SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 HẢI DƯƠNG
NĂM HỌC: 2023 – 2024 Môn: TOÁN
Khoá thi ngày: 02/6/2023
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (3,0 điểm) x + - x
1. Giải phương trình: 2 1 5 = 5 3 ìï 3x + y = 5 ï
2. Giải hệ phương trình: í ï 2x + 5y = 12 ïî Câu 2. (2,0 điểm) æ 1 1 ö x + 1
1. Rút gọn biểu thức: A x.ç = ç + : ÷ ÷ > ¹ ç ÷ với x 0, x 1. èx- x x - 1÷ ø x- 2 x + 1
2. Cho đường thẳng (d): y = a x + b . Tìm a và b để đường thẳng (d ) song song với đường thẳng (d )
' : y = 5x + 3 và đi qua điểm A(1; ) 3 . Câu 3. (2,0 điểm)
1. Một đội công nhân phải trồng 96 cây xanh. Đội dự định chia đều số cây cho mỗi công nhân
nhưng khi chuẩn bị trồng thì có 4 công nhân được điều đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn
lại phải trồng thêm 4 cây. Hỏi lúc đầu đội công nhân có bao nhiêu người ?
2. Cho parabol (P) 2
: y = x và đường thẳng (d ): y = 3x + m . Tìm m để đường thẳng (d ) cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x , x thoả mãn x + 2x = m + 3 . 1 2 1 2 Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF , BD, CE cắt nhau tại H . · ·
1. Chứng minh rằng: DAH = DEH .
2. Gọi O và M lần lượt là trung điểm của BC và AH . Chứng minh rằng: tứ giác MDOE nội tiếp.
3. Gọi K là giao điểm của AH và DE . Chứng minh rằng: 2
AH = 2MK (AF + HF ). Câu 5. (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2
a + b + c + 2abc + 1³ 2(ab + bc + ca)
---------------------------------@Hết@--------------------------------- Trang 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.(3,0 điểm) x + - x
1. Giải phương trình: 2 1 5 = 5 3 ìï 3x + y = 5 ï
2. Giải hệ phương trình: í ï 2x + 5y = 12 ïî Lời giải 2x + 1 5- x 1. = 5 3 Û 3(2x + ) 1 = 5(5- x)
Û 6x + 3= 25- 5x Û 11x = 22 Û x = 2
Vậy phương trình có nghiệm: x = 2 . ìï 3x + y = 5 ( ) 1 ï 2. í ï 2x + 5y = 12 ï ( ) 2 î
Từ (1) ta có: y = 5- 3x
Thay vào (2) ta được: 2x + 5(5- 3x)= 12
Û 2x + 25- 15x = 12 Û - 13x = - 13 Û x = 1
Với x = 1 thì y = 2 .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; x y)= (1; ) 2 . Câu 2.(2,0 điểm) æ 1 1 ö x + 1
1. Rút gọn biểu thức: A x.ç = ç + : ÷ ÷ > ¹ ç ÷ với x 0, x 1. èx- x x - 1÷ ø x- 2 x + 1
2. Cho đường thẳng (d): y = a x + b . Tìm a và b để đường thẳng (d ) song song với đường thẳng (d )
' : y = 5x + 3 và đi qua điểm A(1; ) 3 . Lời giải æ 1 1 ö x + 1 1. A x.ç = ç + : ÷ ÷ > ¹ ç ÷ với x 0, x 1. èx- x x - 1÷ ø x- 2 x + 1 1+ x x + 1 = x × : x ( x - ) 1 x - 2 x + 1 1+ x x + 1 = : 2 x - 1 ( x - ) 1 2 ( x x - + ) 1 1 = × x - 1 x + 1 = x - 1
Vậy với x > 0, x ¹ 1 thì A = x - 1.
2. Cho đường thẳng (d): y = a x + b . Tìm a và b để đường thẳng (d ) song song với đường thẳng (d )
' : y = 5x + 3 và đi qua điểm A(1; ) 3 .
Vì (d ) song song (d )
' nên a = 5 (b ¹ ) 3 Trang 2
Thay toạ độ điểm A(1; )
3 vào phương trình (d ) ta được: a + b = 3
Với a = 5 ta có 5+ b = 3
Û b = - 2 (thoả mãn điều kiện).
Vậy a = 5;b = - 2 . Câu 3. (2,0điểm)
1. Một đội công nhân phải trồng 96 cây xanh. Đội dự định chia đều số cây cho mỗi công nhân
nhưng khi chuẩn bị trồng thì có 4 công nhân được điều đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn
lại phải trồng thêm 4 cây. Hỏi lúc đầu đội công nhân có bao nhiêu người ?
2. Cho parabol (P) 2
: y = x và đường thẳng (d ): y = 3x + m . Tìm m để đường thẳng (d ) cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x , x thoả mãn x + 2x = m + 3 . 1 2 1 2 Lời giải 1. Gọi x( *
x Î ¥ , x > )
4 là số công nhân lúc đầu. 96
Số cây mỗi công nhân dự định phải trồng là ( cây). x 96
Số cây mỗi công nhân còn lại phải trồng sau khi 4 người đi làm việc khác là ( cây). x - 4
Theo bài ta có phương trình: 96 96 - = 4 x - 4 x 24 24 Û - = 1 x - 4 x
Û 24x - 24(x - 4)= x(x - 4) 2 Û 96 = x - 4x 2
Û x - 4x - 96 = 0 x é = 12 Û ê x ê = - 8 ë
Kết hợp điều kiện ta có x = 12.
Vậy lúc đầu đội có 12 công nhân.
2. Phương trình hoành độ giao điểm là 2 2
x = 3x + m Û x - 3x - m = 0 ( ) *
Để (d ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Û phương trình ( )
* có hai nghiệm phân biệt. - 9
Ta có D = 9 + 4m > 0 Û m > 4 ìï x + x = 3 1 1 2 ( ) ï Theo Viét ta có í ï x x = - m 2 ï 1 2 ( ) î
Theo đề bài ta có x + 2x = m + 3 3 1 2 ( ) ìï x = 3- m ï Từ ( ) 1 và ( ) 3 ta có 1 í ï x = m ïî 2
Thay vào phương trình (2) ta được m é = 0 (3- m) 2
m = - m Û m - 4m = 0 Û ê m ê = 4 ë
Đối chiếu điều kiện ta có m = 0 và m = 4.
Câu 4. ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF , BD, CE cắt nhau tại H . Trang 3
1. Chứng minh rằng: · · DAH = DEH .
2. Gọi O và M lần lượt là trung điểm của BC và AH . Chứng minh rằng: tứ giác MDOE nội tiếp.
3. Gọi K là giao điểm của AH và DE . Chứng minh rằng: 2
AH = 2MK (AF + HF ). Lời giải A M D E K H B F O C · · 1. Theo bài ta có 0
ADH = AEH = 90 · · 0 0 0
Þ ADH + AEH = 90 + 90 = 180
Suy ra tứ giác ADHE nội tiếp. · ·
Suy ra DAH = DEH AH
2. Tam giác vuông ADH có · · MD =
= MH Þ MDH = MHD ( ) 1 2 Tam giác vuông BDC có BC · · · 0 · · OD =
= OB Þ ODB = OBD Þ ODB = 90 - ACB = HAD (2) 2
Cộng vế (1) và (2) ta có · · · · 0 · 0
MDH + ODB = MHD + HAD = 90 Þ MDO = 90 ·
Chứng minh tương tự ta có 0 MEO = 90 · · Vậy 0
MDO + MEO = 180 suy ra tứ giác MDOE nội tiếp.
3. Ta có AF + HF = (AM + MF)+ (MF - MH )= 2MF
Lại có AH = 2MD
Nên đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 AH =
MK (AF + HF) 2 2 2
Û 4MD = 4MK.MF Û MD = MK.MF ( ) * · · Theo ý 2 ta có 0
MDO = MEO = 90 . · Mặt khác 0
MFO = 90 . Suy ra 5 điểm M , D, O, F , E cùng thuộc đường tròn đường kính MO . · ·
Vậy MFD = MED ( ) 3 . AH Lại có: · · · ME = MD =
Þ MED = MDE = MDK (4) 2 · · Từ ( ) 3 và ( )
4 ta có MFD = MDK .
Do đó DMDK đồng dạng với DMFD (g-g) MD MK Suy ra 2 =
Þ MD = MK.MF . Vậy (*) được chứng minh. MF MD
Câu 5. ( 1.0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2
a + b + c + 2abc + 1³ 2(ab + bc + ca) Trang 4 Lời giải
Trong 3 số a - 1, b - 1, c - 1 luôn tồn tại ít nhất hai số cùng không âm hoặc không dương
Giả sử a- 1 và b- 1 cùng không âm hoặc không dương. Suy ra (a - ) 1 (b - )
1 ³ 0 Û ab + 1³ a + b
Û 2abc + 2c ³ 2ac + 2bc Û 2ab + 2abc + 2c ³ 2(ab + bc + ca)( ) 1 Ta sẽ chứng minh 2 2 2
a + b + c + 2abc + 1³ 2ab + 2abc + 2c( ) 2 2 2 Thật vậy ( ) 2 2 2
2 Û a + b + c + 1³ 2ab + 2c Û (a- b) + (c- ) 1 ³ 0 (Luôn đúng)
Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh. ìï a = 1 ìï (a- ) 1 (b - ) 1 = 0 ï ï ï Dấu “=” xảy ra khi í Û í b = 1 ïï(a b)2 (c )2 1 0 ï - + - = ï ïî ï c = 1 ïî
---------------------------------@Hết@--------------------------------- Trang 5