị hàm số y  5  m x  3 .
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d  cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x , x thoả mãn 2
x  4mx  105 . 1 2 2 1 Câu 4.
(1,0 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m . Tính diện tích
của khu vườn, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi khu vườn không đổi. Câu 5.
(3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi M là điểm chính giữa cung AB,
E là điểm trên cung AM ( E khác A và M ). Lấy điểm F trên đoạn BE sao cho BF  AE .
Gọi K là giao điểm của MO và BE .
a) Chứng minh rằng EAOK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng E  MF vuông cân.
c) Hai đường thẳng AE và OM cắt nhau tại D . Chứng minh rằng MK.ED  MD.EK . Câu 6.
(0,5 điểm) Bút chì có dạng hình trụ, có đuờng kính đáy 8 mm và chiều cao bằng 180 mm .
Thân bút chì đuợc làm bằng gỗ, phần lõi đuợc làm bằng thân chì. Phần lõi có dạng hình trụ có
chiều cao bằng chiều dài bút và đáy là hình tròn có đường kính 2 mm . Tính thể tích phần gỗ
của 2024 chiếc bút chì (lấy   3 1 , 4 ). Câu 7.
(1,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thay đổi và thoả mãn điều kiện a 9b  6c  2023.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2
P  3a  63ab  243b  243b  378bc 108c  108c  42ca  3a
---------------------------------@Hết@--------------------------------- Trang 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (1,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: E  3 5  20  5 . . b) Giải phương trình: 2
x  4x  3  0 . 3
 x  y  3
c) Giải hệ phương trình:  .
2x  y  7 Lời giải
a) E  3 5  20  5  3 5  4.5  5  3 5  2 5  5  (3 2 1) 5  2 5 Vậy E  2 5 . b) Xét phương trình 2
x  4x  3  0 có a b  c 1 4  3  0 nên phương trình có hai nghiệm x  1  1 phân biệt  c  . x    3  2  a
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x  1  ; x  3  . 1 2 5  x 10 x  2 x  2
c) Cộng vế với vế ta có      2x  y  7 2x  y  7   y  3
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; x y)  (2;3) . 2  x 1   x 1 x 1  Câu 2.
(1,5 điểm) Cho biểu thức A          
 với x  0 và x 1. 2 2 x x 1 1 x    
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A  0. Lời giải
a) Với x  0 và x 1 ta có: 2  x 1   x 1 x 1  A            2 2 x x 1 1 x     2  x 1   x 1 x 1             2 x 2 x  x 1 x 1   2 2 2
 x 1  ( x 1)  ( x 1)      2 x 
( x 1)( x 1) 2 (x 1)
x  2 x 1 x  2 x 1   4x
( x 1)( x 1) Trang 2 2 (x 1) 4  x   4x x  1 1 x  x 1 x Vậy A 
với x  0 và x 1. x 1 x b) Ta có: A  0   0 x 1 x Vì x  0 nên
 0  1 x  0  x 1 x
Kết hợp với điều kiện x  0 và x 1 ta có: 0  x 1 Vậy 0  x 1. Câu 3.
(1,5 điểm) Cho hàm số 2
y  x có đồ thị là đường parabol  P và hàm số y  4mx  5 có đồ thị
là đường thẳng d  , với m là tham số.
a) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d  và đường thẳng () song song với nhau,
với () là đồ thị hàm số y  5  m x  3 .
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d  cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x , x thoả mãn 2
x  4mx  105 . 1 2 2 1 Lời giải
a) Để đường thẳng (d ) và đường thẳng () song song với nhau thì 5   m  4m 
 5  m  4m  5m  5  m  1  3   5
Vậy với m 1 thì đường thẳng (d ) và đường thẳng () song song với nhau.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d ) và (P) là 2 2
x  4mx  5  x  4mx  5  0 Do a c  5
  0 nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu x , x hay (d ) luôn cắt (P) 1 2
tại 2 điểm phân biệt với mọi m
x  x  4m
Áp dụng hệ thức Viet ta có 1 2  x x  5   1 2
Do x là nghiệm của (1) nên 2 2
x  4mx  5  0  x  4mx  5 2 2 2 2 2 Để 2
x  4mx  105 2 1
 4mx  5  4mx 105 2 1
 4mx  x 100 1 2 
 4m4m 100 25 2  m  4 Trang 3  5 m   2   (TM m  ) 5 m    2 5 Vậy với m  
thì đường thẳng (d ) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 2
x , x thoả mãn 2
x  4mx  105 . 1 2 2 1 Câu 4.
(1,0 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m . Tính diện
tích của khu vườn, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi khu vườn không đổi. Lời giải
Gọi chiều dài khu vườn là x (x  45 , mét)
Vì chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m nên chiều rộng khu vườn là x  45( m)
Chu vi khu vườn là: 2(x  x  45)  2(2x  45) x
Chiều dài khu vườn khi giảm đi 2 lần là ( m) 2
Chiều rộng khu vườn khi tăng lên 3 lần là 3(x  45)(m)  x   7 
Khi đó chu vi khu vườn là: 2  3(x  45)  2 x 135      2   2   7 
Vì chu vi khu vườn không đổi nên ta có phương trình: 2 (2x  45)  2  x 135    2  7
 2x  45  x 135 2 3  x  90 2
 x  60(TM )
Suy ra chiều dài khu vườn là 60 m , chiều rộng khu vườn là 60  45  15( m) Diện tích khu vườn là:   2 60.15 900 m 
Vậy diện tích khu vườn là: 2 900m . Câu 5.
(3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi M là điểm chính giữa cung AB,
E là điểm trên cung AM ( E khác A và M ). Lấy điểm F trên đoạn BE sao cho BF  AE .
Gọi K là giao điểm của MO và BE .
a) Chứng minh rằng EAOK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng E  MF vuông cân.
c) Hai đường thẳng AE và OM cắt nhau tại D . Chứng minh rằng MK.ED  MD.EK . Lời giải Trang 4 D M E K F A O B
a) Vì M là điểm chính giữa của cung AB nên OM  AB  AOK  90 .
Ta có AEB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AEK  90 .
Xét tứ giác EAOK có: AOK  AEK  90  90  180 .
Mà E,O là hai đỉnh đối diện của tứ giác EAOK .
 EAOK là tứ giác nội tiếp (đpcm). b) Nối AM ,FM .
Vì M là điểm chính giữa cung AB nên sđ AM  sđ BM
 AM  BM (hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau). Xét AEM  và FBM  có:
AE  BF  gt 
EAM  FBM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EM ).
AM  BM cmt   A  EM  F
 BM c.g.c
 AME  BMF (hai góc tương ứng). Ta có:
AMB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 AMF  BMF  90
 AMF  AME  90 1 1
Mà MEF  MEB  MOB 
90  45 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BM ). 2 2  E
 MF vuông cân tại M (đpcm).
c) Dễ thấy tứ giác AEMB nội tiếp O  DEM  ABM (góc ngoài và góc trong tại đinh đối diện).
AMB  90cmt
Mà tam giác MAB có:  vuông cân tại M       A  MB AM BM cmt  ABM  45. 1
 DEM  45  MEF  DEK . 2 Trang 5
 EM là phân giác trong của góc DEK . MD ED
Áp dụng định lí đường phân giác ta có: 
 MK  ED  MD  EK (đpcm). MK EK Câu 6.
(0,5 điểm) Bút chì có dạng hình trụ, có đuờng kính đáy 8 mm và chiều cao bằng 180 mm .
Thân bút chì đuợc làm bằng gỗ, phần lõi được làm bằng thân chì. Phần lõi có dạng hình trụ có
chiều cao bằng chiều dài bút và đáy là hình tròn có đường kính 2 mm . Tính thể tích phần gỗ
của 2024 chiếc bút chì (lấy   3 1 , 4 ). Lời giải
Bút chì có đường kính đáy 8 mm nên bán kính đáy bằng 4 mm .
Thể tích của cả cái bút chì (gồm cả phần lõi) là: 2 2
V    r  h  3 1
, 4 4 180  9043,2 3 mm 1 1 
Lõi bút chì có đường kính đáy 2 mm nên bán kính đáy bằng 1 mm
Thể tích phần lõi bút là: 2 2
V    r  h  3 1
, 41 180  565,2 3 mm 2 2 
Tính thể tích phần gỗ của một chiếc bút chì là: V  V V  9043,2  565,2  8478 3 mm 1 2  Câu 7.
(1,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thay đổi và thoả mãn điều kiện a 9b  6c  2023.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2
P  3a  63ab  243b  243b  378bc 108c  108c  42ca  3a Lời giải
Đặt x  a; y  9b; z  6c; x, y,z  0
Suy ra: x  y  z  2023 Khi đó: 2 2 2 2 2 2
P  3x  7xy  3y  3y  7 yz  3z  3z  7zx  3x 2 2 2 2 2 2
 5( x  y )  2( x  y )  5( y  z )  2( y  z )  5( z  x )  2( z  x ) Vì 2 2 2
( x  y )  0;( y  z )  0;( z  x )  0 nên ta có 2 2 2
P  5( x  y )  5( y  z )  5( z  x )
 5 x  y  5  y  z  5 z  x
 2 5 x  y  z  2 5 2023  4046 5 2023
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x  y  z hay a  9b  6c  3 2023
Vậy giá trị lớn nhất của P là 4046 5 khi a  9b  6c  . 3
---------------------------------@Hết@--------------------------------- Trang 6